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यह व्यंजक संख्या रेखा पर \(x\) की बिंदु \(-2\) और \(4\) से दूरियों का योग है। इन दोनों स्थिर बिंदुओं के बीच की दूरी \(|4-(-2)|=6\) है, इसलिए त्रिभुज असमता के अनुसार इसका न्यूनतम मान 6 होगा। वास्तव में \(-2\le x\le4\) के लिए यह योग 6 ही रहता है। परीक्षा टिप: \(|x-a|+|x-b|\) का न्यूनतम मान सामान्यतः \(|a-b|\) होता है। / The expression represents the sum of the distances of the point \(x\) from the fixed points \(-2\) and \(4\) on the number line. The distance between these points is \(|4-(-2)|=6\), so by the triangle inequality the minimum sum is 6. In fact, the sum remains 6 for every \(x\) in the interval \([-2,4]\). Exam tip: The minimum value of \(|x-a|+|x-b|\) is generally \(|a-b|\).
\(\frac{x^2-16}{x+4}=x-4\) है लेकिन (x=-4) डोमेन में नहीं है। इसलिए रेखा जैसे ग्राफ में (x=-4) पर छिद्र बनता है। / \(\frac{x^2-16}{x+4}=x-4\), but (x=-4) is not in the domain. Therefore the line-like graph has a hole at (x=-4).
यह (x) का भिन्नात्मक भाग देता है जो (0) से शुरू होकर (1) से कम रहता है। इसलिए रेंज ([0,1)) है। / It gives the fractional part of (x), which starts at (0) and stays less than (1). Hence the range is ([0,1)).
\(4\le x\le 10\) पर योग ((x-4)+(10-x)=6) है। मापांक दूरी योग में दोनों बिंदुओं के बीच ग्राफ क्षैतिज होता है। / On \(4\le x\le 10\), the sum is ((x-4)+(10-x)=6). In a modulus distance sum the graph is horizontal between the two points.
क्योंकि \(|x+5|\ge 0\), इसलिए \(y=2-|x+5|\le 2\)। जब \(x=-5\) होता है, तब \(|x+5|=0\) और \(y=2\), अतः 2 अधिकतम मान है। जैसे-जैसे \(|x+5|\) बढ़ता है, \(y\) बिना किसी निम्न सीमा के घटता जाता है। इसलिए रेंज \((- infty,2]\) है। परीक्षा-युक्ति: \(a-|x-h|\) जैसे उल्टे मापांक फलन की अधिकतम सीमा \(a\) होती है। / Since \(|x+5|\ge 0\), we have \(y=2-|x+5|\le 2\). At \(x=-5\), \(|x+5|=0\) and \(y=2\), so 2 is the maximum value. As \(|x+5|\) increases, \(y\) decreases without any lower bound. Therefore, the range is \((- infty,2]\). Exam tip: For an inverted modulus function of the form \(a-|x-h|\), the maximum value is \(a\).
मानक रूप \(y=a|x-h|+k\) में शीर्ष बिंदु \((h,k)\) होता है। यहाँ \(h=2\) और \(k=1\), इसलिए शीर्ष \((2,1)\) है। \(3\) केवल ग्राफ की ऊर्ध्वाधर खिंचाव को दर्शाता है; यह शीर्ष का \(y\)-निर्देशांक नहीं है। परीक्षा-युक्ति: \(|x-h|\) के अंदर का भाग शून्य रखकर \(x=h\) ज्ञात करें और फिर \(y=k\) प्राप्त करें। / A function in the form \(y=a|x-h|+k\) has its vertex at \((h,k)\). Here, \(h=2\) and \(k=1\), so the vertex is \((2,1)\). The coefficient \(3\) only causes a vertical stretch; it is not the vertex’s \(y\)-coordinate. Exam tip: set the expression inside the absolute value equal to zero to find \(x=h\), then evaluate \(y\).
\(x\)-अक्ष पर \(y=0\) होता है। इसलिए \(|2x+6|-4=0\), अर्थात् \(|2x+6|=4\)। अब \(2x+6=4\) से \(x=-1\) और \(2x+6=-4\) से \(x=-5\) मिलता है। अतः सही मान \(x=-5,-1\) हैं। परीक्षा-युक्ति: मापांक वाले समीकरण \(|u|=a\) में हमेशा \(u=a\) और \(u=-a\) दोनों स्थितियाँ जाँचें। विकल्प B में मापांक समीकरण को सही ढंग से हल नहीं किया गया है। / On the \(x\)-axis, \(y=0\). Hence \(|2x+6|-4=0\), so \(|2x+6|=4\). This gives two cases: \(2x+6=4\), yielding \(x=-1\), and \(2x+6=-4\), yielding \(x=-5\). Therefore, the correct values are \(x=-5,-1\). Exam tip: for an equation \(|u|=a\), always consider both \(u=a\) and \(u=-a\). Option B does not result from correctly solving the two cases.
\(x\)-अक्ष पर किसी बिंदु के लिए \(y=0\) होना आवश्यक है। अतः \(|x^2-1|=0\), और मापांक तभी शून्य होता है जब \(x^2-1=0\)। इसलिए \(x=\pm1\), जिससे बिंदु \((-1,0)\) और \((1,0)\) प्राप्त होते हैं। ध्यान दें कि ग्राफ इन बिंदुओं पर \(x\)-अक्ष को छूता है, उसे पार नहीं करता। परीक्षा-युक्ति: \(x\)-अक्ष से प्रतिच्छेद ज्ञात करने के लिए हमेशा \(y=0\) रखें। / For a point on the \(x\)-axis, \(y=0\). Thus, \(|x^2-1|=0\), which is possible only when \(x^2-1=0\). Hence \(x=\pm1\), giving the points \((-1,0)\) and \((1,0)\). The graph touches the \(x\)-axis at these points rather than crossing it. Exam tip: To find intersections with the \(x\)-axis, set \(y=0\).
जब \(x>5\), तब \(x+1>0\) और \(x-5>0\), इसलिए \(|x+1|=x+1\) तथा \(|x-5|=x-5\)। अतः \(y=(x+1)-(x-5)=6\)। इसलिए सही उत्तर A है। ध्यान रखें कि निरपेक्ष मान को सरल करने से पहले संबंधित व्यंजक का चिह्न जाँचना आवश्यक है; \(2x-4\) केवल दोनों पदों को जोड़ने पर बनता है, जो यहाँ सही नहीं है। / For \(x>5\), both \(x+1\) and \(x-5\) are positive. Hence, \(|x+1|=x+1\) and \(|x-5|=x-5\). Therefore, \(y=(x+1)-(x-5)=6\), so option A is correct. Exam tip: check the sign of each expression before removing modulus bars; \(2x-4\) would result from adding the terms instead of subtracting them.
दिए गए द्विघात फलन में \(a=2\) और \(b=-12\) हैं। शीर्ष का x-निर्देशांक \(x=-\frac{b}{2a}=\frac{12}{4}=3\) होगा। अब \(x=3\) रखने पर \(y=2(3)^2-12(3)+13=-5\), इसलिए शीर्ष \((3,-5)\) है। विकल्प B में x-निर्देशांक का चिह्न गलत है, जबकि विकल्प D में y-निर्देशांक का चिह्न गलत है। परीक्षा-युक्ति: \(y=ax^2+bx+c\) के लिए शीर्ष का x-निर्देशांक हमेशा \(-\frac{b}{2a}\) से निकालें। / For the quadratic, \(a=2\) and \(b=-12\). The x-coordinate of the vertex is \(x=-\frac{b}{2a}=\frac{12}{4}=3\). Substituting \(x=3\) gives \(y=2(3)^2-12(3)+13=-5\), so the vertex is \((3,-5)\). Option B has the wrong sign for the x-coordinate, while option D has the wrong sign for the y-coordinate. Exam tip: for \(y=ax^2+bx+c\), first find the vertex’s x-coordinate using \(-\frac{b}{2a}\).
दिया गया द्विघात फलन \(y=-x^2+4x+5\) है। इसे पूर्ण वर्ग के रूप में लिखने पर \(y=-(x-2)^2+9\) प्राप्त होता है। चूँकि \((x-2)^2\geq 0\), इसलिए \(-(x-2)^2\leq 0\) और \(y\) का अधिकतम मान \(9\) है, जो \(x=2\) पर प्राप्त होता है। विकल्प 5 केवल \(x=0\) पर प्राप्त मान है, अधिकतम मान नहीं। परीक्षा-युक्ति: नीचे खुले परवलय में शीर्ष का \(y\)-निर्देशांक अधिकतम मान देता है। / The quadratic function is \(y=-x^2+4x+5\). Completing the square gives \(y=-(x-2)^2+9\). Since \((x-2)^2\geq 0\), we have \(-(x-2)^2\leq 0\), so the maximum value of \(y\) is \(9\), attained at \(x=2\). Option 5 is only the value at \(x=0\), not the maximum. Exam tip: for a downward-opening parabola, the y-coordinate of the vertex is the maximum value.
क्योंकि किसी भी वास्तविक \(x\) के लिए \((x+2)^2\ge 0\), इसलिए \(3(x+2)^2\ge 0\) और \(y=3(x+2)^2-12\ge -12\)। समानता \(x=-2\) पर मिलती है, अतः न्यूनतम \(y\)-मान \(-12\) है और रेंज \([-12,\infty)\) होगी। परीक्षा-युक्ति: \(a(x-h)^2+k\) के रूप में लिखे फलन में \(a>0\) होने पर रेंज \([k,\infty)\) होती है। / For every real \(x\), \((x+2)^2\ge 0\), so \(3(x+2)^2\ge 0\) and hence \(y=3(x+2)^2-12\ge -12\). Equality occurs at \(x=-2\), so the minimum value of \(y\) is \(-12\), giving the range \([-12,\infty)\). Exam tip: for a function in the form \(a(x-h)^2+k\), if \(a>0\), its range is \([k,\infty)\).
\(x\)-अक्ष पर प्रत्येक बिंदु का \(y\)-निर्देशांक \(0\) होता है। अतः \(x^2+2x-8=0\)। गुणनखंड करने पर \((x+4)(x-2)=0\), इसलिए \(x=-4\) या \(x=2\)। विकल्प B में दोनों मूलों के चिह्न उलट दिए गए हैं। परीक्षा-युक्ति: किसी ग्राफ के \(x\)-अक्ष के प्रतिच्छेद ज्ञात करने के लिए हमेशा \(y=0\) रखें। / Every point on the \(x\)-axis has \(y=0\). Therefore, \(x^2+2x-8=0\), which factors as \((x+4)(x-2)=0\). Hence, \(x=-4\) or \(x=2\). Option B reverses the signs of both roots. Exam tip: To find the \(x\)-intercepts of a graph, set \(y=0\).
क्योंकि \((x-3)^2\ge 0\), इसलिए \(y=(x-3)^2+5\ge 5\)। परंतु \(x\)-अक्ष पर \(y=0\) होता है, इसलिए यह परवलय \(x\)-अक्ष को नहीं काटता और प्रतिच्छेदों की संख्या 0 है। इसका शीर्ष \((3,5)\) है, जो \(x\)-अक्ष के ऊपर स्थित है। परीक्षा-युक्ति: \(x\)-अक्ष से प्रतिच्छेद ज्ञात करने के लिए \(y=0\) रखकर समीकरण के वास्तविक हलों की संख्या गिनें। / Since \((x-3)^2\ge 0\), we have \(y=(x-3)^2+5\ge 5\). The \(x\)-axis is defined by \(y=0\), so the parabola never reaches or intersects it; hence, there are 0 intersections. Its vertex is \((3,5)\), which lies above the \(x\)-axis. Exam tip: To find intersections with the \(x\)-axis, set \(y=0\) and count the real solutions.
समीकरण को ढाल-अवरोध रूप में लिखें: \(4x-3y=15\Rightarrow y=\frac{4}{3}x-5\)। \(y=mx+c\) में \(x\) का गुणांक ढाल \(m\) होता है, इसलिए ढाल \(\frac{4}{3}\) है। \(\frac{3}{4}\) इसका परिमाणात्मक प्रतिलोम है, ढाल नहीं। परीक्षा-युक्ति: पहले समीकरण को \(y=mx+c\) के रूप में बदलें। / Rewrite the equation in slope-intercept form: \(4x-3y=15\Rightarrow y=\frac{4}{3}x-5\). In \(y=mx+c\), the coefficient of \(x\) is the slope \(m\), so the slope is \(\frac{4}{3}\). The value \(\frac{3}{4}\) is its reciprocal, not the slope. Exam tip: first isolate \(y\) and compare the equation with \(y=mx+c\).
\(x\)-अक्ष पर प्रत्येक बिंदु के लिए \(y=0\) होता है। अतः समीकरण में रखने पर \(5x+2(0)=20\), इसलिए \(x=4\) और प्रतिच्छेद-बिंदु \((4,0)\) है। विकल्प B और D \(y\)-अक्ष पर स्थित बिंदु हैं, जबकि विकल्प C में \(x\) का चिह्न गलत है। परीक्षा-युक्ति: \(x\)-प्रतिच्छेद के लिए हमेशा \(y=0\) रखें। / Every point on the \(x\)-axis has \(y=0\). Substituting this into the equation gives \(5x+2(0)=20\), so \(x=4\), and the intersection point is \((4,0)\). Options B and D lie on the \(y\)-axis, while option C has the wrong sign for \(x\). Exam tip: To find the \(x\)-intercept, set \(y=0\).
A. यह \(x\)-अक्ष के समानांतर है/It is parallel to the \(x\)-axis
Explanation
Simple Explanation
समीकरण \(y=-2\) में \(y\) का मान सभी \(x\) के लिए स्थिर रहता है। अतः ग्राफ \(x\)-अक्ष से 2 इकाई नीचे स्थित क्षैतिज रेखा है और \(x\)-अक्ष के समानांतर है। यह मूलबिंदु से नहीं गुजरती, क्योंकि मूलबिंदु का \(y\)-निर्देशांक 0 है। परीक्षा-युक्ति: \(y=c\) का ग्राफ हमेशा \(x\)-अक्ष के समानांतर होता है, जबकि \(x=c\) का ग्राफ \(y\)-अक्ष के समानांतर होता है। / In the equation \(y=-2\), the value of \(y\) remains fixed for every value of \(x\). Therefore, its graph is a horizontal line 2 units below the \(x\)-axis and is parallel to the \(x\)-axis. It does not pass through the origin because the origin has \(y\)-coordinate 0. Exam tip: the graph of \(y=c\) is always parallel to the \(x\)-axis, whereas the graph of \(x=c\) is parallel to the \(y\)-axis.
दोनों रेखाओं की ढाल (2) है लेकिन अवरोध अलग हैं। समान ढाल वाली अलग रेखाएं समांतर होती हैं। / Both lines have slope (2), but different intercepts. Distinct lines with equal slope are parallel.
वास्तविक वर्गमूल के लिए इसके अंदर का व्यंजक अशून्य और धनात्मक होना चाहिए, इसलिए \(2x-8\ge 0\)। इससे \(x\ge 4\) प्राप्त होता है और डोमेन \([4,\infty)\) है। विकल्प B गलत है क्योंकि \(x=4\) पर वर्गमूल का मान \(0\) होता है, इसलिए 4 को शामिल किया जाना चाहिए। परीक्षा-युक्ति: वर्गमूल वाले फलन का डोमेन निकालते समय मूलचिह्न के अंदर के व्यंजक को \(\ge 0\) रखें। / For a real square root, the expression under the radical must be non-negative, so \(2x-8\ge 0\). Hence \(x\ge 4\), giving the domain \([4,\infty)\). Option B is incorrect because at \(x=4\), the square root equals \(0\), so 4 must be included. Exam tip: For a square-root function, set the radicand greater than or equal to zero to find the domain.
वास्तविक मानों के लिए \(x\ge 1\) और \(\sqrt{x-1}\ge 0\) होता है। इसलिए \(y=7-\sqrt{x-1}\le 7\)। जब \(x=1\), तब \(y=7\), अतः 7 रेंज में शामिल है; और \(x\) बढ़ने पर \(y\) बिना किसी निचली सीमा के घट सकता है। इसलिए रेंज \((- infty,7]\) है। परीक्षा-युक्ति: \(a-b\sqrt{\cdot}\) में \(b>0\) हो तो अधिकतम मान सामान्यतः मूल के शून्य होने पर मिलता है। / For real values, \(x\ge 1\) and \(\sqrt{x-1}\ge 0\). Hence \(y=7-\sqrt{x-1}\le 7\). When \(x=1\), \(y=7\), so 7 is included; as \(x\) increases, \(y\) can decrease without bound. Therefore, the range is \((- infty,7]\). Exam tip: for an expression of the form \(a-b\sqrt{\cdot}\) with \(b>0\), the maximum occurs when the square-root term is zero.
वर्गमूल वाले फलन का प्रारंभिक बिंदु वहाँ होता है जहाँ मूल के अंदर का व्यंजक शून्य हो जाता है। इसलिए \(x+9=0\), जिससे \(x=-9\) और \(y=\sqrt{0}-4=-4\) मिलता है। अतः बिंदु \((-9,-4)\) है। विकल्प B में क्षैतिज विस्थापन की दिशा गलत ली गई है। परीक्षा-युक्ति: \(y=\sqrt{x-h}+k\) का प्रारंभिक बिंदु \((h,k)\) होता है। / The endpoint of a square-root graph occurs when the expression under the radical becomes zero. Thus, \(x+9=0\), so \(x=-9\), and \(y=\sqrt{0}-4=-4\). Therefore, the endpoint is \((-9,-4)\). Option B reverses the horizontal shift. Exam tip: for \(y=\sqrt{x-h}+k\), the endpoint is \((h,k)\).
वर्ग करने पर \(y^2=25-x^2\) से \(x^2+y^2=25\) मिलता है। वर्गमूल के कारण केवल ऊपरी भाग आता है। / Squaring gives \(y^2=25-x^2\), so \(x^2+y^2=25\). Because of the square root only the upper part appears.
वास्तविक मान वाले वर्गमूल के लिए उसके अंदर की राशि अशून्य या धनात्मक होनी चाहिए। इसलिए \(x^2-16\ge 0\), अर्थात \((x-4)(x+4)\ge 0\)। इससे \(x\le -4\) या \(x\ge 4\) प्राप्त होता है, इसलिए डोमेन \((- infty,-4]\cup[4,\u001einfty)\) है। विकल्प B केवल \(-4\) और \(4\) के बीच के मान देता है, जहाँ वर्गमूल के अंदर की राशि ऋणात्मक होती है। परीक्षा-युक्ति: वर्गमूल वाले फलन का डोमेन निकालते समय radicand को हमेशा \(\ge 0\) रखें। / For a real-valued square root, the expression under the radical must be non-negative. Thus, \(x^2-16\ge 0\), or \((x-4)(x+4)\ge 0\). This gives \(x\le -4\) or \(x\ge 4\), so the domain is \((- infty,-4]\cup[4,\u001einfty)\). Option B incorrectly includes the interval between \(-4\) and \(4\), where the radicand is negative. Exam tip: for a square-root function, set the radicand greater than or equal to zero before solving.
हर (x-6) शून्य होने पर फलन अपरिभाषित होता है। इसलिए (x=6) ऊर्ध्वाधर आसम्टोट है। / The denominator (x-6) makes the function undefined when it is zero. Therefore (x=6) is the vertical asymptote.
जब \(|x|\) बहुत बड़ा होता है, तब \(\frac{4}{x+2}\) का मान \(0\) के निकट पहुँचता है। इसलिए \(y\) का मान \(-5\) के निकट पहुँचता है और क्षैतिज आसमटोट \(y=-5\) है। \(x=-2\) ऊर्ध्वाधर आसमटोट है, क्षैतिज नहीं। परीक्षा-युक्ति: \(y=\frac{a}{x-h}+k\) के लिए क्षैतिज आसमटोट सीधे \(y=k\) होता है। / As \(|x|\) becomes very large, \(\frac{4}{x+2}\) approaches \(0\). Therefore, \(y\) approaches \(-5\), so the horizontal asymptote is \(y=-5\). The line \(x=-2\) is the vertical asymptote, not the horizontal one. Exam tip: For \(y=\frac{a}{x-h}+k\), the horizontal asymptote is directly \(y=k\).
अंश और हर दोनों की डिग्री 1 है। इसलिए क्षैतिज आसमटोट प्रमुख गुणांकों के अनुपात से मिलता है: \(y=\frac{1}{1}=1\)। अतः सही उत्तर \(y=1\) है। \(x=2\) ऊर्ध्वाधर आसमटोट है, क्षैतिज नहीं। परीक्षा-युक्ति: समान डिग्री वाले परिमेय फलन में क्षैतिज आसमटोट, अंश और हर के उच्चतम घात वाले पदों के गुणांकों का अनुपात होता है। / The numerator and denominator are both of degree 1. Therefore, the horizontal asymptote is determined by the ratio of the leading coefficients: \(y=\frac{1}{1}=1\). Hence, \(y=1\) is correct. The line \(x=2\) is the vertical asymptote because the denominator becomes zero there. Exam tip: For a rational function with equal numerator and denominator degrees, divide the leading coefficient of the numerator by that of the denominator to find the horizontal asymptote.
\(\frac{x^2-9}{x-3}=x+3\) है लेकिन (x=3) निषिद्ध रहता है। इसलिए रेखा जैसे ग्राफ में छिद्र होता है। / \(\frac{x^2-9}{x-3}=x+3\), but (x=3) remains excluded. Therefore the line-like graph has a hole.
यह \(y=\frac{1}{x^2}\) का (1) इकाई बाईं ओर खिसका हुआ ग्राफ है। इसलिए सममिति अक्ष (x=-1) है। / It is the graph of \(y=\frac{1}{x^2}\) shifted (1) unit left. Therefore the axis of symmetry is (x=-1).
\(x^2+9\) का न्यूनतम मान (9) है। इसलिए \(\frac{1}{x^2+9}\) का अधिकतम मान \(\frac{1}{9}\) है। / The minimum value of \(x^2+9\) is (9). Hence the maximum value of \(\frac{1}{x^2+9}\) is \(\frac{1}{9}\).
A. मूल बिंदु के सापेक्ष सममिति/Symmetry about the origin
Explanation
Simple Explanation
फलन का परिभाषा-क्षेत्र सभी वास्तविक संख्याएँ हैं, क्योंकि \(x^2+1\neq 0\)। अब \(f(-x)=\frac{(-x)^3}{(-x)^2+1}=-\frac{x^3}{x^2+1}=-f(x)\)। अतः यह विषम फलन है और इसका ग्राफ मूल बिंदु के सापेक्ष सममित होता है। y-अक्ष की सममिति के लिए \(f(-x)=f(x)\) होना चाहिए, जो यहाँ सत्य नहीं है। परीक्षा-युक्ति: \(f(-x)=-f(x)\) दिखे तो मूल बिंदु की सममिति चुनें। / The domain is all real numbers because \(x^2+1\neq 0\). Also, \(f(-x)=\frac{(-x)^3}{(-x)^2+1}=-\frac{x^3}{x^2+1}=-f(x)\). Therefore, the function is odd, so its graph is symmetric about the origin. It is not symmetric about the y-axis, since that would require \(f(-x)=f(x)\). Exam tip: the condition \(f(-x)=-f(x)\) indicates symmetry about the origin.
महत्तम पूर्णांक फलन \(\lfloor x\rfloor\), \(x\) से छोटा या उसके बराबर सबसे बड़ा पूर्णांक होता है। चूँकि \(-4\) स्वयं एक पूर्णांक है, इसलिए \(\lfloor -4\rfloor=-4\) और अतः \(f(-4)=-4\)। विकल्प \(-5\) गलत है, क्योंकि वह \(-4\) से छोटा है; परीक्षा में याद रखें कि पूर्णांक के लिए उसका महत्तम पूर्णांक फलन मान वही पूर्णांक होता है। / The greatest integer function \(\lfloor x\rfloor\) gives the greatest integer less than or equal to \(x\). Since \(-4\) is itself an integer, \(\lfloor -4\rfloor=-4\), so \(f(-4)=-4\). The value \(-5\) is incorrect because it is less than \(-4\); in exams, remember that the greatest integer function of any integer is the integer itself.
पहले फलन के अंदर का मान निकालते हैं: \(2.6+0.5=3.1\)। महानतम पूर्णांक फलन \(\lfloor y\rfloor\), \(y\) से छोटा या उसके बराबर सबसे बड़ा पूर्णांक देता है; इसलिए \(\lfloor3.1\rfloor=3\)। विकल्प B में \(2.6\) का सीधे पूर्णांक भाग लिया गया है, जो इस फलन की परिभाषा के अनुसार सही नहीं है। परीक्षा-युक्ति: पहले \(x+0.5\) निकालें, फिर floor लागू करें। / First evaluate the expression inside the floor function: \(2.6+0.5=3.1\). The greatest-integer function \(\lfloor y\rfloor\) gives the greatest integer less than or equal to \(y\), so \(\lfloor3.1\rfloor=3\). Option B incorrectly takes the integer part of \(2.6\) without adding \(0.5\). Exam tip: evaluate the quantity inside the floor symbol before applying the function.
जब \(x\in[1,1.5)\), तब \(2x\in[2,3)\)। इस अंतराल में प्रत्येक \(2x\) का महत्तम पूर्णांक मान 2 होता है; 3 शामिल नहीं है क्योंकि \(x=1.5\) डोमेन में नहीं है। इसलिए मानों का समुच्चय \(\{2\}\) है। परीक्षा-युक्ति: महत्तम पूर्णांक फलन में अंतराल के खुले और बंद सिरों को अवश्य जाँचें। / If \(x\in[1,1.5)\), then \(2x\in[2,3)\). The greatest integer less than or equal to every number in this interval is 2, so \(f(x)=2\) throughout the domain. The value 3 is not obtained because \(x=1.5\) is excluded. Hence the range is \(\{2\}\). Exam tip: Always check whether an endpoint is included when evaluating a greatest-integer function.
\(\lceil x \rceil\) (x) से बड़ा या बराबर सबसे छोटा पूर्णांक देता है। (-2.2) के लिए वह (-2) है। / \(\lceil x \rceil\) gives the smallest integer greater than or equal to (x). For (-2.2), it is (-2).
जब \(x=7\), तब फलन का इनपुट \(5-7=-2\) होता है। चूँकि \(-2\) ऋणात्मक है, इसलिए \(\operatorname{sgn}(-2)=-1\)। विकल्प 0 केवल तब होता है जब इनपुट 0 हो, और विकल्प 1 धनात्मक इनपुट के लिए होता है। परीक्षा-युक्ति: पहले कोष्ठक के अंदर का मान निकालकर उसका चिह्न पहचानें। / When \(x=7\), the input to the signum function is \(5-7=-2\). Since \(-2\) is negative, \(\operatorname{sgn}(-2)=-1\). The value 0 occurs only when the input is zero, while 1 is used for a positive input. Exam tip: first evaluate the expression inside the signum function and then identify its sign.
साइनम फलन \(\operatorname{sgn}(t)\) का मान \(0\) तभी होता है जब \(t=0\) हो। इसलिए \(x^2-4=0\), अर्थात् \((x-2)(x+2)=0\), जिससे \(x=2\) या \(x=-2\) प्राप्त होता है। विकल्प C में \(\pm4\) लेना गलत है, क्योंकि \(4^2-4\neq0\)। परीक्षा-युक्ति: \(\operatorname{sgn}(g(x))=0\) के लिए सीधे \(g(x)=0\) हल करें। / The signum function \(\operatorname{sgn}(t)\) equals \(0\) only when \(t=0\). Hence, solve \(x^2-4=0\), or \((x-2)(x+2)=0\), giving \(x=2\) and \(x=-2\). Option C is incorrect because \(4^2-4\neq0\). Exam tip: To find where \(\operatorname{sgn}(g(x))=0\), set the inner expression \(g(x)\) equal to zero.
फलन को इस प्रकार लिखा जा सकता है: \(y=3\) जब \(x\leq 3\), और \(y=x\) जब \(x\geq 3\)। दोनों रेखाएँ \(x=3\) पर मिलती हैं और उस समय \(y=3\), इसलिए कोना \((3,3)\) पर है। \((0,3)\) उसी क्षैतिज भाग का बिंदु है, लेकिन वहाँ ढाल में परिवर्तन नहीं होता। परीक्षा-युक्ति: \(\max(x,a)\) के ग्राफ का कोना सामान्यतः \((a,a)\) पर होता है। / The function can be written as \(y=3\) for \(x\leq 3\) and \(y=x\) for \(x\geq 3\). These two lines meet at \(x=3\), where \(y=3\), so the corner is at \((3,3)\). The point \((0,3)\) lies on the horizontal part but is not a point where the slope changes. Exam tip: the graph of \(\max(x,a)\) has its corner at \((a,a)\).
जब \(x\leq -3\), तब \(y=x\); और जब \(x\geq -3\), तब \(y=-3\)। दोनों नियम \(x=-3\) पर मिलते हैं, जहाँ \(y=-3\) है। इसलिए कोना \((-3,-3)\) पर स्थित है। विकल्प D गलत है, क्योंकि \((0,-3)\) क्षैतिज रेखा पर तो है, लेकिन वह नियम बदलने का बिंदु नहीं है। परीक्षा-युक्ति: \(y=x\) और \(y=-3\) का प्रतिच्छेद ज्ञात करें। / For \(x\leq -3\), the minimum is \(x\), so \(y=x\); for \(x\geq -3\), the minimum is \(-3\), so \(y=-3\). These two rules meet at \(x=-3\), giving \(y=-3\). Hence the corner is \((-3,-3)\). Option D lies on the horizontal part of the graph but is not the point where the rule changes. Exam tip: find the intersection of \(y=x\) and \(y=-3\).
जब \(x\ge 2\), तब \(x-2\ge 0\), इसलिए \(|x-2|=x-2\)। अतः \(y=(x-2)+x=2x-2\), इसलिए सही रेखा \(y=2x-2\) है। विकल्प D केवल मॉड्यूलस वाले पद \(|x-2|\) को दर्शाता है और इसमें \(+x\) का योगदान छूट जाता है। परीक्षा-युक्ति: मॉड्यूलस के अंदर का व्यंजक धनात्मक या शून्य होने पर उसका मॉड्यूलस उसी व्यंजक के बराबर होता है। / When \(x\ge 2\), we have \(x-2\ge 0\), so \(|x-2|=x-2\). Therefore, \(y=(x-2)+x=2x-2\), making \(y=2x-2\) the correct line. Option D represents only the modulus term \(|x-2|\) and omits the added \(+x\). Exam tip: when the expression inside a modulus is non-negative, its modulus equals the expression itself.
प्रतिच्छेद बिंदुओं पर दोनों ग्राफ़ों का \(y\)-मान समान होता है, इसलिए \(x^2=3x+4\)। इसे \(x^2-3x-4=0\) लिखकर गुणनखंड करने पर \((x-4)(x+1)=0\) मिलता है। अतः \(x=4\) या \(x=-1\), इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B में \(x=-1\) का चिह्न गलत लिया गया है। परीक्षा में दो ग्राफ़ों के प्रतिच्छेद के लिए पहले उनके \(y\)-व्यंजकों को बराबर रखें। / At an intersection point, both graphs have the same \(y\)-value, so set \(x^2=3x+4\). Rearranging and factoring gives \(x^2-3x-4=0\), or \((x-4)(x+1)=0\). Hence \(x=4\) or \(x=-1\), making option A correct. Option B results from taking the sign of the root \(-1\) incorrectly. Exam tip: to find intersections of two graphs, equate their \(y\)-expressions first.
प्रतिच्छेद बिंदुओं पर दोनों समीकरणों के \(y\) मान समान होंगे, इसलिए \(|x-2|=4\)। इससे \(x-2=4\) या \(x-2=-4\), अतः \(x=6\) या \(x=-2\)। इसलिए सही विकल्प A है। विकल्प B में \(|x-2|=4\) का सही हल नहीं मिलता। परीक्षा-युक्ति: \(|u|=a\), जहाँ \(a>0\), हो तो हमेशा \(u=\pm a\) के दोनों मामले जाँचें। / At an intersection, the two graphs have the same \(y\)-value, so \(|x-2|=4\). Thus \(x-2=4\) or \(x-2=-4\), giving \(x=6\) or \(x=-2\). Therefore, option A is correct. Option B does not satisfy \(|x-2|=4\). Exam tip: when \(|u|=a\) with \(a>0\), solve both cases \(u=a\) and \(u=-a\).
प्रतिच्छेदन बिंदु पर दोनों ग्राफ़ों के \(y\) मान समान होंगे, इसलिए \(\sqrt{x+1}=3\)। दोनों पक्षों का वर्ग करने पर \(x+1=9\), अतः \(x=8\)। विकल्प \(x=9\) में \(-1\) घटाना भूलने की सामान्य गलती है। परीक्षा-युक्ति: वर्ग करने के बाद मूल समीकरण में मान रखकर जाँच करें; यहाँ \(\sqrt{8+1}=3\) है। / At the intersection, the two graphs have the same \(y\)-value, so \(\sqrt{x+1}=3\). Squaring both sides gives \(x+1=9\), hence \(x=8\). The distractor \(x=9\) results from forgetting to subtract 1. Exam tip: Always substitute the obtained value back into the original equation; here, \(\sqrt{8+1}=3\).
A. \(\sqrt{2},\sqrt{2}\) और �\(-\sqrt{2},-\sqrt{2}\)/�\(\sqrt{2},\sqrt{2}\) and �\(-\sqrt{2},-\sqrt{2}\)
Explanation
Simple Explanation
प्रतिच्छेद बिंदु पर दोनों समीकरणों के y-मान समान होंगे, इसलिए \(x=\frac{2}{x}\), जहाँ \(x\ne0\)। इससे \(x^2=2\) और \(x=\pm\sqrt{2}\) मिलता है। चूँकि \(y=x\), संबंधित बिंदु \((\sqrt{2},\sqrt{2})\) और \((-\sqrt{2},-\sqrt{2})\) हैं। विकल्प B में \(x=2\) रखने पर \(\frac{2}{x}=1\), 2 नहीं मिलता; विकल्प D में \(x=0\) पर \(\frac{2}{x}\) अपरिभाषित है। परीक्षा-युक्ति: ऐसे प्रश्नों में प्रतिच्छेद के लिए दोनों फलनों को बराबर करके प्राप्त x-मानों को किसी एक समीकरण में रखें। / At an intersection point, the two y-values are equal, so \(x=\frac{2}{x}\), with \(x\ne0\). Thus \(x^2=2\), giving \(x=\pm\sqrt{2}\). Since \(y=x\), the corresponding points are \((\sqrt{2},\sqrt{2})\) and \((-\sqrt{2},-\sqrt{2})\). In option B, substituting \(x=2\) gives \(\frac{2}{x}=1\), not 2; option D is invalid because \(\frac{2}{x}\) is undefined at \(x=0\). Exam tip: To find intersections, equate the two functions and substitute the resulting x-values back into either equation.
A. 4 इकाई बाईं ओर और 3 इकाई नीचे/4 units left and 3 units down
Explanation
Simple Explanation
\(f(x+4)\) में इनपुट के अंदर \(+4\) होने के कारण ग्राफ क्षैतिज दिशा में 4 इकाई बाईं ओर खिसकता है; अंदर का चिह्न दिशा को उलट देता है। बाहर का \(-3\), पूरे फलन के मान से 3 घटाता है, इसलिए ग्राफ 3 इकाई नीचे जाता है। अतः विकल्प A सही है। परीक्षा-युक्ति: \(f(x-a)\) से ग्राफ a इकाई दाईं ओर और \(f(x)+b\) से b इकाई ऊपर जाता है। / In \(f(x+4)\), the input contains \(+4\), so the graph shifts 4 units horizontally to the left; the sign inside the function reverses the direction. The outside term \(-3\) subtracts 3 from every function value, shifting the graph 3 units downward. Therefore, option A is correct. Exam tip: \(f(x-a)\) shifts a graph a units right, while \(f(x)+b\) shifts it b units up.
A. ऊर्ध्वाधर खिंचाव, गुणक 2 के साथ; फिर 1 इकाई नीचे खिसकाना/Vertical stretch by a factor of 2, followed by a downward shift of 1 unit
Explanation
Simple Explanation
\(y=2f(x)-1\) में \(f(x)\) के बाहर का गुणक 2 प्रत्येक \(y\)-मान को दोगुना करता है, इसलिए ग्राफ का ऊर्ध्वाधर खिंचाव गुणक 2 होता है। इसके बाद \(-1\) सभी मानों को 1 इकाई नीचे ले जाता है। यह क्षैतिज खिंचाव नहीं है, क्योंकि क्षैतिज रूपांतरण में परिवर्तन \(f(2x)\) जैसे फलन के तर्क के अंदर होता है। परीक्षा-युक्ति: बाहर का गुणक ऊर्ध्वाधर और अंदर का गुणक क्षैतिज रूपांतरण दर्शाता है। / In \(y=2f(x)-1\), the factor 2 outside \(f(x)\) doubles every \(y\)-value, producing a vertical stretch by a factor of 2. The term \(-1\) then shifts the entire graph 1 unit downward. It is not a horizontal stretch, because horizontal transformations involve changes inside the function’s argument, such as \(f(2x)\). Exam tip: factors outside the function affect vertical changes, while factors inside its argument affect horizontal changes.
A. क्षैतिज संपीड़न (3) गुना/Horizontal compression by factor (3)
Explanation
Simple Explanation
अंदर (3x) होने से ग्राफ (y)-अक्ष की ओर सिमटता है। अंदर का गुणक क्षैतिज परिवर्तन देता है। / Having (3x) inside shrinks the graph toward the (y)-axis. An inside multiplier gives a horizontal change.
A. क्षैतिज खिंचाव (2) गुना/Horizontal stretch by factor (2)
Explanation
Simple Explanation
अंदर \(\frac{x}{2}\) होने से वही (f)-मान पाने के लिए (x) दुगुना चाहिए। इसलिए ग्राफ क्षैतिज रूप से खिंचता है। / With \(\frac{x}{2}\) inside, (x) must double to get the same (f)-value. Hence the graph stretches horizontally.
A. y-अक्ष में परावर्तन और 2 इकाई ऊपर की ओर स्थानांतरण/Reflection in the y-axis followed by a translation 2 units upward
Explanation
Simple Explanation
\(f(-x)\) में x के स्थान पर \(-x\) रखने से मूल ग्राफ y-अक्ष के सापेक्ष परावर्तित होता है। इसके बाद बाहर जोड़ा गया \(+2\) प्रत्येक y-मान में 2 जोड़ता है, इसलिए ग्राफ 2 इकाई ऊपर खिसकता है। अतः विकल्प A सही है। विकल्प B में x-अक्ष का परावर्तन \(-f(x)\) से होता, जबकि दाईं ओर 2 इकाई स्थानांतरण के लिए \(f(x-2)\) चाहिए। परीक्षा-युक्ति: अंदर का परिवर्तन क्षैतिज और बाहर का परिवर्तन ऊर्ध्वाधर होता है। / Replacing x by \(-x\) in \(f(-x)\) reflects the original graph in the y-axis. The outside term \(+2\) adds 2 to every y-value, so the graph then shifts 2 units upward. Therefore, option A is correct. Reflection in the x-axis would require \(-f(x)\), while a shift 2 units to the right would require \(f(x-2)\). Exam tip: changes inside the function affect the horizontal direction, whereas changes outside affect the vertical direction.
A. रेखा (y=2) के नीचे वाला भाग ऊपर/The part below (y=2) upward
Explanation
Simple Explanation
(|f(x)-2|) पहले (f(x)-2) को अऋणात्मक बनाता है। इसलिए (f(x)<2) वाला भाग रेखा (y=2) के सापेक्ष ऊपर मुड़ता है। / (|f(x)-2|) makes (f(x)-2) non-negative. Therefore the part with (f(x)<2) folds upward about the line (y=2).
(|x-1|) में (x=1) से समान दूरी वाले इनपुट समान होते हैं। इसलिए ग्राफ (x=1) के सापेक्ष सममित होता है। / In (|x-1|), inputs at equal distance from (x=1) become equal. Hence the graph is symmetric about (x=1).
