Class 11 Mathematics Relations and Functions Graphs of standard functions Expert Level 36

फलन \(f(x)=\frac{x^3}{x^2+1}\) के ग्राफ में कौन-सी सममिति होती है?

Which symmetry does the graph of \(f(x)=\frac{x^3}{x^2+1}\) have?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
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Correct Answer

A. मूल बिंदु के सापेक्ष सममितिSymmetry about the origin

Explanation

Simple Explanation

फलन का परिभाषा-क्षेत्र सभी वास्तविक संख्याएँ हैं, क्योंकि \(x^2+1\neq 0\)। अब \(f(-x)=\frac{(-x)^3}{(-x)^2+1}=-\frac{x^3}{x^2+1}=-f(x)\)। अतः यह विषम फलन है और इसका ग्राफ मूल बिंदु के सापेक्ष सममित होता है। y-अक्ष की सममिति के लिए \(f(-x)=f(x)\) होना चाहिए, जो यहाँ सत्य नहीं है। परीक्षा-युक्ति: \(f(-x)=-f(x)\) दिखे तो मूल बिंदु की सममिति चुनें। / The domain is all real numbers because \(x^2+1\neq 0\). Also, \(f(-x)=\frac{(-x)^3}{(-x)^2+1}=-\frac{x^3}{x^2+1}=-f(x)\). Therefore, the function is odd, so its graph is symmetric about the origin. It is not symmetric about the y-axis, since that would require \(f(-x)=f(x)\). Exam tip: the condition \(f(-x)=-f(x)\) indicates symmetry about the origin.

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फलन \(f(x)=\frac{x^3}{x^2+1}\) के ग्राफ में कौन-सी सममिति होती है? / Which symmetry does the graph of \(f(x)=\frac{x^3}{x^2+1}\) have?

Correct Answer: A. मूल बिंदु के सापेक्ष सममिति / Symmetry about the origin. Explanation: फलन का परिभाषा-क्षेत्र सभी वास्तविक संख्याएँ हैं, क्योंकि \(x^2+1\neq 0\)। अब \(f(-x)=\frac{(-x)^3}{(-x)^2+1}=-\frac{x^3}{x^2+1}=-f(x)\)। अतः यह विषम फलन है और इसका ग्राफ मूल बिंदु के सापेक्ष सममित होता है। y-अक्ष की सममिति के लिए \(f(-x)=f(x)\) होना चाहिए, जो यहाँ सत्य नहीं है। परीक्षा-युक्ति: \(f(-x)=-f(x)\) दिखे तो मूल बिंदु की सममिति चुनें। / The domain is all real numbers because \(x^2+1\neq 0\). Also, \(f(-x)=\frac{(-x)^3}{(-x)^2+1}=-\frac{x^3}{x^2+1}=-f(x)\). Therefore, the function is odd, so its graph is symmetric about the origin. It is not symmetric about the y-axis, since that would require \(f(-x)=f(x)\). Exam tip: the condition \(f(-x)=-f(x)\) indicates symmetry about the origin.