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A. यह (A) से (B) में फलन है/It is a function from (A) to (B)
Explanation
Simple Explanation
(A) के प्रत्येक तत्व की (B) में ठीक एक छवि है। परीक्षा में दूसरे घटक के दोहराने से फलन गलत नहीं होता। / Each element of (A) has exactly one image in (B). In exams, repetition of the second component does not make a function invalid.
A. क्योंकि (1) की दो अलग-अलग छवियां हैं/Because (1) has two different images
Explanation
Simple Explanation
किसी फलन में प्रांत के एक तत्व की दो अलग छवियां नहीं हो सकतीं। परीक्षा में समान पहले घटक को ध्यान से जांचें। / In a function, one domain element cannot have two different images. In exams, check repeated first components carefully.
A. क्योंकि (6) की कोई छवि नहीं है/Because (6) has no image
Explanation
Simple Explanation
फलन के लिए (A) के हर तत्व की ठीक एक छवि होनी चाहिए। परीक्षा में छूटा हुआ प्रांत तत्व तुरंत पहचानें। / For a function, every element of (A) must have exactly one image. In exams, identify a missing domain element quickly.
(A) के (2) तत्वों में से प्रत्येक के लिए (B) की (3) पसंद हैं इसलिए कुल \(3^2=9\) फलन हैं। परीक्षा में सूत्र (n(B)^{n(A)}) याद रखें। / Each of the (2) elements of (A) has (3) choices in (B), so total functions are \(3^2=9\). In exams, remember the formula (n(B)^{n(A)}).
यहां (n(A)=3) और (n(B)=2) है इसलिए कुल फलन \(2^3=8\) हैं। परीक्षा में आधार सहप्रांत के तत्वों की संख्या होती है। / Here (n(A)=3) and (n(B)=2), so total functions are \(2^3=8\). In exams, the base is the number of elements in the codomain.
(x=1,2,3) रखने पर छवियां (2,4,6) मिलती हैं। परीक्षा में परिसर केवल प्राप्त छवियों का समुच्चय होता है। / Putting (x=1,2,3) gives images (2,4,6). In exams, the range is only the set of actually obtained images.
(3) विषम है इसलिए उसकी छवि (1) होगी। परीक्षा में नियम को पहले पढ़ें फिर मान रखें। / (3) is odd, so its image is (1). In exams, read the rule first and then substitute the value.
A. यह फलन है और प्रत्येक तत्व की छवि (1) अधिक है/It is a function and each image is (1) more
Explanation
Simple Explanation
हर पहले घटक की ठीक एक छवि है और वह (x+1) है। परीक्षा में क्रमित युग्मों से नियम पहचानना उपयोगी होता है। / Every first component has exactly one image and it is (x+1). In exams, identifying the rule from ordered pairs is useful.
C. किसी \(a\in A\) की दो अलग छवियां हों/Some \(a\in A\) has two different images
Explanation
Simple Explanation
फलन में एक प्रांत तत्व को दो अलग छवियों से नहीं जोड़ा जा सकता। परीक्षा में यह सबसे सामान्य गलती होती है। / In a function, one domain element cannot be associated with two different images. This is the most common exam mistake.
विकल्प (A) में (A) के हर तत्व (1,2,3) की ठीक एक छवि है। परीक्षा में पहले घटकों की सूची को (A) से मिलाएं। / In option (A), every element (1,2,3) of (A) has exactly one image. In exams, match the list of first components with (A).
(g(0)=1), (g(1)=2) और (g(2)=5), इसलिए परिसर ({1,2,5}) है। परीक्षा में हर प्रांत तत्व पर नियम लगाएं। / (g(0)=1), (g(1)=2), and (g(2)=5), so the range is ({1,2,5}). In exams, apply the rule to every domain element.
प्रत्येक (x) के लिए \(y=x^2\) से केवल एक छवि मिलती है। दो अलग (x) की समान छवि होना फलन को गलत नहीं करता। / For each (x), \(y=x^2\) gives only one image. Two different (x) values having the same image does not invalidate a function.
(2) की दो छवियां (6) और (7) हैं। परीक्षा में दोहराए गए पहले घटक को तुरंत जांचें। / (2) has two images (6) and (7). In exams, check any repeated first component immediately.
परिसर अलग-अलग प्राप्त छवियों का समुच्चय है इसलिए ({1,2}) मिलेगा। परीक्षा में दोहराई छवियों को एक बार लिखें। / The range is the set of distinct obtained images, so it is ({1,2}). In exams, write repeated images only once.
(A) के (2) तत्वों के लिए (B) की (4) पसंद हैं इसलिए \(4^2=16\) फलन हैं। परीक्षा में घात प्रांत के तत्वों की संख्या होती है। / There are (4) choices for each of the (2) elements of (A), so there are \(4^2=16\) functions. In exams, the exponent is the number of domain elements.
स्थिर फलन में सभी तत्वों की एक ही छवि होती है और वह (B) के किसी एक तत्व से चुनी जाती है। इसलिए (2) स्थिर फलन हैं। / In a constant function, all elements have the same image, chosen from one element of (B). Therefore there are (2) constant functions.
\(1^2=1\), \(2^2=4\) और \(3^2=9\) हैं। परीक्षा में पहले घटक प्रांत से और दूसरा घटक छवि से आता है। / \(1^2=1\), \(2^2=4\), and \(3^2=9\). In exams, the first component comes from the domain and the second from the image.
\(f:A\to B\) में (A) प्रांत और (B) सहप्रांत होता है। परीक्षा में संकेत \(f:A\to B\) को ध्यान से पढ़ें। / In \(f:A\to B\), (A) is the domain and (B) is the codomain. In exams, read the notation \(f:A\to B\) carefully.
वास्तविक रूप से प्राप्त छवियों का समुच्चय परिसर कहलाता है। परीक्षा में परिसर हमेशा सहप्रांत का उपसमुच्चय होता है। / The set of actually obtained images is called the range. In exams, the range is always a subset of the codomain.
परिसर ({2,3,4}) है इसलिए (5) सहप्रांत में है पर परिसर में नहीं। परीक्षा में सहप्रांत और परिसर को अलग रखें। / The range is ({2,3,4}), so (5) is in the codomain but not in the range. In exams, keep codomain and range separate.
विकल्प (D) में (3) की दो छवियां (c) और (d) हैं तथा (4) की छवि नहीं है। परीक्षा में दोनों शर्तें जांचें। / In option (D), (3) has two images (c) and (d), and (4) has no image. In exams, check both conditions.
हर क्रमित युग्म में दूसरा घटक पहले घटक का (2) गुना है। परीक्षा में दो युग्मों से नियम जांचकर बाकी पर पुष्टि करें। / In every ordered pair, the second component is (2) times the first. In exams, test the rule on two pairs and confirm with the rest.
\(A\times B\) में \(3\times 2=6\) तत्व हैं इसलिए संबंधों की संख्या \(2^6=64\) है। परीक्षा में संबंध और फलन की गिनती अलग होती है। / \(A\times B\) has \(3\times 2=6\) elements, so the number of relations is \(2^6=64\). In exams, counting relations and functions is different.
फलनों की संख्या (n(B)^{n(A)}=23=8) है। परीक्षा में संबंधों की संख्या \(2^{n(A)n(B)}\) से भ्रम न करें। / The number of functions is (n(B)^{n(A)}=23=8). In exams, do not confuse it with the number of relations \(2^{n(A)n(B)}\).
B. (f) फलन है क्योंकि हर (x) की एक ही निश्चित छवि है/(f) is a function because every (x) has one definite image
Explanation
Simple Explanation
हर वास्तविक (x) के लिए \(x^2\) एक निश्चित वास्तविक संख्या देता है। समान छवि आना फलन की शर्त नहीं तोड़ता। / For every real (x), \(x^2\) gives one definite real number. Having the same image does not break the function condition.
A. क्योंकि ऋणात्मक (x) के लिए \(\sqrt{x}\) वास्तविक नहीं है/Because \(\sqrt{x}\) is not real for negative (x)
Explanation
Simple Explanation
यदि प्रांत \(\mathbb{R}\) है तो हर वास्तविक (x) की वास्तविक छवि चाहिए। ऋणात्मक (x) के कारण नियम पूरे प्रांत पर लागू नहीं होता। / If the domain is \(\mathbb{R}\), every real (x) must have a real image. Negative (x) values make the rule invalid on the whole domain.
A. (x=0) पर \(\frac{1}{x}\) परिभाषित नहीं है/\(\frac{1}{x}\) is not defined at (x=0)
Explanation
Simple Explanation
(x=0) प्रांत में है पर (f(0)) परिभाषित नहीं है। परीक्षा में हर नियम के अपवाद मान को जांचें। / (x=0) is in the domain but (f(0)) is not defined. In exams, check exceptional values of every rule.
A. क्योंकि (0) को प्रांत से हटा दिया गया है/Because (0) is removed from the domain
Explanation
Simple Explanation
प्रांत में (0) नहीं है और बाकी हर (x) के लिए \(\frac{1}{x}\) परिभाषित है। परीक्षा में प्रांत बदलने से फलन की वैधता बदल सकती है। / (0) is not in the domain, and \(\frac{1}{x}\) is defined for every remaining (x). In exams, changing the domain can change validity as a function.
A. क्योंकि (x=1) की दो छवियां (y=1) और (y=-1) हैं/Because (x=1) has two images (y=1) and (y=-1)
Explanation
Simple Explanation
\(y^2=1\) से (y=1) और (y=-1) दोनों मिलते हैं। परीक्षा में एक पहले घटक की एक से अधिक छवि होने पर फलन नहीं होता। / From \(y^2=1\), both (y=1) and (y=-1) are obtained. In exams, if one first component has more than one image, it is not a function.
A. यह फलन है क्योंकि दोहराया युग्म नया अलग चित्र नहीं देता/It is a function because the repeated pair does not give a new different image
Explanation
Simple Explanation
समान क्रमित युग्म को दोहराने से किसी तत्व की अलग छवि नहीं बनती। परीक्षा में अलग छवियों को देखें, केवल पुनरावृत्ति को नहीं। / Repeating the same ordered pair does not create a different image for an element. In exams, look for different images, not mere repetition.
क्योंकि \(2\le 2\), इसलिए (h(2)=0) होगा। परीक्षा में असमानता में बराबरी का चिन्ह ध्यान से देखें। / Because \(2\le 2\), (h(2)=0). In exams, watch the equality sign in inequalities carefully.
सम और विषम दोनों प्रकार के तत्व (A) में हैं इसलिए छवियां (0) और (1) दोनों मिलती हैं। परीक्षा में सभी प्रकार के प्रांत तत्व देखें। / Both even and odd elements are present in (A), so both images (0) and (1) occur. In exams, check all types of domain elements.
विकल्प (A) में (1) और (2) दोनों की ठीक एक छवि है। परीक्षा में उपसमुच्चय भी तभी फलन है जब पूरा प्रांत शामिल हो। / In option (A), both (1) and (2) have exactly one image. In exams, a subset is a function only when the whole domain is covered.
\(f(3)=2\times 3=6\), इसलिए ((3,8)) गलत है। परीक्षा में दिए गए युग्म को नियम से मिलाएं। / \(f(3)=2\times 3=6\), so ((3,8)) is wrong. In exams, match each given pair with the rule.
(f(a)=b) का अर्थ है कि (b), (a) की छवि है। परीक्षा में (a) को पूर्वछवि और (b) को छवि समझें। / (f(a)=b) means (b) is the image of (a). In exams, understand (a) as the preimage and (b) as the image.
(a), (b) की पूर्वछवि है क्योंकि (f) से (a) का मान (b) मिलता है। परीक्षा में छवि और पूर्वछवि को उल्टा न करें। / (a) is a preimage of (b) because applying (f) to (a) gives (b). In exams, do not reverse image and preimage.
सभी प्रांत तत्वों की छवि (a) है, इसलिए यह स्थिर फलन है। परीक्षा में सभी छवियां समान हों तो स्थिर फलन पहचानें। / All domain elements have image (a), so it is a constant function. In exams, identify a constant function when all images are the same.
(x=1,2,3) पर छवियां (1,2,3) ही हैं। परीक्षा में सहप्रांत का अतिरिक्त तत्व परिसर में जरूरी नहीं आता। / For (x=1,2,3), the images are (1,2,3). In exams, an extra element of the codomain need not belong to the range.
(f(0)=0+1=1) है। परीक्षा में (0) रखने पर भी नियम को सामान्य तरीके से लागू करें। / (f(0)=0+1=1). In exams, apply the rule normally even when substituting (0).
A. क्योंकि (1) की अलग छवि नहीं बदली है/Because (1) does not get a different image
Explanation
Simple Explanation
((1,2)) दोहराया गया है पर (1) की दूसरी अलग छवि नहीं है। परीक्षा में दोहराए युग्म और दो अलग छवियों में अंतर करें। / ((1,2)) is repeated, but (1) does not have another different image. In exams, distinguish a repeated pair from two different images.
हर प्रांत तत्व (1,2,3,4) की ठीक एक छवि है। छवि (3) का दो बार आना स्वीकार्य है। / Every domain element (1,2,3,4) has exactly one image. The image (3) appearing twice is allowed.
यदि \(A=\{1,2,3\}\), \(B=\{2,4,6\}\) और \(f=\{(1,2),(2,4),(3,6)\}\) हो, तो \(f^{-1}\) जैसा उल्टा संबंध ({(2,1),(4,2),(6,3)}) क्या (B) से (A) में फलन है?
A. हां क्योंकि (B) के हर तत्व की ठीक एक छवि है/Yes because every element of (B) has exactly one image
Explanation
Simple Explanation
उल्टे संबंध में (2,4,6) प्रत्येक की ठीक एक छवि है। परीक्षा में उल्टा संबंध तभी फलन होगा जब कोई दूसरा घटक दोहराकर अलग पूर्वछवि न दे। / In the reversed relation, each of (2,4,6) has exactly one image. In exams, the inverse relation is a function only when no second component repeats with different preimages.
A. क्योंकि (a) की दो छवियां (1) और (2) हैं/Because (a) has two images (1) and (2)
Explanation
Simple Explanation
उल्टे संबंध में (a) पहले घटक के रूप में दो अलग छवियों से जुड़ता है। परीक्षा में उल्टा करते समय दोहराए दूसरे घटक पर ध्यान दें। / In the reversed relation, (a) as a first component is associated with two different images. In exams, watch repeated second components when reversing.
सभी तत्वों की छवि (0) है इसलिए परिसर ({0}) है। परीक्षा में सहप्रांत में मौजूद पर अप्राप्त तत्व को परिसर में न लिखें। / All elements have image (0), so the range is ({0}). In exams, do not include an unattained codomain element in the range.
विकल्प (A) में अलग-अलग प्रांत तत्वों की छवियां भी अलग-अलग हैं। परीक्षा में एक-एक जांचते समय छवियों की पुनरावृत्ति देखें। / In option (A), different domain elements have different images. In exams, check repetition of images while testing one-one behavior.
परिसर ({1,4,9}) है और (16) प्राप्त नहीं होता। परीक्षा में पहले परिसर निकालें फिर सहप्रांत से तुलना करें। / The range is ({1,4,9}), and (16) is not obtained. In exams, first find the range and then compare it with the codomain.
फलन में (A) के हर (4) तत्व की ठीक एक छवि होनी चाहिए, इसलिए (4) युग्म चाहिए। परीक्षा में फलन के युग्मों की संख्या प्रांत के तत्वों के बराबर होती है। / A function must assign exactly one image to each of the (4) elements of (A), so (4) pairs are needed. In exams, the number of pairs in a function equals the number of domain elements.
(1,2,3,4) को (3) से भाग देने पर शेषफल क्रमशः (1,2,0,1) मिलते हैं, इसलिए परिसर ({0,1,2}) है। परीक्षा में परिसर में केवल अलग-अलग प्राप्त छवियां लिखें। / Dividing (1,2,3,4) by (3) gives remainders (1,2,0,1), so the range is ({0,1,2}). In exams, write only distinct obtained images in the range.
(f(-1)=1), (f(0)=0), (f(1)=1) और (f(2)=4), इसलिए परिसर ({0,1,4}) है। परीक्षा में दोहराई छवि को एक बार लिखें। / (f(-1)=1), (f(0)=0), (f(1)=1), and (f(2)=4), so the range is ({0,1,4}). In exams, write repeated images only once.
हर युग्म में दूसरा घटक पहले घटक से (1) अधिक है। परीक्षा में नियम पहचानने के लिए सभी युग्मों पर एक ही पैटर्न जांचें। / In every pair, the second component is (1) more than the first. In exams, test one common pattern on all pairs.
(f(2)=2+2=4), इसलिए ((2,3)) इस फलन में नहीं होगा। परीक्षा में हर युग्म को नियम से मिलाएं। / (f(2)=2+2=4), so ((2,3)) will not be in this function. In exams, match each pair with the rule.
हर (A) के तत्व के लिए (B) की (2) पसंद हैं, इसलिए कुल \(2^3=8\) फलन हैं। परीक्षा में सूत्र (n(B)^{n(A)}) लगाएं। / Each element of (A) has (2) choices in (B), so total functions are \(2^3=8\). In exams, use (n(B)^{n(A)}).
A. क्योंकि (2) की दो अलग छवियां हैं/Because (2) has two different images
Explanation
Simple Explanation
(2) को (q) और (r) दोनों से जोड़ा गया है, इसलिए यह फलन नहीं है। परीक्षा में दोहराए पहले घटक की अलग छवियां देखें। / (2) is associated with both (q) and (r), so it is not a function. In exams, check different images of a repeated first component.
(4) सम है, इसलिए (f(4)=0) होगा। परीक्षा में पीसवाइज नियम में शर्त पहले पहचानें। / (4) is even, so (f(4)=0). In exams, identify the condition first in a piecewise rule.
फलन में प्रांत (A) के हर तत्व की ठीक एक छवि होती है, इसलिए युग्मों की संख्या (3) होगी। परीक्षा में फलन के युग्म प्रांत के तत्वों के बराबर होते हैं। / A function assigns exactly one image to every element of domain (A), so it will have (3) pairs. In exams, pairs in a function equal the number of domain elements.
परिसर ({1,4,9}) है, इसलिए (16) सहप्रांत में है पर परिसर में नहीं। परीक्षा में सहप्रांत और परिसर को अलग रखें। / The range is ({1,4,9}), so (16) is in the codomain but not in the range. In exams, keep codomain and range separate.
सभी प्रांत तत्वों की छवि (a) है, इसलिए यह स्थिर फलन है। परीक्षा में समान छवि आने से फलन गलत नहीं होता। / All domain elements have image (a), so it is a constant function. In exams, the same image does not make a function invalid.
A. यह फलन है क्योंकि हर (x) की ठीक एक छवि है/It is a function because every (x) has exactly one image
Explanation
Simple Explanation
हर वास्तविक (x) के लिए (|x|) एक निश्चित वास्तविक मान देता है। दो अलग इनपुट की समान छवि होना फलन को गलत नहीं करता। / For every real (x), (|x|) gives one definite real value. Two different inputs having the same image does not invalidate a function.
A. क्योंकि (x=2) पर हर (0) हो जाता है/Because the denominator becomes (0) at (x=2)
Explanation
Simple Explanation
(x=2) प्रांत में है पर (f(2)) परिभाषित नहीं है। परीक्षा में हर भिन्न में हर शून्य करने वाले मान खोजें। / (x=2) is in the domain but (f(2)) is not defined. In exams, find values that make the denominator zero.
A. क्योंकि (x=2) को प्रांत से हटाया गया है/Because (x=2) is removed from the domain
Explanation
Simple Explanation
जिस मान पर हर (0) होता था, उसे प्रांत से हटाने पर हर शेष (x) की एक छवि है। परीक्षा में प्रांत बदलने से नियम वैध हो सकता है। / After removing the value that made the denominator (0), every remaining (x) has one image. In exams, changing the domain can make a rule valid.
(3) की दो अलग छवियां (6) और (4) हैं। परीक्षा में एक प्रांत तत्व की दो छवियां मिलें तो संबंध फलन नहीं है। / (3) has two different images (6) and (4). In exams, if one domain element has two images, the relation is not a function.
(A) में विषम और सम दोनों प्रकार के तत्व हैं, इसलिए छवियां (1) और (0) दोनों मिलती हैं। परीक्षा में परिसर में केवल प्राप्त मान रखें। / (A) has both odd and even elements, so both images (1) and (0) are obtained. In exams, put only obtained values in the range.
\(A\times B\) में \(2\times 3=6\) युग्म हैं, इसलिए संबंधों की संख्या \(2^6=64\) है। परीक्षा में संबंध की गिनती उपसमुच्चयों से होती है। / \(A\times B\) has \(2\times 3=6\) pairs, so the number of relations is \(2^6=64\). In exams, relations are counted as subsets.
प्रांत के (2) तत्वों के लिए सहप्रांत की (3) पसंद हैं, इसलिए कुल \(3^2=9\) फलन हैं। परीक्षा में फलन और संबंध की संख्या अलग रखें। / For (2) domain elements, there are (3) codomain choices each, so total functions are \(3^2=9\). In exams, keep the counts of functions and relations separate.
उल्टे संबंध में हर पहले घटक (2,4,6) की ठीक एक छवि है। परीक्षा में उल्टा संबंध भी अलग से फलन शर्त से जांचें। / In the reversed relation, each first component (2,4,6) has exactly one image. In exams, test the inverse relation separately by the function condition.
(x=0,1,2,3) रखने पर छवियां (1,2,3,4) मिलती हैं। परीक्षा में परिसर निकालते समय हर प्रांत तत्व पर नियम लगाएं। / Substituting (x=0,1,2,3) gives images (1,2,3,4). In exams, apply the rule to every domain element while finding range.
A. क्योंकि (2) की कोई छवि नहीं है/Because (2) has no image
Explanation
Simple Explanation
फलन में (A) के हर तत्व की ठीक एक छवि होनी चाहिए, पर (2) छूट गया है। परीक्षा में पहले घटकों को पूरे प्रांत से मिलाएं। / Every element of (A) must have exactly one image in a function, but (2) is missing. In exams, compare first components with the whole domain.
क्योंकि \(2\le 2\), इसलिए (f(2)=1) है। परीक्षा में \(\le\) और (<) के अंतर को ध्यान से देखें। / Because \(2\le 2\), (f(2)=1). In exams, watch the difference between \(\le\) and (<).
क्योंकि \(2\ge 2\), इसलिए (f(2)=2) है। परीक्षा में सीमा बिंदु किस शर्त में आता है यह जांचें। / Because \(2\ge 2\), (f(2)=2). In exams, check which condition contains the boundary point.
विकल्प (A) में (1,2,3) सभी की ठीक एक छवि है। परीक्षा में हर प्रांत तत्व का आना जरूरी है। / In option (A), all (1,2,3) have exactly one image. In exams, every domain element must appear.
(f(a)=b) में (a) पूर्वछवि और (b) छवि कहलाता है। परीक्षा में इन दोनों शब्दों को उल्टा न करें। / In (f(a)=b), (a) is called the preimage and (b) is called the image. In exams, do not reverse these two terms.
(b), (a) की छवि है क्योंकि (a) पर (f) लगाने से (b) मिलता है। परीक्षा में (f(a)) को आउटपुट समझें। / (b) is the image of (a) because applying (f) to (a) gives (b). In exams, understand (f(a)) as the output.
प्रांत पहले घटकों का समुच्चय है, इसलिए ({1,2,3,4}) है। परीक्षा में क्रमित युग्मों के पहले घटक देखें। / The domain is the set of first components, so it is ({1,2,3,4}). In exams, look at the first components of ordered pairs.
परिसर अलग-अलग दूसरे घटकों का समुच्चय है, इसलिए ({3,5}) है। परीक्षा में दोहराए मान को समुच्चय में एक बार लिखें। / The range is the set of distinct second components, so it is ({3,5}). In exams, write a repeated value once in a set.
(1,2,3) को (2) से भाग देने पर शेषफल (1,0,1) हैं। इसलिए परिसर ({0,1}) है। / Dividing (1,2,3) by (2) gives remainders (1,0,1). Therefore the range is ({0,1}).
परिसर ({4,9,16}) है, इसलिए (25) प्राप्त नहीं होता। परीक्षा में सहप्रांत का हर तत्व जरूरी नहीं कि परिसर हो। / The range is ({4,9,16}), so (25) is not obtained. In exams, every codomain element need not be in the range.
(x=1,2,3,4) रखने पर छवियां (4,3,2,1) मिलती हैं। परीक्षा में हर इनपुट का आउटपुट क्रम से लिखें। / Putting (x=1,2,3,4) gives images (4,3,2,1). In exams, write the output of each input in order.
(f(1)=1), (f(2)=3) और (f(3)=5) हैं। परीक्षा में परिसर केवल प्राप्त छवियों का समुच्चय है। / (f(1)=1), (f(2)=3), and (f(3)=5). In exams, the range is only the set of obtained images.
स्थिर फलन में सभी प्रांत तत्वों की छवि (B) के किसी एक तत्व पर जाती है। इसलिए स्थिर फलनों की संख्या (4) है। / In a constant function, all domain elements map to one chosen element of (B). Therefore the number of constant functions is (4).
दूसरे घटक (u,v,w) सभी प्राप्त छवियां हैं। परीक्षा में परिसर दूसरे घटकों का समुच्चय होता है। / The second components (u,v,w) are all obtained images. In exams, the range is the set of second components.
विकल्प (A) में (3) की कोई छवि नहीं है। परीक्षा में फलन के लिए पूरा प्रांत कवर होना चाहिए। / In option (A), (3) has no image. In exams, the whole domain must be covered for a function.
(x=1,2,3) रखने पर (y=4,5,6) मिलता है। परीक्षा में सेट-बिल्डर नियम को युग्मों में बदलकर जांचें। / Putting (x=1,2,3) gives (y=4,5,6). In exams, convert set-builder rules into pairs for checking.
A. क्योंकि (x=1) की दो छवियां (1) और (-1) हैं/Because (x=1) has two images (1) and (-1)
Explanation
Simple Explanation
\(y^2=1\) से (y=1) और (y=-1) दोनों मिलते हैं। परीक्षा में एक इनपुट की दो छवियां मिलें तो फलन नहीं होता। / From \(y^2=1\), both (y=1) and (y=-1) are obtained. In exams, if one input has two images, it is not a function.
A. यह (A) से (B) में फलन है/It is a function from (A) to (B)
Explanation
Simple Explanation
प्रत्येक \(x\in A\) के लिए \(x^2\in B\) और छवि ठीक एक है। परीक्षा में नियम की छवियां सहप्रांत में हैं या नहीं, यह देखें। / For every \(x\in A\), \(x^2\in B\) and the image is exactly one. In exams, check whether the rule's images lie in the codomain.
\(2^1=2\), \(2^2=4\) और \(2^3=8\), इसलिए परिसर ({2,4,8}) है। परीक्षा में घातीय नियम में हर इनपुट रखें। / \(2^1=2\), \(2^2=4\), and \(2^3=8\), so the range is ({2,4,8}). In exams, substitute every input in an exponential rule.
A. क्योंकि (f(1)=-1) है और \(-1\notin{0,1,2}\)/Because (f(1)=-1) and \(-1\notin{0,1,2}\)
Explanation
Simple Explanation
(f(1)=-1) सहप्रांत (B) में नहीं है, इसलिए यह (A) से (B) में फलन नहीं होगा। परीक्षा में आउटपुट सहप्रांत में होना चाहिए। / (f(1)=-1) is not in codomain (B), so it is not a function from (A) to (B). In exams, every output must lie in the codomain.
(f(2)=0), (f(3)=1) और (f(4)=2), इसलिए परिसर ({0,1,2}) है। परीक्षा में डोमेन बदलने से परिसर भी बदलता है। / (f(2)=0), (f(3)=1), and (f(4)=2), so the range is ({0,1,2}). In exams, changing the domain changes the range too.
विकल्प (A) में अलग-अलग प्रांत तत्वों की छवियां अलग-अलग हैं। परीक्षा में एक-एक फलन के लिए छवियों की पुनरावृत्ति न हो। / In option (A), different domain elements have different images. In exams, for a one-one function, images should not repeat.
A. (d) सहप्रांत में है पर परिसर में नहीं/(d) is in the codomain but not in the range
Explanation
Simple Explanation
(d) सहप्रांत (B) का तत्व है पर कोई प्रांत तत्व उस पर नहीं जा रहा। परीक्षा में सहप्रांत में अतिरिक्त तत्व हो सकते हैं। / (d) is an element of codomain (B), but no domain element maps to it. In exams, the codomain may contain extra elements.
(A) के (4) तत्वों के लिए (B) की (2) पसंद हैं, इसलिए \(2^4=16\) फलन हैं। परीक्षा में आधार सहप्रांत की संख्या होती है। / There are (2) choices from (B) for each of the (4) elements of (A), so there are \(2^4=16\) functions. In exams, the base is the size of the codomain.
\(A\times B\) में \(4\times 2=8\) युग्म हैं, इसलिए कुल संबंध \(2^8=256\) हैं। परीक्षा में संबंधों के लिए कार्टेशियन गुणनफल के उपसमुच्चय गिनें। / \(A\times B\) has \(4\times 2=8\) pairs, so total relations are \(2^8=256\). In exams, count subsets of the Cartesian product for relations.
A. (f) फलन है और इसका परिसर ({0,1,4}) है/(f) is a function and its range is ({0,1,4})
Explanation
Simple Explanation
हर प्रांत तत्व की ठीक एक छवि है और छवियां ({0,1,4}) हैं। परीक्षा में प्रांत और परिसर को अलग-अलग पहचानें। / Every domain element has exactly one image and the images are ({0,1,4}). In exams, identify domain and range separately.
A. (12) सहप्रांत में है पर परिसर में नहीं/(12) is in the codomain but not in the range
Explanation
Simple Explanation
(f(1),f(2),f(3)) से (3,6,9) मिलते हैं, (12) नहीं। परीक्षा में अप्राप्त सहप्रांत तत्व को परिसर में न रखें। / (f(1),f(2),f(3)) give (3,6,9), not (12). In exams, do not put an unattained codomain element in the range.
हर प्रांत तत्व (0) या (1) में से किसी एक पर जा सकता है, इसलिए प्रत्येक के लिए (2) पसंद हैं। परीक्षा में कुल गिनती के लिए इन पसंदों को गुणा करें। / Each domain element can map to either (0) or (1), so there are (2) choices for each. In exams, multiply these choices for the total count.
प्रांत (A) में केवल (3) की छवि नहीं है, इसलिए ((3,5)) जोड़ने से हर तत्व की ठीक एक छवि हो जाएगी। परीक्षा में पहले छूटे हुए प्रांत तत्व को पहचानें। / Only (3) in domain (A) has no image, so adding ((3,5)) gives every element exactly one image. In exams, first identify the missing domain element.
A. यह (A) से (B) में फलन है/It is a function from (A) to (B)
Explanation
Simple Explanation
प्रांत (A) के प्रत्येक तत्व की ठीक एक छवि है। परीक्षा में समान छवि दोहरना फलन को गलत नहीं करता। / Each element of domain (A) has exactly one image. In exams, repetition of the same image does not make a function invalid.
A. क्योंकि (3) की कोई छवि नहीं है/Because (3) has no image
Explanation
Simple Explanation
फलन में प्रांत के हर तत्व की ठीक एक छवि होनी चाहिए पर (3) छूट गया है। परीक्षा में पहले घटकों को पूरे प्रांत से मिलाएं। / In a function every domain element must have exactly one image but (3) is missing. In exams, compare first components with the whole domain.
(2) की दो अलग छवियां (6) और (7) हैं। परीक्षा में एक ही पहले घटक की अलग छवियां तुरंत जांचें। / (2) has two different images (6) and (7). In exams, immediately check different images of the same first component.
हर प्रांत तत्व के लिए (B) की (4) पसंद हैं इसलिए कुल \(4^3=64\) फलन हैं। परीक्षा में सूत्र (n(B)^{n(A)}) लगाएं। / Each domain element has (4) choices in (B), so total functions are \(4^3=64\). In exams, use (n(B)^{n(A)}).
स्थिर फलन में सभी प्रांत तत्व (B) के एक ही चुने हुए तत्व पर जाते हैं। इसलिए स्थिर फलनों की संख्या (3) है। / In a constant function all domain elements map to one chosen element of (B). Therefore the number of constant functions is (3).
\(A\times B\) में \(3\times 4=12\) युग्म हैं इसलिए संबंध \(2^{12}=4096\) होंगे। परीक्षा में संबंध उपसमुच्चयों से गिने जाते हैं। / \(A\times B\) has \(3\times 4=12\) pairs, so relations are \(2^{12}=4096\). In exams, relations are counted as subsets.
(x=0,1,2,3) रखने पर छवियां (3,4,5,6) मिलती हैं। परीक्षा में परिसर निकालने के लिए सभी प्रांत मान रखें। / Putting (x=0,1,2,3) gives images (3,4,5,6). In exams, substitute all domain values to find the range.
प्रांत क्रमित युग्मों के पहले घटकों का समुच्चय है। इसलिए प्रांत ({2,4,6,8}) है। / The domain is the set of first components of ordered pairs. Therefore the domain is ({2,4,6,8}).
परिसर अलग-अलग प्राप्त दूसरे घटकों का समुच्चय है। इसलिए (4) को एक बार लिखकर ({4,5,6}) मिलेगा। / The range is the set of distinct obtained second components. So writing (4) once gives ({4,5,6}).
केवल (3) की छवि गायब है इसलिए ((3,1)) जोड़ना सही है। परीक्षा में छूटे प्रांत तत्व को पहले पहचानें। / Only the image of (3) is missing, so adding ((3,1)) is correct. In exams, first identify the missing domain element.
(2) की दो छवियां हैं और ((2,c)) हटाने पर हर पहले घटक की ठीक एक छवि रह जाएगी। परीक्षा में दोहराए पहले घटक से एक युग्म हटाएं। / (2) has two images and after removing ((2,c)) every first component has exactly one image. In exams, remove one pair from the repeated first component.
A. हर पहले घटक की ठीक एक छवि है/Every first component has exactly one image
Explanation
Simple Explanation
उल्टे संबंध में (3,5,7) में से प्रत्येक की ठीक एक छवि है। परीक्षा में उल्टा संबंध भी फलन शर्त से अलग जांचें। / In the reversed relation, each of (3,5,7) has exactly one image. In exams, test the reversed relation separately by the function condition.
A. क्योंकि (p) की दो छवियां (1) और (2) हैं/Because (p) has two images (1) and (2)
Explanation
Simple Explanation
उल्टे संबंध में (p) पहले घटक के रूप में दो अलग छवियों से जुड़ा है। परीक्षा में उल्टा करते समय दोहराए दूसरे घटक पर ध्यान दें। / In the reversed relation, (p) as a first component is linked to two different images. In exams, watch repeated second components while reversing.
A. क्योंकि (x<1) पर \(\sqrt{x-1}\) वास्तविक नहीं है/Because \(\sqrt{x-1}\) is not real for (x<1)
Explanation
Simple Explanation
प्रांत \(\mathbb{R}\) है पर (x<1) के लिए वास्तविक छवि नहीं मिलती। परीक्षा में वर्गमूल के अंदर का मान ऋणात्मक न हो यह जांचें। / The domain is \(\mathbb{R}\), but no real image is obtained for (x<1). In exams, check that the expression inside a square root is not negative.
A. क्योंकि (x=-3) पर हर (0) हो जाता है/Because the denominator becomes (0) at (x=-3)
Explanation
Simple Explanation
(x=-3) प्रांत में है पर (f(-3)) परिभाषित नहीं है। परीक्षा में भिन्न में हर को (0) बनाने वाले मान खोजें। / (x=-3) is in the domain but (f(-3)) is not defined. In exams, find values that make the denominator (0).
A. क्योंकि (x=-3) को प्रांत से हटा दिया गया है/Because (x=-3) is removed from the domain
Explanation
Simple Explanation
अब हर प्रांत तत्व के लिए \(\frac{1}{x+3}\) परिभाषित है और एक ही मान देता है। परीक्षा में प्रांत बदलने से नियम वैध हो सकता है। / Now \(\frac{1}{x+3}\) is defined for every domain element and gives one value. In exams, changing the domain can make a rule valid.
क्योंकि \(3\ge 3\), इसलिए (h(3)=1) होगा। परीक्षा में सीमा मान किस शर्त में आता है यह देखें। / Because \(3\ge 3\), (h(3)=1). In exams, check which condition contains the boundary value.
(2,3,4,5) के शेषफल क्रमशः (2,0,1,2) हैं इसलिए परिसर ({0,1,2}) है। परीक्षा में केवल अलग-अलग छवियां लिखें। / The remainders of (2,3,4,5) are (2,0,1,2), so the range is ({0,1,2}). In exams, write only distinct images.
(x=0,1,2) रखने पर (y=1,3,5) मिलता है। परीक्षा में सेट-बिल्डर रूप को युग्मों में बदलें। / Putting (x=0,1,2) gives (y=1,3,5). In exams, convert set-builder form into ordered pairs.
A. क्योंकि (f(3)=4) और \(4\notin{1,2,3}\)/Because (f(3)=4) and \(4\notin{1,2,3}\)
Explanation
Simple Explanation
(3) की छवि (4) आती है जो सहप्रांत में नहीं है। परीक्षा में हर आउटपुट सहप्रांत में है या नहीं जांचें। / The image of (3) is (4), which is not in the codomain. In exams, check whether every output lies in the codomain.
(f(1)=2), (f(2)=5) और (f(3)=10) हैं। परीक्षा में सहप्रांत में सभी संभावित छवियां शामिल होनी चाहिए। / (f(1)=2), (f(2)=5), and (f(3)=10). In exams, the codomain must contain all possible images.
A. यह फलन है क्योंकि हर \(x\in\mathbb{Z}\) की एक निश्चित छवि है/It is a function because every \(x\in\mathbb{Z}\) has one definite image
Explanation
Simple Explanation
हर पूर्णांक (x) के लिए \(x^2\) एक निश्चित पूर्णांक देता है। समान छवि आना फलन की शर्त नहीं तोड़ता। / For every integer (x), \(x^2\) gives one definite integer. Having the same image does not break the function condition.
दो अलग तत्वों की एक ही छवि आ रही है इसलिए यह अनेक-एक प्रकार का फलन है। परीक्षा में समान छवि स्वीकार्य होती है। / Two different elements have the same image, so it is a many-one type function. In exams, the same image is allowed.
विकल्प (A) में अलग-अलग प्रांत तत्वों की छवियां भी अलग-अलग हैं। परीक्षा में एक-एक फलन के लिए छवियों की पुनरावृत्ति न हो। / In option (A), different domain elements have different images. In exams, images should not repeat for a one-one function.
हर प्रांत तत्व की छवि (7) है इसलिए परिसर ({7}) है। परीक्षा में अप्राप्त सहप्रांत तत्व को परिसर में न लिखें। / Every domain element has image (7), so the range is ({7}). In exams, do not write an unattained codomain element in the range.
(f(a)=b) में (a) पूर्वछवि और (b) छवि है। परीक्षा में इन दोनों शब्दों को उल्टा न करें। / In (f(a)=b), (a) is the preimage and (b) is the image. In exams, do not reverse these two terms.
(f(5)=12) का अर्थ है कि (12), (5) की छवि है। परीक्षा में (f(x)) आउटपुट को दर्शाता है। / (f(5)=12) means (12) is the image of (5). In exams, (f(x)) represents the output.
A. (8) सहप्रांत में है पर परिसर में नहीं/(8) is in the codomain but not in the range
Explanation
Simple Explanation
छवियां (2,4,6) हैं इसलिए (8) प्राप्त नहीं होता। परीक्षा में सहप्रांत और परिसर का अंतर स्पष्ट रखें। / The images are (2,4,6), so (8) is not obtained. In exams, keep the difference between codomain and range clear.
प्रत्येक प्रांत तत्व (B) के (2) तत्वों में से किसी एक पर जा सकता है। परीक्षा में कुल फलनों के लिए इन पसंदों को गुणा करें। / Each domain element can map to one of the (2) elements of (B). In exams, multiply these choices to count total functions.
(f(3)=32=9), इसलिए ((3,6)) गलत युग्म है। परीक्षा में युग्म को दिए गए नियम से जांचें। / (f(3)=32=9), so ((3,6)) is an incorrect pair. In exams, check the pair by the given rule.
\(1^3=1\), \(2^3=8\) और \(3^3=27\) हैं। परीक्षा में पहला घटक इनपुट और दूसरा घटक आउटपुट होता है। / \(1^3=1\), \(2^3=8\), and \(3^3=27\). In exams, the first component is the input and the second is the output.
A. (5) सहप्रांत में है पर परिसर में नहीं/(5) is in the codomain but not in the range
Explanation
Simple Explanation
परिसर ({2,3,4}) है इसलिए (5) प्राप्त नहीं होता। परीक्षा में सहप्रांत का हर तत्व परिसर में हो यह जरूरी नहीं है। / The range is ({2,3,4}), so (5) is not obtained. In exams, every element of the codomain need not be in the range.
विकल्प (A) में (1) को (a) और (b) दोनों से जोड़ा गया है। परीक्षा में समान पहले घटक के दो अलग दूसरे घटक खोजें। / In option (A), (1) is associated with both (a) and (b). In exams, look for the same first component with two different second components.
विकल्प (A) में (4) के लिए कोई युग्म नहीं है। परीक्षा में फलन के लिए हर प्रांत तत्व शामिल होना चाहिए। / In option (A), there is no pair for (4). In exams, every domain element must be included for a function.
(4) अभाज्य नहीं है इसलिए (f(4)=0) है। परीक्षा में नियम की शर्त को पहले पहचानें। / (4) is not prime, so (f(4)=0). In exams, identify the condition in the rule first.
(2) और (3) से (1) मिलता है तथा (1) और (4) से (0) मिलता है। परीक्षा में परिसर में प्राप्त अलग-अलग मान लिखें। / (2) and (3) give (1), while (1) and (4) give (0). In exams, write distinct obtained values in the range.
A. क्योंकि प्रांत के हर तत्व की ठीक एक छवि होती है/Because every domain element has exactly one image
Explanation
Simple Explanation
फलन संबंध है पर इसमें प्रत्येक प्रांत तत्व ठीक एक छवि से जुड़ता है। परीक्षा में याद रखें कि हर संबंध फलन नहीं होता। / A function is a relation in which every domain element is associated with exactly one image. In exams, remember that every relation is not a function.
विकल्प (A) में (1) और (2) दोनों की ठीक एक छवि है। परीक्षा में उपसमुच्चय को फलन कहने से पहले पूरा प्रांत जांचें। / In option (A), both (1) and (2) have exactly one image. In exams, check the whole domain before calling a subset a function.
(f(2)=4) है इसलिए (4) की पूर्वछवि (2) है। परीक्षा में पूर्वछवि खोजने के लिए आउटपुट से इनपुट पहचानें। / (f(2)=4), so the preimage of (4) is (2). In exams, identify the input from the output to find a preimage.
\(3^2=9\) इसलिए (9) की पूर्वछवि (3) है। परीक्षा में छवि से संबंधित प्रांत तत्व खोजें। / \(3^2=9\), so the preimage of (9) is (3). In exams, find the domain element associated with the image.
प्रांत में (4) नहीं है इसलिए (16) प्राप्त नहीं होता। परीक्षा में पूर्वछवि केवल प्रांत से ही ली जाती है। / (4) is not in the domain, so (16) is not obtained. In exams, a preimage must come from the domain only.
A. (f) फलन है और परिसर ({2,4,6}) है/(f) is a function and the range is ({2,4,6})
Explanation
Simple Explanation
हर प्रांत तत्व की ठीक एक छवि है और छवियां (2,4,6) हैं। परीक्षा में फलन और परिसर दोनों को नियम से जांचें। / Every domain element has exactly one image and the images are (2,4,6). In exams, check both function validity and range using the rule.
(x=1,2,3,4) पर छवियां (4,3,2,1) मिलती हैं। इसलिए परिसर ({1,2,3,4}) है। / For (x=1,2,3,4), the images are (4,3,2,1). Therefore the range is ({1,2,3,4}).
विकल्प (A) में हर प्रांत तत्व की एक छवि है पर (1) और (2) दोनों की छवि (a) है। परीक्षा में फलन और एक-एक की जांच अलग करें। / In option (A), every domain element has one image, but (1) and (2) both have image (a). In exams, test function and one-one separately.
A. यह फलन है क्योंकि दोहराया युग्म अलग छवि नहीं देता/It is a function because the repeated pair does not give a different image
Explanation
Simple Explanation
समान युग्म दोहराने से कोई नई अलग छवि नहीं बनती। परीक्षा में दोहराए युग्म और अलग छवि में अंतर करें। / Repeating the same pair does not create a new different image. In exams, distinguish between a repeated pair and a different image.
(A) में सम और विषम दोनों तत्व हैं इसलिए दोनों छवियां (0) और (1) प्राप्त होती हैं। परीक्षा में सभी प्रकार के इनपुट जांचें। / (A) contains both even and odd elements, so both images (0) and (1) are obtained. In exams, check all types of inputs.
फलन में प्रांत के हर तत्व के लिए ठीक एक युग्म होता है इसलिए युग्मों की संख्या (3) होगी। परीक्षा में फलन के युग्म प्रांत के तत्वों के बराबर होते हैं। / A function has exactly one pair for every domain element, so the number of pairs will be (3). In exams, pairs in a function equal the number of domain elements.
(|-2|=2), (|-1|=1), (|0|=0), (|1|=1) और (|2|=2), इसलिए परिसर ({0,1,2}) है। परीक्षा में परिसर में केवल अलग-अलग प्राप्त छवियां लिखें। / The values are (|-2|=2), (|-1|=1), (|0|=0), (|1|=1), and (|2|=2), so the range is ({0,1,2}). In exams, write only distinct obtained images in the range.
