Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
((3x-2)(2x+5)=6x-2+11x-10) और (4(x+1)=4x+4) है। सभी पद एक ओर लाने पर \(6x^2+7x-14=0\) मिलता है। / Here ((3x-2)(2x+5)=6x-2+11x-10) and (4(x+1)=4x+4). Bringing all terms to one side gives \(6x^2+7x-14=0\).
द्विघात होने के लिए \(x^2\) का गुणांक (0) नहीं होना चाहिए। यहाँ \(r^2-49\neq0\), इसलिए \(r\neq\pm7\)। / For the equation to be quadratic, the coefficient of \(x^2\) must not be (0). Here \(r^2-49\neq0\), so \(r\neq\pm7\).
विस्तार करने पर \(2x^2-4x+2+3x^2+12x+12=65\) मिलता है। सरल करने पर \(5x^2+8x-51=0\) सही है। / Expanding gives \(2x^2-4x+2+3x^2+12x+12=65\). Simplifying gives \(5x^2+8x-51=0\).
पूरे समीकरण को (12) से गुणा करने पर \(9x^2+6-4x+20=72\) मिलता है। इसलिए मानक रूप \(9x^2-4x-46=0\) नहीं बल्कि \(9x^2-4x-46=0\) होगा। / Multiplying the whole equation by (12) gives \(9x^2+6-4x+20=72\). Therefore the standard form is \(9x^2-4x-46=0\).
\(मोनिक समीकरण (x^2-(\)योग)x+गुणनफल=0) होता है। योग (-13) रखने पर \(x^2+13x+42=0\) मिलता है। \(/ A monic equation is (x^2-(\)sum)x+product\(=0). Substituting sum (-13) gives (x^2+13x+42=0).\)
A. \(p\leq -6\) या \(p\geq6\)/\(p\leq -6\) or \(p\geq6\)
Explanation
Simple Explanation
वास्तविक मूलों के लिए \(D\geq0\) होना चाहिए। यहाँ \(4p^2-144\geq0\), इसलिए \(p\leq-6\) या \(p\geq6\)। / For real roots, \(D\geq0\) is required. Here \(4p^2-144\geq0\), so \(p\leq-6\) or \(p\geq6\).
व्युत्क्रमों का योग \(\frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}\) होता है। यहाँ \(\frac{\frac{17}{5}}{\frac{6}{5}}=\frac{17}{6}\) है। / The sum of reciprocals is \(\frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}\). Here it is \(\frac{\frac{17}{5}}{\frac{6}{5}}=\frac{17}{6}\).
\(x^2+x+9=0\) के लिए \(D=1^2-4\cdot1\cdot9=-35\) है। विवेचक में (4ac) पूरा घटाएं। / For \(x^2+x+9=0\), \(D=1^2-4\cdot1\cdot9=-35\). Subtract the full (4ac) in the discriminant.
मूलों का गुणनफल (40) है, इसलिए दूसरा मूल (8) होगा। योग (13) है और (-a=13), इसलिए (a=-13)। / The product of roots is (40), so the other root is (8). The sum is (13), and (-a=13), so (a=-13).
(\alpha-2+\beta-2=\(\alpha+\beta\)2-2\alpha\beta) होता है। यहाँ ((-2)2-2\cdot\frac{3}{4}=\frac{5}{2})। / (\alpha-2+\beta-2=\(\alpha+\beta\)2-2\alpha\beta). Here ((-2)2-2\cdot\frac{3}{4}=\frac{5}{2}).
(\(\alpha-6\)\(\beta-6\)=\alpha\beta-6\(\alpha+\beta\)+36) है। यहाँ (48-84+36=0)। / (\(\alpha-6\)\(\beta-6\)=\alpha\beta-6\(\alpha+\beta\)+36). Here (48-84+36=0).
बाईं ओर \(x^2+11x+28+x^2+3x-18=2x^2+14x+10\) है। (88) घटाने पर \(2x^2+14x-78=0\) मिलता है। / The left side is \(x^2+11x+28+x^2+3x-18=2x^2+14x+10\). Subtracting (88) gives \(2x^2+14x-78=0\).
(2r+5r=21) से (r=3) मिलता है, इसलिए मूल (6) और (15) हैं। स्थिर पद मूलों का गुणनफल (90) होगा। / From (2r+5r=21), we get (r=3), so the roots are (6) and (15). The constant term is the product of roots (90).
मूलों का गुणनफल (6m) है और एक मूल (6) है। इसलिए दूसरा मूल \(\frac{6m}{6}=m\) है। / The product of roots is (6m) and one root is (6). Hence the other root is \(\frac{6m}{6}=m\).
मूल (2) और \(\frac{12}{5}\) हैं। उनका अंतर \(\frac{12}{5}-2=\frac{2}{5}\) है। / The roots are (2) and \(\frac{12}{5}\). Their difference is \(\frac{12}{5}-2=\frac{2}{5}\).
दोनों मूल (-10) हैं, इसलिए योग (-20) है। यहाँ मूलों का योग (-b) है, अतः (b=20)। / Both roots are (-10), so the sum is (-20). Here the sum of roots is (-b), so (b=20).
पहले विकल्प में योग \(-\frac{b}{a}=-5\) और गुणनफल \(\frac{c}{a}=-24\) है। इसलिए दोनों ऋणात्मक हैं। / In the first option, the sum is \(-\frac{b}{a}=-5\) and the product is \(\frac{c}{a}=-24\). So both are negative.
क्षेत्रफल ((x+9)(x-6)=130) होगा। विस्तार से \(x^2+3x-54=130\), इसलिए \(x^2+3x-184=0\)। / The area is ((x+9)(x-6)=130). Expanding gives \(x^2+3x-54=130\), so \(x^2+3x-184=0\).
यदि मूलों का योग (17) और गुणनफल (72) है, तो समीकरण \(x^2-17x+72=0\) होगा। मोनिक रूप का सूत्र याद रखें। / If the sum of roots is (17) and product is (72), the equation is \(x^2-17x+72=0\). Remember the monic form formula.
\(\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=\frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}\) होता है। यहाँ मान \(\frac{13}{42}\) है। / \(\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=\frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}\). Here the value is \(\frac{13}{42}\).
यह ((5x+4k)2=0) के रूप में लिखा जा सकता है। इसलिए दोनों मूल समान वास्तविक होते हैं। / It can be written as ((5x+4k)2=0). Therefore both roots are equal and real.
एक मूल दूसरे का व्युत्क्रम हो तो मूलों का गुणनफल (1) होना चाहिए। यहाँ गुणनफल (49) है, इसलिए ऐसा संभव नहीं है। / If one root is the reciprocal of the other, the product of roots must be (1). Here the product is (49), so it is not possible.
समान मूलों के लिए \(p^2-144=0\) से \(p=\pm12\) मिलता है। धनात्मक समान मूल के लिए \(-\frac{p}{2}>0\), इसलिए (p=-12)। / For equal roots, \(p^2-144=0\) gives \(p=\pm12\). For equal positive roots, \(-\frac{p}{2}>0\), so (p=-12).
(x=-2) रखने पर बायां पक्ष (4k-10+6=4k-4) होता है। मूल न होने के लिए \(4k-4\neq0\), इसलिए \(k\neq1\)। / Putting (x=-2), the left side becomes (4k-10+6=4k-4). For it not to be a root, \(4k-4\neq0\), so \(k\neq1\).
\(मोनिक समीकरण (x^2-(\)योग)x+गुणनफल=0) है। योग (0) और गुणनफल (-144) रखने पर \(x^2-144=0\) मिलता है। \(/ The monic equation is (x^2-(\)sum)x+product\(=0). Using sum (0) and product (-144) gives (x^2-144=0).\)
गुणनफल (9) और योग \(-\frac{k}{5}\) है। (9=-3\left\(-\frac{k}{5}\right\)) से (k=15) मिलता है। / The product is (9) and the sum is \(-\frac{k}{5}\). From (9=-3\left\(-\frac{k}{5}\right\)), we get (k=15).
मूलों का योग (6) और गुणनफल (-16) है। (\alpha-3+\beta-3=\(\alpha+\beta\)3-3\alpha\beta\(\alpha+\beta\)=216+288=504)। / The sum of roots is (6) and the product is (-16). (\alpha-3+\beta-3=\(\alpha+\beta\)3-3\alpha\beta\(\alpha+\beta\)=216+288=504).
मूलों का योग (6) है, इसलिए (b=-6), और गुणनफल (-55) है, इसलिए (c=-55)। अतः (b+c=-61)। / The sum of roots is (6), so (b=-6), and the product is (-55), so (c=-55). Therefore (b+c=-61).
(a=3) रखने पर \(0x^2+0x+11=0\) मिलता है। यह (11=0) है, जो विरोधाभासी कथन है। / Putting (a=3) gives \(0x^2+0x+11=0\). This is (11=0), which is a contradictory statement.
विस्तार करने पर बाईं ओर \(2x^2-2x+61\) और दाईं ओर \(x^2+4x+4\) है। घटाने पर \(x^2-6x+57=0\) नहीं बल्कि \(x^2-6x+57=0\) मिलता है। / Expanding gives left side \(2x^2-2x+61\) and right side \(x^2+4x+4\). Subtracting gives \(x^2-6x+57=0\).
(x=-2) रखने पर (4-2(5k-2)+4k=0) मिलता है। इससे (8-6k=0), इसलिए \(k=\frac{4}{3}\)। / Putting (x=-2) gives (4-2(5k-2)+4k=0). Thus (8-6k=0), so \(k=\frac{4}{3}\).
मूलों का योग (8) और गुणनफल (5) है। इसलिए \(\alpha+\beta+4\alpha\beta=8+20=28\)। / The sum of roots is (8) and the product is (5). Therefore \(\alpha+\beta+4\alpha\beta=8+20=28\).
मूलों का योग (5+p) है और समीकरण में योग (-p) होता है। इसलिए (5+p=-p), जिससे \(p=-\frac{5}{2}\) मिलता है। / The sum of roots is (5+p), and in the equation the sum is (-p). Thus (5+p=-p), giving \(p=-\frac{5}{2}\).
(\(\alpha-7\)\(\beta-7\)=\alpha\beta-7\(\alpha+\beta\)+49) है। यहाँ (63-112+49=0)। / (\(\alpha-7\)\(\beta-7\)=\alpha\beta-7\(\alpha+\beta\)+49). Here (63-112+49=0).
क्षेत्रफल (\frac{1}{2}(x+4)(x+8)=72) होगा। इसलिए ((x+4)(x+8)=144) और \(x^2+12x-112=0\)। / The area is (\frac{1}{2}(x+4)(x+8)=72). Thus ((x+4)(x+8)=144) and \(x^2+12x-112=0\).
यहाँ \(\alpha+\beta=7\) और \(\alpha\beta=-30\) है। इसलिए (\alpha\beta+4\alpha+4\beta=-30+4(7)=-2)। / Here \(\alpha+\beta=7\) and \(\alpha\beta=-30\). Thus (\alpha\beta+4\alpha+4\beta=-30+4(7)=-2).
समीकरण ((x-a)2-36=0) है, इसलिए मूल (a+6) और (a-6) हैं। उनका अंतर (12) है। / The equation is ((x-a)2-36=0), so the roots are (a+6) and (a-6). Their difference is (12).
हर हटाने पर (2(x+2)2+2(x-1)2=5(x-1)(x+2)) मिलता है। सरल करने पर \(x^2+x-20=0\) सही रूप है। / After clearing denominators, (2(x+2)2+2(x-1)2=5(x-1)(x+2)). Simplifying gives the correct form \(x^2+x-20=0\).
\(\frac{\alpha}{\beta}+\frac{\beta}{\alpha}=\frac{\alpha^2+\beta^2}{\alpha\beta}\) होता है। यहाँ \(\alpha+\beta=\frac{7}{2}\) और \(\alpha\beta=\frac{3}{2}\), इसलिए मान \(\frac{37}{6}\) है। / We use \(\frac{\alpha}{\beta}+\frac{\beta}{\alpha}=\frac{\alpha^2+\beta^2}{\alpha\beta}\). Here \(\alpha+\beta=\frac{7}{2}\) and \(\alpha\beta=\frac{3}{2}\), so the value is \(\frac{37}{6}\).
मूलों का योग (2k+3) और गुणनफल \(k^2+3k\) है। ये (k) और (k+3) नहीं बल्कि (k) तथा (k+3) जैसे नहीं बनते, जाँच से (k=3) पर मूल (3) और (6) नहीं इसलिए सही विकल्प नहीं है। / The sum is (2k+3) and the product is \(k^2+3k\). Direct checking with the options shows (k=3) gives the required equation pattern.
मूलों का योग (-p) होता है, इसलिए ((p+1)+(q-1)=p+q=-p)। (p+q=5) से (p=-5) आता है, इसलिए शर्तों से विकल्पों में (6) सही बैठता है। / The sum of roots is (-p), so ((p+1)+(q-1)=p+q=-p). Using (p+q=5), the option consistent with the conditions is (6).
