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घात (4) के लिए \(x^5\) का गुणांक (0) और \(x^4\) का गुणांक अशून्य चाहिए। (m=-2) पर दोनों शर्तें पूरी होती हैं। / For degree (4), the coefficient of \(x^5\) must be (0) and the coefficient of \(x^4\) must be non-zero. Both conditions hold for (m=-2).
(p(1)=k-2+5-4=k-1), इसलिए (k-1=7) और (k=8)। मान रखने के बाद सरल समीकरण बनाएं। / (p(1)=k-2+5-4=k-1), so (k-1=7) and (k=8). Substitute first and then form a simple equation.
(x) के गुणांक (2) और (-6) हैं, इसलिए योग (-4) है। समान घात के गुणांक ही जोड़ें। / The coefficients of (x) are (2) and (-6), so the sum is (-4). Add coefficients of like powers only.
\(x^4\) के पद कट जाते हैं और सबसे बड़ी बची घात (3) है। जोड़ के बाद घात दोबारा जांचना जरूरी है। / The \(x^4\)-terms cancel and the highest remaining power is (3). Recheck the degree after addition.
दो अशून्य बहुपदों के गुणन में घातें जुड़ती हैं, इसलिए (5+2=7)। गुणन में घातों का योग याद रखें। / In the product of two non-zero polynomials, degrees add, so (5+2=7). Remember degree addition in multiplication.
((2x-1)\(x^2-3x+4\)=2x-3-7x-2+11x-4), इसलिए गुणांक (-7) है। विस्तार के बाद समान पद मिलाएं। / ((2x-1)\(x^2-3x+4\)=2x-3-7x-2+11x-4), so the coefficient is (-7). Combine like terms after expansion.
(p(-2)=4-2k-8=0), इसलिए (-2k=4) और (k=-2)। शून्य दिए होने पर बहुपद का मान (0) रखें। / (p(-2)=4-2k-8=0), so (-2k=4) and (k=-2). When a zero is given, set the polynomial value equal to (0).
(p(1)=1-5+m+8=m+4), इसलिए (m=-4)। दिए गए मान को रखकर समीकरण हल करें। / (p(1)=1-5+m+8=m+4), so (m=-4). Substitute the given value and solve the equation.
शून्य (2) और (4) हैं, इसलिए बहुपद ((x-2)(x-4)=x-2-6x+8) है। अतः (a+b=-6+8=2)। / The zeros are (2) and (4), so the polynomial is ((x-2)(x-4)=x-2-6x+8). Hence (a+b=-6+8=2).
शून्य (-1) और (5) होने पर बहुपद ((x+1)(x-5)=x-2-4x-5) है। इसलिए (b=-5)। / With zeros (-1) and (5), the polynomial is ((x+1)(x-5)=x-2-4x-5). Hence (b=-5).
\(x^4\) और \(x^3\) के पद हट जाते हैं, लेकिन \(c\ne0\) से \(x^2\) पद बचता है। इसलिए घात (2) है। / The \(x^4\)- and \(x^3\)-terms vanish, but \(c\ne0\) keeps the \(x^2\)-term. So the degree is (2).
गुणांकों का योग (3+k-7+2=k-2) है, इसलिए (k-2=5) और (k=7)। गुणांकों का योग (p(1)) होता है। / The sum of coefficients is (3+k-7+2=k-2), so (k-2=5) and (k=7). The sum of coefficients is (p(1)).
विषम घातों \(x^5\), \(x^3\) और (x) के गुणांक (5), (2) और (-1) हैं। उनका योग (6) है। / The coefficients of odd powers \(x^5\), \(x^3\), and (x) are (5), (2), and (-1). Their sum is (6).
अचर पद केवल ((-2)(-1)=2) से आता है। अचर पद के लिए अचर भागों का गुणन देखें। / The constant term comes only from ((-2)(-1)=2). For the constant term, multiply the constant parts.
((x+6)2-(x-2)2=((x+6)-(x-2))((x+6)+(x-2))=8(2x+4)=16x+32)। अंतर के वर्ग की पहचान लगाएं। / ((x+6)2-(x-2)2=((x+6)-(x-2))((x+6)+(x-2))=8(2x+4)=16x+32). Use the difference of squares identity.
शर्तों से (1+a+b=6) और (-1-a+b=-4) मिलते हैं। इन्हें हल करने पर (a=4) मिलता है। / The conditions give (1+a+b=6) and (-1-a+b=-4). Solving them gives (a=4).
(p(0)=s=-3) और (p(1)=2+r-3=4), इसलिए (r=5)। पहले (x=0) से अचर पद निकालें। / (p(0)=s=-3) and (p(1)=2+r-3=4), so (r=5). First use (x=0) to find the constant term.
अचर बहुपद के लिए (n-2=0) और (n+1=0) दोनों चाहिए, जो साथ संभव नहीं हैं। सभी चर वाले पद हटने चाहिए। / For a constant polynomial, both (n-2=0) and (n+1=0) are needed, which is impossible together. All variable terms must vanish.
(p(4)=18) और (p(-2)=-6), इसलिए (p(4)-p(-2)=24)। घटाने से पहले दोनों मान अलग निकालें। / (p(4)=18) and (p(-2)=-6), so (p(4)-p(-2)=24). Find both values separately before subtracting.
(p(-3)=(-3)3+27=-27+27=0)। शून्य सिद्ध करने के लिए सही मान को सही जगह रखें। / (p(-3)=(-3)3+27=-27+27=0). To prove a zero, substitute the correct value in the correct place.
(p(0)=c=7) और (p(1)=3+b+7=2), इसलिए (b=-8)। (x=0) अचर पद तुरंत देता है। / (p(0)=c=7) and (p(1)=3+b+7=2), so (b=-8). (x=0) gives the constant term directly.
(p(3)=0) और (p(4)=0), इसलिए योग (0) है। दोनों मान इस बहुपद के शून्य हैं। / (p(3)=0) and (p(4)=0), so the sum is (0). Both values are zeros of this polynomial.
(9x-2+12x+4=(3x+2)2), इसलिए शून्य \(x=-\frac{2}{3}\) है। पूर्ण वर्ग पहचानें। / (9x-2+12x+4=(3x+2)2), so the zero is \(x=-\frac{2}{3}\). Recognize the perfect square.
(p(1)=0) से (a+b=-13) सीधे मिलता है। दूसरी शर्त संगति जांचती है लेकिन पूछे गए योग के लिए पहली शर्त पर्याप्त है। / From (p(1)=0), we directly get (a+b=-13). The second condition checks consistency, but the first is enough for the asked sum.
(p(1)=0) से (a+b=5) और (p(2)=0) से (2a+b=-1), इसलिए (a=-6) नहीं बल्कि (a=-6) आता है। विकल्पों में कोई सही नहीं है। / (p(1)=0) gives (a+b=5) and (p(2)=0) gives (2a+b=-1), so (a=-6). None of the listed choices is correct.
यह \(a^2-b^2\) की पहचान है, इसलिए (\(x^2\)2-42=x-4-16)। पहचान से विस्तार तेज होता है। / This is the identity \(a^2-b^2\), so (\(x^2\)2-42=x-4-16). Identities make expansion faster.
\(x^3\) का पद अनुपस्थित है, इसलिए उसका गुणांक (0) है। अनुपस्थित पद को \(0x^3\) मानें। / The \(x^3\)-term is missing, so its coefficient is (0). Treat the missing term as \(0x^3\).
घात (3) के लिए \(x^4\) का गुणांक (0) चाहिए और \(x^3\) का गुणांक अशून्य चाहिए। (m=0) पर (m+2=2) है। / For degree (3), the coefficient of \(x^4\) must be (0) and the coefficient of \(x^3\) must be non-zero. For (m=0), (m+2=2).
(p(-x)=4x-2+3x+2), इसलिए योग \(8x^2+4\) है। (-x) रखने पर विषम घात वाले पद का संकेत बदलता है। / (p(-x)=4x-2+3x+2), so the sum is \(8x^2+4\). Odd-power terms change signs when (-x) is substituted.
(p(-2)=0) और (p(2)=0), इसलिए योग (0) है। विपरीत मानों पर संकेतों को सावधानी से रखें। / (p(-2)=0) and (p(2)=0), so the sum is (0). Handle signs carefully for opposite inputs.
(x-2-8x+17=(x-4)2+1), इसलिए न्यूनतम (x=4) पर आता है। वर्ग पूर्ण करना उपयोगी तरीका है। / (x-2-8x+17=(x-4)2+1), so the minimum occurs at (x=4). Completing the square is useful.
(x-2+10x+29=(x+5)2+4), इसलिए न्यूनतम मान (4) है। वर्ग पद कभी ऋणात्मक नहीं होता। / (x-2+10x+29=(x+5)2+4), so the minimum value is (4). A square term is never negative.
(x-2+kx+16=(x-4)2) होने पर (k=-8)। पूर्ण वर्ग में मध्य पद (2ab) होता है। / For (x-2+kx+16=(x-4)2), (k=-8). In a perfect square, the middle term is (2ab).
यह ((x+1)3) है, इसलिए (p(-2)=(-1)3=-1)। पहचान पहचानने से गणना कम होती है। / It is ((x+1)3), so (p(-2)=(-1)3=-1). Recognizing identities reduces calculation.
(p(1)=1-2-3+4=0) और (p(-1)=-1-2+3+4=4), इसलिए गुणनफल (0) है। पहले दोनों मान निकालें। / (p(1)=1-2-3+4=0) and (p(-1)=-1-2+3+4=4), so the product is (0). Find both values first.
(p(2)=0) और (p(-2)=-16), इसलिए (p(2)-p(-2)=16)। घटाते समय दूसरे मान का संकेत बदलता है। / (p(2)=0) and (p(-2)=-16), so (p(2)-p(-2)=16). While subtracting, the sign of the second value changes.
(p(0)=q=-8) और (p(4)=16+4p-8=0), इसलिए (4p=-8) और (p=-2)। पहले अचर पद निकालें। / (p(0)=q=-8) and (p(4)=16+4p-8=0), so (4p=-8) and (p=-2). Find the constant term first.
(p(0)=b) होता है, इसलिए (p(0)=0) से (b=0) निश्चित है। बाकी निष्कर्ष जरूरी नहीं हैं। / (p(0)=b), so (p(0)=0) certainly gives (b=0). The other conclusions are not necessary.
(x=0) रखने पर \(3x^3-2x=0\) मिलता है। (x=0) को शून्य बनाने के लिए अचर पद (0) होना चाहिए। / Substituting (x=0) in \(3x^3-2x\) gives (0). To make (x=0) a zero, the constant term must be (0).
शर्तों से (2a+b=2) और (3a+b=-5) मिलते हैं, इसलिए (a=-7), (b=16) और (a+b=9)। दो मान दिए हों तो दो समीकरण बनाएं। / The conditions give (2a+b=2) and (3a+b=-5), so (a=-7), (b=16), and (a+b=9). When two values are given, form two equations.
(\(x^2-4\)2=x-4-8x-2+16), इसलिए (m=-8)। वर्ग पहचान में मध्य पद (2ab) को ध्यान से निकालें। / (\(x^2-4\)2=x-4-8x-2+16), so (m=-8). In a square identity, find the middle term (2ab) carefully.
(p(x+2)=2(x+2)2-5(x+2)+3=2x-2+3x+1), इसलिए अंतर (8x+2) है। पूरे (x+2) को सही जगह रखें। / (p(x+2)=2(x+2)2-5(x+2)+3=2x-2+3x+1), so the difference is (8x+2). Substitute the whole (x+2) correctly.
