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A. दो भिन्न अपरिमेय वास्तविक शून्यक/Two distinct irrational real zeroes
Explanation
Simple Explanation
विविक्तकर (D=36-16=20) है, इसलिए शून्यक \(3\pm\sqrt{5}\) हैं। (D) पूर्ण वर्ग न हो तो वास्तविक शून्यक अपरिमेय हो सकते हैं। / The discriminant is (D=36-16=20), so the zeroes are \(3\pm\sqrt{5}\). If (D) is not a perfect square, real zeroes can be irrational.
शून्यकों का योग (10) और गुणनफल (19) है। अतः \(\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=\frac{10}{19}\)। / The sum of zeroes is (10) and the product is (19). Hence \(\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=\frac{10}{19}\).
\((x^2-6x+7)\) के लिए विच्छेदक (discriminant) है \(D=b^2-4ac=36-28=8\)। \(D\) धनात्मक है पर पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए शून्यक \(3\pm\sqrt{2}\) होंगे — अपरिमेय और एक-दूसरे के संयुग्मी। गुणांक (1, −6, 7) सभी परिमेय हैं। नज़दीकी विकर्षक क्यों गलत हैं: \((x^2-\sqrt{2}x+1)\) में गुणांक परिमेय नहीं हैं (\(\sqrt{2}\) मौजूद है); \((x^2-4x+4)\) का discriminant 0 है — शून्यक पुनरावर्ती और परिमेय (2); \((x^2+1)\) का discriminant नकारात्मक है और शून्यक काल्पनिक (\(\pm i\)) हैं। परीक्षा-सुझाव: वर्गीय बहुपद के लिए पहले गुणांकों की परिमेयता जाँचें और फिर discriminant की जाँच करें — धनात्मक और पूर्ण वर्ग न होने पर अपरिमेय संयुग्मी शून्यक मिलते हैं। / For \((x^2-6x+7)\) the discriminant is \(D=b^2-4ac=36-28=8\). Since \(D>0\) and not a perfect square, the roots are \(3\pm\sqrt{2}\) — irrational and conjugate. The coefficients (1, −6, 7) are rational. Why other choices are wrong: \((x^2-\sqrt{2}x+1)\) has an irrational coefficient (so coefficients are not all rational); \((x^2-4x+4)\) has \(D=0\) giving a repeated rational root 2; \((x^2+1)\) has \(D<0\) giving purely imaginary roots. Exam tip: check coefficient rationality first, then compute the discriminant — irrational conjugate real roots occur when discriminant is positive but not a perfect square.
योग \(2-\sqrt{5}\) है, इसलिए (x) का गुणांक (-\(2-\sqrt{5}\)=\sqrt{5}-2) है। गुणनफल \(-2\sqrt{5}\) भी सही है। / The sum is \(2-\sqrt{5}\), so the coefficient of (x) is (-\(2-\sqrt{5}\)=\sqrt{5}-2). The product \(-2\sqrt{5}\) also matches.
मानक रूप में किसी एकवर्ती (monic) द्विघात का रूप \(x^2-Sx+P\) होता है जहाँ \(S\) शून्यकों का योग और \(P\) उनका गुणनफल होता है। यहाँ \(S=5\sqrt{2}\) और \(P=12\) हैं, अतः बहुपद \(x^2-5\sqrt{2}x+12\) होगा। विकल्प B में अलग साइन \(+5\sqrt{2}\) होने से उस बहुपद के शून्यकों का योग \(-5\sqrt{2}\) होगा — इसलिए गलत। विकल्प C और D दोनों में दी गई संख्याएँ (योग या गुणनफल) दी गई शर्तों से मेल नहीं खातीं; इसलिए वे भी गलत हैं। परीक्षा-सुझाव: मोनिक द्विघात के लिए सीधे \(x^2-(\text{sum})x+(\text{product})\) का प्रयोग करें और चिन्हों (signs) का ध्यान रखें। / For a monic quadratic the relation is \(x^2-Sx+P\), where \(S\) is the sum of the roots and \(P\) their product. With \(S=5\sqrt{2}\) and \(P=12\) the polynomial is \(x^2-5\sqrt{2}x+12\). Option B has the wrong sign on the linear term; for \(x^2+5\sqrt{2}x+12\) the sum of roots would be \(-5\sqrt{2}\), not \(+5\sqrt{2}\). Options C and D do not match the given sum and product either. Exam tip: Use \(x^2-(\text{sum})x+(\text{product})\) for monic quadratics and double-check signs of coefficients.
दो शून्यक दिए होने पर हम द्विघात बहुपद मान सकते हैं। अग्रगुणांक 1 (monic) होने पर स्थिर पद शून्यकों के गुणनफल के बराबर होता है। गणना: \((2\sqrt{2})(3\sqrt{2})=2\times3\times(\sqrt{2}\times\sqrt{2})=6\times2=12\)。 विकल्प C (\(6\sqrt{2}\)) गलत है क्योंकि वहाँ \(\sqrt{2}\times\sqrt{2}=2\) को शामिल नहीं किया गया। परीक्षा टिप: सामान्यतः एक मोनिक (leading coefficient = 1) डिग्री \(n\) बहुपद का स्थिर पद = \((-1)^n\)×(सभी शून्यकों का गुणनफल) होता है; द्विघात के लिए यह सीधे शून्यकों का गुणनफल है। / With two zeros we treat the polynomial as a quadratic. For a monic polynomial (leading coefficient 1) the constant term equals the product of the zeros. Compute: \((2\sqrt{2})(3\sqrt{2})=2\cdot3\cdot(\sqrt{2}\cdot\sqrt{2})=6\cdot2=12\). Option C (\(6\sqrt{2}\)) is a common mistake where the factor \(\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=2\) was not applied. Exam tip: For a monic polynomial of degree \(n\), the constant term = \((-1)^n\) times the product of the roots; for quadratics this equals the product directly.
सामान्य द्विघात बहुपद \(ax^2+bx+c\) में शून्यकों (zeros) का गुणनफल \(\dfrac{c}{a}\) होता है। यहाँ \(a=1\) और \(c=-2\) है, अतः गुणनफल \(\dfrac{-2}{1}=-2\) होगा। विकल्प B (2) गलत है क्योंकि उसने संकेत उल्टा लिया है; विकल्प C (-1) और D (4) भी संख्यात्मक रूप से गलत हैं। परिक्षा युक्ति: क्वांटिटी सीधे \(c/a\) से निकालें और संकेत पर खास ध्यान दें। / For a quadratic \(ax^2+bx+c\) the product of the zeroes equals \(\dfrac{c}{a}\). Here \(a=1\) and \(c=-2\), so the product is \(\dfrac{-2}{1}=-2\). Option B (2) is incorrect due to wrong sign; options C (-1) and D (4) are numerically incorrect. Exam tip: remember product = \(c/a\) and always check the sign of \(c\).
यदि किसी बहुपद P(x) के लिए P(a)=0 होता है तो a उस बहुपद की शून्यक (root) होता है। \(x^2-3\) में \(x=\sqrt{3}\) रखने पर मान होता है \((\sqrt{3})^2-3=3-3=0\), इसलिए यह शून्यक देता है। निकटतम भ्रमित करने वाला विकल्प \(x^2-6x+9\) है क्योंकि यह \((x-3)^2\) है जिसका शून्यक \(3\) है, पर \(\sqrt{3}\) नहीं। परीक्षात्मक सुझाव: जल्दी जाँच के लिए मूल्य प्रत्यक्ष स्थापित कर लें या बहुपदों को गुणनखंड में विभाजित कर मूल पता करें। / A polynomial P(x) has a root a if P(a)=0. Substituting \(x=\sqrt{3}\) into \(x^2-3\) gives \((\sqrt{3})^2-3=3-3=0\), so \(x^2-3\) has \(\sqrt{3}\) as a root. A tempting distractor \(x^2-6x+9\) equals \((x-3)^2\) and has root 3, not \(\sqrt{3}\). Quick exam tip: either substitute the value directly or factor the polynomial to spot the roots.
यदि बहुपद के गुणांक परिमेय हैं और एक शून्यक \\(4+\sqrt{11}\\) है, तो इसके सम्मिलित (conjugate) शून्यक \\(4-\sqrt{11}\\) होगा। इसलिए शून्यकों का योग \\((4+\sqrt{11})+(4-\sqrt{11})=8\\) है। विकल्प C (\\(2\sqrt{11}\\)) गलत है क्योंकि वर्गमूल वाले पद एक-दूसरे को रद्द कर देते हैं; विकल्प B और D अनुचित घटाना/त्रुटिपूर्ण सरलीकरण के परिणाम हैं। परीक्षा-सुझाव: परिमेय गुणांकों वाले बहुपद के लिए किसी भी अवकलनीय वर्गमूलात्मक शून्यक का सम्मिलित शून्यक भी होगा — इससे तुरंत जोड़ या गुणनफल पता किया जा सकता है। / With rational coefficients, an irrational root containing a square root has its conjugate as the other root. If one zero is \\(4+\sqrt{11}\\), the other is \\(4-\sqrt{11}\\). Their sum is \\((4+\sqrt{11})+(4-\sqrt{11})=8\\). Option C (\\(2\sqrt{11}\\)) mistakes combining the radicals instead of canceling them; options B and D come from incorrect arithmetic. Exam tip: use the conjugate-root property or Vieta’s formula (sum = \(-b/a\)) to find the sum quickly.
यदि दिए गए शून्य हों \,\alpha=\sqrt{2}+\sqrt{3} और \,\beta=\sqrt{2}-\sqrt{3}, तो उनका योग \(\alpha+\beta=2\sqrt{2}\) और गुणनफल \(\alpha\beta=(\sqrt{2})^2-(\sqrt{3})^2=2-3=-1\) होगा। किसी द्विघात बहुपद के लिए रूप \(x^2-(\text{योग})x+\text{गुणनफल}\) है, अतः बहुपद \(x^2-2\sqrt{2}\,x-1\) बनेगा — विकल्प A। विकल्प B में रैखिक पद का चिह्न उल्टा है इसलिए योग गलत है; विकल्प C में रैखिक गुणांक \(2\sqrt{3}\) वास्तविक योग से मेल नहीं खाता; विकल्प D के शून्य ±\(\sqrt{5}\) होंगे, जो दिए गए नहीं हैं। परीक्षा-सुझाव: जब जड़ें अल्जेब्रिक रूप में दिए हों तो पहले उनका योग और गुणनफल निकालकर सीधे \(x^2-(\text{sum})x+\text{product}\) बनाने की आदत डालें। / Let the roots be \(\alpha=\sqrt{2}+\sqrt{3}\) and \(\beta=\sqrt{2}-\sqrt{3}\). Then \(\alpha+\beta=2\sqrt{2}\) and \(\alpha\beta=(\sqrt{2})^2-(\sqrt{3})^2=2-3=-1\). For a quadratic with these roots use \(x^2-(\text{sum})x+\text{product}\), giving \(x^2-2\sqrt{2}\,x-1\) (option A). Option B has the wrong sign on the linear term, so its sum of roots would be \(-2\sqrt{2}\); option C uses \(2\sqrt{3}\) which does not match the actual sum; option D equals \(0\) at ±\(\sqrt{5}\), not the given irrational roots. Exam tip: compute sum and product of the given roots first — this directly yields the required quadratic polynomial.
C. दो भिन्न अपरिमेय शून्यक/Two distinct irrational zeroes
Explanation
Simple Explanation
सरल रूप \(x^2-4x+2\) है और (D=16-8=8) है। (8) पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए शून्यक अपरिमेय हैं। / The simplified form is \(x^2-4x+2\), and (D=16-8=8). Since (8) is not a perfect square, the zeroes are irrational.
दो शून्यकों का योग है \((1+\sqrt{2})+(1-\sqrt{2})=2\) और गुणनफल है \((1+\sqrt{2})(1-\sqrt{2})=1-2=-1\)। एक एकाई-अगुणाकार द्विघात बहुपद जिसका शून्यक \(\alpha\) और \(\beta\) हों, होता है \(x^2-(\alpha+\beta)x+\alpha\beta\)। इसलिए बहुपद है \(x^2-2x-1\)। नज़दीकी विचलन \(x^2+2x-1\) का योग \(-2\) देता है (इसलिए उसकी जड़ें \(-1\pm\sqrt{2}\) होंगी), और \(x^2-2x+1=(x-1)^2\) तथा \(x^2+x-2\) का योग-गुणनफल मूल स्थितियों से पृथक हैं। परीक्षा-सुझाव: जब द्विघात बनाना हो तो पहले जड़ों का योग और गुणनफल शीघ्र निकालें और फ़ॉर्मूला \(x^2-(\text{sum})x+(\text{product})\) प्रयोग करें। / The sum of the roots is \((1+\sqrt{2})+(1-\sqrt{2})=2\) and the product is \((1+\sqrt{2})(1-\sqrt{2})=1-2=-1\). For a monic quadratic with roots \(\alpha\) and \(\beta\) the polynomial is \(x^2-(\alpha+\beta)x+\alpha\beta\). Thus the required polynomial is \(x^2-2x-1\). Closest distractor \(x^2+2x-1\) has sum \(-2\) (roots \(-1\pm\sqrt{2}\)), so it does not match; \(x^2-2x+1=(x-1)^2\) has a double root 1, and \(x^2+x-2\) has different sum/product. Exam tip: compute sum and product of given roots first, then plug into \(x^2-(\text{sum})x+(\text{product})\).
A. दोनों शून्यक \(\sqrt{5}\) हैं/Both zeroes are \(\sqrt{5}\)
Explanation
Simple Explanation
यह द्विघात बहुपद पूर्ण वर्ग के रूप में लिखा जा सकता है: \(x^2-2\sqrt{5}x+5=(x-\sqrt{5})^2\)। इसलिए गुणनखंड के दोनों रूप एक जैसे हैं और शून्यक दोहरा है, अर्थात् दोनों शून्यक \(\sqrt{5}\) ही हैं। निकटतम विक्षेप (option C) गलत इसलिए कि बहुपद का भिन्न-भिन्न शून्यक नहीं है; विकल्प D भी गलत क्योंकि वास्तविक शून्यक मौजूद हैं। परीक्षा-सुझाव: द्विघात का द्विघातम (discriminant) \(b^2-4ac\) निकालें — यदि शून्य आए तो पुनरावर्ती शून्यक मिलेगा। / The quadratic factors as \(x^2-2\sqrt{5}x+5=(x-\sqrt{5})^2\). Hence the root \(\sqrt{5}\) has multiplicity two and both zeroes equal \(\sqrt{5}\). The closest distractor (option C) is wrong because the polynomial does not have two distinct roots; option D is wrong because the discriminant is zero, so a real repeated root exists. Exam tip: compute the discriminant \(b^2-4ac\); if it equals zero, the quadratic has a repeated real root.
दो शून्यकों का योग \((2+\sqrt{3})+(2-\sqrt{3})=4\) होता है। सामान्य द्विघात \(x^2-kx+1\) में Vieta के अनुसार शून्यकों का योग \(k\) के बराबर होता है (कारक a=1 और गुणांक b=-k से)। इसलिए \(k=4\)। जाँच के लिए उनका गुणनफल \((2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})=4-3=1\) है, जो स्थिर पद से मेल खाता है। परीक्षा युक्ति: यदि शून्यक रूप \(a\pm\sqrt{b}\) हों तो उनका योग \(2a\) होता है — सीधे जोड़ कर देखें। / The sum of the roots is \((2+\sqrt{3})+(2-\sqrt{3})=4\). For the quadratic \(x^2-kx+1\), by Vieta the sum of roots equals \(k\) (since coefficient of x is \(-k\)). Hence \(k=4\). As a consistency check, the product is \((2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})=1\), matching the constant term. Exam tip: for conjugate roots of the form \(a\pm\sqrt{b}\), the sum is \(2a\); use Vieta quickly to identify coefficients.
C. दो भिन्न अपरिमेय शून्यक/Two distinct irrational zeroes
Explanation
Simple Explanation
विविक्तकर (D=36-16=20) है और (20) पूर्ण वर्ग नहीं है। इसलिए शून्यक वास्तविक भिन्न और अपरिमेय हैं। / The discriminant is (D=36-16=20), and (20) is not a perfect square. So the zeroes are real, distinct, and irrational.
कोई भी बिंदु जो \(x\)-अक्ष पर होता है उसकी \(y\)-मान शून्य होती है। इसलिए असली निणर्य के लिए \(p(x)=0\) रखें: \(x^2-11x+30=0\)। इसे गुणनखंडों में लिखने पर \(x^2-11x+30=(x-5)(x-6)\) मिलता है, अतः शून्यताएँ \(x=5\) और \(x=6\) हैं। इसलिए ग्राफ \(x\)-अक्ष को \((5,0)\) और \((6,0)\) पर काटेगा। निकटतम विकर्षक (उदा. विकल्प B) साइन बदलने की गलती है; विकल्प C वे बिंदु हैं जहाँ ग्राफ \(y\)-अक्ष को काटेगा और विकल्प D केवल गुणांक हैं, शून्य नहीं। परीक्षा-सुझाव: हमेशा पहले \(p(x)=0\) रखकर गुणनखंड करके जड़ें खोजें; यदि गुणनखंड कठिन हो तो द्विघात सूत्र का प्रयोग करें। / Points on the x-axis have y-coordinate zero, so set \(p(x)=0\): \(x^2-11x+30=0\). Factorising gives \(x^2-11x+30=(x-5)(x-6)\), so the roots are \(x=5\) and \(x=6\). Thus the graph meets the x-axis at (5,0) and (6,0). The closest distractor (B) has the signs reversed; option C lists y-axis intercepts, and option D confuses coefficients with roots. Exam tip: set the polynomial equal to zero and factorise (or use the quadratic formula) to find x-intercepts quickly.
वास्तविक शून्यक के लिए ग्राफ का (x)-अक्ष से मिलना जरूरी है। कोई मिलन नहीं तो कोई वास्तविक शून्यक नहीं। / For a real zero the graph must meet the (x)-axis. No meeting means no real zero.
गणितीय अर्थ के अनुसार ग्राफ \(x\)-अक्ष को उन्हीं मानों पर काटता है जहाँ \(p(x)=0\)। यहाँ \(2x^2-8=0\) से \(x^2=4\) मिलता है। इसका हल \(x=\pm 2\) है। वैकल्पिक रूप में \(2x^2-8=2(x-2)(x+2)\) दिखता है, अतः शून्यक \(-2\) और \(2\) हैं। उत्तर विकल्प B तब गलत होगा जब कोई त्रुटि से \(x^2=16\) मान लिया जाए; विकल्प C गलत है क्योंकि \(p(0)= -8\) शून्य नहीं है; विकल्प D गलत है क्योंकि एक ही मान नहीं बल्कि दोनों \(2\) और \(-2\) शून्यक हैं। परीक्षा-सुझाव: समीकरण को पहले 2 से विभाजित कर लें या तुरंत गुणनखंड में लिखकर शून्यस्थानों को पहचानें। / The graph meets the x-axis where \(p(x)=0\). Solve \(2x^2-8=0\) to get \(x^2=4\), so \(x=\pm 2\). Equivalently factor as \(2(x-2)(x+2)\), giving zeros \(-2\) and \(2\). Choice B would follow from the wrong step \(x^2=16\); C is wrong because \(p(0)=-8\) (not zero); D is wrong because there are two zeros, both \(2\) and \(-2\), not only \(4\). Exam tip: set \(p(x)=0\) first and factor out common constants to simplify solving.
A. यह \(x\)-अक्ष को नहीं मिलेगा/It will not meet the \(x\)-axis
Explanation
Simple Explanation
पूर्ण वर्ग बनाकर \(x^2+6x+10=(x+3)^2+1\) मिलता है। क्योंकि \((x+3)^2\ge0\) है, मान हमेशा कम से कम 1 होगा इसलिए पारबोला \(x\)-अक्ष को कभी काटता ही नहीं। समान रूप से डिस्क्रिमिनेंट \(b^2-4ac=36-40=-4<0\) होने से कोई वास्तविक शून्य नहीं है। निकटतम विकल्प (छूना एक बार) गलत है क्योंकि उसके लिए डिस्क्रिमिनेंट शून्य होना चाहिए। परीक्षा-सुझाव: तीव्रता से जाँचने के लिए तुरंत डिस्क्रिमिनेंट निकालें या पूर्ण-वर्ग में बदलकर शीर्षबिंदु देखें। / Completing the square gives \(x^2+6x+10=(x+3)^2+1\). Since \((x+3)^2\ge0\), the minimum value is 1, so the parabola never reaches 0 and does not meet the x-axis. Equivalently, the discriminant is \(b^2-4ac=36-40=-4<0\), so there are no real roots. The closest distractor (touch once) is wrong because that requires discriminant zero. Exam tip: use the discriminant or complete the square to quickly decide if real x-intercepts exist.
x-अक्ष पर मिलन के बिंदुओं के लिए \(p(x)=0\) करना होता है. \(x^2-2x-8=0\) को फैक्टर करें: \(x^2-2x-8=(x-4)(x+2)\). अतः शून्य तब होंगे जब \(x=4\) या \(x=-2\), जो बिंदु \((4,0)\) और \((-2,0)\) देते हैं। विकल्प B में संकेत उल्टा दिए गए हैं; विकल्प C वे y-अक्ष पर मिलने वाले बिंदु हैं (y-संयोजन) और विकल्प D त्रुटिपूर्ण मूल देता है। परीक्षा टिप: क्वाड्रैटिक के लिए पहले फैक्टर करके जड़ें खोजें; फैक्टर न होने पर द्विघात सूत्र का उपयोग करें और हमेशा प्राप्त x-मूलों को (x,0) रूप में लिखें। / Points where the graph meets the x-axis are the zeros of \(p(x)\), so set \(p(x)=0\). Factor: \(x^2-2x-8=(x-4)(x+2)\). Therefore \(x=4\) and \(x=-2\), giving points \((4,0)\) and \((-2,0)\). Option B has signs swapped (gives wrong x-values); option C lists points on the y-axis, not x-axis; option D is just incorrect roots. Exam tip: set the quadratic equal to zero and factor or use the quadratic formula; then report roots as (x,0).
A. (k(x-m)(x-n)), जहाँ \(k\neq0\)/(k(x-m)(x-n)), where \(k\neq0\)
Explanation
Simple Explanation
शून्यक (m) और (n) के लिए गुणनखंड ((x-m)) और ((x-n)) होते हैं। गैर शून्य गुणक शून्यक नहीं बदलता। / For zeroes (m) and (n), the factors are ((x-m)) and ((x-n)). A non-zero multiplier does not change zeroes.
बहुपद को शून्य के बराबर रखकर काटने वाले बिंदु (roots) मिलते हैं।
p(x)=x-2+2x-15 को गुणन किया जाए तो: \(x^2+2x-15=(x+5)(x-3)\).
शून्य होने पर \((x+5)(x-3)=0\) से x=-5 या x=3 प्राप्त होता है। इसलिए ग्राफ x-अक्ष को x=3 और x=-5 पर काटेगा।
नजदीकी भ्रामक विकल्प (-3,5) गलत साइन का परिणाम है (स्थायी पद का मान -15 वाले गुणन से संकेत मिलता है कि एक शून्य ऋणात्मक है)।
परिक्षा‑टिप: हमेशा स्थायी पद (constant term) और x‑के गुणांकों के योग से संकेत मिलते हैं — उत्पाद = -15 होने से जड़ों में एक धनात्मक और एक ऋणात्मक मान होना चाहिए। / Set the quadratic equal to zero to find x-intercepts (roots).
Factor: \(x^2+2x-15=(x+5)(x-3)\).
Setting \((x+5)(x-3)=0\) gives x=-5 or x=3, so the graph meets the x-axis at x=3 and x=-5.
The closest distractor (-3, 5) is wrong because the signs of the roots are incorrect — the constant term -15 forces the product of roots to be -15, so one root must be negative.
Exam tip: Check constant term and middle coefficient quickly — product of roots = constant term, sum of roots = - (coefficient of x).
(x-2-6x+9=(x-3)2) है इसलिए शून्यक (3) दोहराया है। दोहराया शून्यक ग्राफ में छूने जैसा दिखता है। / (x-2-6x+9=(x-3)2), so (3) is a repeated zero. A repeated zero appears as touching on the graph.
A. दोनों वास्तविक शून्यक समान हैं/Both real zeroes are equal
Explanation
Simple Explanation
शीर्ष (x)-अक्ष पर होने पर परवलय अक्ष को एक ही बिंदु पर छूता है। इसलिए शून्यक समान होते हैं। / When the vertex lies on the (x)-axis, the parabola touches the axis at one point. Hence the zeroes are equal.
दोहराए गुणनखंड से समान शून्यक (-2) मिलता है। द्विघात परवलय ऐसे बिंदु पर सामान्यतः (x)-अक्ष को छूता है। / The repeated factor gives equal zero (-2). A quadratic parabola generally touches the (x)-axis at such a point.
बहुपद को गुणनखंडों में लिखा है: p(x)=2(x-1)(x+4)। ग्राफ के x-प्रतिच्छेद वे x मान हैं जहाँ p(x)=0। इसलिए प्रत्येक गुणनखंड को शून्य करके x-मान मिलते हैं: x-1=0 → x=1 और x+4=0 → x=-4। अतः x-प्रतिच्छेद (1,0) और (-4,0) हैं। 2 का गुणनांक मूल्यों को नहीं बदलता। नज़दीकी भ्रामक विकल्प B में संकेत उल्टे हैं, C में गलती से 1 के स्थान पर 2 लिया गया है, और D में y-अवरोध दिए गए हैं। परीक्षा संकेत: यदि बहुपद का गुणनखंड रूप दिया हो तो सीधे प्रत्येक गुणनखंड को शून्य करके जड़ें लिखें और उन्हें (root,0) के रूप में प्रस्तुत करें। / The polynomial is given in factor form: p(x)=2(x-1)(x+4). x-intercepts occur where p(x)=0, so set each factor to zero: x-1=0 → x=1 and x+4=0 → x=-4. Hence the intercepts are (1,0) and (-4,0). The multiplicative constant 2 does not affect the roots. Closest distractor B flips the signs, C wrongly uses 2 instead of 1, and D lists y-intercepts. Exam tip: from factorised form read off roots directly and write intercepts as (root,0).
A. दो भिन्न वास्तविक शून्यक/Two distinct real zeroes
Explanation
Simple Explanation
दो अलग कटान दो अलग वास्तविक शून्यक देते हैं। ग्राफ में अलग (x)-प्रतिच्छेद अलग शून्यक होते हैं। / Two separate intersections give two distinct real zeroes. Different (x)-intercepts mean different zeroes.
A. यह (x)-अक्ष को नहीं काटता/It does not cut the (x)-axis
Explanation
Simple Explanation
\(x^2+4\) हमेशा धनात्मक है इसलिए (y=0) नहीं होता। ग्राफ से शून्यक तभी मानें जब अक्ष से मिलन हो। / \(x^2+4\) is always positive so (y=0) never occurs. Count a zero only when the graph meets the axis.
ग्राफ (x)-अक्ष से न मिले तो वास्तविक शून्यक नहीं होता। केवल (y=0) वाले बिंदु गिने जाते हैं। / If the graph does not meet the (x)-axis there is no real zero. Only points with (y=0) are counted.
A. बराबर शून्यक (4) और (4)/Equal zeroes (4) and (4)
Explanation
Simple Explanation
द्विघात ग्राफ एक बिंदु पर छूता है तो दोनों शून्यक समान होते हैं। परीक्षा में इसे दोहराया शून्यक मानें। / When a quadratic graph touches at one point its two zeroes are equal. Treat it as a repeated zero in exams.
