Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
शून्यक पाने के लिये p(x)=0 रखें: \(x^2-9=0\)। इसे गुणनखंडों में लिखें: \((x-3)(x+3)=0\) जिससे \(x=\pm3\) मिलता है। बहुपद के शून्यक x-अक्ष पर बिंदु के रूप में होते हैं, अर्थात् \((x,0)\)। अतः बिंदु \((-3,0)\) और \((3,0)\) सही हैं। विकल्प B और D में दिए गए बिंदु y-अक्ष पर हैं (x=0) — वे x-अक्ष-काट बिंदु नहीं हैं; विकल्प C में ±9 शून्यक नहीं हैं क्योंकि \(x^2-9=0\) का हल ±3 है। परीक्षा सुझाव: जल्दी शून्यक पाने के लिये बहुपद को फैक्टर कर लें या सीधे \(x^2=9\) लेते हुए \(x=\pm3\) निकालें। / Set p(x)=0: \(x^2-9=0\). Factor: \((x-3)(x+3)=0\) so \(x=\pm3\). Zeros of the polynomial appear on the x-axis as points \((x,0)\), therefore \((-3,0)\) and \((3,0)\) are the intercepts. Options B and D list points on the y-axis (x=0), not x-axis intercepts; option C mistakes the roots as ±9 instead of ±3. Exam tip: either factor the quadratic or take square roots (\(x^2=9\) gives \(x=\pm3\)) to find intercepts quickly.
A. वह बिंदु एक शून्यक है जिसकी गुणांक (multiplicity) सम है (जैसे \,2,4,...)/It is a zero of even multiplicity (e.g., multiplicity 2, 4, ...)
Explanation
Simple Explanation
जब बहुपद किसी अंक a पर x-अक्ष को केवल छूता है और पार नहीं करता तो उस बिंदु पर शून्यक की गुणांक सम होती है। उदाहरण के लिए \,(x-a)2 का ग्राफ x=a पर छूता है पर पार नहीं करता। सम गुणांक वाले शून्यक के दोनों तरफ बहुपद के मानों का चिन्ह एक सा रहता है, इसलिए अक्ष पार नहीं होता। विकल्प B गलत है क्योंकि विषम गुणांक (जैसे \,1 या 3) पर ग्राफ अक्ष को काटता है। परीक्षा-टिप: किसी निर्देशांक a पर जाँचें कि f(a)=0 और f'(a)=0 हो तो अक्सर यह पुनरावृत्ति शून्य (repeated root) यानी सम गुणांक का संकेत है। / If a polynomial's graph touches the x-axis at x=a without crossing, the root at a has even multiplicity. For example, (x-a)2 touches but does not cross. For even multiplicity the sign of f(x) on both sides of a is the same, so the curve does not pass through the axis. Option B is incorrect because an odd multiplicity root (e.g., 1 or 3) causes the graph to cross the axis. Exam tip: factor or check derivatives — if f(a)=0 and f'(a)=0 (and higher derivatives as needed), the root is likely repeated (even multiplicity).
विविक्तकर (400-460=-60) है, इसलिए वास्तविक शून्यक नहीं हैं। टिप: ऋणात्मक विविक्तकर पर परवलय (x)-अक्ष से नहीं मिलता। / The discriminant is (400-460=-60), so there are no real zeroes. Tip: with negative discriminant a parabola does not meet the (x)-axis.
(x-2-19x+90=(x-9)(x-10)) है, इसलिए दूरी (10-9=1) है। टिप: पहले शून्यक निकालें फिर दूरी लें। / (x-2-19x+90=(x-9)(x-10)), so the distance is (10-9=1). Tip: find zeroes first and then take distance.
शून्यक (-8) और (5) हैं, इसलिए बहुपद ((x+8)(x-5)=x-2+3x-40) है। टिप: कटान से गुणनखंड बनाएं। / The zeroes are (-8) and (5), so the polynomial is ((x+8)(x-5)=x-2+3x-40). Tip: form factors from intersections.
A. दूसरा (7), कटान ((6,0)), ((7,0))/Other (7), intersections ((6,0)), ((7,0))
Explanation
Simple Explanation
द्विघात में शून्यकों का योग (13) है, इसलिए दूसरा शून्यक (7) है। टिप: शून्यक को ((x,0)) में बदलें। / In the quadratic, the sum of zeroes is (13), so the other zero is (7). Tip: convert a zero into ((x,0)).
विविक्तकर (256-336=-80) है, इसलिए वास्तविक शून्यक नहीं हैं। टिप: ऋणात्मक विविक्तकर पर परवलय (x)-अक्ष से नहीं मिलता। / The discriminant is (256-336=-80), so there are no real zeroes. Tip: with negative discriminant a parabola does not meet the (x)-axis.
(x-2-17x+72=(x-8)(x-9)) है, इसलिए दूरी (9-8=1) है। टिप: पहले शून्यक निकालें फिर दूरी लें। / (x-2-17x+72=(x-8)(x-9)), so the distance is (9-8=1). Tip: find zeroes first and then take distance.
शून्यक (-9) और (4) हैं, इसलिए बहुपद ((x+9)(x-4)=x-2+5x-36) है। टिप: कटान से गुणनखंड बनाएं। / The zeroes are (-9) and (4), so the polynomial is ((x+9)(x-4)=x-2+5x-36). Tip: form factors from intersections.
A. दूसरा (7), कटान ((4,0)), ((7,0))/Other (7), intersections ((4,0)), ((7,0))
Explanation
Simple Explanation
द्विघात में शून्यकों का योग (11) है, इसलिए दूसरा शून्यक (7) है। टिप: शून्यक को ((x,0)) में बदलें। / In the quadratic, the sum of zeroes is (11), so the other zero is (7). Tip: convert a zero into ((x,0)).
विविक्तकर (144-204=-60) है इसलिए वास्तविक शून्यक नहीं हैं। टिप: ऋणात्मक विविक्तकर पर परवलय (x)-अक्ष से नहीं मिलता। / The discriminant is (144-204=-60), so there are no real zeroes. Tip: with negative discriminant a parabola does not meet the (x)-axis.
(x-2-15x+56=(x-7)(x-8)) है इसलिए दूरी (8-7=1) है। टिप: पहले शून्यक निकालें फिर दूरी लें। / (x-2-15x+56=(x-7)(x-8)), so the distance is (8-7=1). Tip: find zeroes first and then take distance.
शून्यक (-6) और (2) हैं इसलिए बहुपद ((x+6)(x-2)=x-2+4x-12) है। टिप: कटान से गुणनखंड बनाएं। / The zeroes are (-6) and (2), so the polynomial is ((x+6)(x-2)=x-2+4x-12). Tip: form factors from intersections.
A. दूसरा (5), कटान ((4,0)), ((5,0))/Other (5), intersections ((4,0)), ((5,0))
Explanation
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द्विघात में शून्यकों का योग (9) है इसलिए दूसरा शून्यक (5) है। टिप: शून्यक को तुरंत ((x,0)) में बदलें। / In the quadratic, the sum of zeroes is (9), so the other zero is (5). Tip: quickly convert a zero to ((x,0)).
\(p(x)=x^2-6kx+9k^2=(x-3k)^2\) है, इसलिए इसका एक द्वि-आवृत्त (repeated) शून्यक \(x=3k\) है और परबोला x-अक्ष को वहीं स्पर्श करेगी। वैकल्पिक रूप से, भाजक संकेतक (discriminant) \(D=b^2-4ac=(-6k)^2-4\cdot1\cdot9k^2=0\) होने से भी द्वि-मूल मिलता है। ध्यान दें कि यदि \(k=0\) तो सभी विकल्प शून्य कर आएँगे, पर सामान्य (nonzero) k के लिए सही उत्तर \(x=3k\) है। परीक्षा टिप: द्विघात को पहले पूर्ण वर्ग में लिखकर देखें; अगर पूर्ण वर्ग हो तो स्पर्श बिंदु वही होगा। / Factorizing gives \(p(x)=x^2-6kx+9k^2=(x-3k)^2\), so there is a repeated root at \(x=3k\) and the parabola touches the x-axis at that x-value. Alternatively, the discriminant \(D=(-6k)^2-4\cdot1\cdot9k^2=0\) shows a double root. Note: when \(k=0\) all choices collapse to 0, but for a general (nonzero) k the unique touching point is \(x=3k\). Exam tip: spot a perfect square trinomial or check discriminant = 0 to identify a tangent to the x-axis quickly.
विविक्तकर (64-88=-24) है, इसलिए वास्तविक शून्यक नहीं हैं। टिप: ऋणात्मक विविक्तकर पर परवलय (x)-अक्ष से नहीं मिलता। / The discriminant is (64-88=-24), so there are no real zeroes. Tip: with negative discriminant a parabola does not meet the (x)-axis.
(x-2-13x+42=(x-6)(x-7)) है, इसलिए दूरी (7-6=1) है। टिप: पहले शून्यक निकालें फिर दूरी लें। / (x-2-13x+42=(x-6)(x-7)), so the distance is (7-6=1). Tip: find zeroes first and then take distance.
शून्यक (-4) और (3) हैं, इसलिए बहुपद ((x+4)(x-3)=x-2+x-12) है। टिप: कटान से गुणनखंड बनाएं। / The zeroes are (-4) and (3), so the polynomial is ((x+4)(x-3)=x-2+x-12). Tip: form factors from intersections.
A. दूसरा (4), कटान ((3,0)), ((4,0))/Other (4), intersections ((3,0)), ((4,0))
Explanation
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द्विघात में शून्यकों का योग (7) है, इसलिए दूसरा शून्यक (4) है। टिप: शून्यक को तुरंत ((x,0)) में बदलें। / In the quadratic, the sum of zeroes is (7), so the other zero is (4). Tip: quickly convert a zero to ((x,0)).
बहुपद को गुणनखंड में लिखें: \(p(x)=x^2-(m+n)x+mn=(x-m)(x-n)\)। इसलिए जड़ें (roots) हैं \(x=m\) और \(x=n\)। इन जड़ों के कारण ग्राफ़ x-अक्ष को बिंदुओं \((m,0)\) और \((n,0)\) पर काटेगा। निकटतम विचलन: \((-m,0)\) व \((-n,0)\) गलत हैं क्योंकि वहाँ संकेतन चिह्न उल्टा है; \((0,m)\) और \((0,n)\) y-अक्ष के कटान हैं; \((m,n)\) जैसे बिंदु रूट नहीं दर्शाते। परीक्षा-टिप: हमेशा पहले \(p(x)=0\) रखें और बहुपद को गुणनखंड में बाँटकर जड़ें निकालें; फिर हर जड़ को \((\, ext{root}\,,0)\) के रूप में लिखें। / Factor the polynomial: \(p(x)=x^2-(m+n)x+mn=(x-m)(x-n)\). Hence the roots are \(x=m\) and \(x=n\), so the x-intercepts are (m,0) and (n,0). Closest distractor (\(-m,0\),\(-n,0\)) is incorrect because the signs are negated; (0,m),(0,n) are y-intercepts; (m,n) are arbitrary coordinate points and do not represent roots. Exam tip: set \(p(x)=0\) or factorize to find roots, then report each root as (root,0).
हमेशा शून्यबिंदु पाने के लिए \(p(x)=0\) रखें। \(p(x)=x^2-ax=x(x-a)\) है, इसलिए \(x=0\) या \(x=a\) पर ही बहुपद शून्य होगा। इसलिए ग्राफ़ के \(x\)-अक्ष के साथ छेदन बिंदु \((0,0)\) और \((a,0)\) हैं। निकटतम भ्रामक विकल्प \(\,\,(0,0),( -a,0)\) गलत इसलिए कि वह \(x=a\) को नकारता है—सही मूल का चिन्ह बदलना त्रुटि है। परीक्षा टिप: हमेशा बहुपद को गुणनखंडों में लिखकर \(=0\) रखें ताकि शून्य निकालना सरल हो। / Set \(p(x)=0\). Factor: \(p(x)=x^2-ax=x(x-a)\). Thus the roots are \(x=0\) and \(x=a\), so the x-intercepts are \((0,0)\) and \((a,0)\). The closest distractor \((0,0),(-a,0)\) is wrong because it flips the sign of the second root; sign errors are common when factoring or solving. Exam tip: always factor and set each factor equal to zero; intercepts have y-coordinate 0, so give points of the form \((\text{root},0)\).
(x-2-11x+30=(x-5)(x-6)), इसलिए दूरी (6-5=1) है। टिप: पहले शून्यक निकालें फिर दूरी लें। / (x-2-11x+30=(x-5)(x-6)), so the distance is (6-5=1). Tip: find zeroes first and then take the distance.
C. ग्राफ (x)-अक्ष को नहीं काटता/The graph does not cut the (x)-axis
Explanation
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(x-2-2x+5=(x-1)2+4) है, इसलिए वास्तविक (x) पर शून्य नहीं बनेगा। टिप: हमेशा धनात्मक रूप कोई वास्तविक कटान नहीं देता। / (x-2-2x+5=(x-1)2+4), so it cannot be zero for real (x). Tip: an always positive form gives no real intersection.
A. दूसरा (3), कटान ((2,0)), ((3,0))/Other (3), intersections ((2,0)), ((3,0))
Explanation
Simple Explanation
द्विघात में शून्यकों का योग (5) है, इसलिए दूसरा शून्यक (3) है। टिप: शून्यक को तुरंत ((x,0)) में बदलें। / In the quadratic, the sum of zeroes is (5), so the other zero is (3). Tip: immediately convert a zero to ((x,0)).
शीर्ष (x)-अक्ष पर है, इसलिए ग्राफ वहीं स्पर्श करता है। टिप: खुलने की दिशा स्पर्श बिंदु नहीं बदलती। / The vertex lies on the (x)-axis, so the graph touches there. Tip: the opening direction does not change the touching point.
शीर्ष (x)-अक्ष के नीचे है और ग्राफ ऊपर खुलता है, इसलिए वह (x)-अक्ष को दो बार काटेगा। टिप: शीर्ष की ऊँचाई और खुलने की दिशा साथ देखें। / The vertex is below the (x)-axis and the graph opens upward, so it cuts the (x)-axis twice. Tip: check vertex height and opening direction together.
शून्य निकालने का सिद्धान्त: यदि गुणनफल शून्य है तो किसी एक गुणांक का मान शून्य होना चाहिए। \(- (x-1)(x+4)=0\) होने पर बाहरी ऋण चिन्ह का अर्थ केवल संपूर्ण फल में गुणनफल का चिह्न बदलना है; शून्यक्कों पर असर नहीं पड़ता। अतः \(x-1=0\) से \(x=1\) और \(x+4=0\) से \(x=-4\)। विकल्प B गलत है क्योंकि वहाँ संकेत उल्टे दिए गए हैं; विकल्प C और D भी गलत हैं क्योंकि वे दिए गए गुणकों से प्राप्त शून्य नहीं दर्शाते। परीक्षा टिप: किसी भी बहिघातक रूप में शून्य खोजने के लिए प्रत्येक फ़ैक्टर को शून्य के बराबर रखकर हल करें। / Core idea: zeros occur when the product equals zero, so at least one factor must be zero. From \(-(x-1)(x+4)=0\) the leading minus sign does not change the roots; it only flips the overall sign. Set each factor to zero: \(x-1=0\) gives \(x=1\), and \(x+4=0\) gives \(x=-4\). Choice B is wrong because the signs are reversed; C and D are not obtained from the given factors. Exam tip: to find x-intercepts of a factored polynomial, set each factor equal to zero and solve.
A. \(x=5\) पर स्पर्श करेगा/It will touch at \(x=5\)
Explanation
Simple Explanation
\(p(x)=x^2-10x+25\) को गुणा रूप में लिखें: \(p(x)=(x-5)^2\). यह दिखता है कि मूल्य \(x=5\) की आवृत्ति (multiplicity) 2 है — एक ही शून्यक दोहराया हुआ है। इसलिए परवलय x-अक्ष को एक बिंदु पर स्पर्श करेगा पर उससे क्रॉस नहीं करेगा। निकटतम गलत विकल्प \(C\) इसलिए गलत है क्योंकि दो अलग बिंदुओं पर कटने के लिए दो विभिन्न वास्तविक शून्य होने चाहिए (discriminant>0)। परीक्षात्मक टिप: किसी द्विघात का discriminant \(b^2-4ac\) शून्य हो तो जड़ पुनरावृत्ति होती है और ग्राफ स्पर्श करता है। / Factorize: \(p(x)=x^2-10x+25=(x-5)^2\). The root \(x=5\) has multiplicity 2 (a repeated zero), so the parabola touches the x-axis at a single point and does not cross it. Closest distractor C is incorrect because cutting at two distinct points requires two distinct real roots (discriminant > 0). Exam tip: if the discriminant \(b^2-4ac=0\), the quadratic has a repeated root and the graph is tangent to the x-axis.
शून्यक वही x मान हैं जिनके लिए बहुपद शून्य हो जाता है। \(2x^2-8=0\) में दोनों पक्ष को 2 से भाग दें: \(x^2=4\)। इससे \(x=\pm2\) प्राप्त होते हैं, अतः शून्यक (2, -2) हैं। नज़दीकी भ्रामक विकल्प (4, -4) तब बन सकता है जब कोई गलती से विभाजन न करे और सीधे \(x^2=16\) मान ले — यह गलत है। परीक्षा-टिप: सामान्य गुणक बाहर निकालें: \(2(x^2-4)=2(x-2)(x+2)\)। / Zeros are the x-values that make the polynomial zero. Solve \(2x^2-8=0\). Divide both sides by 2 to get \(x^2=4\), so \(x=\pm2\). Hence the zeros are (2, -2). The closest distractor (4, -4) would arise from the mistake of not dividing by 2 and assuming \(x^2=16\). Exam tip: factor first: \(2(x^2-4)=2(x-2)(x+2)\) to read off the zeros quickly.
बहुपद के शून्य वे x‑मान हैं जिनके लिए \(p(x)=0\). यहाँ \(x^2-1=0\) से \(x=\pm1\) प्राप्त होते हैं, अतः ग्राफ़ के बिंदु \((-1,0)\) और \((1,0)\) शून्य दर्शाते हैं। बिंदु \((0,-1)\) में \(y=-1\) है (यानी \(y\neq0\)), इसलिए यह शून्य नहीं है। निकटतम भ्रामक विकल्प D (दोनों \((-1,0)\) और \((1,0)\)) गलत है क्योंकि वे वास्तव में शून्य हैं। परीक्षा‑टिप: बहुपद के शून्य = x‑अक्ष पर कटबिंदु (y=0)। / Zeros (roots) occur where \(p(x)=0\). Solving \(x^2-1=0\) gives \(x=\pm1\), so the points \((-1,0)\) and \((1,0)\) are zeros on the graph. The point \((0,-1)\) has \(y=-1\) (i.e. \(y\neq0\)), so it is not a root. The closest distractor D listing both points is incorrect because those two points do represent zeros. Exam tip: roots correspond to x‑intercepts where \(y=0\).
