Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
पॉलिनोमियल को शून्य पर लाने के लिए \(p(x)=0\) लें। \(x^2-2x=x(x-2)\) होता है, अतः \(x(x-2)=0\) से \(x=0\) या \(x=2\)। इसलिए ग्राफ अपने दो अन्तरछेदों पर \(x=0\) और \(x=2\) को काटता है। निकटवर्ती भ्रामक उत्तर उदाहरण के लिए विकल्प B गलत है क्योंकि \(p(1)=1-2=-1\) शून्य नहीं है; विकल्प C और D भी तभी गलत हैं जब आप गुणनखंड न निकालें। परीक्षा टिप: पहले सामान्य गुण फैक्टर कर लें — इससे शून्यक तुरंत मिल जाते हैं। / Set \(p(x)=0\). Factorizing gives \(x^2-2x=x(x-2)\), so \(x(x-2)=0\) implies \(x=0\) or \(x=2\). Thus the graph meets the x-axis at \(x=0\) and \(x=2\). Closest distractor B is incorrect because \(p(1)=1-2=-1\), not zero. C and D are also wrong since the factorization shows two distinct zeros. Exam tip: factor out the common term first to find zeros quickly.
((x-3)2=0) से केवल (x=3) मिलता है और वर्ग के कारण स्पर्श होता है। टिप: बाहर का (2) शून्यक नहीं बदलता। / ((x-3)2=0) gives only (x=3), and the square causes touching. Tip: the outside (2) does not change the zero.
C. कोई वास्तविक शून्यक नहीं है/It has no real zero
Explanation
Simple Explanation
ग्राफ (x)-अक्ष से नहीं मिलता इसलिए (p(x)=0) नहीं होता। टिप: ऊपर या नीचे रहना दोनों स्थितियों में कोई कटान नहीं देता। / The graph does not meet the (x)-axis, so (p(x)=0) does not occur. Tip: staying above or below without meeting gives no intersection.
(x)-अक्ष कटान पर (y=p(x)=0) होता है। टिप: कटान बिंदु से फलन मान सीधे पढ़ें। / At an (x)-axis intersection, (y=p(x)=0). Tip: read the function value directly from the intersection point.
((x+1)2=0) से केवल (x=-1) मिलता है और यह दोहराया शून्यक है। टिप: वर्ग वाले कारक में स्पर्श की संभावना देखें। / ((x+1)2=0) gives only (x=-1), and it is a repeated zero. Tip: a squared factor often indicates touching.
कारण: वास्तविक मानों के लिए \(x^2\ge0\) होता है, अतः \(x^2+9\ge9>0\)। इसलिए \(x^2+9=0\) का कोई वास्तविक समाधान नहीं है और ग्राफ x-अक्ष को कभी नहीं काटेगा। डिस्क्रिमिनेंट से भी देख सकते हैं: \(D=b^2-4ac=0^2-4\cdot1\cdot9=-36<0\), जिससे कोई वास्तविक मूल नहीं है। निकटतम विकर्षक “दो बार” इसलिए गलत है क्योंकि द्विघात समीकरण में दो छेद तभी होते हैं जब \(D>0\)। परीक्षा-सुझाव: किसी द्विघात के वास्तविक मूल जानने के लिए तुरंत डिस्क्रिमिनेंट की जांच करें या शीर्ष-बिंदु/न्यूनतम मान देखें। / Reason: For real x, \(x^2\ge0\), so \(x^2+9\ge9>0\). Thus \(x^2+9=0\) has no real solution and the parabola never meets the x-axis. Using the discriminant: \(D=b^2-4ac=0^2-4\cdot1\cdot9=-36<0\), confirming no real roots. The closest distractor “Two times” is wrong because a quadratic has two x-intercepts only when \(D>0\). Exam tip: check the discriminant or the vertex/minimum value to decide intersection with the x-axis quickly.
x-अक्ष पर कटान वे बिंदु होते हैं जहाँ ग्राफ का मान शून्य हो, यानी \(p(x)=0\)। \(x^2-16=0\) से \(x^2=16\) और इसलिए \(x=\pm4\)। अतः x-अक्ष पर कटान बिंदु \((4,0)\) और \((-4,0)\) हैं। विकल्प A गलत है क्योंकि वे y-अक्ष के बिंदु जैसी तरह दिखते हैं और इस बहुपद के लिये सत्य नहीं हैं; विकल्प C और D भी गलत हैं क्योंकि उन x मानों को रखने पर \(p(x)\) शून्य नहीं होता (उदा. \(x=16\) पर \(p(16)=256-16\neq0\)). परीक्षा-टिप: x-अक्ष कटान खोजने के लिये हमेशा बहुपद को शून्य के बराबर रखकर हल करें और शून्यांक को बिंदु के रूप में \((x,0)\) लिखें। / X-intercepts occur where the polynomial equals zero, i.e. set \(p(x)=0\). Solving \(x^2-16=0\) gives \(x^2=16\) so \(x=\pm4\). Therefore the x-intercepts are \((4,0)\) and \((-4,0)\). Option A lists y-axis-like points that are not zeros here; options C and D are incorrect because substituting those x-values does not make \(p(x)=0\) (for example \(p(16)=256-16\neq0\)). Exam tip: always solve \(p(x)=0\) to find zeros and report them as \((x,0)\).
स्पर्श बिंदु केवल एक अलग शून्यक (3) देता है। टिप: दोहराए हुए शून्यक को अलग शून्यक में एक बार गिनें। / The touching point gives only one distinct zero (3). Tip: count a repeated zero once when distinct zeroes are asked.
x-अक्ष पर प्रतिच्छेद के लिए p(x)=0 करना होता है. \\(x^2-9=0\\) को अंतर गुणन घटक के रूप में लिखें: \\(x^2-9=(x-3)(x+3)\\). इससे \\x=\pm3\\ मिलते हैं, अतः प्रतिच्छेद बिंदु \\(-3,0\\) और \\(3,0\\) हैं। विकल्प B ग़लत है क्योंकि \\(p(0)=-9\\) होने से (0,-9) y-अक्ष पर प्रतिच्छेद है और (9,0) पर \\(p(9)=72\\) होता है, जो शून्य नहीं है। परीक्षा टिप: द्विगुणक को \\a-2-b-2\\ के रूप में पहचान कर तुरंत गुणनखंड निकालें। / X-intercepts occur where p(x)=0. Solve \\(x^2-9=0\\). Factor as \\(x^2-9=(x-3)(x+3)\\), giving \\x=\pm3\\. Therefore the x-intercepts are \\(-3,0\\) and \\(3,0\\). Option B is incorrect: (0,-9) is the y-intercept since \\(p(0)=-9\\), and \\(p(9)=81-9=72\\) so (9,0) is not a root. Exam tip: set p(x)=0 and use difference of squares to factor quickly.
यदि बहुपद का शून्य a है तो बहुपद का ग्राफ x-अक्ष को बिंदु (a,0) पर काटता है क्योंकि उस बिंदु पर y-मूल्य = 0 होता है। अत: शून्य 1 और 4 होने पर कटान बिंदु (1,0) और (4,0) होंगे। विकल्प B गलत है क्योंकि वे y-अक्ष के बिंदु हैं, C गलत है क्योंकि वहाँ y ≠ 0 है, और D गलत है क्योंकि संकेत उल्टा दिया गया है। परीक्षा टिप: किसी बहुपद के शून्य को सीधे x-निर्देशांक मानकर (a,0) लिखें। / If a polynomial has a zero a, its graph meets the x-axis at (a,0) because the y-value is zero there. So zeros 1 and 4 give intersection points (1,0) and (4,0). Option B is wrong because those are points on the y-axis, C is wrong since y≠0 at those coordinates, and D is wrong because the signs of the zeros are incorrect. Exam tip: Always convert a zero a to the point (a,0) on the graph.
A. दो अलग-अलग बिंदुओं पर काटेगा/It will cut at two distinct points
Explanation
Simple Explanation
दो वास्तविक शून्यक दो अलग (x)-अक्ष कटाव बताते हैं। इसलिए परवलय (x)-अक्ष को दो बिंदुओं पर काटेगा। / Two real zeroes show two distinct (x)-axis intersections. Hence the parabola cuts the (x)-axis at two points.
किसी घनात्मक बहुपद (parabola) का शून्यक वह x-मूल (x-coordinate) है जहाँ वह x-अक्ष से मिलता है। यहाँ पर परवलय केवल बिंदु (-2,0) पर x-अक्ष को स्पर्श कर रही है, जिसका अर्थ है कि वही एकमात्र वास्तविक शून्यक है (मल्टीप्लिसिटी 2 — दोहरा शून्यक)। इसलिए शून्यक -2 है। विकल्प B और C गलत हैं क्योंकि वे दिए हुए बिंदु के x-निर्देशांक से मेल नहीं खाते; विकल्प D गलत है क्योंकि स्पर्श करने पर दो अलग वास्तविक शून्यक नहीं होते बल्कि एक दोहरा शून्यक होता है। परीक्षा टिप: यदि परवलय x-अक्ष को अपने शीर्ष पर स्पर्श करती है तो शून्यक सीधे शीर्ष के x-निर्देशांक के बराबर होता है। / The zero of a parabola is the x-coordinate where it meets the x-axis. Since the parabola meets (touches) the x-axis only at (-2,0), that x-value is the only real zero; touching means a repeated root (multiplicity 2) at x = -2. Thus the correct zero is -2. Options B and C are incorrect because their x-values do not match the given point; option D is incorrect because touching gives one repeated zero, not two distinct zeros. Exam tip: when a parabola touches the x-axis at its vertex, the x-coordinate of the vertex is the zero (a double root).
x-अक्ष पर स्पर्श करने का अर्थ है कि परवलय का शीर्षक (vertex) उसी बिंदु पर है और समीकरण के दोनों मूल समान होते हैं — यानि द्विघात समीकरण का एक ही वास्तविक विशिष्ट शून्य है (दोहऱा मूल)। गणितीय दृष्टि से यह स्थिति \\(\Delta=0\\) अर्थात विसंगति (discriminant) शून्य होने पर आती है। इसलिए शून्यकों की संख्या एक है (मूल 2, पर गुणनफल में दोहरान होना अलग बात है)। निकटतम ग़लत विकल्प: 'दो' तब होता जब परवलय x-अक्ष को दो बिंदुओं पर काटे; 'कोई नहीं' तब होता जब परवलय x-अक्ष से ऊपर पूरी तरह हो; 'अनंत' असम्भव है। परीक्षात्मक टिप: किसी द्विघात के एक ही शून्य के लिए विसंगति \\(\Delta=0\\) याद रखें। / Touching the x-axis means the parabola's vertex lies on the axis and the quadratic has a repeated root — one distinct real zero (a double root). In terms of discriminant, this corresponds to \\(\Delta=0\\). So there is exactly one real zero: x=2. Why other options are wrong: 'Two' would require the parabola to intersect the axis at two distinct points; 'None' applies when the parabola does not meet the axis at all; 'Infinite' is impossible for a polynomial of finite degree. Exam tip: for a double root of a quadratic check that \\(\Delta=0\\).
x-अक्ष पर काटने के बिंदु किसी बहुपद (यहाँ परवलय) के वास्तविक शून्यक (zeros) होते हैं। दो अलग‑अलग कटाव होने का मतलब है दो अलग‑अलग वास्तविक शून्यक हैं; यहाँ शून्यक -1 और 5 हैं। विकल्प B (एक) तब होता है जब परवलय स्पर्शक हो और शून्यक की गुणांकिता अधिक हो (दोहऱा शून्यक), विकल्प C गलत है क्योंकि वे बिंदु intersections हैं, और विकल्प D गलत है क्योंकि द्विघातीय बहुपद की अधिकतम वास्तविक शून्यकों की संख्या 2 होती है। परीक्षा सुझाव: किसी परवलय के x-अक्ष पर कितने बिंदु काटे जा रहे हैं यह सीधे वास्तविक शून्यकों की संख्या देता है; द्विघात के लिए अधिकतम 2 शून्यक हो सकते हैं। / Points where a parabola meets the x-axis are its real zeros. Two distinct intersections therefore mean two distinct real zeros; here the zeros are x = -1 and x = 5. Option B (one) would correspond to a tangent (a repeated root), option C (none) is impossible because intersections are given, and option D (three) is impossible for a quadratic since a parabola (degree 2) can have at most two real zeros. Exam tip: Count x-axis intersections for real zeros; for quadratics the maximum is 2 and a single intersection implies a repeated root.
जब परवलय (x)-अक्ष को केवल एक बिंदु पर छूता है, तो एक वास्तविक शून्यक होता है। परीक्षा में छूना भी (x)-अक्ष से मिलना माना जाता है। / When a parabola touches the (x)-axis at one point, it has one real zero. In exams, touching the (x)-axis also counts as meeting it.
