Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
यह ((x+5)2=0) है, इसलिए पूर्ण वर्ग पहचानना तेज है। परीक्षा में ऐसे प्रश्नों में समय बचाने के लिए पैटर्न देखें। / It is ((x+5)2=0), so recognizing the perfect square is fastest. In exams, look for patterns to save time.
मानक रूप \(ax^2+bx+c=0\) से (a=3), (b=5), (c=-2) हैं। परीक्षा में (c) का संकेत जरूर देखें। / From standard form \(ax^2+bx+c=0\), (a=3), (b=5), and (c=-2). In exams, always check the sign of (c).
(x-2-6x+9=(x-3)2), इसलिए दोहराया हुआ मूल (3) है। परीक्षा में पूर्ण वर्ग में दोनों मूल समान होते हैं। / (x-2-6x+9=(x-3)2), so the repeated root is (3). In exams, a perfect square gives equal roots.
\(x^2+4x+4\) एक पूर्ण वर्ग है और यह ((x+2)2) के बराबर है। परीक्षा में \(a^2+2ab+b^2\) पैटर्न पहचानें। / \(x^2+4x+4\) is a perfect square and equals ((x+2)2). In exams, recognize the pattern \(a^2+2ab+b^2\).
(-4+2=-2) और \(-4\times2=-8\), इसलिए ((x-4)(x+2)) सही है। परीक्षा में गुणनफल और योग दोनों मिलाएं। / Since (-4+2=-2) and \(-4\times2=-8\), ((x-4)(x+2)) is correct. In exams, match both product and sum.
दोनों पक्षों को (2) से भाग देने पर \(x^2-4=0\) मिलता है। परीक्षा में समीकरण को पहले सरल करना समय बचाता है। / Dividing both sides by (2) gives \(x^2-4=0\). In exams, simplifying the equation first saves time.
द्विघात सूत्र \(x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\) है। परीक्षा में (a), (b), (c) को सही पहचानना सबसे जरूरी है। / The quadratic formula is \(x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\). In exams, identifying (a), (b), and (c) correctly is most important.
(x) के गुणांक (6) का आधा (3) है और \(3^2=9\) होता है। परीक्षा में (\left\(\frac{b}{2}\right\)2) का प्रयोग करें। / Half of the coefficient (6) is (3), and \(3^2=9\). In exams, use (\left\(\frac{b}{2}\right\)2).
यदि (x(x-4)=0), तो (x=0) या (x-4=0) होगा। परीक्षा में हर गुणनखंड को अलग-अलग शून्य के बराबर रखें। / If (x(x-4)=0), then (x=0) or (x-4=0). In exams, set each factor equal to zero separately.
\(x^2=16\) से \(x=\pm\sqrt{16}=\pm4\) मिलता है। परीक्षा में वर्गमूल लेते समय \(\pm\) लगाना न भूलें। / From \(x^2=16\), \(x=\pm\sqrt{16}=\pm4\). In exams, do not forget \(\pm\) while taking square root.
A. वर्गों के अंतर की विधि/Difference of squares method
Explanation
Simple Explanation
(x-2-9=x-2-32=(x-3)(x+3)), इसलिए यह वर्गों के अंतर से तुरंत हल होता है। परीक्षा में \(a^2-b^2\) पहचानना उपयोगी है। / (x-2-9=x-2-32=(x-3)(x+3)), so it is solved quickly by difference of squares. In exams, recognizing \(a^2-b^2\) is useful.
क्योंकि (3+4=7) और \(3\times4=12\), इसलिए सही गुणनखंड ((x+3)(x+4)) हैं। परीक्षा में संकेतों पर विशेष ध्यान दें। / Because (3+4=7) and \(3\times4=12\), the correct factors are ((x+3)(x+4)). In exams, pay close attention to signs.
(x-2-5x+6=(x-2)(x-3)), इसलिए मूल (2) और (3) हैं। परीक्षा में पहले ऐसे दो संख्याएं खोजें जिनका गुणनफल (6) और योग (-5) हो। / (x-2-5x+6=(x-2)(x-3)), so the roots are (2) and (3). In exams, first find two numbers whose product is (6) and sum is (-5).
(x-2-4x+3=(x-1)(x-3)) इसलिए मूल (1) और (3) हैं। आसान प्रश्न में गुणनखंड बनाना सबसे तेज तरीका है। / (x-2-4x+3=(x-1)(x-3)) so the roots are (1) and (3). Factorisation is the fastest method for easy questions.
C. सिर्फ \(\sqrt{2}\) ही अकेला अपरिमेय शून्यक हो और गुणांक परिमेय रहें/Only \(\sqrt{2}\) is the sole irrational zero while coefficients stay rational
Explanation
Simple Explanation
परिमेय गुणांकों वाले द्विघात में अपरिमेय शून्यक अपने संयुग्मी के साथ आता है। परीक्षा में अकेले अपरिमेय मूल पर संदेह करें। / In a quadratic with rational coefficients an irrational zero comes with its conjugate. In exams be suspicious of a lone irrational root.
योग \(1+\sqrt{3}\) और गुणनफल \(\sqrt{3}\) है, इसलिए शून्यक (1) और \(\sqrt{3}\) हैं। परीक्षा में \(x^2-Sx+P\) से तुलना करें। / The sum is \(1+\sqrt{3}\) and the product is \(\sqrt{3}\), so the zeroes are (1) and \(\sqrt{3}\). Compare with \(x^2-Sx+P\) in exams.
C. कोई वास्तविक मूल नहीं है/There are no real roots
Explanation
Simple Explanation
विविक्तकर (4-20=-16) ऋणात्मक है, इसलिए वास्तविक मूल नहीं हैं। परीक्षा में ऋणात्मक विविक्तकर को वास्तविक शून्यक नहीं मानें। / The discriminant is (4-20=-16), which is negative, so there are no real roots. In exams do not treat a negative discriminant as real zeroes.
C. दो अलग अपरिमेय वास्तविक/Two distinct irrational real values
Explanation
Simple Explanation
विविक्तकर (36-4=32) है, जो पूर्ण वर्ग नहीं है और धनात्मक है। इसलिए दो अलग अपरिमेय वास्तविक मूल मिलते हैं। / The discriminant is (36-4=32), positive but not a perfect square. So there are two distinct irrational real roots.
योग (4) और गुणनफल (4-6=-2) है, इसलिए बहुपद \(x^2-4x-2\) है। परीक्षा में \(x^2-Sx+P\) सूत्र याद रखें। / The sum is (4) and the product is (4-6=-2), so the polynomial is \(x^2-4x-2\). Remember the formula \(x^2-Sx+P\).
(D=\(2\sqrt{7}\)2-4\cdot1\cdot6=28-24=4)। अपरिमेय गुणांक होने पर भी विविक्तकर परिमेय हो सकता है। / (D=\(2\sqrt{7}\)2-4\cdot1\cdot6=28-24=4). Even with an irrational coefficient, the discriminant can be rational.
\(\alpha+\beta=2\) और \(\alpha\beta=-11\), इसलिए (\alpha-2+\beta-2+\alpha\beta=\(\alpha+\beta\)2-\alpha\beta=4+11=15)। सममित व्यंजकों में योग और गुणनफल काफी होते हैं। / \(\alpha+\beta=2\) and \(\alpha\beta=-11\), so (\alpha-2+\beta-2+\alpha\beta=\(\alpha+\beta\)2-\alpha\beta=4+11=15). Sum and product are enough for symmetric expressions.
\(\alpha+\beta=2\) और \(\alpha\beta=-4\), इसलिए (\alpha-2+\beta-2=22-2(-4)=12)। शून्यक निकाले बिना सममित मान निकाल सकते हैं। / \(\alpha+\beta=2\) and \(\alpha\beta=-4\), so (\alpha-2+\beta-2=22-2(-4)=12). Symmetric values can be found without finding the zeroes.
दो अनमिश्रित परस्पर योगिका शून्यकों के लिए योग और गुणनफल सरल हैं: शून्यकों का योग \( (7+2\sqrt{3})+(7-2\sqrt{3})=14\) और गुणनफल \((7+2\sqrt{3})(7-2\sqrt{3})=7^2-(2\sqrt{3})^2=49-12=37\). सामान्य रूप \(x^2+px+q\) में शून्यकों का योग \(-p\) और गुणनफल \(q\) होता है। अतः \(p=-14\) और \(q=37\), इसलिए \(p+q=37-14=23\)। नज़दीकी विचलन: विकल्प (37) केवल गुणनफल \(q\) है, पर प्रश्न \(p+q\) पूछ रहा है। विकल्प (49) तब गलत होगा जब \((2\sqrt{3})^2\) घटाना भूल जाएँ। परीक्षा-सूत्र: मोनिक द्विघात के लिए शून्यकों का योग = \(-p\), गुणनफल = \(q\); तेजी से \(p+q=q-\text{(sum of roots)}\) लिखें। / For conjugate irrational roots the sum and product are easy: sum = \((7+2\sqrt{3})+(7-2\sqrt{3})=14\), product = \((7+2\sqrt{3})(7-2\sqrt{3})=49-(2\sqrt{3})^2=49-12=37\). For the monic quadratic \(x^2+px+q\), sum of roots = \(-p\) and product = \(q\). Hence \(p=-14\), \(q=37\) and \(p+q=37-14=23\). Closest distractor explanation: 37 is just the product \(q\), not \(p+q\); 49 would be wrong if one forgets to subtract \((2\sqrt{3})^2\). Exam tip: For a monic quadratic use sum = \(-p\), product = \(q\); compute \(p+q\) as \(q-\text{(sum of roots)}\) for speed.
\(\alpha+\beta=4\) और \(\alpha\beta=-1\), इसलिए \(\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=\frac{4}{-1}=-4\)। पहले योग और गुणनफल निकालें। / \(\alpha+\beta=4\) and \(\alpha\beta=-1\), so \(\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=\frac{4}{-1}=-4\). Find sum and product first.
शून्यक \(5\pm2\sqrt{2}\) हैं, इसलिए अंतर \(4\sqrt{2}\) है। संयुग्मी शून्यकों में अंतर मूल भाग का दोगुना होता है। / The zeroes are \(5\pm2\sqrt{2}\), so the difference is \(4\sqrt{2}\). For conjugate zeroes, the difference is twice the radical part.
स्थिर पद गुणनफल है और (\(4+\sqrt{11}\)\(4-\sqrt{11}\)=16-11=5)। संयुग्मी गुणनफल में बीच का अपरिमेय भाग हट जाता है। / The constant term is the product, and (\(4+\sqrt{11}\)\(4-\sqrt{11}\)=16-11=5). In conjugate products, the irrational middle part cancels.
दूसरा शून्यक \(-\sqrt{7}\) होगा, इसलिए योग (0) और (a=-0=0) है। परिमेय गुणांक में संयुग्मी शून्यक लेना जरूरी है। / The other zero will be \(-\sqrt{7}\), so the sum is (0) and (a=-0=0). With rational coefficients, take the conjugate zero.
दोनों शून्यक का योग \((4+\sqrt{7})+(4-\sqrt{7})=8\) है और गुणनफल \((4+\sqrt{7})(4-\sqrt{7})=16-7=9\) है. मोनिक द्विघात \(x^2+px+q\) में शून्यकों का योग \(-p\) होता है और गुणनफल \(q\) होता है. अतः \(-p=8\Rightarrow p=-8\) और \(q=9\). इसलिए विकल्प A सही है. विकल्प B गलत है क्योंकि वहाँ \(p\) का संकेत उल्टा दिया गया है; विकल्प C और D गलत हैं क्योंकि उनका गुणनफल \(q\) सही नहीं है. परीक्षा-सूत्र: मोनिक द्विघात के लिए "शून्यकों का योग = -p" और "गुणनफल = q" यानि सीधे \((x-\alpha)(x-\beta)\) का विस्तार करें. / The sum of the roots is \((4+\sqrt{7})+(4-\sqrt{7})=8\) and their product is \((4+\sqrt{7})(4-\sqrt{7})=16-7=9\). For the monic quadratic \(x^2+px+q\), sum of roots = \(-p\) and product = \(q\). So \(-p=8\) gives \(p=-8\) and \(q=9\). Hence A is correct. Option B flips the sign of p, while C and D have the wrong product q. Exam tip: use sum = -p and product = q or expand \((x-\alpha)(x-\beta)\) to find coefficients quickly.
दो मूल हैं \\(1+\sqrt{10}\\) और \\(1-\sqrt{10}\\). इनका योग = \\((1+\sqrt{10})+(1-\sqrt{10})=2\\) और गुणनफल = \\((1+\sqrt{10})(1-\sqrt{10})=1-10=-9\\). मोनिक द्विघात बहुपद जो इन मूलों को देता है वह \\( (x-(1+\sqrt{10}))(x-(1-\sqrt{10}))=x^2-(\text{sum})x+\text{product}=x^2-2x-9\\) है। विकल्प B गलत है क्योंकि उसके लिए रैखिक पद का लक्षण उल्टा होगा (योग \\(-2\\) मानने पर मिलता)। परीक्षा-टिप: किसी भी दो मूल \\(r_1,r_2\\) के लिए मोनिक बहुपद सीधे \\( (x-r_1)(x-r_2)\\) से बनाएं। / Roots are \\(1+\sqrt{10}\\) and \\(1-\sqrt{10}\\). Their sum is \\((1+\sqrt{10})+(1-\sqrt{10})=2\\) and product is \\((1+\sqrt{10})(1-\sqrt{10})=1-10=-9\\). The monic quadratic with these roots is \\( (x-(1+\sqrt{10}))(x-(1-\sqrt{10}))=x^2-(\text{sum})x+\text{product}=x^2-2x-9\\). Option B is a common distractor because it has the wrong sign for the linear term (would correspond to sum \\(-2\\)). Exam tip: form the polynomial as \\( (x-r_1)(x-r_2)\\) or use sum and product relations \\(r_1+r_2=-\tfrac{b}{a},\;r_1r_2=\tfrac{c}{a}\\).
परिमेय गुणांकों में अपरिमेय शून्यक का संयुग्मी भी शून्यक होता है। इसलिए \(2-\sqrt{3}\) दूसरा शून्यक होगा। / With rational coefficients, the conjugate of an irrational zero is also a zero. So \(2-\sqrt{3}\) will be the other zero.
