एक भिन्न सरलतम रूप में \(\frac{p}{q}\) है और (q=72) है। उसके दशमलव प्रसार के बारे में क्या कहा जा सकता है?
A fraction in lowest form is \(\frac{p}{q}\) and (q=72). What can be said about its decimal expansion?
#lowest-form
#recurring-decimal
#real-numbers
#denominator-test
A सांत होगा / It will terminate
B असांत आवर्ती होगा / It will be non-terminating recurring
C असांत अनावर्ती होगा / It will be non-terminating non-recurring
D यह अंश पर निर्भर करेगा / It will depend on the numerator
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
B. असांत आवर्ती होगा / It will be non-terminating recurring
Step 1
Concept
\(\frac{p}{q}\) सरलतम रूप में है, इसलिए (q) का गुणनखंड सीधे जाँचा जाएगा। / Since \(\frac{p}{q}\) is already in lowest form, check (q) directly.
Step 2
Why this answer is correct
\(72=2^3\cdot 3^2\), जिसमें (3) है। इसलिए दशमलव असांत आवर्ती होगा। / \(72=2^3\cdot 3^2\), which contains (3). So the decimal is non-terminating recurring.
Step 3
Exam Tip
सरलतम रूप दिया हो तो अंश को लेकर अलग भ्रम न रखें। / If lowest form is stated, do not overthink the numerator.
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यदि किसी सरलतम परिमेय संख्या का दशमलव प्रसार (0.00048) है, तो उसके हर में (2) और (5) की अधिकतम घातों के बारे में कौन-सा कथन सही है?
If a rational number in lowest form has decimal expansion (0.00048), which statement about the highest powers of (2) and (5) in its denominator is correct?
#decimal-to-fraction
#lowest-form
#real-numbers
#hard
A हर में केवल \(2^5\) होगा / The denominator has only \(2^5\)
B हर में केवल \(5^5\) होगा / The denominator has only \(5^5\)
C सरलतम हर (625) है / The reduced denominator is (625)
D सरलतम हर (100000) ही रहेगा / The reduced denominator remains (100000)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
C. सरलतम हर (625) है / The reduced denominator is (625)
Step 1
Concept
\(0.00048=\frac{48}{100000}\) है। / \(0.00048=\frac{48}{100000}\).
Step 2
Why this answer is correct
सरल करने पर \(\frac{48}{100000}=\frac{3}{625}\), और \(625=5^4\) है। / Reducing gives \(\frac{48}{100000}=\frac{3}{625}\), and \(625=5^4\).
Step 3
Exam Tip
दशमलव अंकों की संख्या सीधे अंतिम हर नहीं बताती; पहले भिन्न को सरल करें। / The number of decimal digits does not always give the final denominator; reduce first.
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(0.875) का सरलतम भिन्न रूप क्या है?
What is the simplest fractional form of (0.875)?
#decimal to fraction
#lowest form
#terminating decimal
A \(\frac{7}{8}\)
B \(\frac{3}{8}\)
C \(\frac{5}{8}\)
D \(\frac{7}{16}\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(\frac{7}{8}\)
Step 1
Concept
\(0.875=\frac{875}{1000}\) है। / \(0.875=\frac{875}{1000}\).
Step 2
Why this answer is correct
सरल करने पर \(\frac{875}{1000}=\frac{7}{8}\) मिलता है। / Reducing gives \(\frac{875}{1000}=\frac{7}{8}\).
Step 3
Exam Tip
समाप्त दशमलव में दशमलव स्थान गिनकर (10) की घात वाला हर लिखें। / Count the decimal places and use the corresponding power of (10) as denominator.
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दशमलव प्रसार समाप्त है या नहीं, यह तय करने के लिए किस रूप का हर देखना चाहिए?
Which denominator should be checked to decide whether a decimal expansion terminates or not?
#exam tip
#lowest form
#decimal expansion
A मूल भिन्न का हर / Denominator of the original fraction
B सरलतम रूप का हर / Denominator of the lowest form
C केवल अंश / Only the numerator
D अंश और हर का योग / Sum of numerator and denominator
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
B. सरलतम रूप का हर / Denominator of the lowest form
Step 1
Concept
समाप्त दशमलव का नियम सरलतम रूप के हर पर लागू होता है। / The terminating decimal rule applies to the denominator in lowest form.
Step 2
Why this answer is correct
मूल हर में ऐसे गुणनखंड हो सकते हैं जो काटने के बाद हट जाएं। / The original denominator may contain factors that cancel out.
Step 3
Exam Tip
इसलिए पहले भिन्न घटाइए, फिर हर का गुणनखंडन कीजिए। / So reduce the fraction first, then factorise the denominator.
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(0.0625) को सरल भिन्न में लिखने पर हर क्या होगा?
When (0.0625) is written as a fraction in lowest form, what will be the denominator?
#decimal to fraction
#terminating decimal
#lowest form
A \(\frac{1}{8}\)
B \(\frac{1}{16}\)
C \(\frac{1}{32}\)
D \(\frac{1}{64}\)
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Correct Answer
B. \(\frac{1}{16}\)
Step 1
Concept
\(0.0625=\frac{625}{10000}\) है। / \(0.0625=\frac{625}{10000}\).
Step 2
Why this answer is correct
इसे सरल करने पर \(\frac{1}{16}\) मिलता है। / Reducing it gives \(\frac{1}{16}\).
Step 3
Exam Tip
समाप्त दशमलव को पहले (10) की घात वाले हर में लिखकर घटाइए। / Write a terminating decimal over a power of (10), then reduce it.
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\(\frac{144}{320}\) का दशमलव प्रसार कितने स्थानों पर समाप्त होगा?
After how many places will the decimal expansion of \(\frac{144}{320}\) terminate?
#decimal-places
#terminating-decimal
#lowest-form
A (1)
B (2)
C (3)
D (4)
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Step 1
Concept
\(\frac{144}{320}\) को (16) से सरल करने पर \(\frac{9}{20}\) मिलता है। / \(\frac{144}{320}\) simplifies by (16) to \(\frac{9}{20}\).
Step 2
Why this answer is correct
\(20=2^2\times5\), इसलिए बड़ी घात (2) है। / Since \(20=2^2\times5\), the larger exponent is (2).
Step 3
Exam Tip
परीक्षा सुझाव: दशमलव स्थानों की संख्या हमेशा सरल रूप के हर से तय करें। / Exam tip: Decide decimal places from the denominator in lowest form.
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किस विकल्प का दशमलव प्रसार समाप्त नहीं होगा?
Which option will not have a terminating decimal expansion?
#option-comparison
#recurring-decimal
#lowest-form
A \(\frac{91}{182}\)
B \(\frac{39}{156}\)
C \(\frac{68}{170}\)
D \(\frac{51}{119}\)
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Correct Answer
D. \(\frac{51}{119}\)
Step 1
Concept
\(\frac{91}{182}=\frac{1}{2}\), \(\frac{39}{156}=\frac{1}{4}\), और \(\frac{68}{170}=\frac{2}{5}\) हैं। / \(\frac{91}{182}=\frac{1}{2}\), \(\frac{39}{156}=\frac{1}{4}\), and \(\frac{68}{170}=\frac{2}{5}\).
Step 2
Why this answer is correct
\(\frac{51}{119}\) में कोई कटौती नहीं होती और \(119=7\times17\) है। / \(\frac{51}{119}\) does not reduce, and \(119=7\times17\).
Step 3
Exam Tip
परीक्षा सुझाव: कई विकल्पों में पहले सरल रूप बनाकर ही असमाप्त विकल्प चुनें। / Exam tip: In multi-option questions, reduce each fraction before choosing the non-terminating one.
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निम्न में से किस भिन्न का दशमलव प्रसार असमाप्त आवर्ती होगा?
Which of the following fractions will have a non-terminating recurring decimal expansion?
#mcq
#recurring-decimal
#lowest-form
A \(\frac{64}{160}\)
B \(\frac{75}{300}\)
C \(\frac{44}{242}\)
D \(\frac{81}{216}\)
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Correct Answer
C. \(\frac{44}{242}\)
Step 1
Concept
\(\frac{44}{242}\) को (22) से सरल करने पर \(\frac{2}{11}\) मिलता है। / \(\frac{44}{242}\) simplifies by (22) to \(\frac{2}{11}\).
Step 2
Why this answer is correct
हर (11) में (2) या (5) नहीं है, इसलिए दशमलव असमाप्त आवर्ती होगा। / The denominator (11) is not made of (2) and (5), so the decimal is non-terminating recurring.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा सुझाव: सभी विकल्पों को सरल करके ही अंतिम चयन करें। / Exam tip: Simplify every option before making the final choice.
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\(\frac{26}{143}\) का दशमलव प्रसार किस प्रकार का होगा?
What type of decimal expansion will \(\frac{26}{143}\) have?
#recurring-decimal
#lowest-form
#prime-factor
A समाप्त / Terminating
B असमाप्त आवर्ती / Non-terminating recurring
C असमाप्त अनावर्ती / Non-terminating non-recurring
D शून्य / Zero
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
B. असमाप्त आवर्ती / Non-terminating recurring
Step 1
Concept
\(\frac{26}{143}\) सबसे सरल रूप में है क्योंकि \(143=11\times13\) और \(26=2\times13\) में (13) समान है, इसलिए पहले \(\frac{2}{11}\) मिलता है। / \(\frac{26}{143}\) simplifies by (13) to \(\frac{2}{11}\).
Step 2
Why this answer is correct
हर (11) में (2) या (5) नहीं है, इसलिए दशमलव असमाप्त आवर्ती होगा। / The denominator (11) does not contain only (2) and (5), so the decimal is non-terminating recurring.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा सुझाव: सरल करने के बाद बचे हर को ही अंतिम आधार मानें। / Exam tip: After simplification, use the remaining denominator as the final basis.
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\(\frac{56}{180}\) का दशमलव प्रसार किस प्रकार का होगा?
What type of decimal expansion will \(\frac{56}{180}\) have?
#recurring-decimal
#lowest-form
#denominator-test
A समाप्त / Terminating
B असमाप्त आवर्ती / Non-terminating recurring
C असमाप्त अनावर्ती / Non-terminating non-recurring
D केवल शून्य / Only zero
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
B. असमाप्त आवर्ती / Non-terminating recurring
Step 1
Concept
\(\frac{56}{180}\) को (4) से सरल करने पर \(\frac{14}{45}\) मिलता है। / \(\frac{56}{180}\) simplifies by (4) to \(\frac{14}{45}\).
Step 2
Why this answer is correct
\(45=3^2\times5\), इसलिए हर में (3) भी है। / Since \(45=3^2\times5\), the denominator still contains (3).
Step 3
Exam Tip
परीक्षा सुझाव: (5) मौजूद होने पर भी यदि (3) बच जाए तो दशमलव समाप्त नहीं होता। / Exam tip: Even if (5) is present, a remaining factor (3) makes the decimal recurring.
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\(\frac{14}{35}\) को दशमलव में बदलने से पहले कौन सा सरल रूप मिलेगा?
What lowest form is obtained before converting \(\frac{14}{35}\) into a decimal?
#lowest-form
#decimal-conversion
#real-numbers
A \(\frac{2}{5}\)
B \(\frac{7}{5}\)
C \(\frac{1}{7}\)
D \(\frac{5}{2}\)
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Correct Answer
A. \(\frac{2}{5}\)
Step 1
Concept
(14) और (35) का सामान्य गुणनखंड (7) है। / (14) and (35) have common factor (7).
Step 2
Why this answer is correct
\(\frac{14}{35}=\frac{2}{5}\), इसलिए दशमलव (0.4) होगा। / \(\frac{14}{35}=\frac{2}{5}\), so the decimal is (0.4).
Step 3
Exam Tip
परीक्षा सुझाव: सरल रूप लिखना कई प्रश्नों में पूरा अंक दिलाता है। / Exam tip: Writing the lowest form often earns the main mark.
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\(\frac{18}{45}\) का दशमलव प्रसार कैसा होगा?
What type of decimal expansion does \(\frac{18}{45}\) have?
#lowest-form
#terminating-decimal
#common-error
A समाप्त / Terminating
B असमाप्त अनावर्ती / Non-terminating non-recurring
C असमाप्त आवर्ती / Non-terminating recurring
D केवल पूर्णांक / Only an integer
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Correct Answer
A. समाप्त / Terminating
Step 1
Concept
\(\frac{18}{45}\) को (9) से सरल करने पर \(\frac{2}{5}\) मिलता है। / \(\frac{18}{45}\) simplifies by (9) to \(\frac{2}{5}\).
Step 2
Why this answer is correct
हर (5) है, इसलिए दशमलव समाप्त होगा। / The denominator is (5), so the decimal terminates.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा सुझाव: हर (45) देखकर भ्रमित न हों, सरल रूप देखें। / Exam tip: Do not get misled by denominator (45); check the lowest form.
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\(\frac{7}{28}\) के दशमलव प्रसार के बारे में सही कथन कौन सा है?
Which statement is correct about the decimal expansion of \(\frac{7}{28}\)?
#lowest-form
#decimal-expansion
#terminating
A यह समाप्त है / It is terminating
B यह असमाप्त अनावर्ती है / It is non-terminating non-recurring
C यह पूर्णांक नहीं है इसलिए परिमेय नहीं है / It is not rational because it is not an integer
D यह केवल हर (28) के कारण असमाप्त है / It is non-terminating only because the denominator is (28)
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Correct Answer
A. यह समाप्त है / It is terminating
Step 1
Concept
\(\frac{7}{28}=\frac{1}{4}\) है। / \(\frac{7}{28}=\frac{1}{4}\).
Step 2
Why this answer is correct
\(4=2^2\), इसलिए दशमलव समाप्त होगा। / Since \(4=2^2\), the decimal terminates.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा सुझाव: सबसे सरल रूप ही सही निर्णय देता है। / Exam tip: The lowest form gives the correct decision.
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किस शर्त पर \(\frac{p}{q}\) का दशमलव विस्तार समाप्त होता है, जब भिन्न सरल रूप में हो?
Under what condition does \(\frac{p}{q}\) have a terminating decimal expansion when the fraction is in lowest form?
#real numbers
#terminating decimal
#lowest form
#class 10
A (q) में केवल (2) और (5) के गुणनखंड हों / (q) has only factors (2) and (5)
B (q) विषम हो / (q) is odd
C (p) और (q) दोनों अभाज्य हों / Both (p) and (q) are prime
D (q) में (3) जरूर हो / (q) must contain (3)
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Correct Answer
A. (q) में केवल (2) और (5) के गुणनखंड हों / (q) has only factors (2) and (5)
Step 1
Concept
समाप्त दशमलव के लिए सरल रूप का भाजक देखा जाता है। / For terminating decimals, look at the denominator in lowest form.
Step 2
Why this answer is correct
यदि भाजक \(2^m5^n\) के रूप में हो, तो दशमलव समाप्त होगा। / If the denominator is of the form \(2^m5^n\), the decimal terminates.
Step 3
Exam Tip
हमेशा सरल रूप में बदलकर ही नियम लगाएं। / Always reduce the fraction before applying the rule.
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यदि \(\sqrt{3}\) की अपरिमेयता में (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य मिलते हैं, तो \(\frac{p}{q}\) के बारे में कौन-सा कथन सही है?
If both (p) and (q) are found divisible by (3) in proving \(\sqrt{3}\) irrational, which statement about \(\frac{p}{q}\) is correct?
#real-numbers
#root3
#lowest-form
#fraction
A यह सरलतम रूप में नहीं हो सकता / It cannot be in lowest form
B यह हमेशा (3) के बराबर है / It is always equal to (3)
C यह हमेशा शून्य है / It is always zero
D यह परिभाषित नहीं है / It is not defined
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. यह सरलतम रूप में नहीं हो सकता / It cannot be in lowest form
Step 1
Concept
दोनों में (3) साझा गुणनखंड है। / Both have (3) as a common factor.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए भिन्न को (3) से घटाया जा सकता है। / So the fraction can be reduced by (3).
Step 3
Exam Tip
सरलतम रूप में ऐसी स्थिति संभव नहीं होती। / Such a situation is impossible in lowest form.
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\(\sqrt{2}\) का प्रमाण लिखते समय यदि कोई \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\) मानता है पर सरलतम रूप नहीं लिखता, तो क्या समस्या होगी?
While writing the proof for \(\sqrt{2}\), if someone assumes \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\) but does not mention lowest form, what problem occurs?
#real-numbers
#root2
#lowest-form
#proof-logic
A वर्ग करना असंभव हो जाएगा / Squaring will become impossible
B (2) अभाज्य नहीं रहेगा / (2) will not remain prime
C साझा गुणनखंड मिलना निर्णायक विरोधाभास नहीं बनेगा / Finding a common factor will not become a decisive contradiction
D (q) अपने आप शून्य हो जाएगा / (q) will automatically become zero
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
C. साझा गुणनखंड मिलना निर्णायक विरोधाभास नहीं बनेगा / Finding a common factor will not become a decisive contradiction
Step 1
Concept
विरोधाभास इस बात पर निर्भर करता है कि (p) और (q) सहअभाज्य हैं। / The contradiction depends on (p) and (q) being coprime.
Step 2
Why this answer is correct
सरलतम रूप न लिखने पर दोनों सम मिलना जरूरी विरोधाभास नहीं कहलाएगा। / Without stating lowest form, both being even is not a decisive contradiction.
Step 3
Exam Tip
इसलिए शुरू में सरलतम रूप अवश्य लिखें। / Therefore mention lowest form at the start.
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\(\sqrt{3}\) के प्रमाण में यदि \(\frac{p}{q}\) सरलतम रूप में है, फिर भी (p=3m) और (q=3n) मिलते हैं, तो कौन-सा निष्कर्ष सबसे सटीक है?
In the proof for \(\sqrt{3}\), if \(\frac{p}{q}\) is in lowest form but (p=3m) and (q=3n) are obtained, which conclusion is most precise?
#real-numbers
#root3
#contradiction
#lowest-form
A \(\frac{p}{q}\) सचमुच सरलतम है / \(\frac{p}{q}\) is truly in lowest form
B (p) और (q) दोनों (1) हैं / (p) and (q) are both (1)
C परिमेय मान्यता विरोधाभास देती है / The rational assumption gives a contradiction
D (q=0) सिद्ध हो गया / (q=0) is proved
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
C. परिमेय मान्यता विरोधाभास देती है / The rational assumption gives a contradiction
Step 1
Concept
(p=3m) और (q=3n) से (3) दोनों का साझा गुणनखंड है। / (p=3m) and (q=3n) show that (3) is a common factor of both.
Step 2
Why this answer is correct
यह सरलतम रूप की शर्त के विपरीत है। / This contradicts the lowest-form condition.
Step 3
Exam Tip
इसलिए \(\sqrt{3}\) को परिमेय मानना गलत सिद्ध होता है। / Therefore assuming \(\sqrt{3}\) rational is proved false.
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यदि \(3\mid a\) और \(3\mid b\), तो \(\frac{a}{b}\) को सरलतम रूप में मानने से कौन-सा विरोध पैदा होता है?
If \(3\mid a\) and \(3\mid b\), what contradiction arises with assuming \(\frac{a}{b}\) in lowest form?
#real-numbers
#root3
#lowest-form
#common-factor
A दोनों में (3) साझा गुणनखंड है / Both have (3) as a common factor
B दोनों में कोई साझा गुणनखंड नहीं है / Both have no common factor
C दोनों शून्य हैं / Both are zero
D दोनों पूर्ण वर्ग हैं / Both are perfect squares
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Correct Answer
A. दोनों में (3) साझा गुणनखंड है / Both have (3) as a common factor
Step 1
Concept
\(3\mid a\) और \(3\mid b\) का अर्थ है कि दोनों (3) के गुणज हैं। / \(3\mid a\) and \(3\mid b\) mean both are multiples of (3).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए भिन्न को (3) से घटाया जा सकता है। / So the fraction can be reduced by (3).
Step 3
Exam Tip
सरलतम रूप में ऐसा संभव नहीं है। / This is not possible in lowest form.
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\(\sqrt{2}\) के प्रमाण में (p) और (q) दोनों सम सिद्ध होने पर \(\frac{p}{q}\) के बारे में कौन-सा कथन सही है?
In the proof for \(\sqrt{2}\), when both (p) and (q) are proved even, which statement about \(\frac{p}{q}\) is correct?
#real-numbers
#root2
#lowest-form
#common-factor
A यह सरलतम रूप में नहीं हो सकता / It cannot be in lowest form
B यह अवश्य (1) के बराबर है / It must be equal to (1)
C यह अवश्य पूर्णांक है / It must be an integer
D यह अवश्य ऋणात्मक है / It must be negative
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Correct Answer
A. यह सरलतम रूप में नहीं हो सकता / It cannot be in lowest form
Step 1
Concept
दोनों सम होने का अर्थ है कि दोनों में (2) साझा गुणनखंड है। / Both being even means both have (2) as a common factor.
Step 2
Why this answer is correct
सरलतम भिन्न में ऐसा साझा गुणनखंड नहीं हो सकता। / A fraction in lowest form cannot have such a common factor.
Step 3
Exam Tip
इसी से परिमेय मान्यता टूटती है। / This breaks the rational assumption.
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यदि \(\sqrt{3}\) परिमेय होती, तो प्रमाण में अंततः कौन-सी असंगति मिलती?
If \(\sqrt{3}\) were rational, what inconsistency would finally appear in the proof?
#real-numbers
#root3
#inconsistency
#lowest-form
A सरलतम भिन्न का अंश और हर दोनों (3) से विभाज्य हो जाते / The numerator and denominator of a lowest-form fraction would both become divisible by (3)
B सरलतम भिन्न का हर शून्य हो जाता / The denominator of a lowest-form fraction would become zero
C \(\sqrt{3}\) का वर्ग (9) हो जाता / The square of \(\sqrt{3}\) would become (9)
D (3) पूर्ण वर्ग बन जाता / (3) would become a perfect square
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Correct Answer
A. सरलतम भिन्न का अंश और हर दोनों (3) से विभाज्य हो जाते / The numerator and denominator of a lowest-form fraction would both become divisible by (3)
Step 1
Concept
परिमेय मान्यता में भिन्न सरलतम रूप में होती है। / In the rational assumption, the fraction is in lowest form.
Step 2
Why this answer is correct
प्रमाण दिखाता है कि अंश और हर दोनों (3) से विभाज्य हैं। / The proof shows that both numerator and denominator are divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
यह असंगति बताती है कि मान्यता गलत थी। / This inconsistency shows that the assumption was false.
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\(\sqrt{3}\) की अपरिमेयता के प्रमाण में (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य होने पर भिन्न के बारे में क्या कहा जाएगा?
In the proof of irrationality of \(\sqrt{3}\), if both (p) and (q) are divisible by (3), what will be said about the fraction?
#real-numbers
#root3
#fraction
#lowest-form
A भिन्न सरलतम रूप में नहीं थी / The fraction was not in lowest form
B भिन्न अवश्य शून्य थी / The fraction was necessarily zero
C भिन्न अवश्य पूर्णांक थी / The fraction was necessarily an integer
D भिन्न का हर शून्य था / The denominator of the fraction was zero
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Correct Answer
A. भिन्न सरलतम रूप में नहीं थी / The fraction was not in lowest form
Step 1
Concept
दोनों में (3) साझा गुणनखंड है। / Both have (3) as a common factor.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए भिन्न को (3) से घटाया जा सकता था। / So the fraction could be reduced by (3).
Step 3
Exam Tip
यह सरलतम रूप की मान्यता से सीधा विरोधाभास है। / This directly contradicts the lowest-form assumption.
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कौन-सा कथन \(\sqrt{2}\) के प्रमाण को सबसे अधिक कमजोर बना देगा?
Which statement would weaken the proof of \(\sqrt{2}\) the most?
#real-numbers
#root2
#lowest-form
#proof-logic
A \(\frac{p}{q}\) को सरलतम रूप में न लेना / Not taking \(\frac{p}{q}\) in lowest form
B \(p^2=2q^2\) लिखना / Writing \(p^2=2q^2\)
C (p=2r) लिखना / Writing (p=2r)
D \(q^2=2r^2\) लिखना / Writing \(q^2=2r^2\)
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Correct Answer
A. \(\frac{p}{q}\) को सरलतम रूप में न लेना / Not taking \(\frac{p}{q}\) in lowest form
Step 1
Concept
विरोधाभास इसी बात पर निर्भर करता है कि (p) और (q) सहअभाज्य हैं। / The contradiction depends on (p) and (q) being coprime.
Step 2
Why this answer is correct
यदि सरलतम रूप नहीं लिया गया, तो साझा गुणनखंड मिलना विरोधाभास नहीं बनेगा। / If lowest form is not taken, getting a common factor will not be a contradiction.
Step 3
Exam Tip
इसलिए शुरुआत में सरलतम रूप जरूरी है। / Therefore lowest form is essential at the start.
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\(\sqrt{2}\) के प्रमाण में \(\frac{p}{q}\) को सरलतम रूप में लेने के बाद (p) और (q) दोनों सम निकलते हैं। यह किस बात को गलत ठहराता है?
In the proof for \(\sqrt{2}\), after taking \(\frac{p}{q}\) in lowest form, both (p) and (q) turn out even. What does this disprove?
#real-numbers
#root2
#lowest-form
#contradiction
A \(\frac{p}{q}\) का सरलतम रूप होना / The fraction \(\frac{p}{q}\) being in lowest form
B \(\sqrt{2}\) का धनात्मक होना / \(\sqrt{2}\) being positive
C (2) का अभाज्य होना / (2) being prime
D \(q\neq0\) होना / \(q\neq0\)
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Correct Answer
A. \(\frac{p}{q}\) का सरलतम रूप होना / The fraction \(\frac{p}{q}\) being in lowest form
Step 1
Concept
सरलतम रूप में अंश और हर में (1) के अलावा कोई साझा गुणनखंड नहीं होता। / In lowest form, numerator and denominator have no common factor except (1).
Step 2
Why this answer is correct
दोनों सम होने पर (2) साझा गुणनखंड बन जाता है। / If both are even, (2) becomes a common factor.
Step 3
Exam Tip
इसलिए सरलतम रूप की शर्त टूटती है। / So the lowest-form condition fails.
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यदि (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य हैं, तो \(\frac{p}{q}\) के बारे में क्या कहा जा सकता है?
If both (p) and (q) are divisible by (3), what can be said about \(\frac{p}{q}\)?
#real-numbers
#coprime
#root3
#lowest-form
#hard
A यह सबसे सरल रूप में नहीं है / It is not in lowest form
B यह हमेशा शून्य है / It is always zero
C यह हमेशा पूर्णांक है / It is always an integer
D यह अवश्य ऋणात्मक है / It must be negative
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Correct Answer
A. यह सबसे सरल रूप में नहीं है / It is not in lowest form
Step 1
Concept
दोनों में (3) साझा गुणनखंड है। / Both have (3) as a common factor.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए भिन्न को (3) से घटाया जा सकता है, यानी वह सरलतम रूप में नहीं है। / So the fraction can be reduced by (3), meaning it is not in lowest form.
Step 3
Exam Tip
\(\sqrt{3}\) के प्रमाण में यही बात विरोधाभास बनती है। / This becomes the contradiction in the proof for \(\sqrt{3}\).
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\(\sqrt{5}\) के प्रमाण में (a) और (b) दोनों (5) से विभाज्य निकलने पर कौन-सा निष्कर्ष सही है?
In the proof for \(\sqrt{5}\), if both (a) and (b) turn out divisible by (5), what conclusion is correct?
#real-numbers
#root5
#lowest-form
#contradiction
#hard
A \(\frac{a}{b}\) सरलतम रूप में नहीं था / \(\frac{a}{b}\) was not in lowest form
B \(\sqrt{5}\) पूर्णांक है / \(\sqrt{5}\) is an integer
C (a=b) है / (a=b)
D (b=0) है / (b=0)
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Correct Answer
A. \(\frac{a}{b}\) सरलतम रूप में नहीं था / \(\frac{a}{b}\) was not in lowest form
Step 1
Concept
सरलतम रूप में अंश और हर सहअभाज्य होते हैं। / In lowest form, numerator and denominator are coprime.
Step 2
Why this answer is correct
यदि दोनों (5) से विभाज्य हैं, तो उनमें साझा गुणनखंड है। / If both are divisible by (5), they have a common factor.
Step 3
Exam Tip
इससे प्रारंभिक परिमेय मान्यता गलत सिद्ध होती है। / This proves the original rational assumption false.
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किस स्थिति में \(\frac{p}{q}\) को सरलतम रूप में नहीं कहा जा सकता?
In which situation can \(\frac{p}{q}\) not be called lowest form?
#real-numbers
#lowest-form
#coprime
#fraction
#hard
A जब (p) और (q) का कोई साझा गुणनखंड (1) से बड़ा हो / When (p) and (q) have a common factor greater than (1)
B जब (p) और (q) दोनों पूर्णांक हों / When (p) and (q) are both integers
C जब \(q\neq0\) हो / When \(q\neq0\)
D जब (p) और (q) अलग-अलग हों / When (p) and (q) are different
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Correct Answer
A. जब (p) और (q) का कोई साझा गुणनखंड (1) से बड़ा हो / When (p) and (q) have a common factor greater than (1)
Step 1
Concept
सरलतम रूप का मतलब है कि अंश और हर में (1) के अलावा कोई साझा गुणनखंड न हो। / Lowest form means numerator and denominator have no common factor other than (1).
Step 2
Why this answer is correct
यदि साझा गुणनखंड (1) से बड़ा है, तो भिन्न और सरल की जा सकती है। / If a common factor greater than (1) exists, the fraction can still be reduced.
Step 3
Exam Tip
यही विचार अपरिमेयता के प्रमाण में विरोधाभास बनता है। / This idea becomes the contradiction in irrationality proofs.
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\(\sqrt{2}\) की अपरिमेयता सिद्ध करते समय \(\frac{p}{q}\) को सबसे सरल रूप में लेना क्यों जरूरी है?
Why is it necessary to take \(\frac{p}{q}\) in lowest form while proving the irrationality of \(\sqrt{2}\)?
#real-numbers
#root2
#lowest-form
#coprime
#hard
A ताकि अंत में साझा गुणनखंड मिलना विरोधाभास बने / So that getting a common factor at the end becomes a contradiction
B ताकि (p) और (q) दोनों शून्य हो सकें / So that (p) and (q) can both be zero
C ताकि \(\sqrt{2}\) पूर्णांक बन जाए / So that \(\sqrt{2}\) becomes an integer
D ताकि (q) को हटाया जा सके / So that (q) can be removed
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Correct Answer
A. ताकि अंत में साझा गुणनखंड मिलना विरोधाभास बने / So that getting a common factor at the end becomes a contradiction
Step 1
Concept
परिमेय संख्या को सबसे सरल रूप में \(\frac{p}{q}\) माना जाता है। / A rational number is written in lowest form as \(\frac{p}{q}\).
Step 2
Why this answer is correct
प्रमाण में (p) और (q) दोनों सम निकलते हैं, जो सबसे सरल रूप के विरुद्ध है। / The proof shows that both (p) and (q) become even, which contradicts lowest form.
Step 3
Exam Tip
शुरुआत में सहअभाज्य लिखना बहुत जरूरी है। / Always mention coprime at the start of the proof.
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\(\sqrt{5}\) की सिद्धि में यदि अंत में (p=5m) और (q=5n) मिलते हैं, तो \(\frac{p}{q}\) के सरलतम रूप पर सबसे सटीक टिप्पणी क्या होगी?
In the proof of \(\sqrt{5}\), if finally (p=5m) and (q=5n) are obtained, what is the most accurate comment on the lowest form of \(\frac{p}{q}\)?
#sqrt5 proof
#lowest form
#hard
#class 10
A यह सरलतम रूप नहीं हो सकता, क्योंकि इसे (5) से घटाया जा सकता है / It cannot be in lowest form because it can be reduced by (5)
B यह सरलतम रूप ही है, क्योंकि (5) अभाज्य है / It is still in lowest form because (5) is prime
C यह परिभाषित नहीं है, क्योंकि (q=0) है / It is undefined because (q=0)
D यह (5) के बराबर हो जाता है / It becomes equal to (5)
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Correct Answer
A. यह सरलतम रूप नहीं हो सकता, क्योंकि इसे (5) से घटाया जा सकता है / It cannot be in lowest form because it can be reduced by (5)
Step 1
Concept
(p=5m) और (q=5n) होने पर अंश और हर दोनों में (5) साझा गुणनखंड है। / If (p=5m) and (q=5n), both numerator and denominator have common factor (5).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \(\frac{p}{q}=\frac{5m}{5n}=\frac{m}{n}\) लिखा जा सकता है, यानी भिन्न घट सकती है। / So \(\frac{p}{q}=\frac{5m}{5n}=\frac{m}{n}\), meaning the fraction can be reduced.
Step 3
Exam Tip
यह सरलतम रूप की मान्यता के विरुद्ध है, इसलिए \(\sqrt{5}\) अपरिमेय सिद्ध होती है। / This contradicts the lowest-form assumption, so \(\sqrt{5}\) is proved irrational.
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\(\sqrt{5}\) की सिद्धि में (p) और (q) दोनों (5) से विभाज्य मिलते हैं। यह किस बात को उजागर करता है?
In the proof of \(\sqrt{5}\), both (p) and (q) are found divisible by (5). What does this reveal?
#sqrt5 proof
#lowest form
#hard
#class 10
A \(\frac{p}{q}\) सरलतम रूप में नहीं थी / \(\frac{p}{q}\) was not in lowest form
B \(\sqrt{5}=5\) था / \(\sqrt{5}=5\)
C \(\frac{p}{q}\) शून्य थी / \(\frac{p}{q}\) was zero
D (q=0) था / (q=0)
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Correct Answer
A. \(\frac{p}{q}\) सरलतम रूप में नहीं थी / \(\frac{p}{q}\) was not in lowest form
Step 1
Concept
दोनों (5) से विभाज्य होने पर भिन्न में (5) साझा गुणनखंड है। / If both are divisible by (5), the fraction has common factor (5).
Step 2
Why this answer is correct
ऐसी भिन्न को घटाया जा सकता है। / Such a fraction can be reduced.
Step 3
Exam Tip
इसलिए यह सरलतम रूप में नहीं हो सकती, जो विरोधाभास है। / Therefore it cannot be in lowest form, which is the contradiction.
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यदि \(\sqrt{3}\) की सिद्धि में (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य हैं, तो \(\frac{p}{q}\) के सरलतम रूप पर क्या असर पड़ेगा?
If in the proof of \(\sqrt{3}\), both (p) and (q) are divisible by (3), what is the effect on the lowest form of \(\frac{p}{q}\)?
#sqrt3 proof
#lowest form
#hard
#class 10
A यह सरलतम रूप में नहीं रह सकती / It cannot remain in lowest form
B यह अवश्य (3) हो जाएगी / It must become (3)
C यह शून्य हो जाएगी / It will become zero
D यह परिभाषित नहीं होगी / It will be undefined
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Correct Answer
A. यह सरलतम रूप में नहीं रह सकती / It cannot remain in lowest form
Step 1
Concept
दोनों (3) से विभाज्य होने पर भिन्न में (3) साझा गुणनखंड है। / If both are divisible by (3), the fraction has common factor (3).
Step 2
Why this answer is correct
ऐसी भिन्न को (3) से घटाया जा सकता है। / Such a fraction can be reduced by (3).
Step 3
Exam Tip
इसलिए सरलतम रूप की मान्यता टूटती है। / Therefore the lowest-form assumption breaks.
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