Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
कावेरी नदी का जल बंटवारा कर्नाटक और तमिलनाडु के बीच महत्वपूर्ण मुद्दा रहा है। नदी विवादों में राज्य और नदी की जोड़ी याद रखें। / Kaveri water sharing has been an important issue between Karnataka and Tamil Nadu. For river disputes, remember the river-state pair.
कावेरी जल विवाद मुख्य रूप से कर्नाटक और तमिलनाडु के बीच नदी जल बंटवारे से जुड़ा है। परीक्षा में नदी और संबंधित राज्य याद रखें। / The Kaveri water dispute mainly concerns river water sharing between Karnataka and Tamil Nadu. For exams remember rivers with related states.
कावेरी जल विवाद मुख्य रूप से कर्नाटक और तमिलनाडु के बीच जल बंटवारे से जुड़ा है। परीक्षा में नदी और संबंधित राज्य याद रखें। / The Kaveri water dispute mainly concerns water sharing between Karnataka and Tamil Nadu. For exams remember rivers with related states.
A. क्योंकि भाषा पहचान प्रशासन और शिक्षा से जुड़ी होती है/Because language is linked with identity administration and education
Explanation
Simple Explanation
भाषा नीति नए राष्ट्र में पहचान और प्रशासन को प्रभावित करती है। परीक्षा में सांस्कृतिक चुनौतियां याद रखें। / Language policy affects identity and administration in a new nation. For exams remember cultural challenges.
दत्तक पुत्र को उत्तराधिकारी न मानने से झांसी हड़प नीति में आ गया। परीक्षा में इसे लक्ष्मीबाई के प्रतिरोध का कारण याद रखें। / Refusal to accept the adopted son as heir brought Jhansi under the Doctrine of Lapse. For exams remember it as a cause of Lakshmibai's resistance.
A. पूरे अंतरराष्ट्रीय शांति तंत्र के लिए खतरा/A threat to the whole international peace system
Explanation
Simple Explanation
सामूहिक सुरक्षा में आक्रमण को व्यापक शांति के लिए खतरा माना जाता है। परीक्षा में इसे संयुक्त प्रतिक्रिया से जोड़ें। / Collective security treats aggression as a threat to wider peace. Exam tip: connect it with joint response.
A. कई आंदोलनों में चुनावी निष्पक्षता मुख्य मांग बनी/Electoral fairness became a key demand in many movements
Explanation
Simple Explanation
रंग क्रांतियों में वोट और वैधता का प्रश्न प्रमुख रहा। परीक्षा में चुनाव और जन आंदोलन का संबंध देखें। / In color revolutions questions of vote and legitimacy were important. For exams see the link between elections and mass movement.
A. नई सीमाओं में राष्ट्रीय दावों और सामरिक जरूरतों का टकराव/Clash of national claims and strategic needs in new borders
Explanation
Simple Explanation
डांजिग प्रश्न जर्मन राष्ट्रवाद और पोलैंड की समुद्री पहुंच से जुड़ा था। परीक्षा में सीमा विवादों को युद्ध कारण से जोड़ें। / The Danzig issue was linked with German nationalism and Poland's access to the sea. For exams connect border disputes with causes of war.
अहमदाबाद मिल मजदूर आंदोलन 1918 से जुड़ा है। इसे गांधीजी की सत्याग्रह पद्धति और श्रमिक संघर्ष से जोड़ें। / The Ahmedabad mill workers' dispute is associated with 1918. Link it with Gandhi's satyagraha method and labour struggle.
अहमदाबाद मिल हड़ताल मजदूरों की मजदूरी और बोनस के प्रश्न से जुड़ी थी। इसे गांधीजी के मजदूर सत्याग्रह से याद रखें। / The Ahmedabad Mill Strike was linked with workers' wages and bonus. Remember it as Gandhi's labour satyagraha.
B. परंपरागत जनजातीय भूमि अधिकार/Traditional tribal land rights
Explanation
Simple Explanation
खूंटकट्टी मुंडाओं के पारंपरिक भूमि अधिकारों से जुड़ी थी। परीक्षा में बिरसा मुंडा को भूमि और पहचान के प्रश्न से जोड़ें। / Khuntkatti was linked with traditional land rights of Mundas. Exam tip: connect Birsa Munda with land and identity issues.
अहमदाबाद सत्याग्रह मजदूरों की मजदूरी से जुड़ा था। परीक्षा में गांधीजी के शुरुआती आंदोलनों का अंतर याद रखें। / Ahmedabad Satyagraha was linked with workers' wages. Exam tip: remember differences among Gandhi's early movements.
A. अल्पसंख्यक सुरक्षा और प्रतिनिधित्व की पद्धति/Method of minority safeguards and representation
Explanation
Simple Explanation
दोनों दस्तावेज संवैधानिक प्रतिनिधित्व की अलग सोच दिखाते हैं। परीक्षा में 1928 और 1929 का क्रम याद रखें। / Both documents show different ideas of constitutional representation. Exam tip: remember the sequence of 1928 and 1929.
A. क्योंकि अलग समूह प्रतिनिधित्व और सुरक्षा चाहते थे/Because different groups wanted representation and safeguards
Explanation
Simple Explanation
प्रतिनिधित्व का प्रश्न संवैधानिक समझौते में कठिन था। परीक्षा में गोलमेज सम्मेलनों को संवैधानिक गतिरोध से जोड़ें। / The question of representation was difficult in constitutional compromise. Exam tip is to link Round Table Conferences with constitutional deadlock.
A. कांग्रेस और लीग ने समूहों की बाध्यता को अलग ढंग से समझा/Congress and League interpreted compulsory grouping differently
Explanation
Simple Explanation
समूह व्यवस्था पर असहमति ने योजना को कमजोर किया। परीक्षा में 1946 की संवैधानिक जटिलता याद रखें। / Disagreement over grouping weakened the plan. Exam tip: remember constitutional complexity of 1946.
C. संघर्ष की रणनीति और नेतृत्व/Strategy of struggle and leadership
Explanation
Simple Explanation
उदारवादी और गरम दल आंदोलन की पद्धति पर अलग सोच रखते थे। परीक्षा में सूरत विभाजन को कांग्रेस के वैचारिक मतभेद से जोड़ें। / Moderates and Extremists differed over the method of struggle. Exam tip is to link the Surat Split with ideological differences in Congress.
A. कांग्रेस और मुस्लिम लीग ने इसकी बाध्यता को अलग तरह समझा/Congress and Muslim League interpreted its compulsory nature differently
Explanation
Simple Explanation
समूह व्यवस्था पर मतभेद से योजना की सफलता कमजोर हुई। परीक्षा में 1946 की संवैधानिक जटिलता याद रखें। / Disagreement over grouping weakened the success of the plan. Exam tip: remember constitutional complexity of 1946.
A. इसमें औपनिवेशिक अपमान, खराब स्थितियां और राष्ट्रवादी माहौल भी शामिल थे/It also included colonial humiliation, poor conditions and nationalist atmosphere
Explanation
Simple Explanation
नौसेना विद्रोह में आर्थिक और राजनीतिक दोनों असंतोष दिखे। परीक्षा में 1946 की पृष्ठभूमि व्यापक रखें। / The naval revolt showed both economic and political discontent. Exam tip: keep the background of 1946 broad.
A. आंदोलन की रणनीति और नेतृत्व दिशा पर मतभेद/Difference over movement strategy and direction of leadership
Explanation
Simple Explanation
सूरत में उदारवादी और उग्रवादी पद्धतियों का संघर्ष खुलकर सामने आया। परीक्षा में सतही घटना और मूल कारण अलग करें। / At Surat the clash between Moderate and Extremist methods came out openly. Exam tip: separate surface event from root cause.
A. दोनों ने प्रांतों के समूहों की बाध्यता और केंद्र की शक्ति को अलग तरह समझा/Both interpreted compulsory grouping and central power differently
Explanation
Simple Explanation
समूह व्यवस्था पर असहमति ने संयुक्त भारत की योजना कमजोर कर दी। परीक्षा में 1946 की संवैधानिक जटिलता याद रखें। / Disagreement over grouping weakened the plan for united India. Exam tip: remember the constitutional complexity of 1946.
A. संयुक्त भारत और मुस्लिम लीग की मांग के बीच संतुलन/Balance between united India and Muslim League's demand
Explanation
Simple Explanation
समूह योजना ने विभाजन टालने के लिए समझौता खोजा। परीक्षा में इसे 1946 की जटिल संवैधानिक योजना समझें। / The grouping plan sought compromise to avoid partition. Exam tip is to understand it as a complex constitutional plan of 1946.
A. कांग्रेस और लीग ने प्रांत समूहों की बाध्यता को अलग ढंग से समझा/Congress and League interpreted compulsory grouping differently
Explanation
Simple Explanation
समूह व्यवस्था पर असहमति ने योजना की सफलता को कमजोर किया। परीक्षा में 1946 की संवैधानिक जटिलता याद रखें। / Disagreement over grouping weakened the success of the plan. Exam tip: remember constitutional complexity of 1946.
A. अल्पसंख्यक अधिकार और पृथक प्रतिनिधित्व/Minority rights and separate representation
Explanation
Simple Explanation
नेहरू रिपोर्ट पर मुस्लिम लीग के एक हिस्से को अल्पसंख्यक सुरक्षा अपर्याप्त लगी। परीक्षा में संवैधानिक बहसों को समझें। / A section of Muslim League found minority safeguards in the Nehru Report insufficient. Exam tip: understand constitutional debates.
A. क्योंकि वह आजीविका परंपरागत अधिकार और औपनिवेशिक नियंत्रण के विरोध से जुड़ा था/Because it was linked with livelihood traditional rights and resistance to colonial control
Step 1
Concept
आदिवासी जंगलों से जीवन की जरूरी वस्तुएं पाते थे। / Tribals received essential things from forests.
Step 2
Why this answer is correct
वन कानूनों ने उनके अधिकार और स्वतंत्रता दोनों सीमित किए। / Forest laws limited both their rights and freedom.
Step 3
Exam Tip
गुडेम आंदोलन को व्यापक सामाजिक राजनीतिक संदर्भ में समझें। / Understand the Gudem movement in a wider social and political context.
A. क्योंकि इसमें वन अधिकार श्रम शोषण और औपनिवेशिक नियंत्रण का विरोध शामिल था/Because it included forest rights labour exploitation and resistance to colonial control
Step 1
Concept
जंगल आदिवासियों की आजीविका का आधार थे। / Forests were the base of tribal livelihood.
Step 2
Why this answer is correct
जबरन श्रम और सरकारी नियंत्रण ने आंदोलन को और गहरा बनाया। / Forced labour and government control made the movement deeper.
Step 3
Exam Tip
गुडेम आंदोलन को व्यापक कारणों के साथ लिखें। / Write the Gudem movement with wider causes.
A. क्योंकि उसने कई सामुदायिक और परंपरागत अधिकारों को अनदेखा किया/Because it ignored many community and customary rights
Explanation
Simple Explanation
भूमि बंदोबस्त ने स्वामित्व और राजस्व को नए ढंग से परिभाषित किया। परीक्षा में भूमि अधिकार और कर व्यवस्था साथ पढ़ें। / Land settlements redefined ownership and revenue. For exams study land rights and tax system together.
A. राज्य के वित्तीय संकट को कम करना और चर्च शक्ति घटाना/To reduce the state's financial crisis and weaken church power
Explanation
Simple Explanation
चर्च संपत्ति जब्ती वित्तीय संकट और संस्थागत शक्ति नियंत्रण से जुड़ी थी। परीक्षा में आर्थिक और राजनीतिक कारण साथ लिखें। / Confiscating church property related to financial crisis and control over institutional power. In exams, mention economic and political causes together.
A. क्योंकि यह व्यापारियों उद्योगपतियों और संपत्ति रखने वालों के हित से जुड़ी थी/Because it was linked with the interests of merchants industrialists and property holders
Step 1
Concept
नए मध्य वर्ग की संपत्ति व्यापार और उद्योग से जुड़ी थी। / The property of the new middle class was linked with trade and industry.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए वे निजी संपत्ति की कानूनी सुरक्षा चाहते थे। / Therefore they wanted legal protection of private property.
Step 3
Exam Tip
इसे उदारवाद के आर्थिक हितों से जोड़कर समझें। / Understand this through the economic interests of liberalism.
काली मिट्टी नमी में फूलती और सूखने पर सिकुड़ती है। परीक्षा में इसे कपास और दक्कन क्षेत्र से जोड़ें। / Black soil swells with moisture and shrinks on drying. For exams link it with cotton and the Deccan region.
A. सिकुड़ने और फूलने की क्षमता/Shrink and swell capacity
Explanation
Simple Explanation
काली मिट्टी नमी में फूलती और सूखने पर सिकुड़ती है। परीक्षा में काली मिट्टी कपास और दक्कन संबंध याद रखें। / Black soil swells with moisture and shrinks on drying. For exams remember the black soil cotton and Deccan link.
A. सिकुड़ने और फूलने की प्रकृति/Shrink and swell nature
Explanation
Simple Explanation
काली मिट्टी नमी में फूलती और सूखने पर सिकुड़ती है। परीक्षा में इसे दक्कन और कपास से जोड़ें। / Black soil swells with moisture and shrinks on drying. For exams link it with Deccan and cotton.
C. सिकुड़ने और फूलने की क्षमता/Shrink and swell capacity
Explanation
Simple Explanation
काली मिट्टी नमी में फूलती और सूखने पर सिकुड़ती है। परीक्षा में काली मिट्टी दक्कन और कपास संबंध याद रखें। / Black soil swells with moisture and shrinks on drying. For exams remember black soil Deccan and cotton link.
A. सिकुड़ने और फूलने की प्रकृति/Shrink and swell nature
Explanation
Simple Explanation
काली मिट्टी नमी में फूलती और सूखने पर सिकुड़ती है। परीक्षा में इसे कपास और दक्कन से जोड़ें। / Black soil swells with moisture and shrinks on drying. For exams link it with cotton and Deccan.
A. सिकुड़ने और फूलने की प्रकृति/Shrink and swell nature
Explanation
Simple Explanation
काली मिट्टी नमी मिलने पर फूलती और सूखने पर सिकुड़ती है। परीक्षा में काली मिट्टी कपास और दक्कन को साथ याद रखें। / Black soil swells with moisture and shrinks on drying. For exams remember black soil cotton and Deccan together.
A. सिकुड़ने और फूलने की क्षमता/Ability to shrink and swell
Explanation
Simple Explanation
काली मिट्टी नमी के अनुसार फूलती और सूखने पर सिकुड़ती है। परीक्षा में इसे दक्कन और कपास से जोड़ें। / Black soil swells with moisture and shrinks when dry. For exams link it with Deccan and cotton.
A. भूमि पर कब्जा राजनीतिक नियंत्रण और मूल निवासी विस्थापन से जुड़ा था/Land occupation was linked with political control and indigenous displacement
Explanation
Simple Explanation
बसाहट उपनिवेशवाद भूमि और पहचान पर गहरा असर डालता है। परीक्षा में ऑस्ट्रेलिया अमेरिका और न्यूजीलैंड के उदाहरण याद रखें। / Settler colonialism deeply affects land and identity. For exams remember examples of Australia America and New Zealand.
A. राज्य के वित्तीय संकट को कम करना और चर्च शक्ति सीमित करना/To reduce the state financial crisis and limit Church power
Explanation
Simple Explanation
चर्च संपत्ति का राष्ट्रीयकरण वित्त और सत्ता दोनों से जुड़ा था। परीक्षा में इसे क्रांति के आर्थिक और धार्मिक पक्ष से जोड़ें। / Nationalization of Church property was linked with both finance and power. For exams connect it with the economic and religious sides of the revolution.
फुसफुसाती गैलरी ध्वनि प्रतिध्वनि के कारण प्रसिद्ध है। परीक्षा में गोल गुम्बज को बीजापुर और आदिलशाही स्थापत्य से जोड़ें। / The whispering gallery is famous due to acoustic echo. In exams connect Gol Gumbaz with Bijapur and Adil Shahi architecture.
B. हर दो लगातार पदों का अंतर समान होता है/The difference between every two consecutive terms is equal
Explanation
Simple Explanation
समांतर श्रेढ़ी में लगातार पदों का अंतर स्थिर होता है। यही इसकी मुख्य पहचान है। / In an arithmetic progression, the difference between consecutive terms is constant. This is its main identity.
A. दोनों अभाज्य संख्याएं हैं/Both are prime numbers
Step 1
Concept
(3) और (5) अभाज्य संख्याएं हैं। / (3) and (5) are prime numbers.
Step 2
Why this answer is correct
अभाज्य गुणनखंड अगर किसी वर्ग को विभाजित करे, तो मूल संख्या को भी विभाजित करता है। / If a prime factor divides a square, it also divides the original number.
Step 3
Exam Tip
इसी गुण से साझा गुणनखंड वाला विरोधाभास बनता है। / This property creates the common-factor contradiction.
B. अंकगणित का मूल प्रमेय/Fundamental theorem of arithmetic
Step 1
Concept
(1) से बड़ी हर पूर्ण संख्या का अभाज्य गुणनखंडन क्रम को छोड़कर अद्वितीय होता है। / Every integer greater than (1) has a unique prime factorisation apart from the order.
Step 2
Why this answer is correct
यह बात अंकगणित के मूल प्रमेय से आती है। / This comes from the fundamental theorem of arithmetic.
Step 3
Exam Tip
अभाज्य गुणनखंडन की अद्वितीयता को इसी प्रमेय से जोड़कर याद रखें। / Remember uniqueness of prime factorisation with this theorem.
A. अंकगणित का मूल प्रमेय/Fundamental theorem of arithmetic
Step 1
Concept
अंकगणित का मूल प्रमेय कहता है कि (1) से बड़ी हर संख्या का अभाज्य गुणनखंडन क्रम को छोड़कर अद्वितीय होता है। / The fundamental theorem of arithmetic says every integer greater than (1) has a unique prime factorisation apart from order.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए (N) का दिया गया अभाज्य गुणनखंडन इसी गुणधर्म पर आधारित है। / So the given factorisation of (N) is based on this property.
Step 3
Exam Tip
अभाज्य गुणनखंडन की अद्वितीयता को हमेशा इस प्रमेय से जोड़ें। / Link uniqueness of prime factorisation with this theorem.
A. कथन गलत है क्योंकि अम्ल धातुओं कार्बोनेटों और क्षारों से भी क्रिया करते हैं/The statement is wrong because acids also react with metals, carbonates, and bases
Step 1
Concept
लिटमस परिवर्तन अम्ल की पहचान का एक तरीका है। / Litmus change is only one way to identify an acid.
Step 2
Why this answer is correct
अम्ल सक्रिय धातुओं से हाइड्रोजन और कार्बोनेटों से कार्बन डाइऑक्साइड दे सकते हैं। / Acids can give hydrogen with active metals and carbon dioxide with carbonates.
Step 3
Exam Tip
अम्ल क्षारों से उदासीनीकरण भी करते हैं इसलिए कथन अधूरा है। / Acids also neutralise bases, so the statement is incomplete.
तेभागा आंदोलन में बटाईदारों ने उपज का दो-तिहाई हिस्सा मांगा़। इसे बंगाल के किसान वर्ग संघर्ष से जोड़ें। / In the Tebhaga Movement sharecroppers demanded two-thirds of the produce. Link it with agrarian class struggle in Bengal.
अहमदाबाद सत्याग्रह मिल मजदूरों की मजदूरी से जुड़ा था। परीक्षा में गांधीजी के शुरुआती आंदोलनों का अंतर याद रखें। / Ahmedabad Satyagraha was linked with wages of mill workers. Exam tip: remember differences among Gandhi's early movements.
A. जल धारण क्षमता और सिकुड़न फूलन/Water retention and shrink swell nature
Explanation
Simple Explanation
काली मिट्टी में जल धारण क्षमता अच्छी होती है और सूखने पर दरारें पड़ती हैं। परीक्षा में इसे कपास और दक्कन से जोड़ें। / Black soil has good water retention and cracks on drying. For exams link it with cotton and Deccan.
A. छिद्रदार कंकड़ बजरी निक्षेप/Porous pebble gravel deposits
Explanation
Simple Explanation
भाबर में मोटे और छिद्रदार निक्षेप जल को नीचे जाने देते हैं। परीक्षा में भाबर को तराई से अलग रखें। / Coarse porous deposits in Bhabar allow water to sink. For exams distinguish Bhabar from Terai.
A. अधिक जल धारण क्षमता/High water retaining capacity
Explanation
Simple Explanation
काली मिट्टी जल रोकने की क्षमता के कारण कपास के लिए उपयोगी है। परीक्षा में काली मिट्टी दक्कन और कपास को साथ याद रखें। / Black soil is useful for cotton due to its water retaining capacity. For exams remember black soil Deccan and cotton together.
A. सांस्कृतिक संपत्ति स्वामित्व और ऐतिहासिक न्याय/Cultural property ownership and historical justice
Explanation
Simple Explanation
वस्तु वापसी स्मृति और सांस्कृतिक अधिकारों से जुड़ी है। परीक्षा में संग्रहालय और उपनिवेशी लूट याद रखें। / Repatriation of objects is linked with memory and cultural rights. For exams remember museums and colonial looting.
(S_{20}=10\(t_{10}+t_{11}\)) से \(t_{11}=60\) मिलता है। परीक्षा में (S_{2m}=m\(t_m+t_{m+1}\)) याद रखें। / From (S_{20}=10\(t_{10}+t_{11}\)), \(t_{11}=60\). Exam tip: remember (S_{2m}=m\(t_m+t_{m+1}\)).
प्रत्येक पद को (-3x) से गुणा करने पर \(-6x^3+12x^2-15x\) मिलता है। ऋणात्मक गुणक के संकेत ध्यान से लगाएं। / Multiplying each term by (-3x) gives \(-6x^3+12x^2-15x\). Apply signs carefully with a negative multiplier.
प्रत्येक पद को (2x) से गुणा करने पर \(6x^3-10x^2+2x\) मिलता है। वितरण नियम का प्रयोग करें। / Multiplying each term by (2x) gives \(6x^3-10x^2+2x\). Use the distributive property.
वितरण नियम से (6(2x+5)=12x+30)। कोष्ठक के दोनों पदों से (6) को गुणा करें। / By the distributive law, (6(2x+5)=12x+30). Multiply (6) by both terms inside the bracket.
वितरण नियम से (4(3x+2)=12x+8)। कोष्ठक के दोनों पदों से (4) को गुणा करें। / By the distributive law, (4(3x+2)=12x+8). Multiply (4) by both terms inside the bracket.
वितरण नियम से (5(2x+1)=10x+5)। बाहरी संख्या को दोनों पदों से गुणा करें। / By the distributive law, (5(2x+1)=10x+5). Multiply the outside number by both terms.
क्योंकि \(\alpha\) जड़ है, \(\alpha^2=5\alpha+3\) और \(\alpha\beta=-3\) है। व्यंजक (5\alpha+3+5\beta-3=5\(\alpha+\beta\)=25) बनता है। / Since \(\alpha\) is a root, \(\alpha^2=5\alpha+3\), and \(\alpha\beta=-3\). The expression becomes (5\alpha+3+5\beta-3=5\(\alpha+\beta\)=25).
क्योंकि \(\alpha\) जड़ है, \(\alpha^2=4\alpha+2\) होगा और \(\alpha\beta=-2\) है। व्यंजक (4\alpha+2+4\beta-2=4\(\alpha+\beta\)=16) बनता है। / Since \(\alpha\) is a root, \(\alpha^2=4\alpha+2\), and \(\alpha\beta=-2\). The expression becomes (4\alpha+2+4\beta-2=4\(\alpha+\beta\)=16).
\(\alpha^2=3\alpha+1\) और \(\alpha\beta=-1\) रखें। तब व्यंजक (3\alpha+1+3\beta-1=3\(\alpha+\beta\)=9) होगा। / Use \(\alpha^2=3\alpha+1\) and \(\alpha\beta=-1\). Then the expression is (3\alpha+1+3\beta-1=3\(\alpha+\beta\)=9).
क्योंकि \(\alpha^2=3\alpha+1\), व्यंजक (3\alpha+1+3\beta-1=3\(\alpha+\beta\)=9) बनता है, इसलिए कोई विकल्प सही नहीं है। सही मान (9) होगा। / Since \(\alpha^2=3\alpha+1\), the expression becomes (3\alpha+1+3\beta-1=3\(\alpha+\beta\)=9), so no option is correct. The correct value is (9).
A. केवल (2) और (5) हो सकते हैं/Only (2) and (5) can occur
Explanation
Simple Explanation
सांत दशमलव में सरलतम हर (q) में केवल (2) और (5) हो सकते हैं। \(q^4\) में घातें बढ़ेंगी लेकिन नया अभाज्य गुणनखंड नहीं आएगा। / For a terminating decimal, the reduced denominator (q) can contain only (2) and (5). In \(q^4\), powers increase but no new prime factor appears.
अधिकतम (9) दशमलव स्थानों का अर्थ है भिन्न को \(10^9\) हर के साथ लिखा जा सकता है। इसलिए सरलतम हर \(10^9\) का भाजक होगा। / At most (9) decimal places means the fraction can be written with denominator \(10^9\). Therefore the reduced denominator must divide \(10^9\).
A. केवल (2) और (5) हो सकते हैं/Only (2) and (5) can occur
Explanation
Simple Explanation
सांत दशमलव में सरलतम हर (q) में केवल (2) और (5) हो सकते हैं। \(q^3\) में घातें बढ़ेंगी लेकिन नया अभाज्य गुणनखंड नहीं आएगा। / For a terminating decimal, the reduced denominator (q) can contain only (2) and (5). In \(q^3\), powers increase but no new prime factor appears.
अधिकतम (7) दशमलव स्थानों का अर्थ है भिन्न को \(10^7\) हर के साथ लिखा जा सकता है। इसलिए सरलतम हर \(10^7\) का भाजक होगा। / At most (7) decimal places means the fraction can be written with denominator \(10^7\). Therefore the reduced denominator must divide \(10^7\).
C. (q) में (2) और (5) के अलावा कम से कम एक अभाज्य होगा/(q) has at least one prime other than (2) and (5)
Explanation
Simple Explanation
असांत आवर्ती दशमलव के लिए सरलतम हर में (2) और (5) के अलावा कोई अभाज्य गुणनखंड बचता है। (2) या (5) साथ में हो सकते हैं, पर अकेले पर्याप्त नहीं। / For a non-terminating recurring decimal, the reduced denominator has at least one prime factor other than (2) and (5). Factors (2) or (5) may also be present, but they are not enough alone.
अधिकतम (5) दशमलव स्थानों का अर्थ है भिन्न को \(10^5\) हर के साथ लिखा जा सकता है। सरलतम हर \(10^5\) का भाजक होगा। / At most (5) decimal places means the fraction can be written with denominator \(10^5\). The reduced denominator must divide \(10^5\).
A. केवल (2) और (5) हो सकते हैं/Only (2) and (5) can occur
Step 1
Concept
सांत दशमलव के लिए सरलतम हर (q) में केवल (2) और (5) हो सकते हैं। / For a terminating decimal, the reduced denominator (q) can contain only (2) and (5).
Step 2
Why this answer is correct
\(q^2\) में भी उन्हीं अभाज्य गुणनखंडों की घातें बढ़ेंगी, नया अभाज्य गुणनखंड नहीं आएगा। / In \(q^2\), the powers of the same primes increase, but no new prime factor appears.
Step 3
Exam Tip
घात बदल सकती है, अभाज्य प्रकार नहीं। / Powers may change, but the prime types do not.
A. (q), \(10^4\) का भाजक होगा/(q) will be a divisor of \(10^4\)
Step 1
Concept
अधिकतम (4) दशमलव स्थान का अर्थ है संख्या को \(10^4\) हर वाली भिन्न में लिखा जा सकता है। / At most (4) decimal places means the number can be written with denominator \(10^4\).
Step 2
Why this answer is correct
सरलतम हर \(10^4\) का कोई भाजक होगा। / In lowest form, the denominator must be a divisor of \(10^4\).
Step 3
Exam Tip
सांत दशमलव में सरलतम हर हमेशा (2) और (5) की घातों से जुड़ा होता है। / The reduced denominator of a terminating decimal is always linked to powers of (2) and (5).
