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B. स्पेनी औपनिवेशिक समुद्री व्यापार और रक्षा/Spanish colonial maritime trade and defense
Explanation
Simple Explanation
कार्टाजेना कोलंबिया का किलेबंद औपनिवेशिक बंदरगाह शहर है। परीक्षा में कैरेबियाई व्यापार याद रखें। / Cartagena is a fortified colonial port city of Colombia. For exams remember Caribbean trade.
D. वे आंतरिक संसाधनों को वैश्विक बाजार से जोड़ते थे/They connected internal resources with global markets
Explanation
Simple Explanation
बंदरगाह शहर संसाधन निर्यात और औपनिवेशिक प्रशासन के केंद्र बन सकते थे। परीक्षा में शहर और व्यापार साथ पढ़ें। / Port cities could become centers of resource export and colonial administration. For exams study cities and trade together.
A. ज्वारीय खारा दलदली जल/Tidal saline marshy water
Explanation
Simple Explanation
सुंदरवन ज्वारीय और खारे डेल्टा में विकसित मैंग्रोव क्षेत्र है। परीक्षा में ज्वार खारापन और मैंग्रोव संबंध याद रखें। / Sundarbans is a mangrove area in a tidal saline delta. For exams remember the tide salinity and mangrove link.
B. ज्वारीय खारे दलदली डेल्टा/Tidal saline marshy delta
Explanation
Simple Explanation
सुंदरवन गंगा ब्रह्मपुत्र डेल्टा का खारा ज्वारीय मैंग्रोव क्षेत्र है। परीक्षा में मैंग्रोव और डेल्टा साथ याद रखें। / Sundarbans is a saline tidal mangrove area of Ganga Brahmaputra Delta. For exams remember mangrove and delta together.
B. ज्वारीय दलदली डेल्टा और खारा जल प्रभाव/Tidal marshy delta and saline water influence
Explanation
Simple Explanation
सुंदरवन ज्वारीय डेल्टा क्षेत्र है जहां दलदली और खारे जल की स्थितियां मिलती हैं। परीक्षा में सुंदरवन मैंग्रोव डेल्टा याद रखें। / Sundarbans is a tidal delta region with marshy and saline water conditions. For exams remember Sundarbans as mangrove delta.
C. यह ज्वारीय डेल्टा क्षेत्र है/It is a tidal delta region
Explanation
Simple Explanation
सुंदरवन गंगा ब्रह्मपुत्र डेल्टा का ज्वारीय दलदली क्षेत्र है। परीक्षा में मैंग्रोव और ज्वार को साथ याद रखें। / Sundarbans is a tidal marshy part of the Ganga Brahmaputra Delta. For exams remember mangroves and tides together.
A. ज्वारीय दलदली डेल्टा दशाएं/Tidal marshy delta conditions
Explanation
Simple Explanation
सुंदरवन ज्वारीय और दलदली डेल्टा क्षेत्र है। परीक्षा में मैंग्रोव और डेल्टा को साथ याद रखें। / Sundarbans is a tidal and marshy delta region. For exams remember mangrove and delta together.
सुंदरवन गंगा ब्रह्मपुत्र डेल्टा में ज्वारीय मैंग्रोव क्षेत्र है। परीक्षा में डेल्टा और मैंग्रोव साथ याद रखें। / Sundarbans is a tidal mangrove region in the Ganga Brahmaputra Delta. For exams remember delta and mangrove together.
सुंदरवन गंगा ब्रह्मपुत्र डेल्टा और मैंग्रोव वनों के लिए प्रसिद्ध है। परीक्षा में ज्वारीय डेल्टा याद रखें। / Sundarbans is famous for the Ganga Brahmaputra Delta and mangrove forests. For exams remember tidal delta.
A. क्योंकि यह ज्वारीय और दलदली डेल्टा क्षेत्र है/Because it is a tidal and marshy delta region
Explanation
Simple Explanation
सुंदरवन ज्वारीय डेल्टा क्षेत्र है जहां मैंग्रोव वन विकसित होते हैं। परीक्षा में डेल्टा और ज्वार संबंध याद रखें। / Sundarbans is a tidal delta region where mangrove forests develop. For exams remember the delta and tide link.
सुंदरवन गंगा ब्रह्मपुत्र डेल्टा और मैंग्रोव वनों के लिए प्रसिद्ध है। परीक्षा में बंगाल क्षेत्र याद रखें। / Sundarbans is famous for the Ganga Brahmaputra Delta and mangrove forests. For exams remember the Bengal region.
हर में केवल (2) और (5) की घातें हैं। / The denominator has only powers of (2) and (5).
Step 2
Why this answer is correct
दशमलव स्थानों की संख्या (4) और (n) में बड़ी घात होगी। ठीक (7) स्थानों के लिए (n=7) चाहिए। / The number of decimal places is the larger of (4) and (n). For exactly (7) places, (n=7).
Step 3
Exam Tip
ठीक शब्द आए तो बड़ी घात को बराबर मिलाइए। / When the word exactly appears, match the larger exponent carefully.
सांत दशमलव के लिए सरलतम रूप में हर में केवल (2) और (5) होने चाहिए। / For a terminating decimal, the reduced denominator must contain only (2) and (5).
Step 2
Why this answer is correct
विकल्प (D) में हर में (3) है और \(\frac{25}{2^2\cdot 3\cdot 5}\) को सरल करने पर भी (3) बचता है। इसलिए यह सांत नहीं होगा। / In option (D), the denominator contains (3), and after reducing \(\frac{25}{2^2\cdot 3\cdot 5}\), the factor (3) remains. So it will not terminate.
Step 3
Exam Tip
विकल्प देखने से पहले संभावित कटौती भी सोचें। / Always consider possible cancellation before deciding.
\(\frac{21}{56}=\frac{3}{8}\) है। / \(\frac{21}{56}=\frac{3}{8}\).
Step 2
Why this answer is correct
सरलतम हर \(8=2^3\) है, इसलिए हर में केवल (2) का गुणनखंड है। / The reduced denominator is \(8=2^3\), so it contains only the prime factor (2).
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में मूल हर देखकर निर्णय न लें, पहले भिन्न को सरलतम रूप में बदलें। / In exams, do not decide from the original denominator; reduce the fraction first.
A. भिन्न को सरलतम रूप में बदलना/Reduce the fraction to lowest form
Step 1
Concept
नियम सरलतम रूप के हर पर लागू होता है। / The rule applies to the denominator in lowest form.
Step 2
Why this answer is correct
सरल किए बिना हर में अनावश्यक गुणनखंड दिख सकते हैं। / Without reducing, extra factors may appear in the denominator.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में पहले महत्तम समापवर्तक से भिन्न घटाइए, फिर हर देखें। / In exams, reduce the fraction using the highest common factor and then check the denominator.
\(\frac{96}{450}\) को (6) से सरल करने पर \(\frac{16}{75}\) मिलता है। / \(\frac{96}{450}\) simplifies by (6) to \(\frac{16}{75}\).
Step 2
Why this answer is correct
\(75=3\times5^2\), इसलिए हर में (3) बचता है और दशमलव समाप्त नहीं होगा। / Since \(75=3\times5^2\), factor (3) remains in the denominator, so the decimal will not terminate.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा सुझाव: सरल रूप के हर में (2) और (5) के अलावा कोई गुणनखंड हो तो दशमलव आवर्ती होता है। / Exam tip: If the reduced denominator has a factor other than (2) and (5), the decimal is recurring.
\(\frac{18}{75}\) को (3) से सरल करने पर \(\frac{6}{25}\) नहीं बल्कि \(\frac{6}{25}\) मिलता है, यह समाप्त है; इसलिए इसे फिर जाँचते हैं। / \(\frac{18}{75}\) simplifies by (3) to \(\frac{6}{25}\), which is terminating, so it must be checked again.
Step 2
Why this answer is correct
\(\frac{35}{56}=\frac{5}{8}\), \(\frac{49}{98}=\frac{1}{2}\), और \(\frac{22}{125}\) भी समाप्त हैं। / \(\frac{35}{56}=\frac{5}{8}\), \(\frac{49}{98}=\frac{1}{2}\), and \(\frac{22}{125}\) are also terminating.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा सुझाव: दिए गए विकल्पों में कोई असमाप्त आवर्ती नहीं है, इसलिए प्रश्न में सही उत्तर उपलब्ध नहीं होता। / Exam tip: Here no option is non-terminating recurring, so the given option set has no valid answer.
\(\frac{27}{150}\) को (3) से सरल करने पर \(\frac{9}{50}\) मिलता है। / \(\frac{27}{150}\) simplifies by (3) to \(\frac{9}{50}\).
Step 2
Why this answer is correct
\(50=2\times5^2\), इसलिए हर में केवल (2) और (5) हैं। / Since \(50=2\times5^2\), the denominator has only (2) and (5).
Step 3
Exam Tip
परीक्षा सुझाव: दशमलव का प्रकार बताने से पहले भिन्न को न्यूनतम रूप में जरूर लिखें। / Exam tip: Always reduce the fraction to lowest form before deciding the decimal type.
\(\frac{45}{120}\) को (15) से सरल करने पर \(\frac{3}{8}\) मिलता है। / \(\frac{45}{120}\) simplifies by (15) to \(\frac{3}{8}\).
Step 2
Why this answer is correct
\(8=2^3\), इसलिए दशमलव प्रसार समाप्त होगा। / Since \(8=2^3\), the decimal expansion is terminating.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा सुझाव: हर में (3) या (5) देखकर तुरंत निर्णय न लें, पहले भिन्न को सरल करें। / Exam tip: Do not decide quickly from the original denominator; reduce the fraction first.
B. \(0.\overline{09}\) के रूप में आवर्ती/Recurs as \(0.\overline{09}\)
Step 1
Concept
\(\frac{1}{11}\) सबसे सरल रूप में है। / \(\frac{1}{11}\) is in lowest form.
Step 2
Why this answer is correct
हर (11) में (2) या (5) नहीं है, इसलिए दशमलव असमाप्त आवर्ती होगा। / The denominator (11) is not made of (2) or (5), so the decimal is non-terminating recurring.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा सुझाव: (0.09) और \(0.\overline{09}\) में अंतर जरूर समझें। / Exam tip: Understand the difference between (0.09) and \(0.\overline{09}\).
परिमेय संख्या का दशमलव समाप्त या आवर्ती होता है। / A rational number has a decimal that either terminates or recurs.
Step 2
Why this answer is correct
असमाप्त अनावर्ती दशमलव परिमेय संख्या के लिए संभव नहीं है। / Non-terminating non-recurring decimal expansion is not possible for a rational number.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा सुझाव: यह अंतर परिमेय और अपरिमेय संख्या को पहचानने में मदद करता है। / Exam tip: This difference helps identify rational and irrational numbers.
परिमेय संख्या का दशमलव या तो समाप्त होता है या असमाप्त आवर्ती होता है। / The decimal expansion of a rational number is either terminating or non-terminating recurring.
Step 2
Why this answer is correct
\(0.10100100010000\ldots\) में कोई स्थायी आवृत्ति नहीं है, इसलिए यह परिमेय नहीं है। / \(0.10100100010000\ldots\) has no fixed repeating block, so it is not rational.
Step 3
Exam Tip
आवर्ती और अनावर्ती में अंतर पहचानना जरूरी है। / Learn to distinguish recurring from non-recurring decimals.
भाजक में केवल (2) का गुणनखंड है, इसलिए दशमलव विस्तार समाप्त होगा। / The denominator has only the prime factor (2), so the decimal expansion terminates.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में पहले भिन्न को सरल रूप में देखकर भाजक के गुणनखंड जांचें। / In exams, first check the prime factors of the simplified denominator.
A. समुद्र संपर्क और अपेक्षाकृत समतल तटीय भूमि/Sea contact and relatively flat coastal land
Explanation
Simple Explanation
तटीय मैदान समुद्री संपर्क और समतल भूमि के कारण व्यापार और बंदरगाहों के लिए महत्वपूर्ण हैं। परीक्षा में भौतिक और आर्थिक संबंध जोड़ें। / Coastal plains are important for trade and ports due to sea contact and flat land. For exams link physical and economic relations.
A. समुद्र संपर्क और अपेक्षाकृत समतल तटीय भूमि/Sea contact and relatively flat coastal land
Explanation
Simple Explanation
तटीय मैदान समुद्री संपर्क और समतल भूमि के कारण बंदरगाहों के लिए उपयोगी हैं। परीक्षा में तट व्यापार संबंध याद रखें। / Coastal plains are useful for ports due to sea contact and flat land. For exams remember coast trade relation.
C. समुद्र संपर्क और अपेक्षाकृत समतल भूमि/Sea contact and relatively flat land
Explanation
Simple Explanation
तटीय मैदान समुद्र से संपर्क और समतल भूमि के कारण बंदरगाहों के लिए उपयोगी हैं। परीक्षा में तट और व्यापार संबंध याद रखें। / Coastal plains are useful for ports due to sea contact and flat land. For exams remember coast and trade relation.
B. समुद्र से संपर्क और अपेक्षाकृत समतल तट/Sea contact and relatively flat coast
Explanation
Simple Explanation
तटीय मैदान समुद्री संपर्क और समतल भूमि के कारण बंदरगाहों के लिए उपयोगी हैं। परीक्षा में तट और व्यापार संबंध याद रखें। / Coastal plains are useful for ports due to sea contact and flat land. For exams remember coast and trade relation.
A. समुद्र से संपर्क और तटीय समतलता/Sea contact and coastal flatness
Explanation
Simple Explanation
तटीय मैदान समुद्र से संपर्क और अपेक्षाकृत समतल भूमि के कारण बंदरगाहों के लिए उपयोगी हैं। परीक्षा में तट और व्यापार संबंध याद रखें। / Coastal plains are useful for ports due to sea contact and relatively flat land. For exams remember coast and trade relation.
A. स्पेनी समुद्री व्यापार और कैरेबियाई रक्षा/Spanish maritime trade and Caribbean defense
Explanation
Simple Explanation
कार्टाजेना स्पेनी औपनिवेशिक व्यापार और किलेबंदी का प्रमुख उदाहरण है। परीक्षा में कोलंबिया याद रखें। / Cartagena is a major example of Spanish colonial trade and fortification. For exams remember Colombia.
B. औपनिवेशिक समुद्री व्यापार और रक्षा/Colonial maritime trade and defense
Explanation
Simple Explanation
कार्टाजेना कोलंबिया का ऐतिहासिक बंदरगाह और किलेबंद शहर है। परीक्षा में औपनिवेशिक व्यापार याद रखें। / Cartagena is a historic port and fortified city of Colombia. For exams remember colonial trade.
बाइब्लोस लेबनान का प्राचीन बंदरगाह नगर है। परीक्षा में फिनीशियन व्यापार याद रखें। / Byblos is an ancient port city in Lebanon. For exams remember Phoenician trade.
कार्टाजेना कोलंबिया का ऐतिहासिक बंदरगाह नगर है। परीक्षा में किलेबंदी और समुद्री व्यापार याद रखें। / Cartagena is a historic port city in Colombia. For exams remember fortifications and maritime trade.
A. क्योंकि विदेशी शक्तियों को व्यापारिक और कानूनी विशेषाधिकार मिलते थे/Because foreign powers received trade and legal privileges
Explanation
Simple Explanation
संधि बंदरगाहों ने बिना पूर्ण कब्जे के बाहरी प्रभाव बढ़ाया। परीक्षा में अर्ध उपनिवेशवाद समझें। / Treaty ports increased outside influence without full occupation. For exams understand semi colonialism.
C. दक्षिण भारतीय समुद्री व्यापार/South Indian maritime trade
Explanation
Simple Explanation
मुज़िरिस दक्षिण भारत और रोमन विश्व के व्यापार से जुड़ा था। परीक्षा में हिंद महासागर व्यापार को याद रखें। / Muziris was linked with trade between South India and the Roman world. For exams remember Indian Ocean trade.
लोथल को सिंधु सभ्यता का बंदरगाह स्थल माना जाता है। इसे व्यापार और समुद्री संपर्क से याद रखें। / Lothal is considered a port site of the Indus civilization. Remember it with trade and maritime contact.
लोथल सिंधु घाटी सभ्यता का बंदरगाह नगर माना जाता है। इसे व्यापार और समुद्री संपर्क से जोड़ें। / Lothal is considered a port city of the Indus Valley Civilization. Link it with trade and maritime contact.
A. कपड़ा और समुद्री व्यापार का प्रमुख केंद्र/Major centre of textile and maritime trade
Explanation
Simple Explanation
मछलीपट्टनम पूर्वी तट के व्यापार में महत्वपूर्ण था। परीक्षा में इसे गोलकुंडा की व्यापारिक शक्ति से जोड़ें। / Masulipatnam was important in east coast trade. Exam tip is to connect it with Golconda's commercial strength.
A. हिंद महासागर व्यापार से जुड़ाव/Connection with Indian Ocean trade
Explanation
Simple Explanation
बंदरगाह नगर मसाले कपड़ा और घोड़ा व्यापार से जुड़े थे। परीक्षा में तटीय नगरों को अंतरराष्ट्रीय व्यापार से जोड़ें। / Port towns were linked with spices textiles and horse trade. Exam tip is to connect coastal towns with international trade.
वास्को द गामा कालीकट बंदरगाह पर पहुंचा था। परीक्षा में कालीकट को मालाबार तट से जोड़ें। / Vasco da Gama reached the port of Calicut. For exams, connect Calicut with the Malabar Coast.
कावेरीपट्टनम या पुहार चोलों का प्रसिद्ध बंदरगाह था। परीक्षा में इसे पत्तिनप्पालै से जोड़ें। / Kaveripattinam or Puhar was a famous Chola port. For exams, connect it with Pattinappalai.
मुज़िरिस मसाले और विदेशी व्यापार के लिए प्रसिद्ध था। परीक्षा में चेरों को पश्चिमी तट व्यापार से जोड़ें। / Muziris was famous for spices and foreign trade. For exams, connect the Cheras with west coast trade.
घंटशाला आंध्र क्षेत्र में बौद्ध और समुद्री व्यापार संपर्कों से जुड़ा था। परीक्षा में तटीय आंध्र के प्राचीन केंद्र याद रखें। / Ghantasala was linked with Buddhist and maritime trade contacts in the Andhra region. For exams, remember ancient centres of coastal Andhra.
बारिगजा को भृगुकच्छ या आधुनिक भरूच से जोड़ा जाता है। परीक्षा में विदेशी स्रोतों के बंदरगाह नाम याद रखें। / Barygaza is linked with Bharukachchha or modern Bharuch. For exams, remember port names found in foreign sources.
कोरकई पांड्य क्षेत्र का प्रसिद्ध मोती व्यापार केंद्र था। परीक्षा में पांड्यों को मदुरै और मोती व्यापार से जोड़ें। / Korkai was a famous pearl trade centre of the Pandya region. For exams, connect the Pandyas with Madurai and pearl trade.
A. विदेशी व्यापार का केंद्र/Centre of foreign trade
Explanation
Simple Explanation
मुज़िरिस चेर क्षेत्र का प्रसिद्ध विदेशी व्यापार केंद्र था। परीक्षा में इसे रोमन व्यापार और मसालों से जोड़ें। / Muziris was a famous foreign trade centre of the Chera region. For exams, connect it with Roman trade and spices.
मुज़िरिस रोमन व्यापार से जुड़ा प्रमुख दक्षिण भारतीय बंदरगाह था। परीक्षा में इसे मसालों और समुद्री व्यापार से जोड़ें। / Muziris was a major South Indian port linked with Roman trade. For exams, connect it with spices and maritime trade.
पुहार चोल राज्य का महत्वपूर्ण बंदरगाह था। परीक्षा में इसे समुद्री व्यापार और संगम काल से जोड़ें। / Puhar was an important port of the Chola kingdom. For exams, link it with maritime trade and the Sangam age.
मूज़िरिस प्राचीन रोमन और मसाला व्यापार से जुड़ा प्रसिद्ध बंदरगाह था। परीक्षा में इसे मलाबार तट से जोड़ें। / Muziris was a famous port connected with Roman and spice trade. For exams connect it with the Malabar Coast.
पुहार चोलों का महत्वपूर्ण प्राचीन बंदरगाह माना जाता है। परीक्षा में चोल और समुद्री व्यापार को साथ याद रखें। / Puhar is considered an important ancient port of the Cholas. For exams remember Cholas with maritime trade.
\(19^2\) बचने से दशमलव असांत आवर्ती होगा और (2), (5) की बड़ी घात (4) आरंभिक अनावर्ती भाग देगी। ऐसे प्रश्न में आवर्तीपन और आरंभिक देरी अलग-अलग देखें। / Since \(19^2\) remains, the decimal is non-terminating recurring, and the larger exponent among (2) and (5) is (4). In such questions, separate recurrence from the initial delay.
कटौती के बाद हर \(2^4\cdot 5^2\cdot 17\) बचेगा। (17) बचने से दशमलव असांत आवर्ती होगा। / After cancellation, the denominator becomes \(2^4\cdot 5^2\cdot 17\). Since (17) remains, the decimal is non-terminating recurring.
\(320=2^6\cdot 5\) कटने पर हर \(2\cdot 5^2\cdot 11\) बचेगा। (11) बचने से दशमलव असांत आवर्ती होगा। / Since \(320=2^6\cdot 5\), the reduced denominator is \(2\cdot 5^2\cdot 11\). Since (11) remains, the decimal is non-terminating recurring.
(41) के कारण दशमलव आवर्ती होगा और (2), (5) की बड़ी घात (7) अनावर्ती आरंभ देगी। मिश्रित हर में बड़ी घात से देरी मिलती है। / The factor (41) makes the decimal recurring, and the larger exponent of (2) and (5) is (7), giving the non-repeating start. In mixed denominators, the larger exponent gives the delay.
\(22=2\cdot 11\) कटने पर हर \(2\cdot 5^4\cdot 11\) बचेगा। (11) बचने से दशमलव असांत आवर्ती होगा। / After cancelling \(22=2\cdot 11\), the denominator becomes \(2\cdot 5^4\cdot 11\). Since (11) remains, the decimal is non-terminating recurring.
A. ठीक (7) स्थानों पर समाप्त/Terminates exactly after (7) places
Explanation
Simple Explanation
सरलतम हर \(10^7\) है इसलिए दशमलव ठीक (7) स्थानों पर समाप्त होगा। सरलतम हर दिया हो तो अंश से और कटौती नहीं माननी चाहिए। / The reduced denominator is \(10^7\), so the decimal terminates exactly after (7) places. If the denominator is reduced, do not assume further cancellation.
\(245=5\cdot 7^2\) कटने पर हर \(2^2\cdot 5\cdot 7\) बचता है। (7) बचने से दशमलव असांत आवर्ती होगा। / Since \(245=5\cdot 7^2\), the reduced denominator is \(2^2\cdot 5\cdot 7\). Since (7) remains, the decimal is non-terminating recurring.
\(55=5\cdot 11\) कटने पर हर \(2^2\cdot 5^2\cdot 11\) बचेगा। (11) बचने से दशमलव असांत आवर्ती होगा। / After cancelling \(55=5\cdot 11\), the denominator becomes \(2^2\cdot 5^2\cdot 11\). Since (11) remains, the decimal is non-terminating recurring.
हर में केवल (2) और (5) हैं इसलिए दशमलव सांत होगा और स्थान बड़ी घात (9) के बराबर होंगे। परीक्षा में घातों को जोड़ने की जगह बड़ी घात देखें। / The denominator has only (2) and (5), so the decimal terminates with the larger exponent (9). In exams, use the larger exponent instead of adding exponents.
कटौती के बाद हर \(2^3\cdot 5^3\cdot 13\) बचेगा। (13) बचने से दशमलव असांत आवर्ती होगा। / After cancellation, the denominator becomes \(2^3\cdot 5^3\cdot 13\). Since (13) remains, the decimal is non-terminating recurring.
\(200=2^3\cdot 5^2\) कटने पर हर \(5\cdot 7\) बचेगा। (7) बचने से दशमलव असांत आवर्ती होगा। / Since \(200=2^3\cdot 5^2\), the reduced denominator is \(5\cdot 7\). Since (7) remains, the decimal is non-terminating recurring.
(31) के कारण दशमलव आवर्ती होगा और (2), (5) की बड़ी घात (6) अनावर्ती आरंभ देगी। मिश्रित हर में बड़ी घात से देरी मिलती है। / The factor (31) makes the decimal recurring, and the larger exponent of (2) and (5) is (6), giving the non-repeating start. In mixed denominators, the larger exponent gives the delay.
\(14=2\cdot 7\) कटने पर हर \(2\cdot 5^3\cdot 7\) बचेगा। (7) बचने से दशमलव असांत आवर्ती होगा। / After cancelling \(14=2\cdot 7\), the denominator becomes \(2\cdot 5^3\cdot 7\). Since (7) remains, the decimal is non-terminating recurring.
A. ठीक (6) स्थानों पर समाप्त/Terminates exactly after (6) places
Explanation
Simple Explanation
सरलतम हर \(10^6\) है इसलिए दशमलव ठीक (6) स्थानों पर समाप्त होगा। सरलतम हर दिया हो तो अंश से और कटौती नहीं माननी चाहिए। / The reduced denominator is \(10^6\), so the decimal terminates exactly after (6) places. If the denominator is reduced, do not assume further cancellation.
\(175=5^2\cdot 7\) कटने पर हर \(2^2\cdot 5\cdot 7\) बचता है। (7) बचने से दशमलव असांत आवर्ती होगा। / Since \(175=5^2\cdot 7\), the reduced denominator is \(2^2\cdot 5\cdot 7\). Since (7) remains, the decimal is non-terminating recurring.
A. सांत और (4) स्थानों पर समाप्त/Terminating after (4) places
Explanation
Simple Explanation
\(147=3\cdot 7^2\) कटने पर हर \(2\cdot 5^4\) बचेगा। बड़ी घात (4) है इसलिए दशमलव (4) स्थानों पर समाप्त होगा। / Since \(147=3\cdot 7^2\), the reduced denominator is \(2\cdot 5^4\). The larger exponent is (4), so the decimal terminates after (4) places.
हर में केवल (2) और (5) हैं इसलिए दशमलव सांत होगा और स्थान बड़ी घात (8) के बराबर होंगे। परीक्षा में घातों का योग नहीं बड़ी घात देखें। / The denominator has only (2) and (5), so the decimal terminates with the larger exponent (8). In exams, use the larger exponent, not the sum.
\(242=2\cdot 11^2\), इसलिए कटौती के बाद हर \(2^2\cdot 5^4\) बचेगा। बड़ी घात (4) है, इसलिए पहले सरल करें फिर दशमलव स्थान गिनें। / Since \(242=2\cdot 11^2\), the reduced denominator becomes \(2^2\cdot 5^4\). The larger exponent is (4), so reduce first and then count decimal places.
कटौती के बाद हर \(2^3\cdot 5^2\cdot 7\) बचेगा। (7) बचने से दशमलव असांत आवर्ती होगा। / After cancellation, the denominator becomes \(2^3\cdot 5^2\cdot 7\). Since (7) remains, the decimal is non-terminating recurring.
(37) के कारण दशमलव आवर्ती होगा और (2), (5) की बड़ी घात (4) अनावर्ती आरंभ देगी। ऐसे मिश्रित हर में बड़ी घात से देरी मिलती है। / The factor (37) makes the decimal recurring, and the larger exponent of (2) and (5) is (4), giving the non-repeating start. In mixed denominators, the larger exponent gives the delay.
\(14=2\cdot 7\) कटने पर हर \(5^2\cdot 7\) बचेगा। (7) बचने से दशमलव असांत आवर्ती होगा। / After cancelling \(14=2\cdot 7\), the denominator becomes \(5^2\cdot 7\). Since (7) remains, the decimal is non-terminating recurring.
A. सांत और (2) स्थानों पर समाप्त/Terminating after (2) places
Explanation
Simple Explanation
\(189=3^3\cdot 7\), इसलिए सरल हर \(2^2\cdot 5\) बचेगा। बड़ी घात (2) है, इसलिए दशमलव (2) स्थानों पर समाप्त होगा। / Since \(189=3^3\cdot 7\), the reduced denominator is \(2^2\cdot 5\). The larger exponent is (2), so the decimal terminates after (2) places.
यदि हरभाज्य का हर (denominator) मात्र दोनों गुणनखण्डों के रूप में \(2^a5^b\) हो और संख्या का गुणनखंड (numerator) 17 है, तो 17 किसी भी 2 या 5 से समीकरण नहीं घटाता — अर्थात् भिन्न पहले से ही साधारण रूप में है। एक अंक के दशमलव समाप्त होने की अधिकतम आवश्यक दशमलव-स्थानों की संख्या \(\max(a,b)\) होती है। दिया हुआ है कि दशमलव ठीक 9 स्थानों पर समाप्त होता है और \(a<b\), तो अधिकतम घात् बड़ा होगा और वही 9 के बराबर होना चाहिए। अतः \(b=9\)। निकटवर्ती भ्रामक विकल्पों की जाँच: 8 और 10 क्रमशः कम या अधिक हैं; \(a+9\) का अर्थ गैर-विशिष्ट है और समस्या के दिये गए शर्तों से मेल नहीं खाता। परीक्षा-टिप: यदि हरभाज्य केवल 2 और 5 के गुणनखण्ड हैं, तो समाप्ति की संख्या \(\max(a,b)\) के बराबर होती है, बशर्ते भिन्न न समीकृत हो। / When the denominator is of the form \(2^a5^b\) and the numerator is 17 (which is coprime to 2 and 5), the fraction is already in lowest terms. A terminating decimal requires only factors 2 and 5 in the denominator, and the number of decimal places required equals \(\max(a,b)\). Given the decimal terminates exactly after 9 places and \(a<b\), the larger exponent is \(b\), so \(b=9\). Why other choices fail: 8 is too small, 10 is too large, and \(a+9\) is not implied by the condition \(a<b\). Exam tip: first reduce the fraction if possible; then the termination length equals the larger exponent of 2 or 5 in the reduced denominator.
\(125=5^3\) कटने पर भी हर में (11) बचता है। सरलतम हर में (2) और (5) के अलावा कोई अभाज्य रहे तो दशमलव असांत आवर्ती होता है। / Even after \(125=5^3\) cancels, (11) remains in the denominator. If a reduced denominator has a prime other than (2) and (5), the decimal is non-terminating recurring.
हर में केवल (2) और (5) हैं, इसलिए दशमलव सांत होगा और स्थान बड़ी घात (7) होंगे। परीक्षा में घातों को जोड़ने की गलती न करें। / The denominator has only (2) and (5), so the decimal terminates with the larger exponent (7). In exams, do not add the exponents.
कटौती के बाद हर \(2^5\cdot 5^3\) बचेगा। बड़ी घात (5) है, इसलिए दशमलव (5) स्थानों पर समाप्त होगा। / After cancellation, the denominator becomes \(2^5\cdot 5^3\). The larger exponent is (5), so the decimal terminates after (5) places.
Step 3
Exam Tip
दशमलव स्थान गिनने से पहले अंश और हर को सरलतम रूप में जरूर लिखें। / Always reduce the fraction before counting decimal places.
\(\frac{18}{999}=\frac{2}{111}\) है। / \(\frac{18}{999}=\frac{2}{111}\).
Step 2
Why this answer is correct
\(111=3\cdot 37\), जिसमें (2) और (5) के अलावा गुणनखंड हैं। इसलिए दशमलव असांत आवर्ती होगा। / \(111=3\cdot 37\), which has factors other than (2) and (5). Therefore the decimal is non-terminating recurring.
Step 3
Exam Tip
आवर्ती दशमलव से आई भिन्नों में हर में अक्सर (9) वाले गुणनखंड होते हैं। / Fractions from recurring decimals often have denominators made from (9)'s.
सरलतम हर में केवल (2) और (5) होने पर दशमलव सांत होता है। / A decimal terminates when the reduced denominator contains only (2) and (5).
Step 2
Why this answer is correct
\(q=2^4\cdot 5^3\) इस शर्त को पूरा करता है। बाकी विकल्पों में (3), (7), या (11) हैं। / \(q=2^4\cdot 5^3\) satisfies this condition. The other options contain (3), (7), or (11).
Step 3
Exam Tip
हर के अभाज्य गुणनखंडों को ध्यान से देखें। / Check the prime factors of the denominator carefully.
अंश का \(3^2\cdot 5\) हर से कटेगा। / The numerator \(3^2\cdot 5\) cancels from the denominator.
Step 2
Why this answer is correct
सरलतम हर \(2^6\cdot 5^3\) बचेगा। बड़ी घात (6) है, इसलिए दशमलव (6) स्थानों पर समाप्त होगा। / The reduced denominator is \(2^6\cdot 5^3\). The larger exponent is (6), so the decimal terminates after (6) places.
Step 3
Exam Tip
कटौती के बाद ही बड़ी घात देखें। / Look for the larger exponent only after cancellation.
कटौती के बाद हर \(5\cdot 7\) बचेगा। (7) बचने से दशमलव असांत आवर्ती होगा। / After cancellation, the denominator becomes \(5\cdot 7\). Since (7) remains, the decimal is non-terminating recurring.
Step 3
Exam Tip
घात पूरी कटे या नहीं, यह ध्यान से देखें। / Check whether the whole power cancels or only part of it cancels.
अंश से \(2^4\cdot 3\) कटेगा। / The numerator cancels \(2^4\cdot 3\).
Step 2
Why this answer is correct
सरलतम हर \(2^3\cdot 3\cdot 5^2\) बचेगा। इसमें (3) बचा है, इसलिए दशमलव असांत आवर्ती होगा। / The reduced denominator becomes \(2^3\cdot 3\cdot 5^2\). Since (3) remains, the decimal is non-terminating recurring.
Step 3
Exam Tip
एक ही अभाज्य गुणनखंड आंशिक रूप से कट सकता है। / A prime factor may cancel only partially.
A. कथन और कारण दोनों सही हैं तथा कारण कथन को समझाता है/Both assertion and reason are true, and the reason explains the assertion
Step 1
Concept
\(\frac{35}{280}\) को (35) से भाग देने पर \(\frac{1}{8}\) मिलता है। / Dividing \(\frac{35}{280}\) by (35) gives \(\frac{1}{8}\).
Step 2
Why this answer is correct
\(8=2^3\), इसलिए दशमलव सांत होगा। कारण कथन को सही ढंग से समझाता है। / Since \(8=2^3\), the decimal terminates. The reason correctly explains the assertion.
Step 3
Exam Tip
कथन-कारण प्रश्न में कारण की व्याख्या भी जाँचें। / In assertion-reason questions, also check whether the reason explains the assertion.
\(64000=2^9\cdot 5^3\) नहीं, बल्कि \(64000=64\cdot 1000=2^6\cdot 2^3\cdot 5^3=2^9\cdot 5^3\) है। यह (9) स्थान देगा, इसलिए विकल्प (B) सही नहीं हो सकता। / \(64000=2^9\cdot 5^3\), so it would give (9) places, not (6).
Step 2
Why this answer is correct
\(15625=5^6\), इसलिए \(\frac{9}{15625}\) ठीक (6) स्थानों पर समाप्त होगा। / \(15625=5^6\), so \(\frac{9}{15625}\) terminates exactly after (6) places.
Step 3
Exam Tip
घातों की गणना सावधानी से करें। / Calculate prime powers carefully.
\(540=2^2\cdot 3^3\cdot 5\) है। / \(540=2^2\cdot 3^3\cdot 5\).
Step 2
Why this answer is correct
सांत दशमलव के लिए सरलतम हर से \(3^3\) पूरी तरह कटना चाहिए। इसलिए (x) में (27) अवश्य होना चाहिए। / For a terminating decimal, \(3^3\) must cancel completely from the denominator. So (x) must contain (27).
Step 3
Exam Tip
(2) और (5) रह सकते हैं, पर (3) नहीं। / (2) and (5) may remain, but (3) must not.
भिन्न सरलतम रूप में है, इसलिए हर का (17) नहीं कटेगा। / The fraction is in lowest form, so the factor (17) will not cancel.
Step 2
Why this answer is correct
सरलतम हर में (2) और (5) के अलावा (17) है। इसलिए दशमलव असांत आवर्ती होगा। / The reduced denominator has (17) besides (2) and (5). Therefore the decimal is non-terminating recurring.
Step 3
Exam Tip
परिमेय संख्या का असांत दशमलव आवर्ती होता है। / A non-terminating decimal of a rational number is recurring.
