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A. समान समयांतरालों में मात्रा समान निश्चित मान से घटती है।/The quantity decreases by the same fixed amount in equal time intervals.
Explanation
Simple Explanation
रैखिक क्षय में हर समान समयांतराल पर कमी का अंतर स्थिर रहता है, इसलिए मॉडल का ढाल स्थिर और ऋणात्मक होता है। समान प्रतिशत की कमी घातीय क्षय है। परीक्षा टिप: निश्चित अंतर जाँचें, प्रतिशत नहीं। / In linear decay, the decrease over every equal time interval is a constant difference, so the model has a constant negative slope. A constant percentage decrease indicates exponential decay. Exam tip: check fixed differences, not percentages.
रेखीय क्षय में \(t\) का घात 1 और उसका गुणांक ऋणात्मक होता है। \(Q(t)=240-8t\) में हर समय-इकाई पर मात्रा 8 घटती है। \(240-8t^2\) क्षय दर्शाता है, पर रैखिक नहीं है। परीक्षा टिप: \(t\) के गुणांक का चिन्ह जाँचें। / In linear decay, the power of \(t\) is 1 and its coefficient is negative. In \(Q(t)=240-8t\), the quantity falls by 8 per time unit. \(240-8t^2\) shows decay but is not linear. Exam tip: check the sign and power of \(t\).
दोनों मॉडल बराबर होने के लिए \(48+11t=168-4t\) होगा। \(4t\) को बाईं ओर और 48 को दाईं ओर ले जाने पर \(15t=120\) मिलता है, इसलिए \(t=8\)। \(t=7\) निकटतम विकल्प है, पर उस समय दोनों मॉडलों के मान बराबर नहीं होते। परीक्षा टिप: रैखिक मॉडलों को बराबर करने के बाद \(t\) वाले पद एक ही पक्ष में रखें। / For the models to be equal, set \(48+11t=168-4t\). Moving \(4t\) to the left and 48 to the right gives \(15t=120\), so \(t=8\). \(t=7\) is the closest option, but the two model values are not equal at that time. Exam tip: after equating linear models, collect all terms containing \(t\) on one side.
दोनों व्यंजकों को बराबर रखने पर \(70+5t=190-10t\) मिलता है। \(10t\) को बाईं ओर लाने पर \(15t=120\), अतः \(t=8\) होगा। \(t=6\) रखने पर दोनों मान बराबर नहीं आते, इसलिए वह निकट दिखने वाला विकल्प भी गलत है। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में पहले दोनों फलनों को बराबर रखें, फिर \(t\) वाले पदों को एक ही पक्ष में लाएँ। / Equating the two expressions gives \(70+5t=190-10t\). Moving \(10t\) to the left gives \(15t=120\), so \(t=8\). Substituting \(t=6\) does not make the two values equal, so that nearby option is incorrect. Exam tip: first equate both functions, then collect all terms containing \(t\) on one side.
दिया है कि \(f(x)=a+13x\)। \(f(3)=82\) रखने पर \(a+13(3)=82\), अर्थात \(a+39=82\), इसलिए \(a=43\)। अब \(f(9)=43+13(9)=43+117=160\)। अतः सही उत्तर 160 है। 156 जैसा निकट विकल्प तब मिल सकता है जब स्थिर पद \(a\) या गुणन में गलती हो जाए। परीक्षा टिप: पहले दिए गए फलन-मूल्य से अज्ञात स्थिरांक ज्ञात करें, फिर मांगा गया मान रखें। / Given \(f(x)=a+13x\), use \(f(3)=82\): \(a+13(3)=82\), so \(a+39=82\) and \(a=43\). Therefore, \(f(9)=43+13(9)=43+117=160\). Hence, 160 is correct. A nearby value such as 156 can result from an error in the constant term or multiplication. Exam tip: find the unknown constant from the given function value before evaluating the required value.
दिया है कि \(g(x)=b-14x\)। \(x=4\) रखने पर \(g(4)=b-14(4)=b-56=120\), इसलिए \(b=176\)। अब \(x=11\) रखने पर \(g(11)=176-14(11)=176-154=22\)। अतः सही उत्तर 22 है। 36 प्राप्त हो सकता है यदि घटाव में गलती से \(176-140\) किया जाए। परीक्षा टिप: पहले दिए गए फलन-मान से अज्ञात नियतांक \(b\) ज्ञात करें, फिर आवश्यक \(x\)-मान रखें। / Given \(g(x)=b-14x\). Substituting \(x=4\), \(g(4)=b-14(4)=b-56=120\), so \(b=176\). Now, substituting \(x=11\), \(g(11)=176-14(11)=176-154=22\). Therefore, 22 is the correct answer. The value 36 may result from incorrectly using \(176-140\). Exam tip: first find the unknown constant \(b\) from the given function value, then substitute the required value of \(x\).
\(y=8-3x\) में x का गुणांक ऋणात्मक है, इसलिए x बढ़ने पर y समान दर से घटता है; यही रैखिक क्षय है। \(8+3x\) रैखिक वृद्धि दर्शाता है। परीक्षा में x के गुणांक का चिन्ह देखें। / In \(y=8-3x\), the coefficient of x is negative, so y decreases at a constant rate as x increases; this is linear decay. \(8+3x\) shows growth. Exam tip: check the sign of the x-coefficient.
रैखिक रूप \(y=mx+c\) में \(m\) वृद्धि या कमी की दर है। \(y=7x-12\) में \(m=7\) धनात्मक है, इसलिए \(x\) बढ़ने पर \(y\) बढ़ता है। विकल्प A और D में दर ऋणात्मक है। परीक्षा टिप: \(x\) का गुणांक देखकर दर पहचानें। / In the linear form \(y=mx+c\), \(m\) is the growth or decay rate. For \(y=7x-12\), \(m=7\) is positive, so \(y\) rises as \(x\) rises. Options A and D have negative rates. Exam tip: inspect the coefficient of \(x\).
A. टंकी में पानी हर मिनट समान मात्रा में कम हो रहा है।/The water in a tank decreases by the same amount every minute.
Explanation
Simple Explanation
समान समय-अंतराल में समान मात्रा की कमी रैखिक क्षय है, इसलिए ढाल \(a\) ऋणात्मक होती है। दो बराबर अंतरालों के लिए \(\Delta p=a\Delta x\) समान रहता है। प्रतिशत वाली कमी घातीय होती है। परीक्षा टिप: “समान मात्रा” रैखिकता का संकेत है। / A decrease by the same amount in equal time intervals is linear decay, so the slope \(a\) is negative. For equal intervals, \(\Delta p=a\Delta x\) remains constant. A fixed percentage decrease is exponential. Exam tip: “same amount” signals a linear model.
\(7-3x\) में x का गुणांक \(-3\) है, इसलिए x में प्रत्येक 1 की वृद्धि पर मान 3 घटता है। \(3x-7\) वृद्धि दर्शाता है। परीक्षा में रैखिक क्षय के लिए x का गुणांक ऋणात्मक देखें। / In \(7-3x\), the coefficient of x is \(-3\), so the value falls by 3 for every increase of 1 in x. \(3x-7\) represents growth. Exam tip: linear decay always has a negative coefficient of x.
दिया है \(C(t)=42+kt\)। अतः \(C(11)-C(5)=(42+11k)-(42+5k)=6k\)। क्योंकि यह अंतर \(84\) है, इसलिए \(6k=84\), जिससे \(k=14\) प्राप्त होता है। \(16\) लेने पर अंतर \(6\times16=96\) होता, जो दिया गया मान नहीं है। परीक्षा टिप: रैखिक व्यंजक के दो मानों का अंतर लेते समय स्थिर पद \(42\) कट जाता है। / Given \(C(t)=42+kt\), \(C(11)-C(5)=(42+11k)-(42+5k)=6k\). Since this difference equals \(84\), \(6k=84\), so \(k=14\). For example, \(k=16\) would give a difference of \(6\times16=96\), not \(84\). Exam tip: when subtracting two values of a linear expression, the constant term \(42\) cancels out.
दिया है कि \(D(t)=300-kt\)। इसलिए \(D(4)=300-4k\) और \(D(12)=300-12k\) होगा। अतः \(D(4)-D(12)=(300-4k)-(300-12k)=8k\)। \(8k=104\) से \(k=13\) मिलता है, इसलिए विकल्प C सही है। \(k=12\) लेने पर अंतर \(96\) आता, जो दिया गया \(104\) नहीं है। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में दोनों फलनों का अंतर लेते समय ऋण चिह्नों को सावधानी से खोलें। / Given \(D(t)=300-kt\), we have \(D(4)=300-4k\) and \(D(12)=300-12k\). Therefore, \(D(4)-D(12)=(300-4k)-(300-12k)=8k\). Since \(8k=104\), \(k=13\), so option C is correct. If \(k=12\), the difference would be \(96\), not the given \(104\). Exam tip: When subtracting two expressions, carefully distribute the negative sign across the second expression.
दिया है कि \(A(x)=45+8x\)। अतः \(A(x+6)=45+8(x+6)\) और \(A(x-2)=45+8(x-2)\)। दोनों का अंतर \(8[(x+6)-(x-2)]=8\times8=64\) है। स्थिर पद 45 घटाने पर निरस्त हो जाता है। विकल्प 72 तब मिलता यदि इनपुटों का अंतर 9 होता, जबकि यहाँ अंतर 8 है। परीक्षा टिप: रैखिक फलन \(mx+c\) के लिए \(A(p)-A(q)=m(p-q)\) का सीधे उपयोग करें। / Given \(A(x)=45+8x\), \(A(x+6)=45+8(x+6)\) and \(A(x-2)=45+8(x-2)\). Their difference is \(8[(x+6)-(x-2)]=8\times8=64\). The constant term 45 cancels on subtraction. Option 72 would result only if the difference between the inputs were 9; here it is 8. Exam tip: for a linear function \(mx+c\), use \(A(p)-A(q)=m(p-q)\) directly.
रैखिक बहुपद \(ax+b\) में \(a\), x में 1 इकाई वृद्धि पर होने वाला परिवर्तन बताता है। यहाँ परिवर्तन \(-7\) होना चाहिए, इसलिए \(45-7x\) सही है। \(45+7x\) में मान 7 बढ़ता है। परीक्षा टिप: क्षय के लिए x का गुणांक ऋणात्मक देखें। / In a linear polynomial \(ax+b\), the coefficient \(a\) gives the change when x increases by 1. The required change is \(-7\), so \(45-7x\) is correct. In \(45+7x\), the value rises by 7. Exam tip: decay has a negative coefficient of x.
दिया है कि \(P(t)=p+14t\)। अतः \(P(3)=p+14\times3=p+42=96\), इसलिए \(p=54\)। अब \(P(s)=180\) रखने पर \(54+14s=180\) मिलता है। इसलिए \(14s=126\) और \(s=9\)। विकल्प 8 लेने पर मान 166 आएगा, 180 नहीं। परीक्षा टिप: पहले दिए गए मान से स्थिर पद \(p\) ज्ञात करें, फिर दूसरे मान के लिए चर का समीकरण हल करें। / Given \(P(t)=p+14t\), we have \(P(3)=p+14\times3=p+42=96\), so \(p=54\). Now using \(P(s)=180\), \(54+14s=180\). Thus, \(14s=126\) and \(s=9\). If \(s=8\), the model gives 166, not 180. Exam tip: first find the constant term \(p\) from the known value, then solve for the required input.
दिया है R(t)=r-15t। पहले R(4)=128 रखने पर r-15(4)=128, अर्थात r-60=128 और r=188 मिलता है। अब R(s)=38 के लिए 188-15s=38। इसलिए 15s=150 तथा s=10। अतः सही विकल्प 10 है। 12 रखने पर मान 8 कम होकर 8 मिलता है, 38 नहीं। परीक्षा टिप: पहले स्थिर मान r ज्ञात करें, फिर दूसरे दिए गए मान में उसे प्रतिस्थापित करें। / Given R(t)=r-15t, use R(4)=128 first: r-15(4)=128, so r-60=128 and r=188. Now use R(s)=38: 188-15s=38. Thus, 15s=150 and s=10. Therefore, 10 is the correct option. If 12 were used, the model would give 8, not 38. Exam tip: find the constant r from one condition before substituting the second condition.
प्रति चरण 11 की वृद्धि के लिए समीकरण का ढाल 11 होना चाहिए, अर्थात \(y=a+11x\)। शर्त \(y(5)=82\) रखने पर \(a+11(5)=82\), इसलिए \(a=27\) मिलता है। अतः \(y=27+11x\) सही है। विकल्प C में 11 की कमी होती है, क्योंकि उसका ढाल \(-11\) है। परीक्षा टिप: दिए गए \(x\)-मान को हर विकल्प में रखकर भी शर्त जल्दी जाँची जा सकती है। / An increase of 11 per step requires a slope of 11, so the model must be \(y=a+11x\). Using \(y(5)=82\) gives \(a+11(5)=82\), hence \(a=27\). Therefore, \(y=27+11x\) is correct. Option C represents a decrease of 11 because its slope is \(-11\). Exam tip: Substitute the given \(x\)-value into each option to check the condition quickly.
प्रति चरण 13 की कमी का अर्थ है कि \(x\) का गुणांक \(-13\) होगा। इसलिए समीकरण \(y=a-13x\) के रूप में होगा। शर्त \(y(6)=71\) रखने पर \(a-13(6)=71\), अतः \(a=149\) मिलता है। इसलिए सही विकल्प \(y=149-13x\) है। विकल्प C में \(y\) घटने के बजाय बढ़ता है। परीक्षा टिप: किसी दिए गए बिंदु \((x,y)\) को समीकरण में रखकर नियत पद जाँचें। / A decrease of 13 per step means that the coefficient of \(x\) must be \(-13\). So the equation has the form \(y=a-13x\). Using \(y(6)=71\), we get \(a-13(6)=71\), so \(a=149\). Hence, \(y=149-13x\) is correct. In option C, \(y\) increases rather than decreases. Exam tip: Substitute the given point \((x,y)\) into the equation to check the constant term.
“18 अधिक” का अर्थ है \(M(t)=N(t)+18\)। अतः \(80+7t=170-5t+18\), यानी \(80+7t=188-5t\)। इससे \(12t=108\) और \(t=9\) प्राप्त होता है। \(t=10\) निकट का विकल्प लग सकता है, पर उसे रखने पर अंतर \(30\) होगा, \(18\) नहीं। परीक्षा टिप: “अधिक” वाले प्रश्नों में पहले बड़े मान को छोटे मान में दी गई वृद्धि जोड़कर लिखें। / “18 more” means \(M(t)=N(t)+18\). Thus, \(80+7t=170-5t+18\), or \(80+7t=188-5t\). Therefore, \(12t=108\), giving \(t=9\). Option \(t=10\) may seem close, but it gives a difference of \(30\), not \(18\). Exam tip: In “more than” questions, write the larger quantity as the smaller quantity plus the stated difference.
“15 अधिक” का अर्थ है \(A(t)=B(t)+15\)। अतः \(240-11t=60+4t+15\), जिससे \(165=15t\) और \(t=11\) प्राप्त होता है। इसलिए सही विकल्प C है। \(t=10\) पर अंतर \(30\) होगा, 15 नहीं। परीक्षा टिप: “अधिक” वाले प्रश्नों में बड़ी राशि को छोटी राशि में दी गई वृद्धि जोड़कर बराबर लिखें। / “15 more” means \(A(t)=B(t)+15\). Thus, \(240-11t=60+4t+15\), which gives \(165=15t\) and hence \(t=11\). Therefore, option C is correct. At \(t=10\), the difference is \(30\), not 15. Exam tip: For “more than” questions, write the larger quantity as the smaller quantity plus the stated difference.
दिया है कि \(F(t)=65+rt\)। अतः \(F(4)=65+4r\) और \(F(12)=65+12r\) होगा। शर्त \(F(4)=F(12)-96\) रखने पर \(65+4r=65+12r-96\), इसलिए \(8r=96\) और \(r=12\) मिलता है। विकल्प 14 लेने पर अंतर \(F(12)-F(4)=8\times14=112\) होगा, 96 नहीं। परीक्षा टिप: रैखिक फलन के दो मानों का अंतर निकालते समय स्थिर पद 65 कट जाता है। / Given \(F(t)=65+rt\), we have \(F(4)=65+4r\) and \(F(12)=65+12r\). Substituting these into \(F(4)=F(12)-96\) gives \(65+4r=65+12r-96\). Hence, \(8r=96\), so \(r=12\). For example, if \(r=14\), then \(F(12)-F(4)=8\times14=112\), not 96. Exam tip: when subtracting two values of a linear function, the constant term 65 cancels out.
दिया है कि \(G(t)=260-rt\)। अतः \(G(3)=260-3r\) और \(G(11)=260-11r\)। इसलिए \(G(3)-G(11)=8r\)। प्रश्नानुसार यह अंतर \(104\) है, इसलिए \(8r=104\), जिससे \(r=13\) मिलता है। \(16\) लेने पर अंतर \(8\times16=128\) होगा, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: दो समयों पर रैखिक फलन के मानों का अंतर लेते समय स्थिर पद \(260\) कट जाता है। / Given \(G(t)=260-rt\), we have \(G(3)=260-3r\) and \(G(11)=260-11r\). Hence, \(G(3)-G(11)=8r\). The question states that this difference is \(104\), so \(8r=104\), giving \(r=13\). If \(r=16\), the difference would be \(8\times16=128\), so it is not correct. Exam tip: when subtracting values of a linear function at two times, the constant term \(260\) cancels out.
दिया है P(n)=a+25n और P(4)=210। अतः a+25(4)=210, यानी a+100=210, इसलिए a=110। अब P(12)=110+25(12)=110+300=410। इसलिए सही उत्तर 410 है। 385 तब मिल सकता है जब 4 से 12 तक की वृद्धि को गलत तरीके से 7 चरण मान लिया जाए, जबकि सही अंतर 12−4=8 चरण है। परीक्षा टिप: ऐसे रैखिक व्यंजकों में पहले दिए गए मान से स्थिरांक a ज्ञात करें। / Given P(n)=a+25n and P(4)=210, we get a+25(4)=210. Thus, a+100=210, so a=110. Now P(12)=110+25(12)=110+300=410. Therefore, 410 is the correct answer. The value 385 may result from incorrectly counting 7 steps from 4 to 12; the correct difference is 12−4=8 steps. Exam tip: In a linear expression, first use the given value to find the constant a.
दिया है कि \(V(y)=c-3200y\)। \(V(5)=44000\) रखने पर \(c-3200\times5=44000\), अतः \(c=60000\)। इसलिए \(V(11)=60000-3200\times11=60000-35200=24800\)। विकल्प B, 28000, तब मिलता यदि 11 के स्थान पर गलत मान रखा जाए। परीक्षा टिप: पहले दिए गए मान से \(c\) ज्ञात करें, फिर आवश्यक \(y\) का मान रखें। / Given \(V(y)=c-3200y\). Substituting \(V(5)=44000\) gives \(c-3200\times5=44000\), so \(c=60000\). Hence, \(V(11)=60000-3200\times11=60000-35200=24800\). Option B, 28000, would result from using an incorrect value in place of 11. Exam tip: first find \(c\) using the given condition, then substitute the required value of \(y\).
दिया है \(y=42+7x\) और चाहिए कि \(y=13x\)। अतः \(42+7x=13x\)। दोनों पक्षों से \(7x\) घटाने पर \(42=6x\), इसलिए \(x=7\)। \(x=6\) निकटतम विकल्प लग सकता है, पर रखने पर \(y=84\) जबकि \(13x=78\) होता है। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में पहले दोनों व्यंजकों को बराबर रखकर फिर समान पदों को एक ही पक्ष में लाएँ। / Given \(y=42+7x\), the required condition is \(y=13x\). Therefore, \(42+7x=13x\). Subtracting \(7x\) from both sides gives \(42=6x\), so \(x=7\). Option \(x=6\) may seem close, but it gives \(y=84\) and \(13x=78\), which are not equal. Exam tip: First equate the two expressions, then collect like terms on one side.
दिया है \(y=210-12x\) और शर्त है \(y=3x\)। इसलिए \(210-12x=3x\)। दोनों पक्षों में \(12x\) जोड़ने पर \(210=15x\), अतः \(x=14\) मिलता है। \(x=15\) निकट का विकल्प लग सकता है, लेकिन उसे रखने पर \(y=30\) और \(3x=45\) होते हैं, जो बराबर नहीं हैं। परीक्षा टिप: ऐसी शर्तों में पहले \(y\) के व्यंजक को दी गई समानता में प्रतिस्थापित करें। / Given \(y=210-12x\) and the condition \(y=3x\), substitute the expression for \(y\): \(210-12x=3x\). Adding \(12x\) to both sides gives \(210=15x\), so \(x=14\). Option \(x=15\) may seem close, but then \(y=30\) while \(3x=45\), so they are not equal. Exam tip: when a condition is given for a variable, substitute the provided expression before solving.
दिया है कि \(L(t)=6t+31\)। अतः \(L(5t)=6(5t)+31=30t+31\) और \(L(2t)=6(2t)+31=12t+31\)। इसलिए \(L(5t)-L(2t)=(30t+31)-(12t+31)=18t\)। \(30t\) केवल \(L(5t)\) का रैखिक पद है; इसमें से \(L(2t)\) घटाना भी आवश्यक है। परीक्षा टिप: फलन के इनपुट में मान रखने के बाद पूरे व्यंजक को कोष्ठक में रखकर घटाएँ। / Given \(L(t)=6t+31\), we get \(L(5t)=6(5t)+31=30t+31\) and \(L(2t)=6(2t)+31=12t+31\). Hence, \(L(5t)-L(2t)=(30t+31)-(12t+31)=18t\). \(30t\) is only the linear term in \(L(5t)\); \(L(2t)\) must also be subtracted. Exam tip: substitute each input first, then use brackets while subtracting the complete expressions.
दिया है \(K(t)=280-8t\)। इसलिए \(K(2t)=280-8(2t)=280-16t\) तथा \(K(6t)=280-8(6t)=280-48t\)। अतः \(K(2t)-K(6t)=(280-16t)-(280-48t)=32t\)। \(48t\) केवल \(K(6t)\) के रैखिक पद का परिमाण है, दोनों मानों का अंतर नहीं। परीक्षा टिप: फलन में \(2t\) या \(6t\) रखने पर \(t\) के स्थान पर पूरे व्यंजक को प्रतिस्थापित करें। / Given \(K(t)=280-8t\), we get \(K(2t)=280-8(2t)=280-16t\) and \(K(6t)=280-8(6t)=280-48t\). Therefore, \(K(2t)-K(6t)=(280-16t)-(280-48t)=32t\). \(48t\) is only the magnitude of the linear term in \(K(6t)\), not the difference between the two function values. Exam tip: when substituting \(2t\) or \(6t\), replace every occurrence of \(t\) by the complete expression.
दिया है कि \(Y(x)=a+9x\)। अतः \(Y(4)=a+36\) और \(Y(10)=a+90\)। इसलिए \(Y(4)+Y(10)=2a+126=218\)। इससे \(2a=92\), अतः \(a=46\)। विकल्प 52 लेने पर योग 230 होगा, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में पहले दिए गए दोनों \(x\)-मानों के लिए फलन का मान निकालकर उन्हें जोड़ें। / Given \(Y(x)=a+9x\), we get \(Y(4)=a+36\) and \(Y(10)=a+90\). Hence, \(Y(4)+Y(10)=2a+126=218\). Therefore, \(2a=92\), so \(a=46\). If 52 were used, the sum would be 230, so it is not correct. Exam tip: First substitute each given \(x\)-value in the function, then add the resulting expressions.
दिया है: \(Z(x)=b-12x\)। अतः \(Z(3)=b-36\) और \(Z(8)=b-96\)। इसलिए \(Z(3)+Z(8)=2b-132=148\)। इससे \(2b=280\), इसलिए \(b=140\) होगा। विकल्प 144 लेने पर योग \(156\) आता, 148 नहीं। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में पहले दिए गए दोनों \(x\)-मानों को फलन में अलग-अलग रखकर जोड़ें। / Given \(Z(x)=b-12x\), we have \(Z(3)=b-36\) and \(Z(8)=b-96\). Thus, \(Z(3)+Z(8)=2b-132=148\). Hence \(2b=280\), so \(b=140\). If 144 were used, the sum would be \(156\), not 148. Exam tip: Substitute each given \(x\)-value into the function separately before adding the results.
दोनों बहुपद बराबर होने के लिए \(44+8x=12x-8\) होगा। दोनों पक्षों में 8 जोड़ने पर \(52+8x=12x\) और फिर \(52=4x\) मिलता है। अतः \(x=13\) है। उदाहरण के लिए, \(x=13\) पर दोनों का मान 148 आता है। \(x=12\) निकटतम विकल्प है, लेकिन उस पर दोनों मान बराबर नहीं होते। परीक्षा टिप: बराबरी वाले प्रश्नों में दोनों व्यंजकों को पहले एक-दूसरे के बराबर रखकर \(x\) के पदों को एक ही पक्ष में लाएँ। / For the two polynomials to be equal, \(44+8x=12x-8\). Adding 8 to both sides gives \(52+8x=12x\), and then \(52=4x\). Hence, \(x=13\). At \(x=13\), both expressions have the value 148. \(x=12\) is a close distractor, but the two values are not equal there. Exam tip: In equality questions, first equate the two expressions and collect all \(x\)-terms on one side.
(260-15x=68+3x) से (192=18x) नहीं बल्कि \(x=\frac{32}{3}\) मिलता है। दिए गए विकल्पों में (x=12) रखने पर बराबरी नहीं होती। / From (260-15x=68+3x), (192=18x), so \(x=\frac{32}{3}\). None of the given options is valid.
रेखीय समीकरण में \(x\) का गुणांक ढाल या वृद्धि-दर बताता है। यहाँ ढाल \(k-9\) है। रेखीय वृद्धि के लिए यह धनात्मक होनी चाहिए: \(k-9>0\), इसलिए \(k>9\)। \(k=9\) होने पर ढाल शून्य होती है और \(y=72\) एक स्थिर रेखा बनती है, वृद्धि नहीं। परीक्षा टिप: वृद्धि के लिए ढाल धनात्मक और क्षय के लिए ढाल ऋणात्मक जाँचें। / In a linear equation, the coefficient of \(x\) is the slope or rate of change. Here, the slope is \(k-9\). For linear growth, it must be positive: \(k-9>0\), so \(k>9\). If \(k=9\), the slope is zero and \(y=72\) is a constant line, not growth. Exam tip: check whether the slope is positive for growth and negative for decay.
दिया गया व्यंजक \(y=320-(k-6)x\) है, जिसका \(x\) का गुणांक (ढाल) \(-(k-6)=6-k\) है। रेखीय क्षय के लिए \(x\) बढ़ने पर \(y\) घटना चाहिए, इसलिए ढाल ऋणात्मक होनी चाहिए: \(6-k<0\)। अतः \(k>6\) होगा। \(k=6\) पर ढाल शून्य होती है, इसलिए मान स्थिर रहता है, क्षय नहीं होता। परीक्षा टिप: रेखीय रूप \(y=a+mx\) में \(m<0\) होने पर क्षय होता है। / The coefficient of \(x\), or slope, in \(y=320-(k-6)x\) is \(-(k-6)=6-k\). For linear decay, \(y\) must decrease as \(x\) increases, so the slope must be negative: \(6-k<0\). Hence, \(k>6\). When \(k=6\), the slope is zero and the value remains constant, not decaying. Exam tip: in \(y=a+mx\), decay occurs when \(m<0\).
यहां (R(0)=110) सीधे आरंभिक मान है। अंतर से (m=15) मिलता है पर आरंभिक मान वही रहता है। / Here (R(0)=110) is directly the initial value. The difference gives (m=15), but the initial value remains the same.
A. हर मान के लिए शर्त सत्य है/The condition is true for every value of \(s\)
Explanation
Simple Explanation
\(S(5)=s-55\) और \(S(13)=s-143\)। अतः \(S(5)-S(13)=(s-55)-(s-143)=88\)। यहाँ \(s\) वाले पद कट जाते हैं, इसलिए दी गई शर्त \(s\) के प्रत्येक मान के लिए सत्य है। \(s=88\) या \(s=11\) कोई आवश्यक मान नहीं हैं। परीक्षा टिप: दो फलनों के मानों का अंतर निकालते समय कोष्ठक खोलते हुए दूसरे व्यंजक के सभी पदों के चिन्ह बदलें। / \(S(5)=s-55\) and \(S(13)=s-143\). Therefore, \(S(5)-S(13)=(s-55)-(s-143)=88\). The terms containing \(s\) cancel, so the given condition is true for every value of \(s\). Neither \(s=88\) nor \(s=11\) is required. Exam tip: When subtracting expressions, use brackets and change the sign of every term in the second expression.
A. t के प्रत्येक एकक पर 6 बढ़ता है/It increases by 6 for each unit of t
Explanation
Simple Explanation
पहले अंतर ज्ञात करें: (B(t)-A(t))=(91+13t)-(58+7t)=33+6t। t का गुणांक 6 है, इसलिए t में प्रत्येक 1 की वृद्धि पर अंतर 6 बढ़ता है। 33 प्रारम्भिक अंतर है, वृद्धि की दर नहीं; इसलिए विकल्प D गलत है। परीक्षा टिप: दो रैखिक व्यंजकों के अंतर की दर उनके t-गुणांकों के अंतर से मिलती है। / First find the difference: (B(t)-A(t))=(91+13t)-(58+7t)=33+6t. The coefficient of t is 6, so the difference increases by 6 whenever t increases by 1. Here, 33 is the initial difference, not the rate of increase, so option D is incorrect. Exam tip: the rate of the difference of two linear expressions is the difference of their t-coefficients.
अंतर ज्ञात करें: \(C(t)-D(t)=(330-9t)-(230-18t)=100+9t\)। इसमें \(t\) का गुणांक 9 है, इसलिए \(t\) के प्रत्येक एक-चरण बढ़ने पर अंतर 9 बढ़ता है। विकल्प B में 9 घटने की बात है, पर वह तभी होता जब अंतर में \(t\) का गुणांक \(-9\) होता। परीक्षा टिप: दो रैखिक व्यंजकों का अंतर लेते समय दूसरे कोष्ठक के सभी चिह्न बदलना याद रखें। / Find the difference: \(C(t)-D(t)=(330-9t)-(230-18t)=100+9t\). The coefficient of \(t\) is 9, so the difference increases by 9 for every one-step increase in \(t\). Option B would be correct only if the coefficient of \(t\) in the difference were \(-9\). Exam tip: When subtracting linear expressions, change the signs of every term in the second bracket.
\(y=250-6x\) में \(x\) के गुणांक \(-6\) का अर्थ है कि \(x\) में 1 की वृद्धि पर \(y\) हर बार 6 घटता है। \(250-6x^2\) में कमी की दर स्थिर नहीं होती। परीक्षा टिप: रैखिक क्षय का गुणांक ऋणात्मक और \(x\) की घात 1 होती है। / In \(y=250-6x\), the coefficient \(-6\) means that when \(x\) increases by 1, \(y\) decreases by 6 every time. In \(250-6x^2\), the rate of decrease is not constant. Exam tip: linear decay has a negative coefficient and power of \(x\) equal to 1.
A. प्रत्येक समान अंतराल में मात्रा में समान निरपेक्ष कमी होती है/The quantity has the same absolute decrease in each equal interval
Explanation
Simple Explanation
रैखिक क्षय में समान समय या x-अंतराल पर y की कमी समान रहती है, इसलिए ग्राफ की ढाल स्थिर और ऋणात्मक होती है। समान अनुपात वाली कमी घातीय क्षय की पहचान है। परीक्षा टिप: ‘स्थिर अंतर’ देखें, ‘स्थिर अनुपात’ नहीं। / In linear decay, y falls by an equal amount over equal intervals of x, so the graph has a constant negative slope. A constant ratio of decrease indicates exponential decay instead. Exam tip: look for a constant difference, not a constant ratio.
दिया है \(f(x)=10x+35\)। इसलिए \(f(4x)=10(4x)+35=40x+35\)। अतः \(f(4x)-f(x)=(40x+35)-(10x+35)=30x\)। अब \(30x=150\) रखने पर \(x=5\) मिलता है, इसलिए विकल्प B सही है। उदाहरण के लिए \(x=4\) लेने पर अंतर केवल \(120\) होगा, \(150\) नहीं। परीक्षा टिप: पहले \(f(4x)\) में हर \(x\) के स्थान पर \(4x\) रखें। / Given \(f(x)=10x+35\), we get \(f(4x)=10(4x)+35=40x+35\). Therefore, \(f(4x)-f(x)=(40x+35)-(10x+35)=30x\). Setting \(30x=150\) gives \(x=5\), so option B is correct. For instance, if \(x=4\), the difference is only \(120\), not \(150\). Exam tip: while finding \(f(4x)\), replace every \(x\) in the function by \(4x\).
दिया है \(g(x)=300-15x\)। अतः \(g(5x)=300-15(5x)=300-75x\)। इसलिए \(g(x)-g(5x)=(300-15x)-(300-75x)=60x\)। अब \(60x=180\) से \(x=3\) मिलता है। इसलिए विकल्प B सही है। \(x=2\) रखने पर अंतर केवल \(120\) होगा, \(180\) नहीं। परीक्षा टिप: \(g(5x)\) में हर जगह \(x\) के स्थान पर \(5x\) रखें। / Given \(g(x)=300-15x\), we get \(g(5x)=300-15(5x)=300-75x\). Hence, \(g(x)-g(5x)=(300-15x)-(300-75x)=60x\). Setting \(60x=180\) gives \(x=3\). Therefore, option B is correct. For example, \(x=2\) gives a difference of only \(120\), not \(180\). Exam tip: while finding \(g(5x)\), replace every \(x\) in the rule by \(5x\).
यह एक रैखिक फलन है, इसलिए दो इनपुटों पर फलन के मानों का योग उनके मध्यबिंदु पर फलन के मान के दोगुने के बराबर होता है। 6 और 18 का मध्यबिंदु \(\frac{6+18}{2}=12\) है। अतः \(P(6)+P(18)=2P(12)\)। जाँच के लिए, \(P(6)=111\) और \(P(18)=183\), जिनका योग 294 है; जबकि \(2P(12)=2\times147=294\)। परीक्षा टिप: रैखिक फलन में \(P(a)+P(b)=2P\left(\frac{a+b}{2}\right)\) का उपयोग करें। / This is a linear function, so the sum of its values at two inputs equals twice its value at the midpoint of those inputs. The midpoint of 6 and 18 is \(\frac{6+18}{2}=12\). Hence, \(P(6)+P(18)=2P(12)\). Checking directly, \(P(6)=111\) and \(P(18)=183\), so their sum is 294, while \(2P(12)=2\times147=294\). Exam tip: for a linear function, use \(P(a)+P(b)=2P\left(\frac{a+b}{2}\right)\).
फलन \(Q(t)=320-8t\) एक रैखिक फलन है। \(5\) और \(17\) का मध्यबिंदु \(\frac{5+17}{2}=11\) है, इसलिए रैखिक फलन के लिए \(Q(5)+Q(17)=2Q(11)\) होगा। अतः सही विकल्प \(Q(11)\) है। \(Q(10)\) निकट का विकल्प है, लेकिन 10, 5 और 17 का मध्यबिंदु नहीं है। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में दो इनपुटों का औसत निकालकर \(k\) ज्ञात करें। / The function \(Q(t)=320-8t\) is linear. The midpoint of \(5\) and \(17\) is \(\frac{5+17}{2}=11\), so for a linear function, \(Q(5)+Q(17)=2Q(11)\). Hence, \(Q(11)\) is correct. \(Q(10)\) is a close distractor, but 10 is not the midpoint of 5 and 17. Exam tip: In such questions, find the average of the two inputs to determine \(k\).
\(y=500-12x\) में x का गुणांक \(-12\) स्थिर और ऋणात्मक है, इसलिए y समान दर से घटता है। \(x^2\) वाला संबंध रैखिक नहीं है। परीक्षा टिप: रैखिक क्षय में x का गुणांक ऋणात्मक देखें। / In \(y=500-12x\), the coefficient of x is the constant negative number \(-12\), so y decreases at a constant rate. The \(x^2\) relation is not linear. Exam tip: linear decay has a negative coefficient of x.
x का परिवर्तन 15 − 7 = 8 है। y = 360 − bx में x के प्रत्येक 1 इकाई बढ़ने पर y, b इकाई घटता है। इसलिए कुल कमी 8b = 136 होगी। अतः b = 136/8 = 17। विकल्प 16 लेने पर कमी 8 × 16 = 128 होती, जो 136 नहीं है। परीक्षा टिप: रैखिक व्यंजक में x के परिवर्तन को गुणांक से गुणा करके y का कुल परिवर्तन निकालें। / The change in x is 15 − 7 = 8. In y = 360 − bx, y decreases by b units for every 1-unit increase in x. Hence, the total decrease is 8b = 136. Therefore, b = 136/8 = 17. If b were 16, the decrease would be 8 × 16 = 128, not 136. Exam tip: For a linear expression, multiply the change in x by its coefficient to find the total change in y.
शर्त है कि \(A(t)=B(t)+6\)। अतः \(50+7t=92+4t+6\), जिससे \(3t=48\) और \(t=16\) प्राप्त होता है। इसलिए सही विकल्प \(t=16\) है। \(t=14\) पर अंतर केवल \(50+98-(92+56)=0\) होगा, 6 नहीं। परीक्षा टिप: “से 6 अधिक” को हमेशा \(A=B+6\) के रूप में लिखें। / The condition is \(A(t)=B(t)+6\). So, \(50+7t=92+4t+6\), which gives \(3t=48\) and hence \(t=16\). Therefore, the correct option is \(t=16\). At \(t=14\), the difference is only \(50+98-(92+56)=0\), not 6. Exam tip: translate “6 more than” as \(A=B+6\).
शर्त (310-12t=70+6t-6) है। इससे (246=18t) नहीं बल्कि \(t=\frac{41}{3}\) मिलता है इसलिए कोई विकल्प सही नहीं है। / The condition is (310-12t=70+6t-6). This gives (246=18t), so \(t=\frac{41}{3}\), and none of the options is correct.
योग ((a+16)+(a+48)+(a+80)=3a+144) है। (3a+144=252) से (a=36) मिलता है जो विकल्पों में नहीं है। / The sum is ((a+16)+(a+48)+(a+80)=3a+144). From (3a+144=252), (a=36), which is not in the options.
दिया है कि \(g(t)=b-7t\)। अतः \(g(4)=b-28\), \(g(8)=b-56\) और \(g(12)=b-84\) होंगे। इनका योग \(3b-(28+56+84)=3b-168\) है। इसलिए \(3b-168=258\), जिससे \(3b=426\) और \(b=142\) प्राप्त होता है। विकल्प 138 लेने पर योग 246 होगा, 258 नहीं। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में पहले प्रत्येक दिए गए इनपुट के लिए फलन का मान लिखकर फिर सभी पदों को जोड़ें। / Given \(g(t)=b-7t\), we get \(g(4)=b-28\), \(g(8)=b-56\), and \(g(12)=b-84\). Their sum is \(3b-(28+56+84)=3b-168\). Hence, \(3b-168=258\), so \(3b=426\) and \(b=142\). If 138 were used, the sum would be 246, not 258. Exam tip: First write the function value for each given input, then combine like terms carefully.
