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निम्नलिखित में से कौन-सा बहुपद समय \(t\) के साथ किसी राशि के रैखिक क्षय को दर्शाता है, जहाँ \(t\) का गुणांक प्रत्येक इकाई समय में होने वाली कमी बताता है?
\(P(t)=120-5t\) में \(t\) की घात 1 है और उसका गुणांक ऋणात्मक है, इसलिए मान हर इकाई समय में 5 घटता है। \(120-5t^2\) रैखिक नहीं है। परीक्षा टिप: रैखिक मॉडल की घात सदैव 1 होती है। / In \(P(t)=120-5t\), the power of \(t\) is 1 and its coefficient is negative, so the value decreases by 5 per unit time. \(120-5t^2\) is not linear. Exam tip: a linear model always has degree 1.
A. समान समयांतरालों में मात्रा समान निरपेक्ष मान से घटती है/The quantity decreases by the same absolute amount in equal time intervals
Explanation
Simple Explanation
रैखिक क्षय में प्रति समान समयांतराल कमी स्थिर होती है, इसलिए ग्राफ की ढाल नियत ऋणात्मक रहती है। दो क्रमिक मानों का अंतर जाँचें; समान प्रतिशत की कमी घातांकीय क्षय है। / In linear decay, the decrease per equal time interval is constant, so the graph has a fixed negative slope. Check differences between consecutive values; equal percentage decrease indicates exponential decay.
दोनों मॉडल बराबर होने के लिए \(36+9t=126-6t\) लिखते हैं। \(6t\) को बाईं ओर लाने पर \(15t=90\) मिलता है, इसलिए \(t=6\)। \(t=5\) रखने पर दोनों मॉडलों के मान बराबर नहीं आते। परीक्षा टिप: दो रैखिक मॉडलों के मिलने का समय ज्ञात करने के लिए उनके व्यंजकों को बराबर रखकर \(t\) हल करें। / For the models to be equal, set \(36+9t=126-6t\). Moving \(6t\) to the left gives \(15t=90\), so \(t=6\). If \(t=5\) is substituted, the two model values are not equal. Exam tip: to find when two linear models meet, equate their expressions and solve for \(t\).
बराबरी के लिए \(52+4t=148-8t\) लिखते हैं। \(8t\) को बाईं ओर लाने पर \(12t=96\) मिलता है, इसलिए \(t=8\)। जाँच करने पर \(P(8)=52+32=84\) और \(Q(8)=148-64=84\) हैं। \(t=10\) पर दोनों मान बराबर नहीं होते। परीक्षा टिप: रैखिक व्यंजकों को बराबर करते समय \(t\) वाले पद एक ओर और नियत पद दूसरी ओर रखें। / For equality, set \(52+4t=148-8t\). Moving \(8t\) to the left gives \(12t=96\), so \(t=8\). On checking, \(P(8)=52+32=84\) and \(Q(8)=148-64=84\). At \(t=10\), the two values are not equal. Exam tip: while equating linear expressions, collect all terms containing \(t\) on one side and constants on the other.
दिया है कि f(x)=a+12x और f(4)=95। अतः a+12(4)=95, यानी a+48=95, जिससे a=47 मिलता है। अब f(10)=47+12(10)=47+120=167। इसलिए सही विकल्प C है। 155 एक संभावित गलती है, जो स्थिरांक a का सही मान निकाले बिना प्राप्त हो सकता है। परीक्षा टिप: पहले दी गई फलन-मान की शर्त से अज्ञात स्थिरांक ज्ञात करें, फिर अपेक्षित x का मान रखें। / Given f(x)=a+12x and f(4)=95, we get a+12(4)=95. Thus, a+48=95, so a=47. Now, f(10)=47+12(10)=47+120=167. Therefore, option C is correct. The value 155 can result from not determining the constant a correctly. Exam tip: first use the given function value to find the unknown constant, then substitute the required value of x.
दिया है कि \(g(x)=b-11x\)। \(x=5\) रखने पर \(g(5)=b-55=103\), अतः \(b=158\)। अब \(x=12\) रखने पर \(g(12)=158-11(12)=158-132=26\)। इसलिए सही उत्तर 26 है। 37 जैसे विकल्प में घटाव की गणना गलत हो सकती है। परीक्षा टिप: पहले दिए गए फलन-मान से अज्ञात नियतांक \(b\) ज्ञात करें, फिर आवश्यक \(x\)-मान रखें। / Given \(g(x)=b-11x\). Substituting \(x=5\), \(g(5)=b-55=103\), so \(b=158\). Now, for \(x=12\), \(g(12)=158-11(12)=158-132=26\). Hence, 26 is correct. An option such as 37 can result from an incorrect subtraction. Exam tip: first find the unknown constant \(b\) from the given function value, then substitute the required value of \(x\).
\(y=18-2.5x\) में स्थिर पद 18 प्रारम्भिक मान है और x का गुणांक \(-2.5\) प्रति इकाई समान कमी बताता है। विकल्प C रैखिक नहीं है क्योंकि उसमें \(x^2\) है। परीक्षा टिप: रैखिक क्षय में x का घात 1 तथा उसका गुणांक ऋणात्मक होता है। / In \(y=18-2.5x\), the constant term 18 is the initial value and the coefficient \(-2.5\) shows an equal decrease per unit of x. Option C is not linear because it contains \(x^2\). Exam tip: for linear decay, x has power 1 and a negative coefficient.
\(y=250-7x\) में x का गुणांक \(-7\) है, इसलिए x की प्रत्येक 1 इकाई वृद्धि पर y 7 इकाई घटता है। \(y=250+7x\) वृद्धि दर्शाता है, जबकि \(x^2\) वाला संबंध रैखिक नहीं है। परीक्षा टिप: रैखिक क्षय में x का गुणांक ऋणात्मक होता है। / In \(y=250-7x\), the coefficient of x is \(-7\), so y decreases by 7 for every 1-unit increase in x. \(y=250+7x\) shows growth, while an \(x^2\) relation is not linear. Exam tip: linear decay has a negative coefficient of x.
A. राशि के क्रमागत मानों का अंतर समान होना चाहिए/The differences between consecutive values of the quantity must be constant
Explanation
Simple Explanation
रैखिक वृद्धि में x को समान मात्रा से बढ़ाने पर y में हर बार समान परिवर्तन होता है। जैसे x में 1 की वृद्धि पर y के अंतर 5, 5, 5 हों। समान अनुपात घातीय वृद्धि का संकेत है। परीक्षा में पहले अंतर जाँचें। / In linear growth, equal increases in x produce the same change in y each time. For example, when x rises by 1, y-differences may be 5, 5, 5. A constant ratio indicates exponential growth. Exam tip: check first differences first.
\(7-3x\) एक रैखिक बहुपद है और x का गुणांक \(-3\) है। इसलिए x में प्रत्येक 1 की वृद्धि पर मान 3 से घटता है। \(x^2-3x+7\) में परिवर्तन की दर स्थिर नहीं होती। परीक्षा टिप: स्थिर वृद्धि/क्षय के लिए x की घात 1 देखें। / \(7-3x\) is a linear polynomial with coefficient \(-3\) of x. Thus, for every increase of 1 in x, its value decreases by 3. In \(x^2-3x+7\), the rate of change is not constant. Exam tip: constant growth or decay requires degree 1.
दिया है कि \(C(t)=28+kt\)। अतः \(C(10)=28+10k\) और \(C(4)=28+4k\)। इसलिए \(C(10)-C(4)=(28+10k)-(28+4k)=6k\)। प्रश्नानुसार \(6k=72\), इसलिए \(k=12\)। विकल्प 14 लेने पर अंतर \(6\times14=84\) आता, जो दिया गया 72 नहीं है। परीक्षा टिप: रैखिक व्यंजक के दो मानों का अंतर लेने पर स्थिर पद 28 कट जाता है। / Given \(C(t)=28+kt\), we have \(C(10)=28+10k\) and \(C(4)=28+4k\). Hence, \(C(10)-C(4)=(28+10k)-(28+4k)=6k\). As the difference is 72, \(6k=72\), so \(k=12\). For example, choosing 14 would give a difference of \(6\times14=84\), not 72. Exam tip: when subtracting two values of a linear expression, the constant term cancels out.
दिया है \(D(t)=240-kt\)। अतः \(D(5)=240-5k\) और \(D(13)=240-13k\)। इसलिए \(D(5)-D(13)=(240-5k)-(240-13k)=8k\)। अब \(8k=96\), इसलिए \(k=12\)। \(k=16\) लेने पर अंतर \(128\) आएगा, जो दिए गए \(96\) के बराबर नहीं है। परीक्षा टिप: रैखिक व्यंजक के दो मानों का अंतर लेते समय स्थिर पद कट जाते हैं। / Given \(D(t)=240-kt\), we have \(D(5)=240-5k\) and \(D(13)=240-13k\). Hence, \(D(5)-D(13)=(240-5k)-(240-13k)=8k\). Therefore, \(8k=96\), so \(k=12\). If \(k=16\), the difference would be \(128\), not \(96\). Exam tip: when subtracting two values of a linear expression, the constant terms cancel.
प्रारम्भिक मान स्थिर पद होता है, इसलिए वह 50 है। प्रत्येक समय-इकाई में 4 की कमी के कारण \(t\) का गुणांक \(-4\) होगा; अतः \(Q(t)=50-4t\)। \(50-4t^2\) रैखिक नहीं है। परीक्षा टिप: समान परिवर्तन का अर्थ प्रथम घात है। / The initial value is the constant term, so it is 50. A decrease of 4 per time unit gives the coefficient of \(t\) as \(-4\), hence \(Q(t)=50-4t\). \(50-4t^2\) is not linear. Exam tip: constant change means degree 1.
\(t=0\) रखने पर \(15-7t\) का मान 15 मिलता है और \(t\) का गुणांक \(-7\) है, इसलिए हर इकाई समय पर 7 की कमी होती है। \(15+7t\) वृद्धि दर्शाता है। परीक्षा टिप: रैखिक परिवर्तन में \(t\) की घात 1 होती है। / Putting \(t=0\) in \(15-7t\) gives 15, and the coefficient of \(t\) is \(-7\), so the quantity falls by 7 per unit time. \(15+7t\) indicates growth. Exam tip: in a linear model, the variable has power 1.
दिया है कि P(t)=p+10t। पहले P(4)=92 रखने पर p+10(4)=92, अर्थात p+40=92 और p=52 मिलता है। अब P(s)=152 के लिए 52+10s=152। अतः 10s=100, इसलिए s=10। विकल्प 9 लेने पर P(9)=52+90=142 होगा, 152 नहीं। परीक्षा टिप: ऐसे रैखिक मॉडल में पहले दिए गए मान से स्थिर पद p ज्ञात करें, फिर दूसरे मान में चर रखें। / Given P(t)=p+10t, substitute P(4)=92 first: p+10(4)=92, so p+40=92 and p=52. Now use P(s)=152: 52+10s=152. Thus 10s=100, giving s=10. If s were 9, then P(9)=52+90=142, not 152. Exam tip: In a linear model, first find the constant term from one known value, then substitute the second value to solve for the variable.
दिया है कि \(R(t)=r-12t\)। \(R(3)=134\) रखने पर \(r-12(3)=134\), अर्थात \(r-36=134\), इसलिए \(r=170\)। अब \(R(s)=50\) से \(170-12s=50\) मिलता है। अतः \(12s=120\), इसलिए \(s=10\)। विकल्प 9 लेने पर मान \(R(9)=62\) आता है, 50 नहीं। परीक्षा टिप: पहले दिए गए मान से स्थिर पद \(r\) ज्ञात करें, फिर दूसरे मान से चर हल करें। / Given \(R(t)=r-12t\), substitute \(t=3\): \(r-12(3)=134\). Thus, \(r-36=134\), so \(r=170\). Now \(R(s)=50\) gives \(170-12s=50\). Hence \(12s=120\), and \(s=10\). If \(s=9\), then \(R(9)=62\), not 50. Exam tip: first find the constant \(r\) from the given value, then use the second condition to solve for the variable.
प्रति चरण 9 की वृद्धि होने पर रैखिक व्यंजक का गुणांक 9 होना चाहिए, अर्थात \(y=a+9x\)। शर्त \(y(4)=61\) रखने पर \(a+9(4)=61\), इसलिए \(a=25\) मिलता है। अतः \(y=25+9x\) सही विकल्प है। \(y=61+9x\) में वृद्धि 9 है, लेकिन \(y(4)=97\) होता है, 61 नहीं। परीक्षा टिप: दिए गए \(x\)-मान को विकल्प में रखकर शर्त तुरंत जाँचें। / An increase of 9 per step requires a linear expression with coefficient 9, so \(y=a+9x\). Using \(y(4)=61\), we get \(a+9(4)=61\), hence \(a=25\). Therefore, \(y=25+9x\) is correct. Although \(y=61+9x\) also has rate 9, it gives \(y(4)=97\), not 61. Exam tip: substitute the given \(x\)-value into an option to check the condition quickly.
प्रति चरण 7 की कमी का अर्थ है कि \(x\) का गुणांक \(-7\) होगा। अतः समीकरण \(y=a-7x\) के रूप में होगा। शर्त \(y(8)=94\) रखने पर \(a-7(8)=94\), अर्थात \(a=150\) मिलता है। इसलिए \(y=150-7x\) सही विकल्प है। विकल्प A में कमी की दर तो \(-7\) है, लेकिन \(y(8)=38\) आता है। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में पहले ढाल/दर का चिह्न तय करें, फिर दी गई स्थिति रखकर स्थिरांक ज्ञात करें। / A decrease of 7 per step means that the coefficient of \(x\) must be \(-7\). So the equation has the form \(y=a-7x\). Using \(y(8)=94\), we get \(a-7(8)=94\), so \(a=150\). Therefore, \(y=150-7x\) is correct. Option A has the correct rate of decrease, but it gives \(y(8)=38\). Exam tip: first identify the sign of the rate, then substitute the given condition to find the constant term.
“20 अधिक” का अर्थ है \(M(t)=N(t)+20\)। अतः \(62+5t=142-5t+20\), यानी \(62+5t=162-5t\)। इससे \(10t=100\), इसलिए \(t=10\)। \(t=8\) लेने पर अंतर केवल 0 होता है, इसलिए वह निकट का लेकिन गलत विकल्प है। परीक्षा टिप: “अधिक” वाले प्रश्न में पहले बड़ी राशि को छोटी राशि से आवश्यक अंतर जोड़कर बराबर करें। / “20 more” means \(M(t)=N(t)+20\). Thus, \(62+5t=142-5t+20\), or \(62+5t=162-5t\). This gives \(10t=100\), so \(t=10\). At \(t=8\), the difference is 0, so it is a close but incorrect option. Exam tip: for “more than” questions, equate the larger quantity to the smaller quantity plus the stated difference.
“\(12\) अधिक” का अर्थ है \(A(t)=B(t)+12\)। अतः \(190-8t=46+4t+12\), जिससे \(132=12t\) और \(t=11\) प्राप्त होता है। इसलिए सही विकल्प \(t=11\) है। \(t=10\) पर दोनों राशियों का अंतर \(24\) होगा, \(12\) नहीं। परीक्षा टिप: “इतना अधिक” वाले प्रश्नों में पहले अंतर \(A(t)-B(t)\) को दिए गए अंतर के बराबर रखें। / “12 more” means \(A(t)=B(t)+12\). Thus, \(190-8t=46+4t+12\), which gives \(132=12t\) and hence \(t=11\). Therefore, \(t=11\) is correct. At \(t=10\), the difference between the two quantities is \(24\), not \(12\). Exam tip: In “more than” questions, set \(A(t)-B(t)\) equal to the stated difference first.
दिया है कि \(F(3)=F(11)-80\), अतः \(F(11)-F(3)=80\)। रैखिक फलन \(F(t)=50+rt\) में \(t=3\) से \(t=11\) तक परिवर्तन \(8\) है, इसलिए \(F(11)-F(3)=8r\)। अतः \(8r=80\), जिससे \(r=10\) मिलता है। विकल्प 8 समय का अंतर है, दर \(r\) नहीं। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में दो फलन-मूल्यों का अंतर लेने पर स्थिर पद 50 कट जाता है। / Given \(F(3)=F(11)-80\), we get \(F(11)-F(3)=80\). For the linear function \(F(t)=50+rt\), the change in \(t\) from 3 to 11 is \(8\), so \(F(11)-F(3)=8r\). Thus \(8r=80\), giving \(r=10\). Option 8 is the time interval, not the rate \(r\). Exam tip: subtract two function values in a linear expression to eliminate the constant term 50.
दिया है \(G(t)=220-rt\)। अतः \(G(4)=220-4r\) और \(G(13)=220-13r\)। इसलिए \(G(4)-G(13)=9r\)। शर्त \(G(4)=G(13)+99\) से \(G(4)-G(13)=99\), अतः \(9r=99\) और \(r=11\)। \(10\) निकट विकल्प है, पर उससे अंतर \(9\times10=90\) होगा, 99 नहीं। परीक्षा टिप: ऐसे रैखिक फलनों में दो समयों के मान घटाने पर स्थिर पद कट जाता है। / Given \(G(t)=220-rt\), we have \(G(4)=220-4r\) and \(G(13)=220-13r\). Hence, \(G(4)-G(13)=9r\). The condition \(G(4)=G(13)+99\) gives \(G(4)-G(13)=99\), so \(9r=99\) and \(r=11\). Option \(10\) is close, but it would give a difference of \(9\times10=90\), not 99. Exam tip: when subtracting values of a linear function, the constant term cancels out.
प्रत्येक 1 इकाई की वृद्धि पर कीमत 20 बढ़ती है। 6 से 13 तक 7 इकाइयों की वृद्धि है, इसलिए कीमत में वृद्धि \(7\times20=140\) होगी। अतः \(P(13)=230+140=370\)। विकल्प 350 तब मिलता है जब 7 के स्थान पर गलत तरीके से 6 अंतराल लिए जाएँ। परीक्षा टिप: रैखिक फलन में दो मानों के बीच परिवर्तन के लिए \(P(13)-P(6)=20(13-6)\) लिखना सबसे तेज़ तरीका है। / The price increases by 20 for every increase of 1 in \(n\). From 6 to 13, there are 7 steps, so the increase is \(7\times20=140\). Therefore, \(P(13)=230+140=370\). Option 350 can result from incorrectly using 6 steps instead of 7. Exam tip: for a linear function, use \(P(13)-P(6)=20(13-6)\) to find the change quickly.
मशीन का मूल्य प्रत्येक वर्ष 2500 से घटता है। वर्ष 4 से वर्ष 10 तक 6 वर्ष हैं, इसलिए कुल कमी \(6\times2500=15000\) होगी। अतः \(V(10)=38000-15000=23000\)। विकल्प 28000 में केवल 4 वर्षों की कमी घटाई गई है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: रैखिक ह्रास में दिए गए दो समयों का अंतर लेकर प्रति वर्ष की कमी से गुणा करें। / The machine’s value decreases by 2500 each year. From year 4 to year 10, there are 6 years, so the total decrease is \(6\times2500=15000\). Therefore, \(V(10)=38000-15000=23000\). Option 28000 results from subtracting the depreciation for only 4 years, so it is incorrect. Exam tip: In linear decay, first find the difference between the two time values and multiply it by the yearly decrease.
दिया है \(y=30+6x\) और शर्त है \(y=11x\)। इसलिए \(30+6x=11x\)। दोनों पक्षों से \(6x\) घटाने पर \(30=5x\) मिलता है, अतः \(x=6\)। \(x=5\) रखने पर बायाँ व्यंजक \(60\) और \(11x=55\) होगा, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में \(y\) के दोनों व्यंजकों को पहले बराबर लिखें, फिर समान पदों को एक ही पक्ष में लाएँ। / Given \(y=30+6x\) and the condition \(y=11x\), we get \(30+6x=11x\). Subtracting \(6x\) from both sides gives \(30=5x\), so \(x=6\). For example, at \(x=5\), the first expression gives \(60\), whereas \(11x=55\), so it is not correct. Exam tip: first equate the two expressions for \(y\), then collect like terms on one side.
दिया है \(y=168-10x\) और शर्त है \(y=4x\)। अतः \(168-10x=4x\)। दोनों पक्षों में \(10x\) जोड़ने पर \(168=14x\) मिलता है, इसलिए \(x=12\)। उदाहरण के लिए, \(x=14\) रखने पर \(y=28\) होगा, जबकि \(4x=56\) है; इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: ऐसी शर्तों में \(y\) के दोनों व्यंजकों को बराबर रखकर एक रैखिक समीकरण बनाइए। / Given \(y=168-10x\) and the condition \(y=4x\), set the two expressions for \(y\) equal: \(168-10x=4x\). Adding \(10x\) to both sides gives \(168=14x\), so \(x=12\). For instance, if \(x=14\), then \(y=28\), whereas \(4x=56\); hence it is not correct. Exam tip: When two expressions represent the same variable, equate them to form a linear equation.
दिया है \(L(t)=5t+23\)। इसलिए \(L(4t)=5(4t)+23=20t+23\)। अब \(L(4t)-L(t)=(20t+23)-(5t+23)=15t\)। अतः सही उत्तर \(15t\) है। \(20t\) केवल \(L(4t)\) का रैखिक पद है; इसमें से \(L(t)\) घटाना अभी बाकी होता है। परीक्षा टिप: फलन में \(4t\) रखने पर \(t\) के प्रत्येक स्थान पर \(4t\) प्रतिस्थापित करें। / Given \(L(t)=5t+23\), we get \(L(4t)=5(4t)+23=20t+23\). Therefore, \(L(4t)-L(t)=(20t+23)-(5t+23)=15t\). Hence, \(15t\) is correct. \(20t\) is only the linear term in \(L(4t)\); \(L(t)\) still has to be subtracted. Exam tip: when evaluating a function at \(4t\), replace every occurrence of \(t\) by \(4t\).
दिया है \(K(t)=210-7t\)। अतः \(K(2t)=210-7(2t)=210-14t\) और \(K(5t)=210-7(5t)=210-35t\)। इसलिए \(K(2t)-K(5t)=(210-14t)-(210-35t)=21t\)। \(35t\) केवल \(K(5t)\) में घटने वाला पद है, दोनों फलनों का अंतर नहीं। परीक्षा टिप: पहले प्रत्येक इनपुट का मान अलग-अलग रखकर कोष्ठक सहित घटाएँ। / Given \(K(t)=210-7t\), \(K(2t)=210-7(2t)=210-14t\) and \(K(5t)=210-7(5t)=210-35t\). Therefore, \(K(2t)-K(5t)=(210-14t)-(210-35t)=21t\). \(35t\) is only the term subtracted in \(K(5t)\), not the difference between the two function values. Exam tip: evaluate each input separately and retain brackets while subtracting.
दिया है कि \(Y(x)=a+8x\)। अतः \(Y(3)=a+24\) और \(Y(9)=a+72\) होगा। इसलिए \(Y(3)+Y(9)=(a+24)+(a+72)=2a+96\)। इसे 180 के बराबर रखने पर \(2a+96=180\), अर्थात \(2a=84\) और \(a=42\)। विकल्प 48 लेने पर योग \(2(48)+96=192\) आएगा, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में पहले दिए गए प्रत्येक \(x\)-मान को फलन में अलग-अलग रखकर फिर योग बनाइए। / Given \(Y(x)=a+8x\), we get \(Y(3)=a+24\) and \(Y(9)=a+72\). Therefore, \(Y(3)+Y(9)=(a+24)+(a+72)=2a+96\). Equating this to 180 gives \(2a+96=180\), so \(2a=84\) and \(a=42\). If 48 were used, the sum would be \(2(48)+96=192\), not 180. Exam tip: Substitute each given \(x\)-value into the function separately before forming the required sum.
दिया है,
\(Z(x)=b-10x\)। अतः \(Z(2)=b-20\) और \(Z(7)=b-70\)। इसलिए \(Z(2)+Z(7)=2b-90=130\)। इससे \(2b=220\), अतः \(b=110\)। विकल्प 105 लेने पर योग 120 आएगा, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: पहले दोनों दिए गए इनपुट मानों को बहुपद में अलग-अलग रखकर फिर उनका योग करें। / Given \(Z(x)=b-10x\), we get \(Z(2)=b-20\) and \(Z(7)=b-70\). Hence, \(Z(2)+Z(7)=2b-90=130\). Therefore, \(2b=220\) and \(b=110\). If 105 were used, the sum would be 120, so it is not correct. Exam tip: substitute each given input into the polynomial separately before adding the results.
बराबरी के लिए \(p(x)=q(x)\) रखें: \(35+7x=10x-4\)। दोनों पक्षों से \(7x\) घटाने पर \(35=3x-4\) मिलता है। अब 4 जोड़ने पर \(39=3x\), अतः \(x=13\)। इसलिए विकल्प C सही है। \(x=12\) रखने पर दोनों बहुपदों के मान बराबर नहीं आते। परीक्षा टिप: दो रैखिक व्यंजकों को बराबर करने के बाद \(x\) वाले पद एक ओर और नियत पद दूसरी ओर रखें। / For equality, set \(p(x)=q(x)\): \(35+7x=10x-4\). Subtracting \(7x\) from both sides gives \(35=3x-4\). Adding 4 gives \(39=3x\), so \(x=13\). Hence, option C is correct. At \(x=12\), the values of the two polynomials are not equal. Exam tip: after equating two linear expressions, collect the \(x\)-terms on one side and constants on the other.
दोनों व्यंजकों को बराबर रखने पर \(220-12x=76+4x\) मिलता है। अतः \(220-76=4x+12x\), यानी \(144=16x\)। इसलिए \(x=9\) है। \(x=8\) रखने पर दोनों पक्ष बराबर नहीं होते, इसलिए वह निकट का लेकिन गलत विकल्प है। परीक्षा टिप: \(x\) वाले पदों को एक ओर और स्थिर पदों को दूसरी ओर सावधानी से ले जाएँ। / Equating the two expressions gives \(220-12x=76+4x\). Therefore, \(220-76=4x+12x\), so \(144=16x\). Hence, \(x=9\). Substituting \(x=8\) does not make the two expressions equal, so it is a close but incorrect distractor. Exam tip: Collect the variable terms on one side and constants on the other carefully.
रेखीय समीकरण में \(x\) का गुणांक वृद्धि या ह्रास की दर बताता है। यहाँ ढाल \(k-7\) है। रेखीय वृद्धि के लिए यह धनात्मक होनी चाहिए: \(k-7>0\), अतः \(k>7\)। \(k=7\) पर ढाल शून्य होती है, इसलिए \(y=55\) एक स्थिर मान है, वृद्धि नहीं। परीक्षा टिप: वृद्धि के लिए ढाल धनात्मक और ह्रास के लिए ढाल ऋणात्मक जाँचें। / In a linear equation, the coefficient of \(x\) represents the rate of increase or decrease. Here the slope is \(k-7\). For linear growth, it must be positive: \(k-7>0\), so \(k>7\). If \(k=7\), the slope is zero and \(y=55\) is constant, not growth. Exam tip: check whether the slope is positive for growth and negative for decay.
रेखीय रूप में \(y=mx+c\) का ढाल \(m\) होता है। यहाँ \(x\) का गुणांक \(-(k-4)=4-k\) है। क्षय के लिए ढाल ऋणात्मक होना चाहिए, इसलिए \(4-k<0\), जिससे \(k>4\) मिलता है। \(k=4\) पर ढाल शून्य है, अतः मान स्थिर रहता है और क्षय नहीं होता। परीक्षा टिप: रेखीय वृद्धि या क्षय पहचानने के लिए \(x\) के गुणांक का चिह्न जाँचें। / In the linear form \(y=mx+c\), \(m\) is the slope. Here, the coefficient of \(x\) is \(-(k-4)=4-k\). For decay, the slope must be negative, so \(4-k<0\), which gives \(k>4\). At \(k=4\), the slope is zero, so the value remains constant rather than decaying. Exam tip: check the sign of the coefficient of \(x\) to identify linear growth or decay.
यहां (R(0)=90) सीधे आरंभिक मान है। अंतर से (m=13) मिलता है पर आरंभिक मान वही रहता है। / Here (R(0)=90) is directly the initial value. The difference gives (m=13), but the initial value remains the same.
A. शर्त प्रत्येक वास्तविक \(s\) के लिए सत्य है/The condition is true for every real \(s\)
Explanation
Simple Explanation
\(S(4)=s-9(4)=s-36\) और \(S(12)=s-9(12)=s-108\)। अतः \(S(4)-S(12)=(s-36)-(s-108)=72\)। यहाँ \(s\) वाले पद कट जाते हैं, इसलिए दी गई शर्त हर वास्तविक \(s\) के लिए सत्य है। \(s=72\) या \(s=9\) कोई विशेष आवश्यक मान नहीं हैं। परीक्षा टिप: दो फलन मानों का अंतर निकालते समय कोष्ठक खोलते हुए ऋण चिह्न का ध्यान रखें। / \(S(4)=s-9(4)=s-36\) and \(S(12)=s-9(12)=s-108\). Hence, \(S(4)-S(12)=(s-36)-(s-108)=72\). The terms containing \(s\) cancel, so the given condition is true for every real \(s\). Neither \(s=72\) nor \(s=9\) is a specially required value. Exam tip: while subtracting function values, use brackets carefully to avoid sign errors.
A. हर चरण में 5 बढ़ता है/It increases by 5 at each step
Explanation
Simple Explanation
B(t)-A(t)=(70+11t)-(44+6t)=26+5t। यहाँ t का गुणांक 5 है, इसलिए t में प्रत्येक 1 की वृद्धि पर अंतर 5 बढ़ता है। 26 केवल प्रारम्भिक अंतर है, वृद्धि की दर नहीं; इसलिए विकल्प D गलत है। परीक्षा टिप: दो रैखिक व्यंजकों का अंतर निकालते समय स्थिर पदों और t वाले पदों को अलग-अलग घटाएँ। / B(t)-A(t)=(70+11t)-(44+6t)=26+5t. The coefficient of t is 5, so the difference increases by 5 for every increase of 1 in t. Here, 26 is only the initial difference, not the rate of increase, so option D is incorrect. Exam tip: when subtracting linear expressions, subtract constant terms and t-terms separately.
A. t में प्रत्येक 1 इकाई वृद्धि पर 7 बढ़ता है/It increases by 7 for each 1-unit increase in t
Explanation
Simple Explanation
अंतर ज्ञात करें: \(C(t)-D(t)=(260-8t)-(180-15t)=80+7t\)। \(t\) का गुणांक \(+7\) है, इसलिए \(t\) में प्रत्येक 1 इकाई वृद्धि पर अंतर 7 बढ़ता है। विकल्प B में चिह्न की गलती है; \(-8t-(-15t)=-8t+15t=+7t\) होता है, \(-7t\) नहीं। परीक्षा टिप: दो व्यंजकों का अंतर लेते समय दूसरे पूरे व्यंजक के सभी पदों के चिह्न बदलें। / Find the difference: \(C(t)-D(t)=(260-8t)-(180-15t)=80+7t\). The coefficient of \(t\) is \(+7\), so the difference increases by 7 for every 1-unit increase in \(t\). Option B results from a sign error: \(-8t-(-15t)=-8t+15t=+7t\), not \(-7t\). Exam tip: when subtracting an expression, change the signs of every term in the second expression.
\(y=200-5t\) में \(t\) का गुणांक \(-5\) है, इसलिए प्रत्येक समय-इकाई पर \(y\) ठीक 5 घटता है। \(200(0.95)^t\) घातांकीय ह्रास है, क्योंकि उसमें कमी प्रतिशत के रूप में बदलती है। परीक्षा टिप: रैखिक ह्रास में चर की घात 1 होती है। / In \(y=200-5t\), the coefficient of \(t\) is \(-5\), so \(y\) decreases by exactly 5 per time unit. \(200(0.95)^t\) shows exponential decay because its decrease is percentage-based. Exam tip: in linear decay, the variable has power 1.
रेखीय क्षय में ढाल स्थिर और ऋणात्मक होती है। \(y=p-rx\) में x को 1 बढ़ाने पर y में \(-r\) का परिवर्तन होता है, और \(x=0\) रखने पर y=p मिलता है। \(p+rx\) वृद्धि दर्शाता है। परीक्षा टिप: ढाल का चिन्ह अवश्य देखें। / In \(y=p-rx\), increasing x by 1 changes y by \(-r\), so the decrease is constant; putting \(x=0\) gives y=p. \(p+rx\) represents growth instead. Exam tip: identify decay by a negative slope.
दिया है \(f(x)=9x+28\)। अतः \(f(3x)=9(3x)+28=27x+28\)। इसलिए \(f(3x)-f(x)=(27x+28)-(9x+28)=18x\)। अब \(18x=108\) रखने पर \(x=6\) प्राप्त होता है। \(x=5\) लेने पर मान \(90\) होगा, इसलिए वह निकटतम विकल्प होते हुए भी सही नहीं है। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में पहले \(f(3x)\) में हर \(x\) के स्थान पर \(3x\) रखें। / Given \(f(x)=9x+28\), we get \(f(3x)=9(3x)+28=27x+28\). Therefore, \(f(3x)-f(x)=(27x+28)-(9x+28)=18x\). Setting \(18x=108\) gives \(x=6\). For \(x=5\), the value would be \(90\), so the nearest distractor is not correct. Exam tip: while finding \(f(3x)\), replace every \(x\) in the function by \(3x\).
दिया है \(g(x)=240-12x\)। अतः \(g(4x)=240-12(4x)=240-48x\)। इसलिए \(g(x)-g(4x)=(240-12x)-(240-48x)=36x\)। अब \(36x=144\) रखने पर \(x=4\) मिलता है। इसलिए विकल्प B सही है। उदाहरण के लिए, \(x=3\) पर अंतर केवल \(108\) होगा, \(144\) नहीं। परीक्षा टिप: \(g(4x)\) में \(x\) के स्थान पर पूरा \(4x\) रखें। / Given \(g(x)=240-12x\), we get \(g(4x)=240-12(4x)=240-48x\). Hence, \(g(x)-g(4x)=(240-12x)-(240-48x)=36x\). Setting \(36x=144\) gives \(x=4\). Therefore, option B is correct. For instance, at \(x=3\), the difference is only \(108\), not \(144\). Exam tip: while finding \(g(4x)\), substitute the entire expression \(4x\) for \(x\).
यहाँ \(P(t)=60+5t\) एक रैखिक बहुपद है। \(5\) और \(15\) का मध्य मान \(10\) है, इसलिए रैखिक फलन के लिए \(P(5)+P(15)=2P(10)\) होता है। जाँच करें: \(P(5)=85\) और \(P(15)=135\), अतः उनका योग \(220\) है; जबकि \(2P(10)=2\times110=220\)। \(P(9)\) निकट है, पर \(9\), \(5\) और \(15\) का मध्य मान नहीं है। परीक्षा टिप: रैखिक फलन में दो इनपुटों के औसत पर फलन का मान, उनके फलन-मानों के औसत के बराबर होता है। / Here, \(P(t)=60+5t\) is a linear polynomial. The midpoint of \(5\) and \(15\) is \(10\), so for a linear function, \(P(5)+P(15)=2P(10)\). Checking directly, \(P(5)=85\) and \(P(15)=135\), giving a sum of \(220\); also, \(2P(10)=2\times110=220\). \(P(9)\) is close, but \(9\) is not the midpoint of \(5\) and \(15\). Exam tip: for a linear function, the function value at the average of two inputs equals the average of their function values.
दिया है Q(t)=250-10t। अतः Q(4)=210 और Q(16)=90, इसलिए Q(4)+Q(16)=300। अब Q(10)=250-100=150, तथा 2Q(10)=2×150=300। इसलिए सही विकल्प Q(10) है। Q(12)=130 होने से उसका दोगुना 260 होगा, जो 300 के बराबर नहीं है। परीक्षा टिप: रैखिक फलन में दो इनपुटों के औसत पर फलन का मान, दोनों फलन मानों के औसत के बराबर होता है। / Given Q(t)=250-10t, Q(4)=210 and Q(16)=90. Hence, Q(4)+Q(16)=300. Now, Q(10)=250-100=150, so 2Q(10)=2×150=300. Therefore, Q(10) is correct. For example, Q(12)=130, and twice this value is 260, not 300. Exam tip: For a linear function, the function value at the average of two inputs equals the average of the two function values.
यहाँ x में परिवर्तन 15−7=8 है। रैखिक व्यंजक y=150+ax में y का परिवर्तन a गुना x के परिवर्तन के बराबर होता है। अतः 8a=104, इसलिए a=104/8=13। विकल्प 12 लेने पर y में वृद्धि 8×12=96 होती, जो 104 नहीं है। परीक्षा टिप: स्थिर पद 150 परिवर्तन को प्रभावित नहीं करता; केवल ax का भाग परिवर्तन निर्धारित करता है। / The change in x is 15−7=8. In the linear expression y=150+ax, the change in y equals a times the change in x. Thus, 8a=104, so a=104/8=13. If 12 were chosen, the increase in y would be 8×12=96, not 104. Exam tip: the constant term 150 does not affect the change; only the ax term determines it.
यहाँ \(x\) का परिवर्तन \(14-6=8\) है। समीकरण \(y=300-bx\) में \(x\) के प्रत्येक 1 इकाई बढ़ने पर \(y\), \(b\) इकाई घटता है। अतः कुल कमी \(8b\) होगी। दिया है \(8b=120\), इसलिए \(b=120/8=15\)। \(14\) लेने पर कुल कमी \(8\times14=112\) होती, जो दी गई कमी के बराबर नहीं है। परीक्षा टिप: रैखिक समीकरण में कुल परिवर्तन = प्रति इकाई परिवर्तन × इनपुट का परिवर्तन। / The change in \(x\) is \(14-6=8\). In \(y=300-bx\), every increase of 1 unit in \(x\) decreases \(y\) by \(b\) units. Therefore, the total decrease is \(8b\). Given \(8b=120\), we get \(b=120/8=15\). If \(b=14\), the decrease would be \(8\times14=112\), not 120. Exam tip: For a linear relation, total change equals rate of change times the change in input.
शर्त है कि \(A(t)=B(t)+9\)। अतः \(40+6t=76+3t+9\), जिससे \(3t=45\) और \(t=15\) मिलता है। जाँच करने पर \(A(15)=130\) तथा \(B(15)=121\), इसलिए अंतर \(9\) है। \(t=14\) पर अंतर केवल \(6\) होता है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: “से 9 अधिक” को हमेशा \(A=B+9\) के रूप में लिखें। / The condition is \(A(t)=B(t)+9\). So, \(40+6t=76+3t+9\), which gives \(3t=45\) and hence \(t=15\). Checking: \(A(15)=130\) and \(B(15)=121\), so the difference is \(9\). At \(t=14\), the difference is only \(6\), so it is not correct. Exam tip: translate “9 more than” as \(A=B+9\).
“\(C(t)\), \(D(t)\) से 12 कम” का अर्थ है \(C(t)=D(t)-12\)। अतः \(260-9t=80+5t-12\), यानी \(260-9t=68+5t\)। इससे \(192=14t\) प्राप्त होता है, इसलिए \(t=\frac{96}{7}\)। \(t=12\) रखने पर दोनों फलनों का अंतर 24 होता है, 12 नहीं। परीक्षा टिप: “से कम” वाले प्रश्न में छोटे मान को बड़े मान में से अंतर घटाकर लिखें। / “\(C(t)\) is 12 less than \(D(t)\)” means \(C(t)=D(t)-12\). Thus, \(260-9t=80+5t-12\), or \(260-9t=68+5t\). This gives \(192=14t\), so \(t=\frac{96}{7}\). At \(t=12\), the difference between the two functions is 24, not 12. Exam tip: For “less than by” questions, write the smaller quantity as the larger quantity minus the stated difference.
योग ((a+14)+(a+42)+(a+70)=3a+126) है। (3a+126=225) से (a=33) नहीं बल्कि विकल्पों में नहीं है। / The sum is ((a+14)+(a+42)+(a+70)=3a+126). From (3a+126=225), (a=33), which is not in the options.
योग ((b-18)+(b-42)+(b-66)=3b-126) है। (3b-126=234) से (b=120) आता है इसलिए विकल्पों में कोई नहीं है। / The sum is ((b-18)+(b-42)+(b-66)=3b-126). From (3b-126=234), (b=120), so none of the options is correct.
