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C. यह अपरिमेय संख्या है/It is an irrational number
Explanation
Simple Explanation
यह संख्या अपरिमेय है, क्योंकि इसका दशमलव प्रसार अनंत है और इसमें कोई निश्चित दोहराव वाला पैटर्न नहीं है; शून्यों के बीच आने वाले 1 के बाद शून्यों की संख्या बढ़ती जाती है। केवल अंकों से बना होना किसी संख्या को परिमेय नहीं बनाता। परिमेय संख्याओं का दशमलव प्रसार या तो सांत होता है या अनंत आवर्ती। परीक्षा-युक्ति: अनंत और अनावर्ती दशमलव को अपरिमेय पहचानें। / The number is irrational because its decimal expansion is non-terminating and does not repeat in a fixed pattern; the number of zeros between successive 1s keeps increasing. Merely being written with digits does not make a number rational. A rational number has a terminating or recurring decimal expansion. Exam tip: classify an infinite non-repeating decimal as irrational.
(0.272727...) आवर्ती दशमलव है इसलिए परिमेय है। आवर्ती दशमलव को भिन्न में बदला जा सकता है। / (0.272727...) is repeating so it is rational. A repeating decimal can be converted into a fraction.
\(3^2=9\) और \(4^2=16\) है इसलिए \( \sqrt{11} \) (3) और (4) के बीच है। वर्गों से वर्गमूल का स्थान पहचानें। / \(3^2=9\) and \(4^2=16\) so \( \sqrt{11} \) lies between (3) and (4). Use squares to locate square roots.
\(98=49\times2\) और \(49\) एक पूर्ण वर्ग है। इसलिए \(\sqrt{98}=\sqrt{49\times2}=\sqrt{49}\times\sqrt{2}=7\sqrt{2}\)। विकल्प C, \(2\sqrt{49}\), का मान 14 है, जबकि विकल्प A का मान \(7\sqrt{2}\) है। परीक्षा में करणी को सरल करने के लिए सबसे बड़े पूर्ण वर्ग गुणनखंड को अलग करें। / Since \(98=49\times2\) and 49 is a perfect square, \(\sqrt{98}=\sqrt{49\times2}=\sqrt{49}\times\sqrt{2}=7\sqrt{2}\). Option C, \(2\sqrt{49}\), equals 14, not \(7\sqrt{2}\). To simplify a surd, factor out the largest perfect-square factor first.
\(72=36\times2\) और \(36\) एक पूर्ण वर्ग है। इसलिए \(\sqrt{72}=\sqrt{36\times2}=\sqrt{36}\times\sqrt{2}=6\sqrt{2}\)। अतः सही उत्तर विकल्प B है। विकल्प A और D में गुणांक गलत हैं, जबकि विकल्प C से \(72\) प्राप्त नहीं होता। परीक्षा-युक्ति: वर्गमूल को सरल करते समय सबसे बड़े पूर्ण वर्ग गुणनखंड को बाहर निकालें। / Since \(72=36\times2\) and \(36\) is a perfect square, \(\sqrt{72}=\sqrt{36\times2}=\sqrt{36}\times\sqrt{2}=6\sqrt{2}\). Therefore, option B is correct. The coefficients in options A and D are incorrect, while option C does not square to \(72\). Exam tip: factor the number using the largest perfect-square factor before simplifying a square root.
\(63=9\times7\) और \(9\) एक पूर्ण वर्ग है। इसलिए \(\sqrt{63}=\sqrt{9\times7}=\sqrt{9}\times\sqrt{7}=3\sqrt{7}\)। विकल्प A में \(7\) को पूर्ण वर्ग मानने की गलती है। परीक्षा में करणी को सरल करने के लिए सबसे बड़े पूर्ण वर्ग गुणनखंड की पहचान करें। / Since \(63=9\times7\) and \(9\) is a perfect square, \(\sqrt{63}=\sqrt{9\times7}=\sqrt{9}\times\sqrt{7}=3\sqrt{7}\). Option A results from incorrectly treating \(7\) as a perfect square. In exams, identify the greatest perfect-square factor of the number under the radical.
\( \sqrt{2}\times\sqrt{50}=\sqrt{100}=10 \)। गुणा में वर्गमूल के अंदर की संख्याएँ गुणा करें। / \( \sqrt{2}\times\sqrt{50}=\sqrt{100}=10 \). In multiplication, multiply the numbers inside square roots.
\( \frac{\sqrt{80}}{\sqrt{5}}=\sqrt{16}=4 \)। भाग करते समय वर्गमूल के अंदर का भाग लें। / \( \frac{\sqrt{80}}{\sqrt{5}}=\sqrt{16}=4 \). During division, divide the numbers inside square roots.
दोनों पदों में \(\sqrt{2}\) समान करणी है, इसलिए उनके गुणांक जोड़े जाते हैं: \(4\sqrt{2}+5\sqrt{2}=(4+5)\sqrt{2}=9\sqrt{2}\)। विकल्प A में गुणांकों का गलत योग है। विकल्प C का मान \(9\sqrt{4}=18\) और विकल्प D का मान \(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\) है, इसलिए वे सही नहीं हैं। परीक्षा-युक्ति: केवल समान करणी वाले पदों के गुणांक ही जोड़े या घटाए जा सकते हैं। / Both terms contain the same surd, \(\sqrt{2}\), so their coefficients can be added: \(4\sqrt{2}+5\sqrt{2}=(4+5)\sqrt{2}=9\sqrt{2}\). Option A uses an incorrect sum of coefficients. Option C equals \(9\sqrt{4}=18\), while option D simplifies to \(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\), so neither is correct. Exam tip: coefficients can be added or subtracted only when the surd parts are identical.
A. यह अपरिमेय है, क्योंकि इसका दशमलव प्रसार अनंत और अनावर्ती है/It is irrational because its decimal expansion is non-terminating and non-repeating.
Explanation
Simple Explanation
दशमलव प्रसार अनंत होना मात्र अपरिमेयता नहीं बताता; वह आवर्ती भी हो सकता है। यहाँ 1 के बीच शून्यों की संख्या बढ़ती जाती है, इसलिए कोई आवर्ती खंड नहीं बनता। परीक्षा टिप: अनंत अनावर्ती दशमलव को अपरिमेय पहचानें। / An infinite decimal can still be rational if it repeats. Here, the number of zeros between successive 1s keeps increasing, so no fixed repeating block exists. Exam tip: a non-terminating, non-repeating decimal is irrational.
\(\sqrt{48}=\sqrt{16\times3}=4\sqrt{3}\) और \(\sqrt{27}=\sqrt{9\times3}=3\sqrt{3}\)। इसलिए \(\sqrt{48}+\sqrt{27}=4\sqrt{3}+3\sqrt{3}=7\sqrt{3}\), अतः विकल्प A सही है। विकल्प B में मूलों को सीधे जोड़कर \(\sqrt{75}\) माना गया है, जो सही नियम नहीं है। परीक्षा-टिप: पहले प्रत्येक मूल को सरल करें और फिर समान मूल वाले पदों को जोड़ें। / \(\sqrt{48}=\sqrt{16\times3}=4\sqrt{3}\) and \(\sqrt{27}=\sqrt{9\times3}=3\sqrt{3}\). Hence, \(\sqrt{48}+\sqrt{27}=4\sqrt{3}+3\sqrt{3}=7\sqrt{3}\), so option A is correct. Option B incorrectly treats the sum of two square roots as \(\sqrt{48+27}=\sqrt{75}\). Exam tip: simplify each radical first, then combine terms having the same radical part.
A. सांत दशमलव वाली संख्या परिमेय होती है; \(0.375=\frac{3}{8}\)/A terminating decimal is rational; \(0.375=\frac{3}{8}\)
Explanation
Simple Explanation
\(0.375=\frac{375}{1000}=\frac{3}{8}\) है, इसलिए यह \(p/q\) के रूप में लिखी जा सकती है और परिमेय है। B गलत है, क्योंकि सांत दशमलव भी परिमेय होते हैं। परीक्षा टिप: सांत या आवर्ती दशमलव परिमेय होते हैं। / \(0.375=\frac{375}{1000}=\frac{3}{8}\), so it can be written as \(p/q\) and is rational. Option B is wrong because terminating decimals are also rational. Exam tip: terminating or recurring decimals are rational.
हर को परिमेय बनाने के लिए अंश और हर दोनों को \(\sqrt{2}\) से गुणा करते हैं: \(\frac{3}{\sqrt{2}}\times\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}\)। अतः सही उत्तर विकल्प B है। विकल्प A में अंश से \(\sqrt{2}\) का गुणनफल छूट गया है। परीक्षा-युक्ति: \(\sqrt{a}\) वाले हर को परिमेय बनाने के लिए अंश और हर को उसी \(\sqrt{a}\) से गुणा करें। / To rationalise the denominator, multiply the numerator and denominator by \(\sqrt{2}\): \(\frac{3}{\sqrt{2}}\times\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}\). Therefore, option B is correct. In option A, the factor \(\sqrt{2}\) is incorrectly omitted from the numerator. Exam tip: When the denominator contains \(\sqrt{a}\), multiply both numerator and denominator by \(\sqrt{a}\).
अंश और हर को \( \sqrt{7} \) से गुणा करने पर \( \frac{5\sqrt{7}}{7} \) मिलता है। हर को परिमेय करना परीक्षा में सामान्य प्रश्न है। / Multiplying numerator and denominator by \( \sqrt{7} \) gives \( \frac{5\sqrt{7}}{7} \). Rationalising the denominator is a common exam question.
संयुग्मी \(2-\sqrt{3}\) से गुणा करें और हर (4-3=1) बनेगा। इसलिए उत्तर \(2-\sqrt{3}\) है। / Multiply by the conjugate \(2-\sqrt{3}\) and the denominator becomes (4-3=1). Hence the answer is \(2-\sqrt{3}\).
हर \(3-\sqrt{5}\) का संयुग्मी \(3+\sqrt{5}\) होता है। इसलिए अंश और हर दोनों को \(3+\sqrt{5}\) से गुणा करते हैं: \(\frac{1}{3-\sqrt{5}}\times\frac{3+\sqrt{5}}{3+\sqrt{5}}=\frac{3+\sqrt{5}}{9-5}=\frac{3+\sqrt{5}}{4}\)। अतः नया अंश \(3+\sqrt{5}\) है। ध्यान रखें, संयुग्मी में केवल बीच का चिह्न बदलता है। / The conjugate of \(3-\sqrt{5}\) is \(3+\sqrt{5}\). Therefore, multiply the numerator and denominator by \(3+\sqrt{5}\): \(\frac{1}{3-\sqrt{5}}\times\frac{3+\sqrt{5}}{3+\sqrt{5}}=\frac{3+\sqrt{5}}{9-5}=\frac{3+\sqrt{5}}{4}\). Hence, the new numerator is \(3+\sqrt{5}\). Remember that the conjugate is formed by changing only the sign between the two terms; \(8\) is not the denominator, since \(9-5=4\).
यह अंतर के वर्ग का रूप है (22-\(\sqrt{5}\)2=4-5=-1)। संयुग्मी गुणा में मध्य पद कट जाते हैं। / It is a difference of squares (22-\(\sqrt{5}\)2=4-5=-1). Middle terms cancel in conjugate multiplication.
\(\pi\) अपरिमेय संख्या है क्योंकि इसे दो पूर्णांकों के अनुपात \(\frac{p}{q}\) के रूप में नहीं लिखा जा सकता, जहाँ \(q\neq 0\) हो। \(0.25=\frac{1}{4}\), \(\sqrt{49}=7\) और \(-7\) सभी परिमेय संख्याएँ हैं। परीक्षा में याद रखें: पूर्ण वर्गों के वर्गमूल परिमेय होते हैं, जबकि \(\pi\) और सामान्यतः अवर्ग पूर्णांकों के वर्गमूल अपरिमेय होते हैं। / \(\pi\) is irrational because it cannot be expressed as a ratio \(\frac{p}{q}\) of two integers with \(q\neq 0\). In contrast, \(0.25=\frac{1}{4}\), \(\sqrt{49}=7\), and \(-7\) are all rational numbers. Exam tip: the square root of a perfect square is rational, whereas \(\pi\) and, generally, the square root of a non-perfect square are irrational.
क्योंकि (12>3) है इसलिए \( \sqrt{12}>\sqrt{3} \)। धनात्मक संख्याओं में बड़ा आधार बड़ा वर्गमूल देता है। / Since (12>3), \( \sqrt{12}>\sqrt{3} \). For positive numbers, a larger radicand gives a larger square root.
क्योंकि \(6=\sqrt{36}\) और \(35<36\), इसलिए \(\sqrt{35}<\sqrt{36}=6\)। अतः छोटी संख्या \(\sqrt{35}\) है। विकल्प A गलत है क्योंकि वह बड़ी संख्या \(6\) को दर्शाता है। परीक्षा में ऐसे प्रश्नों में अपरिमेय संख्या की तुलना उसके निकटवर्ती पूर्ण वर्ग से करना उपयोगी होता है। / Since \(6=\sqrt{36}\) and \(35<36\), we get \(\sqrt{35}<\sqrt{36}=6\). Therefore, \(\sqrt{35}\) is smaller. Option A is incorrect because \(6\) is the larger number. In such questions, compare the number under the square root with nearby perfect squares.
\( \sqrt{10}\approx3.16 \) इसलिए \( -\sqrt{10} \) ( -3 ) से छोटा है। शून्य के पास वाली ऋणात्मक संख्या बड़ी होती है। / \( \sqrt{10}\approx3.16 \), so \( -\sqrt{10} \) is less than ( -3 ). The negative number closer to zero is greater.
क्योंकि \(1.2^2=1.2\times1.2=1.44\), इसलिए \(\sqrt{1.44}=1.2\)। वर्गमूल का मुख्य मान सदैव गैर-ऋणात्मक लिया जाता है। अन्य विकल्पों में \(0.12^2=0.0144\), \(1.02^2=1.0404\) और \(12^2=144\) होते हैं। परीक्षा में दशमलव का स्थान जाँचने के लिए प्राप्त उत्तर का वर्ग कर लें। / Since \(1.2^2=1.2\times1.2=1.44\), we have \(\sqrt{1.44}=1.2\). The principal square root is always taken as non-negative. The other options are incorrect because \(0.12^2=0.0144\), \(1.02^2=1.0404\), and \(12^2=144\). As an exam tip, square the proposed answer to check the decimal placement.
A. किसी भी पूर्णांक n को \(\frac{n}{1}\) के रूप में लिखा जा सकता है।/Any integer n can be written as \(\frac{n}{1}\).
Explanation
Simple Explanation
परिमेय संख्या \(\frac{p}{q}\) के रूप में लिखी जाती है, जहाँ p और q पूर्णांक तथा \(q\ne0\) हो। इसलिए, जैसे \(-7=\frac{-7}{1}\), हर पूर्णांक परिमेय है। अनंत अनावर्ती दशमलव अपरिमेय होते हैं। परीक्षा टिप: हर पूर्णांक के नीचे 1 लिखकर जाँचें। / A rational number can be written as \(\frac{p}{q}\), where p and q are integers and \(q\ne0\). For example, \(-7=\frac{-7}{1}\), so every integer is rational. Non-terminating, non-recurring decimals are irrational. Exam tip: write an integer over 1 to test it.
वर्गमूल के नियम के अनुसार \(\sqrt{\frac{25}{36}}=\frac{\sqrt{25}}{\sqrt{36}}=\frac{5}{6}\)। इसलिए सही उत्तर विकल्प C है। विकल्प B \(\frac{6}{5}\) इसका व्युत्क्रम है, मूल मान नहीं। परीक्षा में याद रखें कि मुख्य वर्गमूल का मान सदैव अशून्य धनात्मक लिया जाता है। / Using the square-root rule, \(\sqrt{\frac{25}{36}}=\frac{\sqrt{25}}{\sqrt{36}}=\frac{5}{6}\). Therefore, option C is correct. Option B, \(\frac{6}{5}\), is the reciprocal of the required value, not the value itself. Exam tip: the principal square root is taken as the non-negative value.
वर्गमूल के गुण के अनुसार \(\sqrt{\frac{121}{144}}=\frac{\sqrt{121}}{\sqrt{144}}\) है। चूँकि \(\sqrt{121}=11\) और \(\sqrt{144}=12\), इसलिए मान \(\frac{11}{12}\) होगा। परीक्षा-युक्ति: धनात्मक भिन्न के वर्गमूल में अंश और हर का अलग-अलग वर्गमूल लिया जा सकता है। / Using the property of square roots, \(\sqrt{\frac{121}{144}}=\frac{\sqrt{121}}{\sqrt{144}}\). Since \(\sqrt{121}=11\) and \(\sqrt{144}=12\), the value is \(\frac{11}{12}\). Exam tip: For a positive fraction, take the square root of the numerator and denominator separately.
\(3.125=\frac{3125}{1000}=\frac{25}{8} \)। समाप्त दशमलव को भिन्न बनाकर सरल करें। / \(3.125=\frac{3125}{1000}=\frac{25}{8} \). Convert the terminating decimal into a fraction and simplify.
\(4.5\) को भिन्न में बदलने पर \(4.5=\frac{45}{10}\) प्राप्त होता है। अंश और हर दोनों को 5 से भाग देने पर \(\frac{45}{10}=\frac{9}{2}\) मिलता है, इसलिए सही उत्तर विकल्प A है। ध्यान रखें कि दशमलव के बाद एक अंक हो, तो पहले हर में 10 लिखकर भिन्न बनाएं और फिर उसे सरल करें। / Converting \(4.5\) into a fraction gives \(4.5=\frac{45}{10}\). Dividing the numerator and denominator by 5 gives \(\frac{45}{10}=\frac{9}{2}\), so option A is correct. Exam tip: when a decimal has one digit after the decimal point, write it over 10 first and then simplify the fraction.
\(\frac{17}{25}\) को दशमलव में बदलने के लिए अंश और हर दोनों को 4 से गुणा करें: \(\frac{17}{25}=\frac{68}{100}=0.68\)। इसलिए सही उत्तर B है। विकल्प D केवल हर 25 का दशमलव रूप दर्शाता है, पूरे भिन्न का नहीं। परीक्षा टिप: जब हर को 10, 100 या 1000 बनाया जा सके, तो भिन्न का दशमलव रूप जल्दी निकाला जा सकता है। / To convert \(\frac{17}{25}\) into a decimal, multiply both numerator and denominator by 4: \(\frac{17}{25}=\frac{68}{100}=0.68\). Therefore, option B is correct. Option D represents the decimal value of the denominator 25, not the value of the complete fraction. Exam tip: If the denominator can be changed to 10, 100, or 1000, the decimal form can be found quickly.
\(0.\overline{45}\) आवर्ती दशमलव है इसलिए परिमेय है। हर परिमेय संख्या वास्तविक भी होती है। / \(0.\overline{45}\) is a repeating decimal, so it is rational. Every rational number is also real.
असमाप्त और अनावर्ती दशमलव अपरिमेय होता है। ऐसा दशमलव फिर भी वास्तविक संख्या हो सकता है। / A non-terminating and non-repeating decimal is irrational. Such a decimal can still be a real number.
परिमेय (4) में अपरिमेय \( \sqrt{6} \) जोड़ने पर अपरिमेय संख्या मिलती है। यह वास्तविक संख्या भी है। / Adding irrational \( \sqrt{6} \) to rational (4) gives an irrational number. It is also a real number.
परिमेय संख्या से अपरिमेय संख्या घटाने पर परिणाम अपरिमेय होता है। इसलिए \(7-\sqrt{3}\) अपरिमेय वास्तविक संख्या है। / Subtracting an irrational number from a rational number gives an irrational result. Thus \(7-\sqrt{3}\) is an irrational real number.
एक ही वर्गमूल को स्वयं से गुणा करने पर अंदर की संख्या मिलती है। इसलिए \( \sqrt{13}\times\sqrt{13}=13 \)। / Multiplying the same square root by itself gives the number inside. Therefore \( \sqrt{13}\times\sqrt{13}=13 \).
किसी धनात्मक संख्या के वर्गमूल का वर्ग वही संख्या देता है। इसलिए ( \(\sqrt{15}\)2=15 )। / The square of the square root of a positive number gives the same number. Therefore ( \(\sqrt{15}\)2=15 ).
निरपेक्ष मान किसी संख्या की शून्य से दूरी बताता है, इसलिए उसका मान हमेशा गैर-ऋणात्मक होता है। संख्या \(-18\) की शून्य से दूरी 18 है, अतः \(\lvert -18\rvert=18\)। विकल्प A गलत है क्योंकि वह मूल संख्या है, उसका निरपेक्ष मान नहीं। परीक्षा-युक्ति: ऋणात्मक संख्या का निरपेक्ष मान लेते समय उसका चिह्न हटा दें। / The absolute value represents a number’s distance from zero, so it is always non-negative. The distance of \(-18\) from zero is 18; therefore, \(\lvert -18\rvert=18\). Option A is incorrect because it is the original number, not its absolute value. Exam tip: To find the absolute value of a negative number, remove its negative sign.
पहले, \(6-14=-8\) ज्ञात करते हैं। निरपेक्ष मान संख्या की शून्य से दूरी दर्शाता है, इसलिए \(|-8|=8\)। अतः सही उत्तर विकल्प C है। ध्यान रखें कि निरपेक्ष मान कभी ऋणात्मक नहीं होता; इसलिए \(-8\) सही नहीं है। / First calculate \(6-14=-8\). The absolute value represents a number’s distance from zero, so \(|-8|=8\). Therefore, option C is correct. Remember that an absolute value is never negative, so -8 is not the answer.
D. ( -2 ) और ( -1 ) के बीच/Between ( -2 ) and ( -1 )
Explanation
Simple Explanation
( -1.25 ) ( -2 ) से बड़ा और ( -1 ) से छोटा है। इसलिए यह ( -2 ) और ( -1 ) के बीच स्थित है। / ( -1.25 ) is greater than ( -2 ) and less than ( -1 ). So it lies between ( -2 ) and ( -1 ).
\(3^2<10<4^2\) इसलिए \( \sqrt{10} \) (3) और (4) के बीच है। (10) पूर्ण वर्ग नहीं है इसलिए यह अपरिमेय है। / Since \(3^2<10<4^2\), \( \sqrt{10} \) lies between (3) and (4). Since (10) is not a perfect square, it is irrational.
\(4^2<22<5^2\) इसलिए \( \sqrt{22} \) (4) और (5) के बीच है। (22) पूर्ण वर्ग नहीं है इसलिए यह अपरिमेय है। / Since \(4^2<22<5^2\), \( \sqrt{22} \) lies between (4) and (5). Since (22) is not a perfect square, it is irrational.
दो अलग-अलग वास्तविक संख्याओं के बीच अनंत अपरिमेय संख्याएँ होती हैं। यह वास्तविक संख्या रेखा की घनत्व विशेषता है। / There are infinitely many irrational numbers between two distinct real numbers. This is a density property of the real number line.
वास्तविक संख्या रेखा सतत होती है इसलिए दो अलग-अलग बिंदुओं के बीच अनंत वास्तविक संख्याएँ होती हैं। यह मूल गुण याद रखें। / The real number line is continuous, so infinitely many real numbers lie between two distinct points. Remember this basic property.
\(\sqrt{0}=0\) और \(\sqrt{100}=10\), क्योंकि \(10\times10=100\)। इसलिए \(\sqrt{0}+\sqrt{100}=0+10=10\), अतः विकल्प B सही है। परीक्षा में याद रखें कि किसी धनात्मक पूर्ण वर्ग का मुख्य वर्गमूल धनात्मक लिया जाता है। / \(\sqrt{0}=0\) and \(\sqrt{100}=10\), because \(10\times10=100\). Hence, \(\sqrt{0}+\sqrt{100}=0+10=10\), so option B is correct. Exam tip: the principal square root of a positive perfect square is taken as positive.
B. विद्यार्थी गलत है; योग अपरिमेय है।/The student is incorrect; the sum is irrational.
Explanation
Simple Explanation
\(\sqrt{8}=\sqrt{4\times2}=2\sqrt{2}\), इसलिए \(\sqrt{2}+\sqrt{8}=3\sqrt{2}\)। चूँकि \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है और शून्येतर परिमेय संख्या 3 से गुणा करने पर परिणाम अपरिमेय ही रहता है, अतः विद्यार्थी का कथन गलत है। विकल्प A में मूलचिह्न देखकर संख्या को परिमेय मानने की भूल है। परीक्षा-युक्ति: पहले मूलों को सरल करके समान मूल वाले पदों को जोड़ें। / Since \(\sqrt{8}=\sqrt{4\times2}=2\sqrt{2}\), we get \(\sqrt{2}+\sqrt{8}=3\sqrt{2}\). Because \(\sqrt{2}\) is irrational, multiplying it by the non-zero rational number 3 still gives an irrational number. Therefore, the student’s statement is incorrect. Option A reflects the misconception that a square-root sign automatically makes a number rational. Exam tip: simplify the surds first and then combine like surds.
\(121=11^2\) और \(169=13^2\), इसलिए \(\sqrt{121}=11\) तथा \(\sqrt{169}=13\)। अतः \(11+13=24\), इसलिए सही उत्तर विकल्प B है। ध्यान रखें कि वर्गमूलों को जोड़ने से पहले प्रत्येक वर्गमूल का मान निकालना चाहिए। / Since \(121=11^2\) and \(169=13^2\), we have \(\sqrt{121}=11\) and \(\sqrt{169}=13\). Therefore, \(11+13=24\), so option B is correct. Exam tip: evaluate each square root first and then perform the addition.
\(225=15^2\) और \(9=3^2\), इसलिए \(\sqrt{225}=15\) तथा \(\sqrt{9}=3\)। अतः \(15\div3=5\), इसलिए विकल्प C सही है। विकल्प B और D में भाग देने की गणना सही नहीं की गई है। परीक्षा में पहले दोनों वर्गमूलों का मान निकालकर फिर भाग करें। / Since \(225=15^2\) and \(9=3^2\), we have \(\sqrt{225}=15\) and \(\sqrt{9}=3\). Therefore, \(15\div3=5\), so option C is correct. Options B and D result from an incorrect division calculation. In an exam, evaluate both square roots first and then divide.
गुणांकों और करणी पदों को अलग-अलग गुणा करें: \(2\times 3\times \sqrt{3}\times\sqrt{3}=6\times 3=18\), क्योंकि \(\sqrt{3}\times\sqrt{3}=3\)। इसलिए सही उत्तर \(18\) है। परीक्षा में याद रखें: \(\sqrt{a}\times\sqrt{a}=a\) जब \(a\geq 0\) हो। / Multiply the coefficients and the surd parts separately: \(2\times 3\times \sqrt{3}\times\sqrt{3}=6\times 3=18\), since \(\sqrt{3}\times\sqrt{3}=3\). Therefore, \(18\) is correct. Exam tip: \(\sqrt{a}\times\sqrt{a}=a\) for \(a\geq 0\).
A. प्रत्येक सांत दशमलव संख्या परिमेय होती है।/Every terminating decimal number is rational.
Explanation
Simple Explanation
सांत दशमलव संख्या को हमेशा हर के रूप में 10, 100, 1000 आदि लेकर c(p/qc) के रूप में लिखा जा सकता है, इसलिए वह परिमेय होती है। विकल्प B गलत है, क्योंकि कुछ असांत दशमलव आवर्ती होते हैं और वे परिमेय होते हैं, जैसे c(0.333...=1/3c)। परीक्षा युक्ति: परिमेय संख्याओं का दशमलव प्रसार सांत या असांत-आवर्ती होता है, जबकि अपरिमेय संख्याओं का असांत-अनावर्ती। / A terminating decimal can always be written in the form c(p/qc) by taking a denominator such as 10, 100, or 1000, so it is rational. Option B is incorrect because some non-terminating decimals are recurring and rational, such as c(0.333...=1/3c). Exam tip: rational numbers have terminating or non-terminating recurring decimal expansions, whereas irrational numbers have non-terminating, non-recurring expansions.
C. निष्कर्ष गलत है; यह अनंत और अनावर्ती दशमलव होने के कारण अपरिमेय है/The conclusion is wrong; it is irrational because it is non-terminating and non-repeating
Explanation
Simple Explanation
किसी संख्या के परिमेय होने के लिए उसका दशमलव प्रसार या तो सांत होना चाहिए या किसी निश्चित अंक-समूह में आवर्ती होना चाहिए। 0.101001000100001… में 1 के बीच आने वाले शून्यों की संख्या लगातार बढ़ती है, इसलिए कोई निश्चित दोहराव नहीं बनता और दशमलव प्रसार समाप्त भी नहीं होता। अतः यह अपरिमेय संख्या है। केवल 0 और 1 अंकों का होना परिमेय होने का प्रमाण नहीं है। परीक्षा-युक्ति: सांत या आवर्ती दशमलव परिमेय, जबकि अनंत और अनावर्ती दशमलव अपरिमेय होता है। / A number is rational only when its decimal expansion is either terminating or repeating in a fixed pattern. In 0.101001000100001…, the number of zeros between successive 1s keeps increasing, so no fixed block repeats and the decimal expansion does not terminate. Therefore, the number is irrational. Merely using the digits 0 and 1 does not make a number rational. Exam tip: terminating or recurring decimals are rational; non-terminating, non-recurring decimals are irrational.
\( \sqrt{18}=3\sqrt{2} \) इसलिए \( \sqrt{2}+3\sqrt{2}=4\sqrt{2} \)। पहले करणी को सरल करें फिर समान पद जोड़ें। / \( \sqrt{18}=3\sqrt{2} \), so \( \sqrt{2}+3\sqrt{2}=4\sqrt{2} \). First simplify the surd and then add like terms.
