A student classifies the number 0.101001000100001… as rational because it contains only the digits 0 and 1. Which is the correct evaluation of the student's conclusion?एक छात्र संख्या 0.101001000100001… को परिमेय बताता है क्योंकि इसमें केवल 0 और 1 अंक हैं। उसके निष्कर्ष का सही मूल्यांकन क्या है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: The conclusion is wrong; it is irrational because it is non-terminating and non-repeatingनिष्कर्ष गलत है; यह अनंत और अनावर्ती दशमलव होने के कारण अपरिमेय है
A number is rational only when its decimal expansion is either terminating or repeating in a fixed pattern. In 0.101001000100001…, the number of zeros between successive 1s keeps increasing, so no fixed block repeats and the decimal expansion does not terminate. Therefore, the number is irrational. Merely using the digits 0 and 1 does not make a number rational. Exam tip: terminating or recurring decimals are rational; non-terminating, non-recurring decimals are irrational.किसी संख्या के परिमेय होने के लिए उसका दशमलव प्रसार या तो सांत होना चाहिए या किसी निश्चित अंक-समूह में आवर्ती होना चाहिए। 0.101001000100001… में 1 के बीच आने वाले शून्यों की संख्या लगातार बढ़ती है, इसलिए कोई निश्चित दोहराव नहीं बनता और दशमलव प्रसार समाप्त भी नहीं होता। अतः यह अपरिमेय संख्या है। केवल 0 और 1 अंकों का होना परिमेय होने का प्रमाण नहीं है। परीक्षा-युक्ति: सांत या आवर्ती दशमलव परिमेय, जबकि अनंत और अनावर्ती दशमलव अपरिमेय होता है।
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