समुच्चय \(A=\mathbb{R}\setminus{-1}\) पर क्रिया (a*b=a+b+ab) दी है। इस क्रिया का तत्समक अवयव क्या होगा?
On the set \(A=\mathbb{R}\setminus{-1}\), the operation (a*b=a+b+ab) is defined. What is the identity element?
#binary operations
#identity
#relations and functions
#class 12
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? Hint Small clue
A (0)
B (1)
C (-1)
D ऐसा कोई अवयव नहीं / No such element
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Step 1
Concept
तत्समक (e) के लिए (a*e=a) होना चाहिए। / For identity (e), we need (a*e=a).
Step 2
Why this answer is correct
(a+e+ae=a) से (e(1+a)=0) मिलता है, और \(a\neq -1\) होने से (e=0)। / (a+e+ae=a) gives (e(1+a)=0), so (e=0) because \(a\neq -1\).
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में दोनों ओर से जाँचें, यहाँ (e*a=a) भी सही है। / In exams, also check the other side; here (e*a=a) holds.
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समुच्चय \(A=\mathbb{R}\setminus{-1}\) पर (a*b=a+b+ab) है। अवयव (a) का प्रतिलोम क्या होगा?
On \(A=\mathbb{R}\setminus{-1}\), (a*b=a+b+ab). What is the inverse of (a)?
#binary operations
#inverse
#identity
#class 12
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A \(\frac{-a}{1+a}\)
B \(\frac{a}{1+a}\)
C (-a)
D \(\frac{1}{a}\)
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Correct Answer
A. \(\frac{-a}{1+a}\)
Step 1
Concept
इस क्रिया का तत्समक (0) है। / The identity for this operation is (0).
Step 2
Why this answer is correct
प्रतिलोम (x) के लिए (a*x=0), यानी (a+x+ax=0)। / For inverse (x), (a*x=0), so (a+x+ax=0).
Step 3
Exam Tip
(x(1+a)=-a), इसलिए \(x=\frac{-a}{1+a}\); हर बार पहले तत्समक पहचानें। / Hence (x(1+a)=-a), giving \(x=\frac{-a}{1+a}\); always identify the identity first.
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समुच्चय \(\mathbb{Z}\) पर (a*b=a+b-3) दी है। इस क्रिया के लिए कौन-सा कथन सही है?
On \(\mathbb{Z}\), (a*b=a+b-3) is defined. Which statement is correct?
#binary operations
#commutative
#associative
#integers
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A यह क्रमविनिमेय और साहचर्य दोनों है / It is both commutative and associative
B यह क्रमविनिमेय है पर साहचर्य नहीं / It is commutative but not associative
C यह साहचर्य है पर क्रमविनिमेय नहीं / It is associative but not commutative
D यह न क्रमविनिमेय है न साहचर्य / It is neither commutative nor associative
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Correct Answer
A. यह क्रमविनिमेय और साहचर्य दोनों है / It is both commutative and associative
Step 1
Concept
(a*b=a+b-3=b+a-3=b*a), इसलिए क्रमविनिमेय है। / (a*b=a+b-3=b+a-3=b*a), so it is commutative.
Step 2
Why this answer is correct
((a*b)*c=a+b+c-6) और (a*(b*c)=a+b+c-6), इसलिए साहचर्य भी है। / ((a*b)*c=a+b+c-6) and (a*(b*c)=a+b+c-6), so it is associative.
Step 3
Exam Tip
रैखिक क्रियाओं में दोनों पक्ष फैलाकर तुलना करना सबसे सुरक्षित तरीका है। / For linear operations, expand both sides and compare.
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समुच्चय \(\mathbb{Z}\) पर (a*b=a+b-3) है। इस क्रिया में (a) का प्रतिलोम क्या होगा?
On \(\mathbb{Z}\), (a*b=a+b-3). What is the inverse of (a) under this operation?
#binary operations
#inverse
#identity
#integers
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? Hint Small clue
A (3-a)
B (6-a)
C (-a)
D (a-3)
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Step 1
Concept
पहले तत्समक (e) खोजें: (a+e-3=a), इसलिए (e=3)। / First find the identity (e): (a+e-3=a), hence (e=3).
Step 2
Why this answer is correct
प्रतिलोम (x) के लिए (a+x-3=3), इसलिए (x=6-a)। / For inverse (x), (a+x-3=3), so (x=6-a).
Step 3
Exam Tip
प्रतिलोम निकालते समय सामान्य जोड़ के शून्य को तत्समक मानने की गलती न करें। / Do not assume the usual additive identity (0) for a new operation.
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धनात्मक वास्तविक संख्याओं पर \(a*b=\sqrt{ab}\) है। इस क्रिया के बारे में सही निष्कर्ष चुनिए।
On positive real numbers, \(a*b=\sqrt{ab}\). Choose the correct conclusion about this operation.
#binary operations
#positive reals
#commutative
#not associative
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A क्रमविनिमेय है पर साहचर्य नहीं / Commutative but not associative
B साहचर्य है पर क्रमविनिमेय नहीं / Associative but not commutative
C क्रमविनिमेय और साहचर्य दोनों है / Both commutative and associative
D न क्रमविनिमेय है न साहचर्य / Neither commutative nor associative
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Correct Answer
A. क्रमविनिमेय है पर साहचर्य नहीं / Commutative but not associative
Step 1
Concept
(ab=ba), इसलिए (a*b=b*a) और क्रिया क्रमविनिमेय है। / Since (ab=ba), (a*b=b*a), so the operation is commutative.
Step 2
Why this answer is correct
((a*b)*c=\sqrt{c\sqrt{ab}}), जबकि (a*(b*c)=\sqrt{a\sqrt{bc}}), ये सामान्यतः बराबर नहीं होते। / ((a*b)*c=\sqrt{c\sqrt{ab}}), while (a*(b*c)=\sqrt{a\sqrt{bc}}), not equal in general.
Step 3
Exam Tip
साहचर्य जाँचने के लिए (a=1,b=4,c=16) जैसे मान तुरंत अंतर दिखाते हैं। / Values like (a=1,b=4,c=16) quickly disprove associativity.
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समुच्चय \(A=\{0,1,2,3\}\) पर (a*b) को (a+b) का (4) से भाग देने पर शेष माना गया है। (2) का प्रतिलोम क्या है?
On \(A=\{0,1,2,3\}\), (a*b) is the remainder when (a+b) is divided by (4). What is the inverse of (2)?
#binary operations
#modulo
#finite set
#inverse
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A (0)
B (1)
C (2)
D (3)
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Step 1
Concept
यह (4) के सापेक्ष जोड़ है, जिसका तत्समक (0) है। / This is addition modulo (4), whose identity is (0).
Step 2
Why this answer is correct
(2*x) का अर्थ है (2+x) का (4) से शेष, इसे (0) चाहिए। / (2*x) means the remainder of (2+x) on division by (4), and it must be (0).
Step 3
Exam Tip
(2+2=4), शेष (0), इसलिए (2) स्वयं अपना प्रतिलोम है। / Since (2+2=4), the remainder is (0), so (2) is its own inverse.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर (a*b=\max(a,b)) है। इस क्रिया का तत्समक अवयव कौन-सा है?
On \(A=\{1,2,3,4\}\), (a*b=\max(a,b)). Which is the identity element?
#binary operations
#maximum
#identity
#finite set
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+10 Time+ 10 sec extra
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A (1)
B (2)
C (3)
D (4)
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Step 1
Concept
तत्समक (e) के लिए (\max(a,e)=a) हर (a) के लिए चाहिए। / For identity (e), (\max(a,e)=a) for every (a).
Step 2
Why this answer is correct
यह तभी होगा जब (e) समुच्चय का सबसे छोटा अवयव हो। / This happens only when (e) is the smallest element of the set.
Step 3
Exam Tip
यहाँ सबसे छोटा अवयव (1) है, इसलिए वही तत्समक है। / Here the smallest element is (1), so it is the identity.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर (a*b=\min(a,b)) है। इस क्रिया का तत्समक अवयव क्या है?
On \(A=\{1,2,3,4\}\), (a*b=\min(a,b)). What is the identity element?
#binary operations
#minimum
#identity
#finite set
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+10 Time+ 10 sec extra
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A (1)
B (2)
C (3)
D (4)
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Step 1
Concept
तत्समक (e) के लिए (\min(a,e)=a) हर (a) के लिए चाहिए। / For identity (e), (\min(a,e)=a) for every (a).
Step 2
Why this answer is correct
यह तब संभव है जब (e) समुच्चय का सबसे बड़ा अवयव हो। / This is possible when (e) is the largest element of the set.
Step 3
Exam Tip
यहाँ (4) सबसे बड़ा है, इसलिए परीक्षा में न्यूनतम क्रिया के लिए सबसे बड़े अवयव पर ध्यान दें। / Here (4) is the largest, so for a minimum operation look at the largest element.
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अशून्य वास्तविक संख्याओं पर \(a*b=\frac{ab}{2}\) है। इस क्रिया का तत्समक अवयव क्या होगा?
On non-zero real numbers, \(a*b=\frac{ab}{2}\). What is the identity element?
#binary operations
#identity
#nonzero reals
#operation law
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+10 Time+ 10 sec extra
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A (0)
B (1)
C (2)
D \(\frac{1}{2}\)
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Step 1
Concept
(a*e=a) रखने पर \(\frac{ae}{2}=a\) मिलता है। / Put (a*e=a), so \(\frac{ae}{2}=a\).
Step 2
Why this answer is correct
\(a\neq 0\) होने से दोनों ओर (a) से भाग दे सकते हैं, इसलिए (e=2)। / Since \(a\neq 0\), divide by (a) to get (e=2).
Step 3
Exam Tip
नई क्रिया में तत्समक हमेशा सामान्य गुणा का (1) नहीं होता। / Under a new operation, the identity is not always the usual multiplicative (1).
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अशून्य वास्तविक संख्याओं पर \(a*b=\frac{ab}{2}\) है। अवयव (a) का प्रतिलोम कौन-सा है?
On non-zero real numbers, \(a*b=\frac{ab}{2}\). Which is the inverse of (a)?
#binary operations
#inverse
#nonzero reals
#identity
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A \(\frac{2}{a}\)
B \(\frac{4}{a}\)
C \(\frac{a}{2}\)
D \(\frac{-2}{a}\)
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Correct Answer
B. \(\frac{4}{a}\)
Step 1
Concept
इस क्रिया का तत्समक (2) है। / The identity for this operation is (2).
Step 2
Why this answer is correct
प्रतिलोम (x) के लिए \(\frac{ax}{2}=2\) होना चाहिए। / For inverse (x), \(\frac{ax}{2}=2\).
Step 3
Exam Tip
इससे (ax=4), इसलिए \(x=\frac{4}{a}\); पहले तत्समक फिर प्रतिलोम यही क्रम रखें। / Thus (ax=4), so \(x=\frac{4}{a}\); find identity before inverse.
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समुच्चय \(\mathbb{R}\) पर (a*b=a+b+1) है। इस क्रिया में (a) का प्रतिलोम क्या है?
On \(\mathbb{R}\), (a*b=a+b+1). What is the inverse of (a) under this operation?
#binary operations
#real numbers
#inverse
#identity
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+10 Time+ 10 sec extra
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A (-a)
B (-a-1)
C (-a-2)
D (1-a)
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Step 1
Concept
तत्समक (e) के लिए (a+e+1=a), अतः (e=-1)। / For identity (e), (a+e+1=a), so (e=-1).
Step 2
Why this answer is correct
प्रतिलोम (x) के लिए (a+x+1=-1)। / For inverse (x), (a+x+1=-1).
Step 3
Exam Tip
इसलिए (x=-a-2); स्थिरांक वाली क्रिया में स्थिरांक को ध्यान से रखें। / Hence (x=-a-2); handle the constant term carefully.
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समुच्चय \(\mathbb{R}\) पर (a*b=a+b+ab+2) है। क्या इस क्रिया का कोई तत्समक अवयव है?
On \(\mathbb{R}\), (a*b=a+b+ab+2). Does this operation have an identity element?
#binary operations
#no identity
#real numbers
#expert
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A हाँ, (0) / Yes, (0)
B हाँ, (1) / Yes, (1)
C हाँ, (-2) / Yes, (-2)
D नहीं / No
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Correct Answer
D. नहीं / No
Step 1
Concept
(a*e=a) से (a+e+ae+2=a) मिलता है। / From (a*e=a), we get (a+e+ae+2=a).
Step 2
Why this answer is correct
इससे (e(1+a)+2=0), जो हर (a) के लिए एक ही (e) से संभव नहीं है। / This gives (e(1+a)+2=0), which cannot hold for all (a) with one fixed (e).
Step 3
Exam Tip
तत्समक एक स्थिर अवयव होना चाहिए, (a) पर निर्भर नहीं। / An identity must be a fixed element, not dependent on (a).
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समुच्चय \(\mathbb{N}\) पर \(a*b=a^b\) है। इस क्रिया के लिए कौन-सा कथन सही है?
On \(\mathbb{N}\), \(a*b=a^b\). Which statement is correct?
#binary operations
#powers
#not commutative
#not associative
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A क्रमविनिमेय और साहचर्य दोनों / Both commutative and associative
B क्रमविनिमेय पर साहचर्य नहीं / Commutative but not associative
C साहचर्य पर क्रमविनिमेय नहीं / Associative but not commutative
D न क्रमविनिमेय न साहचर्य / Neither commutative nor associative
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Correct Answer
D. न क्रमविनिमेय न साहचर्य / Neither commutative nor associative
Step 1
Concept
\(2*3=2^3=8\) और \(3*2=3^2=9\), इसलिए क्रमविनिमेय नहीं। / \(2*3=2^3=8\) and \(3*2=3^2=9\), so it is not commutative.
Step 2
Why this answer is correct
((2*3)*2=82 =64), जबकि (2*(3*2)=29 =512), इसलिए साहचर्य नहीं। / ((2*3)*2=82 =64), while (2*(3*2)=29 =512), so it is not associative.
Step 3
Exam Tip
एक सही प्रत्युदाहरण दोनों गुणों को जल्दी नकार सकता है। / A good counterexample can disprove both properties quickly.
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समुच्चय \(\mathbb{R}\) पर (a*b=a+b-ab) है। इस क्रिया का तत्समक अवयव क्या है?
On \(\mathbb{R}\), (a*b=a+b-ab). What is the identity element?
#binary operations
#identity
#real numbers
#exam
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+10 Time+ 10 sec extra
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A (0)
B (1)
C (-1)
D कोई नहीं / None
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Step 1
Concept
(a*e=a) रखने पर (a+e-ae=a) मिलता है। / Put (a*e=a), giving (a+e-ae=a).
Step 2
Why this answer is correct
इससे (e(1-a)=0) आता है, और हर (a) के लिए (e=0) काम करता है। / Thus (e(1-a)=0), and (e=0) works for every (a).
Step 3
Exam Tip
(e*a=e+a-ea=a) भी जाँच लें, इसलिए (0) तत्समक है। / Also (e*a=e+a-ea=a), so (0) is the identity.
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समुच्चय \(A=\mathbb{R}\setminus{1}\) पर (a*b=a+b-ab) है। इस क्रिया के बारे में कौन-सा कथन सही है?
On \(A=\mathbb{R}\setminus{1}\), (a*b=a+b-ab). Which statement is correct?
#binary operations
#closure
#inverse
#real set
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A यह बंद नहीं है / It is not closed
B यह बंद है और प्रत्येक अवयव का प्रतिलोम है / It is closed and every element has an inverse
C यह बंद है पर कोई तत्समक नहीं / It is closed but has no identity
D यह केवल क्रमविनिमेय नहीं है / It is only non-commutative
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Correct Answer
B. यह बंद है और प्रत्येक अवयव का प्रतिलोम है / It is closed and every element has an inverse
Step 1
Concept
(1-(a*b)=1-a-b+ab=(1-a)(1-b))। / (1-(a*b)=1-a-b+ab=(1-a)(1-b)).
Step 2
Why this answer is correct
\(a\neq 1\) और \(b\neq 1\) होने से यह शून्य नहीं, इसलिए \(a*b\neq 1\), अतः बंद है। / Since \(a\neq 1\) and \(b\neq 1\), this is non-zero, so \(a*b\neq 1\); hence closure holds.
Step 3
Exam Tip
तत्समक (0) है और \(a\neq 1\) होने पर प्रतिलोम \(x=\frac{a}{a-1}\) मिलता है। / Identity is (0), and for \(a\neq 1\), the inverse is \(x=\frac{a}{a-1}\).
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समुच्चय \(\mathbb{Z}\) पर (a*b=a+b+ab) है। निम्न में से कौन-सा युग्म बंदता के लिए सबसे अच्छा विश्लेषण देता है?
On \(\mathbb{Z}\), (a*b=a+b+ab). Which option gives the best analysis for closure?
#binary operations
#closure
#integers
#operation property
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A बंद है क्योंकि (a+b+ab) पूर्णांक है / Closed because (a+b+ab) is an integer
B बंद नहीं क्योंकि भाग आ सकता है / Not closed because division may occur
C बंद नहीं क्योंकि ऋणात्मक मान आ सकते हैं / Not closed because negative values may occur
D केवल सम पूर्णांकों पर बंद है / Closed only on even integers
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Correct Answer
A. बंद है क्योंकि (a+b+ab) पूर्णांक है / Closed because (a+b+ab) is an integer
Step 1
Concept
पूर्णांकों का योग और गुणनफल फिर पूर्णांक ही रहता है। / Sums and products of integers are still integers.
Step 2
Why this answer is correct
(a+b+ab) तीन पूर्णांकों का योग है, इसलिए परिणाम \(\mathbb{Z}\) में रहेगा। / (a+b+ab) is a sum of three integers, so it belongs to \(\mathbb{Z}\).
Step 3
Exam Tip
बंदता में परिणाम उसी समुच्चय में होना चाहिए, धनात्मक होना आवश्यक नहीं। / Closure requires the result to remain in the same set, not necessarily positive.
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\(समुच्चय (A={x\in\mathbb{Z}:x\) सम है}) पर \(a*b=\frac{a+b}{2}\) है। क्या यह द्विआधारी क्रिया है?
\(On (A={x\in\mathbb{Z}:x\) is even\(}), (a*b=\frac{a+b}{2}). Is it a binary operation\)?
#binary operations
#closure
#even integers
#counterexample
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? Hint Small clue
A हाँ, हमेशा / Yes, always
B नहीं, क्योंकि परिणाम सम पूर्णांक होना जरूरी नहीं / No, because the result need not be an even integer
C हाँ, क्योंकि औसत पूर्णांक है / Yes, because the average is an integer
D नहीं, क्योंकि परिणाम वास्तविक हो सकता है / No, because the result may be real
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
B. नहीं, क्योंकि परिणाम सम पूर्णांक होना जरूरी नहीं / No, because the result need not be an even integer
Step 1
Concept
द्विआधारी क्रिया के लिए परिणाम फिर (A) में होना चाहिए। / For a binary operation, the result must again belong to (A).
Step 2
Why this answer is correct
(2) और (4) दोनों सम हैं, पर \(\frac{2+4}{2}=3\), जो सम नहीं है। / (2) and (4) are even, but \(\frac{2+4}{2}=3\), which is not even.
Step 3
Exam Tip
बंदता टूटते ही क्रिया उस समुच्चय पर द्विआधारी नहीं रहती। / Once closure fails, it is not a binary operation on that set.
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समुच्चय \(A=\{1,3,5,7\}\) पर (a*b) को (a+b) का (8) से भाग देने पर शेष माना गया है। क्या यह (A) पर बंद है?
On \(A=\{1,3,5,7\}\), (a*b) is the remainder when (a+b) is divided by (8). Is it closed on (A)?
#binary operations
#modulo
#closure
#finite set
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? Hint Small clue
A हाँ, क्योंकि सभी अवयव विषम हैं / Yes, because all elements are odd
B नहीं, क्योंकि (1*7=0) / No, because (1*7=0)
C हाँ, क्योंकि शेष (8) से कम है / Yes, because the remainder is less than (8)
D नहीं, क्योंकि (3*5=1) / No, because (3*5=1)
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Correct Answer
B. नहीं, क्योंकि (1*7=0) / No, because (1*7=0)
Step 1
Concept
बंदता के लिए हर परिणाम (A) में होना चाहिए। / Closure requires every result to lie in (A).
Step 2
Why this answer is correct
(1+7=8), और (8) से भाग देने पर शेष (0) आता है। / (1+7=8), whose remainder on division by (8) is (0).
Step 3
Exam Tip
(0), (A) में नहीं है, इसलिए एक ही प्रत्युदाहरण काफी है। / Since \(0\notin A\), one counterexample is enough.
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समुच्चय \(\mathbb{R}\) पर \(a*b=a^2+b^2\) है। यह क्रिया किस कारण क्रमविनिमेय है?
On \(\mathbb{R}\), \(a*b=a^2+b^2\). Why is this operation commutative?
#binary operations
#commutative
#real numbers
#squares
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A क्योंकि \(a^2+b^2=b^2+a^2\) / Because \(a^2+b^2=b^2+a^2\)
B क्योंकि ((a*b)*c=a*(b*c)) / Because ((a*b)*c=a*(b*c))
C क्योंकि (0) तत्समक है / Because (0) is identity
D क्योंकि हर अवयव का प्रतिलोम है / Because every element has an inverse
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Correct Answer
A. क्योंकि \(a^2+b^2=b^2+a^2\) / Because \(a^2+b^2=b^2+a^2\)
Step 1
Concept
क्रमविनिमेयता में (a*b=b*a) जाँचा जाता है। / Commutativity checks whether (a*b=b*a).
Step 2
Why this answer is correct
\(a*b=a^2+b^2\) और \(b*a=b^2+a^2\), जो योग के गुण से बराबर हैं। / \(a*b=a^2+b^2\) and \(b*a=b^2+a^2\), equal by commutativity of usual addition.
Step 3
Exam Tip
क्रमविनिमेयता को साहचर्य या प्रतिलोम से न मिलाएँ। / Do not confuse commutativity with associativity or inverse.
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समुच्चय \(\mathbb{R}\) पर \(a*b=a^2+b^2\) है। क्या यह क्रिया साहचर्य है?
On \(\mathbb{R}\), \(a*b=a^2+b^2\). Is this operation associative?
#binary operations
#not associative
#counterexample
#real numbers
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A हाँ, हमेशा / Yes, always
B नहीं, क्योंकि ((1*2)*3\neq 1*(2*3)) / No, because ((1*2)*3\neq 1*(2*3))
C हाँ, क्योंकि यह क्रमविनिमेय है / Yes, because it is commutative
D नहीं, क्योंकि परिणाम वास्तविक नहीं रहता / No, because the result is not real
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Correct Answer
B. नहीं, क्योंकि ((1*2)*3\neq 1*(2*3)) / No, because ((1*2)*3\neq 1*(2*3))
Step 1
Concept
साहचर्य के लिए ((a*b)*c=a*(b*c)) चाहिए। / Associativity requires ((a*b)*c=a*(b*c)).
Step 2
Why this answer is correct
((1*2)*3=5*3=25+9=34), जबकि (1*(2*3)=1*13=1+169=170)। / ((1*2)*3=5*3=25+9=34), while (1*(2*3)=1*13=1+169=170).
Step 3
Exam Tip
क्रमविनिमेय होना साहचर्य होने की गारंटी नहीं देता। / Being commutative does not guarantee associativity.
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समुच्चय \(\mathbb{R}\) पर (a*b=a+b+kab) है। किन (k) के लिए यह क्रिया साहचर्य होगी?
On \(\mathbb{R}\), (a*b=a+b+kab). For which values of (k) is the operation associative?
#binary operations
#parameter
#associative
#expert
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A केवल (k=0) / Only (k=0)
B हर वास्तविक (k) / Every real (k)
C केवल (k=1) / Only (k=1)
D किसी भी (k) के लिए नहीं / For no (k)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
B. हर वास्तविक (k) / Every real (k)
Step 1
Concept
((a*b)*c) फैलाने पर (a+b+c+kab+kc(a+b+kab)) मिलता है। / Expanding ((a*b)*c) gives (a+b+c+kab+kc(a+b+kab)).
Step 2
Why this answer is correct
(a*(b*c)) फैलाने पर (a+b+c+kbc+ka(b+c+kbc)) मिलता है। / Expanding (a*(b*c)) gives (a+b+c+kbc+ka(b+c+kbc)).
Step 3
Exam Tip
दोनों में \(a+b+c+kab+kac+kbc+k^2abc\) समान है, इसलिए हर (k) पर साहचर्य है। / Both equal \(a+b+c+kab+kac+kbc+k^2abc\), so it is associative for every (k).
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समुच्चय \(\mathbb{R}\setminus{-\frac{1}{k}}\) पर (a*b=a+b+kab), जहाँ \(k\neq 0\), है। इस क्रिया का तत्समक अवयव क्या है?
On \(\mathbb{R}\setminus{-\frac{1}{k}}\), (a*b=a+b+kab), where \(k\neq 0\). What is the identity element?
#binary operations
#parameter
#identity
#real set
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (0)
B (1)
C \(-\frac{1}{k}\)
D \(\frac{1}{k}\)
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
(a*e=a) रखने पर (a+e+kae=a) मिलता है। / Put (a*e=a), giving (a+e+kae=a).
Step 2
Why this answer is correct
इससे (e(1+ka)=0) है। दिए समुच्चय में \(1+ka\neq 0\), इसलिए (e=0)। / Thus (e(1+ka)=0). In the given set \(1+ka\neq 0\), so (e=0).
Step 3
Exam Tip
समुच्चय से हटाया गया अवयव बंदता और प्रतिलोम के लिए महत्त्वपूर्ण होता है। / The excluded element is important for closure and inverse behavior.
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समुच्चय \(\mathbb{R}\setminus{-\frac{1}{2}}\) पर (a*b=a+b+2ab) है। अवयव (a) का प्रतिलोम क्या है?
On \(\mathbb{R}\setminus{-\frac{1}{2}}\), (a*b=a+b+2ab). What is the inverse of (a)?
#binary operations
#inverse
#parameter
#real set
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A \(\frac{-a}{1+2a}\)
B \(\frac{a}{1+2a}\)
C \(\frac{-2a}{1+a}\)
D \(\frac{1}{2a}\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(\frac{-a}{1+2a}\)
Step 1
Concept
तत्समक (0) है। / The identity is (0).
Step 2
Why this answer is correct
(a*x=0) से (a+x+2ax=0) मिलता है। / From (a*x=0), we get (a+x+2ax=0).
Step 3
Exam Tip
(x(1+2a)=-a), इसलिए \(x=\frac{-a}{1+2a}\); हर में शून्य न हो इसलिए \(-\frac{1}{2}\) हटाया गया है। / Hence (x(1+2a)=-a), so \(x=\frac{-a}{1+2a}\); the excluded value avoids zero denominator.
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समुच्चय \(\mathbb{R}\) पर (a*b=a+2b) है। इस क्रिया के लिए सही कथन चुनिए।
On \(\mathbb{R}\), (a*b=a+2b). Choose the correct statement.
#binary operations
#not commutative
#not associative
#real numbers
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A यह क्रमविनिमेय है / It is commutative
B यह साहचर्य है / It is associative
C यह द्विआधारी है पर न क्रमविनिमेय न साहचर्य / It is binary but neither commutative nor associative
D इसमें परिणाम वास्तविक नहीं आता / Its result is not real
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Correct Answer
C. यह द्विआधारी है पर न क्रमविनिमेय न साहचर्य / It is binary but neither commutative nor associative
Step 1
Concept
(a,b) वास्तविक हों तो (a+2b) वास्तविक है, इसलिए बंदता है। / If (a,b) are real, (a+2b) is real, so closure holds.
Step 2
Why this answer is correct
(1*2=5) और (2*1=4), इसलिए क्रमविनिमेय नहीं। / (1*2=5) and (2*1=4), so it is not commutative.
Step 3
Exam Tip
((1*2)*3=11), पर (1*(2*3)=17), इसलिए साहचर्य भी नहीं। / ((1*2)*3=11), but (1*(2*3)=17), so it is not associative.
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समुच्चय \(\mathbb{R}\) पर (a*b=2a+b) है। क्या इस क्रिया में कोई तत्समक अवयव है?
On \(\mathbb{R}\), (a*b=2a+b). Does this operation have an identity element?
#binary operations
#no identity
#left identity
#right identity
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A हाँ, (0) / Yes, (0)
B हाँ, (1) / Yes, (1)
C हाँ, (-a) / Yes, (-a)
D नहीं / No
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Correct Answer
D. नहीं / No
Step 1
Concept
दायाँ तत्समक हो तो (a*e=2a+e=a), यानी (e=-a), जो (a) पर निर्भर है। / A right identity would require (a*e=2a+e=a), giving (e=-a), dependent on (a).
Step 2
Why this answer is correct
बायाँ तत्समक हो तो (e*a=2e+a=a), इसलिए (e=0)। / A left identity would require (e*a=2e+a=a), giving (e=0).
Step 3
Exam Tip
दोनों ओर एक ही स्थिर अवयव न मिले तो तत्समक नहीं होता। / Since there is no single two-sided identity, no identity exists.
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समुच्चय \(\mathbb{R}\) पर (a*b=a+b-ab) है। (a*b=1) कब होगा?
On \(\mathbb{R}\), (a*b=a+b-ab). When will (a*b=1)?
#binary operations
#equation
#real numbers
#factorisation
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A जब (a=1) या (b=1) / When (a=1) or (b=1)
B केवल जब (a=b=1) / Only when (a=b=1)
C जब (a+b=1) / When (a+b=1)
D कभी नहीं / Never
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Correct Answer
A. जब (a=1) या (b=1) / When (a=1) or (b=1)
Step 1
Concept
(a+b-ab=1) को (1-a-b+ab=0) लिखें। / Write (a+b-ab=1) as (1-a-b+ab=0).
Step 2
Why this answer is correct
यह ((1-a)(1-b)=0) बनता है। / This factors as ((1-a)(1-b)=0).
Step 3
Exam Tip
इसलिए (a=1) या (b=1); ऐसे गुणनखंड बनाना परीक्षा में समय बचाता है। / Hence (a=1) or (b=1); factoring saves time in such problems.
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समुच्चय \(\mathbb{Q}\setminus{0}\) पर \(a*b=\frac{a}{b}\) है। यह क्रिया किस गुण में असफल है?
On \(\mathbb{Q}\setminus{0}\), \(a*b=\frac{a}{b}\). In which property does this operation fail?
#binary operations
#rational numbers
#not commutative
#closure
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A बंदता / Closure
B क्रमविनिमेयता / Commutativity
C परिणाम का परिमेय होना / Rational output
D द्विआधारी होना / Being a binary operation
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Correct Answer
B. क्रमविनिमेयता / Commutativity
Step 1
Concept
दो अशून्य परिमेयों का भाग फिर अशून्य परिमेय होता है, इसलिए बंदता है। / The quotient of two non-zero rationals is again a non-zero rational, so closure holds.
Step 2
Why this answer is correct
पर \(2*4=\frac{1}{2}\), जबकि (4*2=2), इसलिए क्रमविनिमेयता नहीं है। / But \(2*4=\frac{1}{2}\), while (4*2=2), so commutativity fails.
Step 3
Exam Tip
गुण जाँचते समय बंदता और क्रमविनिमेयता को अलग-अलग देखें। / Check closure and commutativity separately.
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समुच्चय \(\mathbb{Q}\setminus{0}\) पर \(a*b=\frac{a}{b}\) है। क्या यह क्रिया साहचर्य है?
On \(\mathbb{Q}\setminus{0}\), \(a*b=\frac{a}{b}\). Is this operation associative?
#binary operations
#not associative
#rational numbers
#division
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A हाँ, क्योंकि भाग परिमेय रहता है / Yes, because division remains rational
B नहीं, क्योंकि ((8*4)*2\neq 8*(4*2)) / No, because ((8*4)*2\neq 8*(4*2))
C हाँ, क्योंकि (1) तत्समक है / Yes, because (1) is identity
D नहीं, क्योंकि बंदता नहीं है / No, because closure fails
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Correct Answer
B. नहीं, क्योंकि ((8*4)*2\neq 8*(4*2)) / No, because ((8*4)*2\neq 8*(4*2))
Step 1
Concept
((8*4)*2=(2)*2=1)। / ((8*4)*2=(2)*2=1).
Step 2
Why this answer is correct
(8*(4*2)=8*2=4)। / (8*(4*2)=8*2=4).
Step 3
Exam Tip
दोनों बराबर नहीं, इसलिए साहचर्य नहीं; एक स्पष्ट प्रत्युदाहरण सबसे मजबूत उत्तर है। / They are not equal, so associativity fails; a clear counterexample is the strongest argument.
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समुच्चय \(A=\{0,1\}\) पर क्रिया (a*b) को साधारण गुणन माना गया है। कौन-सा अवयव प्रतिलोम नहीं रखता?
On \(A=\{0,1\}\), the operation (a*b) is ordinary multiplication. Which element has no inverse?
#binary operations
#inverse
#finite set
#multiplication
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (0)
B (1)
C दोनों / Both
D कोई नहीं / None
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Step 1
Concept
साधारण गुणन में तत्समक (1) है। / Under ordinary multiplication, the identity is (1).
Step 2
Why this answer is correct
(1) का प्रतिलोम (1) है क्योंकि \(1\cdot 1=1\)। / The inverse of (1) is (1) because \(1\cdot 1=1\).
Step 3
Exam Tip
\(0\cdot x\) कभी (1) नहीं बन सकता, इसलिए (0) का प्रतिलोम नहीं है। / \(0\cdot x\) can never become (1), so (0) has no inverse.
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समुच्चय \(A=\{1,-1\}\) पर साधारण गुणन क्रिया है। इस संरचना के बारे में सही कथन क्या है?
On \(A=\{1,-1\}\), ordinary multiplication is the operation. What is the correct statement about this structure?
#binary operations
#finite group
#inverse
#multiplication
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A बंद नहीं है / It is not closed
B तत्समक नहीं है / It has no identity
C हर अवयव का प्रतिलोम है / Every element has an inverse
D क्रमविनिमेय नहीं है / It is not commutative
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Correct Answer
C. हर अवयव का प्रतिलोम है / Every element has an inverse
Step 1
Concept
(1) और (-1) का गुणनफल फिर (1) या (-1) ही आता है, इसलिए बंदता है। / The product of (1) and (-1) always remains in ({1,-1}), so closure holds.
Step 2
Why this answer is correct
(1) तत्समक है। / (1) is the identity.
Step 3
Exam Tip
(1) का प्रतिलोम (1) और (-1) का प्रतिलोम (-1) है, इसलिए हर अवयव का प्रतिलोम है। / The inverse of (1) is (1), and the inverse of (-1) is (-1), so every element has an inverse.
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समुच्चय \(\mathbb{R}\) पर (a*b=a+b+ab) है। (a*b=b) होने के लिए कौन-सी शर्त पर्याप्त और आवश्यक है?
On \(\mathbb{R}\), (a*b=a+b+ab). Which condition is necessary and sufficient for (a*b=b)?
#binary operations
#equation
#condition
#real numbers
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (a=0) या (b=-1) / (a=0) or (b=-1)
B (b=0) या (a=-1) / (b=0) or (a=-1)
C (a=b)
D (a+b=0)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (a=0) या (b=-1) / (a=0) or (b=-1)
Step 1
Concept
(a+b+ab=b) से (a+ab=0) मिलता है। / From (a+b+ab=b), we get (a+ab=0).
Step 2
Why this answer is correct
इसे (a(1+b)=0) लिखेंगे। / Factor it as (a(1+b)=0).
Step 3
Exam Tip
इसलिए (a=0) या (b=-1); गुणनखंड बनाना ऐसी शर्तों में बहुत उपयोगी है। / Hence (a=0) or (b=-1); factoring is very useful in such condition-based questions.
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समुच्चय \(A=\mathbb{R}^{+}\) पर (a*b=ab) है। (a) का प्रतिलोम किस समुच्चय में रहता है?
On \(A=\mathbb{R}^{+}\), (a*b=ab). In which set does the inverse of (a) lie?
#binary operations
#positive reals
#inverse
#multiplication
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A \(\mathbb{R}^{+}\)
B \(\mathbb{R}^{-}\)
C \(\mathbb{Z}\)
D \(\mathbb{N}\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(\mathbb{R}^{+}\)
Step 1
Concept
साधारण गुणन में तत्समक (1) है। / Under ordinary multiplication, the identity is (1).
Step 2
Why this answer is correct
(a>0) होने पर प्रतिलोम \(\frac{1}{a}\) भी धनात्मक होता है। / If (a>0), then its inverse \(\frac{1}{a}\) is also positive.
Step 3
Exam Tip
इसलिए प्रतिलोम उसी समुच्चय \(\mathbb{R}^{+}\) में रहता है, जो बंदता के बाद अगली जरूरी जाँच है। / Thus the inverse remains in \(\mathbb{R}^{+}\), which is the next key check after closure.
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समुच्चय \(A=\mathbb{R}^{+}\) पर \(a*b=\frac{a+b}{2}\) है। इस क्रिया में तत्समक अवयव के बारे में सही बात क्या है?
On \(A=\mathbb{R}^{+}\), \(a*b=\frac{a+b}{2}\). What is true about the identity element?
#binary operations
#no identity
#average
#positive reals
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A तत्समक (0) है / Identity is (0)
B तत्समक (1) है / Identity is (1)
C तत्समक (2) है / Identity is (2)
D तत्समक अस्तित्व में नहीं है / Identity does not exist
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
D. तत्समक अस्तित्व में नहीं है / Identity does not exist
Step 1
Concept
(a*e=a) से \(\frac{a+e}{2}=a\) मिलता है। / From (a*e=a), \(\frac{a+e}{2}=a\).
Step 2
Why this answer is correct
इससे (e=a), जो हर (a) के लिए बदलता रहेगा। / This gives (e=a), which changes with (a).
Step 3
Exam Tip
तत्समक एक निश्चित अवयव होना चाहिए, इसलिए यहाँ तत्समक नहीं है। / An identity must be fixed, so no identity exists here.
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समुच्चय \(\mathbb{R}\) पर (a*b=|a-b|) है। कौन-सा कथन सही है?
On \(\mathbb{R}\), (a*b=|a-b|). Which statement is correct?
#binary operations
#absolute value
#commutative
#not associative
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A यह क्रमविनिमेय है पर साहचर्य नहीं / It is commutative but not associative
B यह साहचर्य है पर क्रमविनिमेय नहीं / It is associative but not commutative
C यह दोनों है / It is both
D यह दोनों नहीं है / It is neither
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. यह क्रमविनिमेय है पर साहचर्य नहीं / It is commutative but not associative
Step 1
Concept
(|a-b|=|b-a|), इसलिए क्रिया क्रमविनिमेय है। / (|a-b|=|b-a|), so the operation is commutative.
Step 2
Why this answer is correct
((1*3)*6=2*6=4), जबकि (1*(3*6)=1*3=2), इसलिए साहचर्य नहीं। / ((1*3)*6=2*6=4), while (1*(3*6)=1*3=2), so it is not associative.
Step 3
Exam Tip
निरपेक्ष मान वाली क्रियाओं में छोटे प्रत्युदाहरण बहुत काम आते हैं। / Small counterexamples work well for absolute value operations.
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समुच्चय \(\mathbb{R}\) पर (a*b=|a-b|) है। क्या कोई तत्समक अवयव है?
On \(\mathbb{R}\), (a*b=|a-b|). Is there an identity element?
#binary operations
#no identity
#absolute value
#real numbers
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A हाँ, (0) / Yes, (0)
B हाँ, (1) / Yes, (1)
C हाँ, कोई भी धनात्मक संख्या / Yes, any positive number
D नहीं / No
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Correct Answer
D. नहीं / No
Step 1
Concept
यदि (e) तत्समक हो तो (|a-e|=a) हर वास्तविक (a) के लिए होना चाहिए। / If (e) is identity, then (|a-e|=a) for every real (a).
Step 2
Why this answer is correct
(a=-1) रखने पर बायाँ पक्ष सदैव अऋणात्मक है, पर दायाँ पक्ष (-1) है। / Put (a=-1); the left side is always non-negative, but the right side is (-1).
Step 3
Exam Tip
इसलिए कोई तत्समक नहीं; ऋणात्मक मानों से कई दावे तुरंत टूटते हैं। / Hence no identity exists; negative values often disprove such claims quickly.
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समुच्चय \(\mathbb{N}\) पर (a*b=\operatorname{lcm}(a,b)) है। इस क्रिया का तत्समक अवयव क्या है?
On \(\mathbb{N}\), (a*b=\operatorname{lcm}(a,b)). What is the identity element?
#binary operations
#lcm
#identity
#natural numbers
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+10 Time+ 10 sec extra
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A (0)
B (1)
C (a)
D कोई नहीं / None
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Step 1
Concept
तत्समक (e) के लिए (\operatorname{lcm}(a,e)=a) होना चाहिए। / For identity (e), (\operatorname{lcm}(a,e)=a).
Step 2
Why this answer is correct
(\operatorname{lcm}(a,1)=a) हर प्राकृतिक (a) के लिए सत्य है। / (\operatorname{lcm}(a,1)=a) for every natural (a).
Step 3
Exam Tip
लघुत्तम समापवर्त्य वाली क्रिया में (1) को तुरंत जाँचें। / For an LCM operation, check (1) immediately.
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समुच्चय \(\mathbb{N}\) पर (a*b=\gcd(a,b)) है। इस क्रिया में क्या तत्समक अवयव \(\mathbb{N}\) में है?
On \(\mathbb{N}\), (a*b=\gcd(a,b)). Does the identity element lie in \(\mathbb{N}\)?
#binary operations
#gcd
#no identity
#natural numbers
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+10 Time+ 10 sec extra
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A हाँ, (1) / Yes, (1)
B हाँ, (0) / Yes, (0)
C नहीं, क्योंकि कोई सबसे बड़ा प्राकृतिक अवयव नहीं / No, because there is no largest natural element
D हाँ, हर (a) / Yes, every (a)
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Correct Answer
C. नहीं, क्योंकि कोई सबसे बड़ा प्राकृतिक अवयव नहीं / No, because there is no largest natural element
Step 1
Concept
(\gcd(a,e)=a) होने के लिए (e) हर (a) का गुणज होना चाहिए। / For (\gcd(a,e)=a), (e) must be a multiple of every (a).
Step 2
Why this answer is correct
ऐसा कोई एक प्राकृतिक अवयव नहीं जो सभी प्राकृतिक संख्याओं का गुणज हो। / There is no single natural number that is a multiple of all natural numbers.
Step 3
Exam Tip
यदि समुच्चय में (0) होता तो बात अलग होती, पर \(\mathbb{N}\) में यहाँ तत्समक नहीं है। / If (0) were included, the situation would differ, but in \(\mathbb{N}\) there is no identity here.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,6\}\) पर (a*b=\gcd(a,b)) है। इस क्रिया का तत्समक अवयव क्या है?
On \(A=\{1,2,3,6\}\), (a*b=\gcd(a,b)). What is the identity element?
#binary operations
#gcd
#identity
#finite set
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+10 Time+ 10 sec extra
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A (1)
B (2)
C (3)
D (6)
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Step 1
Concept
तत्समक (e) के लिए (\gcd(a,e)=a) चाहिए। / For identity (e), (\gcd(a,e)=a).
Step 2
Why this answer is correct
(6) इस समुच्चय के हर अवयव का गुणज है, इसलिए (\gcd(a,6)=a)। / (6) is a multiple of every element of this set, so (\gcd(a,6)=a).
Step 3
Exam Tip
सीमित समुच्चय में महत्तम अवयव प्रायः ऐसी क्रिया में तत्समक बन सकता है। / In a finite set, the largest suitable multiple can become the identity for a GCD operation.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,6\}\) पर (a*b=\operatorname{lcm}(a,b)) है। इस क्रिया का तत्समक अवयव क्या है?
On \(A=\{1,2,3,6\}\), (a*b=\operatorname{lcm}(a,b)). What is the identity element?
#binary operations
#lcm
#identity
#finite set
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (1)
B (2)
C (3)
D (6)
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Step 1
Concept
तत्समक (e) के लिए (\operatorname{lcm}(a,e)=a) होना चाहिए। / For identity (e), (\operatorname{lcm}(a,e)=a).
Step 2
Why this answer is correct
(1) हर अवयव को बिना बदले रखता है, क्योंकि (\operatorname{lcm}(a,1)=a)। / (1) leaves every element unchanged because (\operatorname{lcm}(a,1)=a).
Step 3
Exam Tip
लघुत्तम समापवर्त्य में (1) और महत्तम समापवर्तक में ऊपर वाला गुणज अलग भूमिकाएँ निभाते हैं। / In LCM and GCD operations, (1) and the top common multiple play different roles.
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समुच्चय \(A=\{0,1,2\}\) पर (a*b) को (ab) का (3) से भाग देने पर शेष माना गया है। कौन-सा अवयव प्रतिलोम नहीं रखता?
On \(A=\{0,1,2\}\), (a*b) is the remainder when (ab) is divided by (3). Which element has no inverse?
#binary operations
#modulo multiplication
#inverse
#finite set
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? Hint Small clue
A (0)
B (1)
C (2)
D (1) और (2) / (1) and (2)
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Step 1
Concept
यह (3) के सापेक्ष गुणन है और तत्समक (1) है। / This is multiplication modulo (3), and the identity is (1).
Step 2
Why this answer is correct
(1) का प्रतिलोम (1), और (2) का प्रतिलोम (2) है क्योंकि \(2\cdot 2=4\) का शेष (1) है। / The inverse of (1) is (1), and the inverse of (2) is (2) because \(2\cdot 2=4\) has remainder (1).
Step 3
Exam Tip
(0) से गुणा करने पर शेष (0) ही रहेगा, इसलिए (0) का प्रतिलोम नहीं। / Multiplying by (0) always gives remainder (0), so (0) has no inverse.
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समुच्चय \(A=\{1,2,4,5\}\) पर (a*b) को (ab) का (6) से भाग देने पर शेष माना गया है। इस क्रिया के बारे में सही कथन क्या है?
On \(A=\{1,2,4,5\}\), (a*b) is the remainder when (ab) is divided by (6). Which statement is correct?
#binary operations
#modulo multiplication
#closure
#identity
50 50-50 2 wrong hide
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A यह बंद है और (1) तत्समक है / It is closed and (1) is identity
B यह बंद नहीं है / It is not closed
C यह क्रमविनिमेय नहीं है / It is not commutative
D इसमें कोई तत्समक नहीं है / It has no identity
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Correct Answer
A. यह बंद है और (1) तत्समक है / It is closed and (1) is identity
Step 1
Concept
दिए गए अवयवों के गुणनफल का (6) से शेष फिर (1,2,4,5) में ही आता है; जैसे (2*4=2), (5*5=1)। / Products of the given elements modulo (6) again lie in (1,2,4,5); for example, (2*4=2), (5*5=1).
Step 2
Why this answer is correct
(1*a=a) और (a*1=a), इसलिए (1) तत्समक है। / (1*a=a) and (a*1=a), so (1) is the identity.
Step 3
Exam Tip
सीमित समुच्चय में कुछ नमूना गुणन देखकर बंदता का ढाँचा समझें। / For a finite set, sample products reveal the closure pattern.
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समुच्चय \(\mathbb{R}\) पर (a*b=a+b-2ab) है। किस अवयव का प्रतिलोम अस्तित्व में नहीं है?
On \(\mathbb{R}\), (a*b=a+b-2ab). Which element has no inverse?
#binary operations
#inverse exception
#real numbers
#identity
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A (0)
B \(\frac{1}{2}\)
C (1)
D (2)
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Correct Answer
B. \(\frac{1}{2}\)
Step 1
Concept
तत्समक (0) है क्योंकि (a+0-0=a)। / The identity is (0) because (a+0-0=a).
Step 2
Why this answer is correct
प्रतिलोम (x) के लिए (a+x-2ax=0), अतः (x(1-2a)=-a)। / For inverse (x), (a+x-2ax=0), so (x(1-2a)=-a).
Step 3
Exam Tip
\(a=\frac{1}{2}\) पर गुणक शून्य हो जाता है और समीकरण असंभव बनता है, इसलिए इसका प्रतिलोम नहीं। / At \(a=\frac{1}{2}\), the coefficient becomes zero and the equation is impossible, so it has no inverse.
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समुच्चय \(A=\mathbb{R}\setminus{\frac{1}{2}}\) पर (a*b=a+b-2ab) है। (a) का प्रतिलोम क्या है?
On \(A=\mathbb{R}\setminus{\frac{1}{2}}\), (a*b=a+b-2ab). What is the inverse of (a)?
#binary operations
#inverse
#real set
#expert
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A \(\frac{-a}{1-2a}\)
B \(\frac{a}{1-2a}\)
C \(\frac{a}{2a-1}\)
D \(\frac{1}{2a}\)
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Correct Answer
A. \(\frac{-a}{1-2a}\)
Step 1
Concept
इस क्रिया का तत्समक (0) है। / The identity is (0).
Step 2
Why this answer is correct
(a*x=0) से (a+x-2ax=0) मिलता है। / From (a*x=0), (a+x-2ax=0).
Step 3
Exam Tip
(x(1-2a)=-a), अतः \(x=\frac{-a}{1-2a}\); हटाया गया अवयव हर को शून्य होने से बचाता है। / Thus (x(1-2a)=-a), so \(x=\frac{-a}{1-2a}\); the excluded element prevents a zero denominator.
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समुच्चय \(\mathbb{R}\) पर \(a*b=a+b+\lambda\) है। किस \(\lambda\) के लिए तत्समक अवयव (5) होगा?
On \(\mathbb{R}\), \(a*b=a+b+\lambda\). For which \(\lambda\) will the identity element be (5)?
#binary operations
#parameter
#identity
#real numbers
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A (-5)
B (5)
C (0)
D (10)
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Step 1
Concept
यदि (5) तत्समक है, तो (a*5=a) होना चाहिए। / If (5) is the identity, then (a*5=a).
Step 2
Why this answer is correct
\(a+5+\lambda=a\) से \(\lambda=-5\) मिलता है। / \(a+5+\lambda=a\) gives \(\lambda=-5\).
Step 3
Exam Tip
मान निकालने के बाद (5*a=a) भी वही परिणाम देता है, इसलिए जाँच पूरी है। / Checking (5*a=a) gives the same result, so the verification is complete.
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समुच्चय \(\mathbb{R}\) पर \(a*b=a+b+\lambda ab\) है। किस \(\lambda\) पर अवयव (2) का प्रतिलोम अस्तित्व में नहीं होगा?
On \(\mathbb{R}\), \(a*b=a+b+\lambda ab\). For which \(\lambda\) will the element (2) have no inverse?
#binary operations
#parameter
#inverse exception
#expert
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A \(\lambda=-\frac{1}{2}\)
B \(\lambda=\frac{1}{2}\)
C \(\lambda=0\)
D \(\lambda=1\)
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Correct Answer
A. \(\lambda=-\frac{1}{2}\)
Step 1
Concept
इस प्रकार की क्रिया का तत्समक (0) होता है। / This type of operation has identity (0).
Step 2
Why this answer is correct
(2*x=0) से \(2+x+2\lambda x=0\), यानी (x\(1+2\lambda\)=-2) मिलता है। / From (2*x=0), \(2+x+2\lambda x=0\), so (x\(1+2\lambda\)=-2).
Step 3
Exam Tip
प्रतिलोम न होने के लिए \(1+2\lambda=0\), इसलिए \(\lambda=-\frac{1}{2}\)। / No inverse exists when \(1+2\lambda=0\), hence \(\lambda=-\frac{1}{2}\).
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समुच्चय \(\mathbb{R}\) पर (a*b=a+b+mab) है। यदि (2) का प्रतिलोम (-1) है, तो (m) का मान क्या होगा?
On \(\mathbb{R}\), (a*b=a+b+mab). If the inverse of (2) is (-1), what is the value of (m)?
#binary operations
#parameter
#inverse
#value finding
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A \(\frac{1}{2}\)
B (1)
C \(-\frac{1}{2}\)
D (2)
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Correct Answer
A. \(\frac{1}{2}\)
Step 1
Concept
इस क्रिया का तत्समक (0) है। / The identity for this operation is (0).
Step 2
Why this answer is correct
(2) और (-1) प्रतिलोम हैं, इसलिए (2*(-1)=0)। / If (2) and (-1) are inverses, then (2*(-1)=0).
Step 3
Exam Tip
(2-1-2m=0) से (1-2m=0), अतः \(m=\frac{1}{2}\)। / (2-1-2m=0) gives (1-2m=0), so \(m=\frac{1}{2}\).
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समुच्चय \(A=\{0,1,2,3,4\}\) पर (a*b) को (a+b) का (5) से भाग देने पर शेष माना गया है। (3*4) का मान क्या है?
On \(A=\{0,1,2,3,4\}\), (a*b) is the remainder when (a+b) is divided by (5). What is (3*4)?
#binary operations
#modulo addition
#value based
#finite set
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A (0)
B (1)
C (2)
D (4)
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Step 1
Concept
यहाँ क्रिया (5) के सापेक्ष जोड़ है। / This operation is addition modulo (5).
Step 2
Why this answer is correct
(3+4=7), और (7) को (5) से भाग देने पर शेष (2) आता है। / (3+4=7), and the remainder on division by (5) is (2).
Step 3
Exam Tip
शेषफल वाली क्रिया में पहले साधारण गणना करें, फिर शेष लें। / For remainder operations, first do the usual calculation, then take the remainder.
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समुच्चय \(A=\{0,1,2,3,4\}\) पर (a*b) को (a+b) का (5) से शेष माना गया है। (4) का प्रतिलोम क्या है?
On \(A=\{0,1,2,3,4\}\), (a*b) is the remainder of (a+b) modulo (5). What is the inverse of (4)?
#binary operations
#modulo addition
#inverse
#finite set
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A (0)
B (1)
C (2)
D (4)
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Step 1
Concept
(5) के सापेक्ष जोड़ में तत्समक (0) है। / In addition modulo (5), the identity is (0).
Step 2
Why this answer is correct
(4*x=0) के लिए (4+x) का (5) से शेष (0) होना चाहिए। / For (4*x=0), (4+x) must have remainder (0) on division by (5).
Step 3
Exam Tip
(4+1=5), इसलिए (4) का प्रतिलोम (1) है। / Since (4+1=5), the inverse of (4) is (1).
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यदि (A) में (n) अवयव हैं, तो (A) पर कुल कितनी द्विआधारी क्रियाएँ परिभाषित की जा सकती हैं?
If (A) has (n) elements, how many binary operations can be defined on (A)?
#binary operations
#counting
#finite set
#functions
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A \(n^2\)
B \(2^n\)
C \(n^{n^2}\)
D \(n^{2n}\)
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Correct Answer
C. \(n^{n^2}\)
Step 1
Concept
द्विआधारी क्रिया \(A\times A\) से (A) में फलन होती है। / A binary operation is a function from \(A\times A\) to (A).
Step 2
Why this answer is correct
\(A\times A\) में \(n^2\) क्रमित युग्म होते हैं और हर युग्म के लिए (n) विकल्प हैं। / \(A\times A\) has \(n^2\) ordered pairs, and each pair has (n) possible outputs.
Step 3
Exam Tip
इसलिए कुल संख्या \(n^{n^2}\) है; इसे याद रखने के बजाय फलन की गिनती से समझें। / Therefore the total number is \(n^{n^2}\); understand it through function counting, not rote memory.
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यदि (A) में (n) अवयव हैं, तो (A) पर कुल कितनी क्रमविनिमेय द्विआधारी क्रियाएँ परिभाषित की जा सकती हैं?
If (A) has (n) elements, how many commutative binary operations can be defined on (A)?
#binary operations
#commutative operations
#counting
#finite set
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A \(n^{n^2}\)
B \(n^{\frac{n(n-1)}{2}}\)
C \(n^{\frac{n(n+1)}{2}}\)
D \(2^{n^2}\)
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Correct Answer
C. \(n^{\frac{n(n+1)}{2}}\)
Step 1
Concept
क्रमविनिमेय क्रिया में (a*b=b*a), इसलिए ((a,b)) और ((b,a)) का मान एक जैसा होना चाहिए। / In a commutative operation, (a*b=b*a), so ((a,b)) and ((b,a)) must have the same value.
Step 2
Why this answer is correct
स्वतंत्र स्थानों की संख्या (n) विकर्ण युग्मों और (\frac{n(n-1)}{2}) अविकर्ण युग्मों को मिलाकर (\frac{n(n+1)}{2}) होती है। / The number of independent positions is (n+\frac{n(n-1)}{2}=\frac{n(n+1)}{2}).
Step 3
Exam Tip
हर स्वतंत्र स्थान पर (n) विकल्प हैं, इसलिए कुल क्रियाएँ \(n^{\frac{n(n+1)}{2}}\) होंगी। / Each independent position has (n) choices, so the total number of operations is \(n^{\frac{n(n+1)}{2}}\).
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