वास्तविक संख्याओं के समुच्चय पर क्रिया (a*b=a+b+ab) परिभाषित है। यदि \(a\neq -1\) हो, तो (2) का प्रतिलोम क्या होगा?
On the set of real numbers, the operation (a*b=a+b+ab) is defined. If \(a\neq -1\), what will be the inverse of (2)?
#binary operations
#inverse
#identity
#relations and functions
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A \(-\frac{2}{3}\)
B \(\frac{2}{3}\)
C (-3)
D (3)
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Correct Answer
A. \(-\frac{2}{3}\)
Step 1
Concept
पहले तत्समक अवयव निकालते हैं। (a*0=a), इसलिए तत्समक (0) है। / First find the identity. Since (a*0=a), the identity is (0).
Step 2
Why this answer is correct
(2*x=0) रखने पर \(2+x+2x=0\Rightarrow 3x=-2\Rightarrow x=-\frac{2}{3}\)। / Put (2*x=0). Then \(2+x+2x=0\Rightarrow 3x=-2\Rightarrow x=-\frac{2}{3}\).
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में पहले तत्समक अवयव जरूर पहचानें, फिर प्रतिलोम निकालें। / In exams, always identify the identity before finding an inverse.
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पूर्णांकों के समुच्चय पर (a*b=a+b-1) परिभाषित है। इस क्रिया के सापेक्ष (7) का प्रतिलोम क्या है?
On the set of integers, (a*b=a+b-1) is defined. What is the inverse of (7) with respect to this operation?
#binary operations
#integers
#inverse
#identity
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (-5)
B (5)
C (-7)
D (1)
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Step 1
Concept
(a*e=a) से (a+e-1=a), अतः (e=1)। / From (a*e=a), we get (a+e-1=a), so (e=1).
Step 2
Why this answer is correct
(7*x=1) रखने पर \(7+x-1=1\Rightarrow x=-5\)। / Put (7*x=1). Then \(7+x-1=1\Rightarrow x=-5\).
Step 3
Exam Tip
(a+b-c) जैसी क्रियाओं में तत्समक अवयव सीधे तुलना से मिल जाता है। / For operations like (a+b-c), compare directly to find the identity.
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धनात्मक वास्तविक संख्याओं पर \(a*b=\sqrt{ab}\) परिभाषित है। इस क्रिया के साहचर्य गुण के बारे में सही कथन चुनिए।
On positive real numbers, \(a*b=\sqrt{ab}\) is defined. Choose the correct statement about associativity of this operation.
#binary operations
#associativity
#counterexample
#positive reals
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A यह साहचर्य है / It is associative
B यह साहचर्य नहीं है / It is not associative
C यह केवल (a=b) पर साहचर्य है / It is associative only when (a=b)
D यह केवल (a=1) पर साहचर्य है / It is associative only when (a=1)
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Correct Answer
B. यह साहचर्य नहीं है / It is not associative
Step 1
Concept
साहचर्य के लिए ((a*b)*c=a*(b*c)) होना चाहिए। / For associativity, ((a*b)*c=a*(b*c)) must hold.
Step 2
Why this answer is correct
((a*b)*c=\sqrt{c\sqrt{ab}}) और (a*(b*c)=\sqrt{a\sqrt{bc}}), ये सामान्य रूप से बराबर नहीं होते। / Here ((a*b)*c=\sqrt{c\sqrt{ab}}) and (a*(b*c)=\sqrt{a\sqrt{bc}}), which are not equal in general.
Step 3
Exam Tip
एक छोटा प्रतिउदाहरण साहचर्य को खारिज करने का तेज तरीका है। / A small counterexample is a quick way to disprove associativity.
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समुच्चय \(A=\{0,1,2,3\}\) पर (a*b) को (a+b) को (4) से भाग देने पर प्राप्त शेषफल के रूप में परिभाषित किया गया है। (3) का प्रतिलोम क्या है?
On the set \(A=\{0,1,2,3\}\), (a*b) is defined as the remainder obtained when (a+b) is divided by (4). What is the inverse of (3)?
#binary operations
#modulo
#finite set
#inverse
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (1)
B (2)
C (3)
D (0)
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Step 1
Concept
इस क्रिया में (0) जोड़ने पर वही अवयव मिलता है, इसलिए तत्समक (0) है। / Adding (0) leaves every element unchanged, so the identity is (0).
Step 2
Why this answer is correct
(3*x=0) का अर्थ है (3+x) का (4) से शेषफल (0) हो। (x=1) रखने पर (4) का शेषफल (0) है। / (3*x=0) means (3+x) must have remainder (0) on division by (4). With (x=1), the sum is (4).
Step 3
Exam Tip
शेषफल वाली क्रिया में प्रतिलोम वही अवयव है जो योग को गुणज बना दे। / In remainder operations, the inverse makes the sum a multiple of the modulus.
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प्राकृत संख्याओं पर \(a*b=a^b\) परिभाषित है। इस क्रिया के क्रमविनिमेय होने के बारे में सही कथन कौन सा है?
On natural numbers, \(a*b=a^b\) is defined. Which statement about commutativity of this operation is correct?
#binary operations
#commutativity
#natural numbers
#counterexample
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A यह क्रमविनिमेय है / It is commutative
B यह क्रमविनिमेय नहीं है / It is not commutative
C यह केवल सम संख्याओं पर क्रमविनिमेय है / It is commutative only for even numbers
D यह केवल अभाज्य संख्याओं पर क्रमविनिमेय है / It is commutative only for primes
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Correct Answer
B. यह क्रमविनिमेय नहीं है / It is not commutative
Step 1
Concept
क्रमविनिमेयता के लिए (a*b=b*a) चाहिए। / For commutativity, (a*b=b*a) must hold.
Step 2
Why this answer is correct
\(2*3=2^3=8\), जबकि \(3*2=3^2=9\), दोनों बराबर नहीं हैं। / \(2*3=2^3=8\), but \(3*2=3^2=9\).
Step 3
Exam Tip
एक सही प्रतिउदाहरण पूरे दावे को गलत सिद्ध कर देता है। / One valid counterexample is enough to disprove commutativity.
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वास्तविक संख्याओं पर (a*b=a+b+kab) परिभाषित है। यदि (2) और (3) का प्रतिफल (11) है, तो (k) का मान क्या होगा?
On real numbers, (a*b=a+b+kab) is defined. If the product of (2) and (3) is (11), what is the value of (k)?
#binary operations
#parameter
#real numbers
#exam pattern
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+10 Time+ 10 sec extra
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A (1)
B \(\frac{1}{2}\)
C (-1)
D (2)
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Step 1
Concept
दी हुई क्रिया में (a=2), (b=3) रखें। / Substitute (a=2) and (b=3).
Step 2
Why this answer is correct
\(2*3=2+3+6k=11\Rightarrow 6k=6\Rightarrow k=1\)। / \(2*3=2+3+6k=11\Rightarrow 6k=6\Rightarrow k=1\).
Step 3
Exam Tip
अज्ञात नियतांक वाले प्रश्नों में पहले दिए गए मान को सीधे क्रिया में रखें। / For unknown-constant questions, directly use the given operation value.
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वास्तविक संख्याओं पर (a*b=a+b-2ab) परिभाषित है। इस क्रिया का तत्समक अवयव क्या है?
On real numbers, (a*b=a+b-2ab) is defined. What is the identity element of this operation?
#binary operations
#identity
#real numbers
#conceptual
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (0)
B (1)
C \(\frac{1}{2}\)
D (-1)
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Step 1
Concept
तत्समक (e) के लिए (a*e=a) होना चाहिए। / For identity (e), (a*e=a) must hold.
Step 2
Why this answer is correct
(a+e-2ae=a\Rightarrow e(1-2a)=0)। यह हर (a) के लिए तभी होगा जब (e=0)। / (a+e-2ae=a\Rightarrow e(1-2a)=0). This is true for every (a) when (e=0).
Step 3
Exam Tip
तत्समक अवयव हर अवयव के लिए काम करना चाहिए, केवल किसी एक (a) के लिए नहीं। / An identity must work for all elements, not just one value.
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अशून्य वास्तविक संख्याओं पर \(a*b=\frac{ab}{2}\) परिभाषित है। इस क्रिया के लिए तत्समक अवयव क्या है?
On non-zero real numbers, \(a*b=\frac{ab}{2}\) is defined. What is the identity element for this operation?
#binary operations
#identity
#nonzero reals
#multiplicative type
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (2)
B (1)
C \(\frac{1}{2}\)
D (0)
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Step 1
Concept
(a*e=a) रखें। / Put (a*e=a).
Step 2
Why this answer is correct
\(\frac{ae}{2}=a\)। चूँकि \(a\neq 0\), इसलिए (e=2)। / \(\frac{ae}{2}=a\). Since \(a\neq 0\), we get (e=2).
Step 3
Exam Tip
भाग देकर सरल करते समय यह देखना जरूरी है कि दिया गया समुच्चय अशून्य है या नहीं। / Before dividing by a variable, check that the set excludes zero.
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अशून्य वास्तविक संख्याओं पर \(a*b=\frac{ab}{2}\) परिभाषित है। (5) का प्रतिलोम क्या होगा?
On non-zero real numbers, \(a*b=\frac{ab}{2}\) is defined. What will be the inverse of (5)?
#binary operations
#inverse
#nonzero reals
#identity
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+10 Time+ 10 sec extra
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A \(\frac{4}{5}\)
B \(\frac{2}{5}\)
C \(\frac{5}{2}\)
D \(\frac{1}{5}\)
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Correct Answer
A. \(\frac{4}{5}\)
Step 1
Concept
पिछली तरह इस क्रिया का तत्समक (2) है। / The identity for this operation is (2).
Step 2
Why this answer is correct
(5*x=2) रखने पर \(\frac{5x}{2}=2\Rightarrow x=\frac{4}{5}\)। / Put (5*x=2). Then \(\frac{5x}{2}=2\Rightarrow x=\frac{4}{5}\).
Step 3
Exam Tip
प्रतिलोम हमेशा तत्समक अवयव के सापेक्ष निकाला जाता है। / Inverses are always found with respect to the identity element.
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वास्तविक संख्याओं पर (a*b=a+b+ab) परिभाषित है। कौन सा अवयव प्रतिलोम नहीं रखता?
On real numbers, (a*b=a+b+ab) is defined. Which element does not have an inverse?
#binary operations
#inverse existence
#real numbers
#exception
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (-1)
B (0)
C (1)
D (2)
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Step 1
Concept
इस क्रिया का तत्समक (0) है। / The identity is (0).
Step 2
Why this answer is correct
(a*x=0) से (a+x+ax=0\Rightarrow x(1+a)=-a)। यदि (a=-1), तो (x) का मान नहीं मिल सकता। / From (a*x=0), (a+x+ax=0\Rightarrow x(1+a)=-a). If (a=-1), no value of (x) can satisfy it.
Step 3
Exam Tip
प्रतिलोम के सूत्र में हर शून्य हो जाए तो उस अवयव को अलग से जाँचें। / If the denominator in an inverse formula becomes zero, check that element separately.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5\}\) पर (a*b=\max(a,b)) परिभाषित है। इस क्रिया का तत्समक अवयव क्या है?
On the set \(A=\{1,2,3,4,5\}\), (a*b=\max(a,b)) is defined. What is the identity element of this operation?
#binary operations
#max operation
#identity
#finite set
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (1)
B (5)
C (0)
D कोई नहीं / None
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Step 1
Concept
तत्समक (e) के लिए (\max(a,e)=a) हर \(a\in A\) के लिए चाहिए। / For identity (e), (\max(a,e)=a) for every \(a\in A\).
Step 2
Why this answer is correct
यह तभी होगा जब (e) समुच्चय का सबसे छोटा अवयव हो। यहाँ सबसे छोटा अवयव (1) है। / This happens when (e) is the least element of the set. Here the least element is (1).
Step 3
Exam Tip
\(\max\) क्रिया में तत्समक सबसे छोटा अवयव होता है। / For a \(\max\) operation, the identity is the smallest element of the set.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5\}\) पर (a*b=\min(a,b)) परिभाषित है। इस क्रिया का तत्समक अवयव क्या होगा?
On the set \(A=\{1,2,3,4,5\}\), (a*b=\min(a,b)) is defined. What will be the identity element of this operation?
#binary operations
#min operation
#identity
#finite set
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (5)
B (1)
C (0)
D कोई नहीं / None
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Step 1
Concept
(e) तत्समक हो तो (\min(a,e)=a) हर \(a\in A\) के लिए होना चाहिए। / If (e) is the identity, (\min(a,e)=a) for every \(a\in A\).
Step 2
Why this answer is correct
यह तभी संभव है जब (e) सबसे बड़ा अवयव हो। (A) में सबसे बड़ा अवयव (5) है। / This is possible only when (e) is the greatest element. In (A), the greatest element is (5).
Step 3
Exam Tip
\(\min\) क्रिया में तत्समक सबसे बड़ा अवयव होता है। / For a \(\min\) operation, the identity is the greatest element.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर (a*b=a) परिभाषित है। यह क्रिया किस गुण को संतुष्ट करती है?
On the set \(A=\{1,2,3\}\), (a*b=a) is defined. Which property is satisfied by this operation?
#binary operations
#associativity
#commutativity
#projection operation
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+10 Time+ 10 sec extra
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A साहचर्य है पर क्रमविनिमेय नहीं / Associative but not commutative
B क्रमविनिमेय है पर साहचर्य नहीं / Commutative but not associative
C दोनों है / Both properties hold
D दोनों नहीं है / Neither property holds
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Correct Answer
A. साहचर्य है पर क्रमविनिमेय नहीं / Associative but not commutative
Step 1
Concept
((a*b)*c=a*c=a) और (a*(b*c)=a*b=a), इसलिए साहचर्य है। / ((a*b)*c=a*c=a) and (a*(b*c)=a*b=a), so it is associative.
Step 2
Why this answer is correct
(1*2=1), जबकि (2*1=2), इसलिए क्रमविनिमेय नहीं है। / (1*2=1), but (2*1=2), so it is not commutative.
Step 3
Exam Tip
दोनों गुणों को अलग-अलग जाँचना चाहिए। / Check commutativity and associativity separately.
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वास्तविक संख्याओं पर (a*b=a+b-ab) परिभाषित है। इस क्रिया के सापेक्ष (3) का प्रतिलोम क्या है?
On real numbers, (a*b=a+b-ab) is defined. What is the inverse of (3) with respect to this operation?
#binary operations
#inverse
#identity
#real numbers
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+10 Time+ 10 sec extra
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A \(\frac{3}{2}\)
B \(-\frac{3}{2}\)
C (2)
D (-2)
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Correct Answer
A. \(\frac{3}{2}\)
Step 1
Concept
(a*0=a), इसलिए तत्समक (0) है। / Since (a*0=a), the identity is (0).
Step 2
Why this answer is correct
\(3*x=0\Rightarrow 3+x-3x=0\Rightarrow 3-2x=0\Rightarrow x=\frac{3}{2}\)। / \(3*x=0\Rightarrow 3+x-3x=0\Rightarrow 3-2x=0\Rightarrow x=\frac{3}{2}\).
Step 3
Exam Tip
चिन्हों पर ध्यान रखें, क्योंकि (ab) वाला पद उत्तर बदल सकता है। / Be careful with signs because the (ab) term can change the inverse.
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वास्तविक संख्याओं पर (a*b=a+b-3) परिभाषित है। कौन सा कथन सही है?
On real numbers, (a*b=a+b-3) is defined. Which statement is correct?
#binary operations
#identity
#inverse
#linear operation
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+10 Time+ 10 sec extra
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A तत्समक (3) है और (a) का प्रतिलोम (6-a) है / Identity is (3) and inverse of (a) is (6-a)
B तत्समक (0) है और (a) का प्रतिलोम (-a) है / Identity is (0) and inverse of (a) is (-a)
C तत्समक (1) है और (a) का प्रतिलोम (2-a) है / Identity is (1) and inverse of (a) is (2-a)
D इस क्रिया में कोई तत्समक नहीं है / This operation has no identity
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Correct Answer
A. तत्समक (3) है और (a) का प्रतिलोम (6-a) है / Identity is (3) and inverse of (a) is (6-a)
Step 1
Concept
\(a*e=a\Rightarrow a+e-3=a\), इसलिए (e=3)। / \(a*e=a\Rightarrow a+e-3=a\), so (e=3).
Step 2
Why this answer is correct
\(a*x=3\Rightarrow a+x-3=3\Rightarrow x=6-a\)। / \(a*x=3\Rightarrow a+x-3=3\Rightarrow x=6-a\).
Step 3
Exam Tip
ऐसी क्रिया में घटाई गई संख्या ही तत्समक बनती है। / In this type of operation, the subtracted constant becomes the identity.
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पूर्णांकों पर (a*b=a+b+2ab) परिभाषित है। क्या यह पूर्णांकों पर आंतरिक क्रिया है?
On integers, (a*b=a+b+2ab) is defined. Is this a binary operation on integers?
#binary operations
#closure
#integers
#internal operation
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A हाँ, क्योंकि परिणाम हमेशा पूर्णांक है / Yes, because the result is always an integer
B नहीं, क्योंकि परिणाम कभी पूर्णांक नहीं होता / No, because the result is never an integer
C हाँ, केवल धनात्मक पूर्णांकों के लिए / Yes, only for positive integers
D नहीं, क्योंकि (0) परिभाषित नहीं है / No, because (0) is not defined
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Correct Answer
A. हाँ, क्योंकि परिणाम हमेशा पूर्णांक है / Yes, because the result is always an integer
Step 1
Concept
आंतरिक क्रिया के लिए \(a,b\in \mathbb{Z}\) होने पर \(a*b\in \mathbb{Z}\) होना चाहिए। / For closure, if \(a,b\in \mathbb{Z}\), then \(a*b\in \mathbb{Z}\).
Step 2
Why this answer is correct
(a+b+2ab) पूर्णांकों का योग और गुणनफल है, इसलिए हमेशा पूर्णांक रहेगा। / (a+b+2ab) is formed using sums and products of integers, so it is always an integer.
Step 3
Exam Tip
आंतरिकता जाँचते समय परिणाम का उसी समुच्चय में रहना जरूरी है। / To check closure, verify that the result stays in the same set.
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प्राकृत संख्याओं पर (a*b=a-b) परिभाषित किया गया है। यह आंतरिक क्रिया क्यों नहीं है?
On natural numbers, (a*b=a-b) is defined. Why is it not a binary operation?
#binary operations
#closure
#natural numbers
#counterexample
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A क्योंकि (1*2=-1) प्राकृत संख्या नहीं है / Because (1*2=-1) is not a natural number
B क्योंकि (2*1=1) प्राकृत संख्या है / Because (2*1=1) is a natural number
C क्योंकि घटाव हमेशा शून्य देता है / Because subtraction always gives zero
D क्योंकि यह केवल सम संख्याओं पर चलता है / Because it works only on even numbers
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Correct Answer
A. क्योंकि (1*2=-1) प्राकृत संख्या नहीं है / Because (1*2=-1) is not a natural number
Step 1
Concept
प्राकृत संख्याओं पर आंतरिक क्रिया में परिणाम भी प्राकृत होना चाहिए। / For a binary operation on natural numbers, the result must also be natural.
Step 2
Why this answer is correct
(1*2=1-2=-1), जो प्राकृत संख्या नहीं है। / (1*2=1-2=-1), which is not a natural number.
Step 3
Exam Tip
आंतरिकता गलत सिद्ध करने के लिए एक प्रतिउदाहरण पर्याप्त है। / One counterexample is enough to disprove closure.
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वास्तविक संख्याओं पर \(a*b=a^2+b^2\) परिभाषित है। इस क्रिया के बारे में सही निष्कर्ष चुनिए।
On real numbers, \(a*b=a^2+b^2\) is defined. Choose the correct conclusion about this operation.
#binary operations
#commutativity
#associativity
#real numbers
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A क्रमविनिमेय है पर साहचर्य नहीं / Commutative but not associative
B साहचर्य है पर क्रमविनिमेय नहीं / Associative but not commutative
C दोनों है / Both properties hold
D दोनों नहीं है / Neither property holds
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Correct Answer
A. क्रमविनिमेय है पर साहचर्य नहीं / Commutative but not associative
Step 1
Concept
\(a*b=a^2+b^2=b^2+a^2=b*a\), इसलिए क्रमविनिमेय है। / \(a*b=a^2+b^2=b^2+a^2=b*a\), so it is commutative.
Step 2
Why this answer is correct
((1*1)*2=2*2=8), जबकि (1*(1*2)=1*5=26), इसलिए साहचर्य नहीं है। / ((1*1)*2=2*2=8), while (1*(1*2)=1*5=26), so it is not associative.
Step 3
Exam Tip
क्रमविनिमेयता और साहचर्य को अलग उदाहरणों से जाँचें। / Test commutativity and associativity with separate checks.
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वास्तविक संख्याओं पर (a*b=a+b+1) परिभाषित है। इस क्रिया में (a) का प्रतिलोम क्या होगा?
On real numbers, (a*b=a+b+1) is defined. What will be the inverse of (a) in this operation?
#binary operations
#identity
#inverse
#linear operation
50 50-50 2 wrong hide
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? Hint Small clue
A (-a-2)
B (-a)
C (a+2)
D (1-a)
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Step 1
Concept
\(a*e=a\Rightarrow a+e+1=a\), इसलिए (e=-1)। / \(a*e=a\Rightarrow a+e+1=a\), so (e=-1).
Step 2
Why this answer is correct
\(a*x=-1\Rightarrow a+x+1=-1\Rightarrow x=-a-2\)। / \(a*x=-1\Rightarrow a+x+1=-1\Rightarrow x=-a-2\).
Step 3
Exam Tip
तत्समक ऋणात्मक हो सकता है, इसलिए अनुमान लगाने के बजाय समीकरण हल करें। / The identity may be negative, so solve the equation instead of guessing.
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धनात्मक वास्तविक संख्याओं पर (a*b=ab) परिभाषित है। (a*b=b*a) और ((a*b)*c=a*(b*c)) के बारे में सही विकल्प चुनिए।
On positive real numbers, (a*b=ab) is defined. Choose the correct option about (a*b=b*a) and ((a*b)*c=a*(b*c)).
#binary operations
#positive reals
#multiplication
#properties
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? Hint Small clue
A दोनों सत्य हैं / Both are true
B केवल पहला सत्य है / Only the first is true
C केवल दूसरा सत्य है / Only the second is true
D दोनों असत्य हैं / Both are false
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Correct Answer
A. दोनों सत्य हैं / Both are true
Step 1
Concept
वास्तविक संख्याओं का गुणन क्रमविनिमेय है, इसलिए (ab=ba)। / Multiplication of real numbers is commutative, so (ab=ba).
Step 2
Why this answer is correct
गुणन साहचर्य भी है, इसलिए ((ab)c=a(bc))। / Multiplication is also associative, so ((ab)c=a(bc)).
Step 3
Exam Tip
सामान्य गुणन को पहचानना कई कठिन प्रश्नों को सरल बना देता है। / Recognizing ordinary multiplication helps simplify many binary-operation questions.
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वास्तविक संख्याओं पर (a*b=a+b+2) और \(a\circ b=a+b-2\) परिभाषित हैं। (3*\(4\circ 5\)) का मान क्या है?
On real numbers, (a*b=a+b+2) and \(a\circ b=a+b-2\) are defined. What is the value of (3*\(4\circ 5\))?
#binary operations
#two operations
#evaluation
#exam practice
50 50-50 2 wrong hide
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? Hint Small clue
A (12)
B (10)
C (14)
D (8)
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Step 1
Concept
पहले अंदर की क्रिया करें: \(4\circ 5=4+5-2=7\)। / First evaluate the inner operation: \(4\circ 5=4+5-2=7\).
Step 2
Why this answer is correct
अब (3*7=3+7+2=12)। / Now (3*7=3+7+2=12).
Step 3
Exam Tip
मिश्रित क्रियाओं में कोष्ठक वाली क्रिया पहले करें। / In mixed-operation questions, solve the bracketed operation first.
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समुच्चय \(A=\{0,1\}\) पर (a*b) को (a+b) को (2) से भाग देने पर प्राप्त शेषफल माना गया है। इस क्रिया के लिए कौन सा कथन सही है?
On \(A=\{0,1\}\), (a*b) is the remainder when (a+b) is divided by (2). Which statement is correct for this operation?
#binary operations
#modulo 2
#commutative
#associative
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A यह क्रमविनिमेय और साहचर्य दोनों है / It is both commutative and associative
B यह क्रमविनिमेय है पर साहचर्य नहीं / It is commutative but not associative
C यह साहचर्य है पर क्रमविनिमेय नहीं / It is associative but not commutative
D यह आंतरिक क्रिया नहीं है / It is not closed
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Correct Answer
A. यह क्रमविनिमेय और साहचर्य दोनों है / It is both commutative and associative
Step 1
Concept
शेषफल (0) या (1) ही आता है, इसलिए क्रिया आंतरिक है। / The remainder is always (0) or (1), so the operation is closed.
Step 2
Why this answer is correct
(a+b) का शेषफल क्रम बदलने से नहीं बदलता और योग के साहचर्य गुण से यह साहचर्य भी है। / The remainder of (a+b) does not change with order, and associativity follows from addition modulo (2).
Step 3
Exam Tip
छोटे समुच्चय में क्रिया सारणी बनाकर गुण जल्दी जाँचे जा सकते हैं। / For small sets, an operation table quickly verifies properties.
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धनात्मक पूर्णांकों पर (a*b=\operatorname{lcm}(a,b)) परिभाषित है। इस क्रिया का तत्समक अवयव क्या है?
On positive integers, (a*b=\operatorname{lcm}(a,b)) is defined. What is the identity element of this operation?
#binary operations
#lcm
#identity
#positive integers
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (1)
B (0)
C (a)
D कोई नहीं / None
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Step 1
Concept
तत्समक (e) के लिए (\operatorname{lcm}(a,e)=a) हर धनात्मक पूर्णांक (a) के लिए चाहिए। / For identity (e), (\operatorname{lcm}(a,e)=a) for every positive integer (a).
Step 2
Why this answer is correct
(\operatorname{lcm}(a,1)=a), इसलिए (e=1)। / (\operatorname{lcm}(a,1)=a), so (e=1).
Step 3
Exam Tip
लघुत्तम समापवर्त्य में (1) अक्सर तत्समक की भूमिका निभाता है। / In the least common multiple operation, (1) acts as the identity.
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धनात्मक पूर्णांकों पर (a*b=\gcd(a,b)) परिभाषित है। क्या इस क्रिया का कोई तत्समक अवयव है?
On positive integers, (a*b=\gcd(a,b)) is defined. Does this operation have an identity element?
#binary operations
#gcd
#identity
#positive integers
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A नहीं, धनात्मक पूर्णांकों में कोई सार्वत्रिक तत्समक नहीं है / No, there is no universal identity in positive integers
B हाँ, (1) / Yes, (1)
C हाँ, (0) / Yes, (0)
D हाँ, प्रत्येक (a) स्वयं / Yes, each (a) itself
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Correct Answer
A. नहीं, धनात्मक पूर्णांकों में कोई सार्वत्रिक तत्समक नहीं है / No, there is no universal identity in positive integers
Step 1
Concept
(e) तत्समक हो तो (\gcd(a,e)=a) हर धनात्मक पूर्णांक (a) के लिए चाहिए। / If (e) is the identity, then (\gcd(a,e)=a) for every positive integer (a).
Step 2
Why this answer is correct
ऐसा (e) हर (a) का गुणज होना चाहिए, पर कोई सीमित धनात्मक पूर्णांक सभी धनात्मक पूर्णांकों का गुणज नहीं होता। / Such an (e) would need to be a multiple of every positive integer, which no finite positive integer can be.
Step 3
Exam Tip
समुच्चय पर ध्यान दें; यदि (0) शामिल होता तो स्थिति अलग हो सकती थी। / Pay attention to the set; if (0) were included, the conclusion could change.
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वास्तविक संख्याओं पर (a*b=a+b+ab) और फलन (f(x)=x+1) दिया है। (f(a*b)) किसके बराबर होगा?
On real numbers, (a*b=a+b+ab) and (f(x)=x+1) are given. What is (f(a*b)) equal to?
#binary operations
#function link
#isomorphism style
#real numbers
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (f(a)f(b))
B (f(a)+f(b))
C (f(a)-f(b))
D (\frac{f(a)}{f(b)})
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Correct Answer
A. (f(a)f(b))
Step 1
Concept
(f(a*b)=a+b+ab+1)। / (f(a*b)=a+b+ab+1).
Step 2
Why this answer is correct
इसे ((a+1)(b+1)) लिखा जा सकता है, जो (f(a)f(b)) है। / This can be written as ((a+1)(b+1)), which is (f(a)f(b)).
Step 3
Exam Tip
कभी-कभी द्विआधारी क्रिया साधारण गुणन से जुड़ी हुई छिपी रहती है। / Sometimes a binary operation hides an ordinary multiplication structure.
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वास्तविक संख्याओं पर (a*b=a+b+ab) परिभाषित है। (1*2*3) को बाएँ से दाएँ करते हुए ((1*2)*3) का मान क्या है?
On real numbers, (a*b=a+b+ab) is defined. Evaluating (1*2*3) from left to right as ((1*2)*3), what is the value?
#binary operations
#evaluation
#brackets
#real numbers
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+10 Time+ 10 sec extra
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A (23)
B (11)
C (17)
D (9)
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Step 1
Concept
पहले (1*2=1+2+2=5)। / First (1*2=1+2+2=5).
Step 2
Why this answer is correct
अब (5*3=5+3+15=23)। / Now (5*3=5+3+15=23).
Step 3
Exam Tip
यदि क्रिया साहचर्य सिद्ध न हो, तो दिए गए कोष्ठक के अनुसार ही गणना करें। / If associativity is not already established, evaluate according to the given brackets.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) पर (a*b=\gcd(a,b)) परिभाषित है। (4) के प्रतिलोम के बारे में सही कथन क्या है, यदि तत्समक (6) माना जाए?
On \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\), (a*b=\gcd(a,b)) is defined. What is the correct statement about the inverse of (4), if identity is assumed to be (6)?
#binary operations
#gcd
#inverse
#finite set
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A प्रतिलोम नहीं है / It has no inverse
B प्रतिलोम (4) है / The inverse is (4)
C प्रतिलोम (6) है / The inverse is (6)
D प्रतिलोम (2) है / The inverse is (2)
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Correct Answer
A. प्रतिलोम नहीं है / It has no inverse
Step 1
Concept
प्रतिलोम (x) के लिए (\gcd(4,x)=6) चाहिए। / For inverse (x), we need (\gcd(4,x)=6).
Step 2
Why this answer is correct
किसी भी \(x\in A\) के लिए (\gcd(4,x)) अधिकतम (4) हो सकता है, इसलिए (6) नहीं मिलेगा। / For any \(x\in A\), (\gcd(4,x)) can be at most (4), so it cannot be (6).
Step 3
Exam Tip
प्रतिलोम तभी होगा जब क्रिया का परिणाम तत्समक तक पहुँच सके। / An inverse exists only if the operation can reach the identity element.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,6\}\) पर (a*b=\operatorname{lcm}(a,b)) परिभाषित है। कौन सा अवयव (6) का प्रतिलोम है, यदि तत्समक (1) है?
On \(A=\{1,2,3,6\}\), (a*b=\operatorname{lcm}(a,b)) is defined. Which element is the inverse of (6), if the identity is (1)?
#binary operations
#lcm
#inverse
#finite set
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A कोई नहीं / None
B (1)
C (6)
D (2)
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Correct Answer
A. कोई नहीं / None
Step 1
Concept
प्रतिलोम (x) के लिए (\operatorname{lcm}(6,x)=1) चाहिए। / For inverse (x), (\operatorname{lcm}(6,x)=1) is required.
Step 2
Why this answer is correct
(6) के साथ लघुत्तम समापवर्त्य कभी (1) नहीं हो सकता। / The least common multiple with (6) can never be (1).
Step 3
Exam Tip
हर तत्समक वाली क्रिया में हर अवयव का प्रतिलोम होना जरूरी नहीं है। / Having an identity does not mean every element has an inverse.
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वास्तविक संख्याओं पर \(a*b=a+b+\lambda ab\) परिभाषित है। किस \(\lambda\) के लिए (0) तत्समक अवयव होगा?
On real numbers, \(a*b=a+b+\lambda ab\) is defined. For which \(\lambda\) will (0) be the identity element?
#binary operations
#parameter
#identity
#real numbers
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A हर वास्तविक \(\lambda\) / Every real \(\lambda\)
B केवल \(\lambda=0\) / Only \(\lambda=0\)
C केवल \(\lambda=1\) / Only \(\lambda=1\)
D कोई \(\lambda\) नहीं / No \(\lambda\)
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Correct Answer
A. हर वास्तविक \(\lambda\) / Every real \(\lambda\)
Step 1
Concept
\(a*0=a+0+\lambda a0=a\)। / \(a*0=a+0+\lambda a0=a\).
Step 2
Why this answer is correct
\(0*a=0+a+\lambda 0a=a\)। दोनों हर \(\lambda\) पर सही हैं। / \(0*a=0+a+\lambda 0a=a\). Both hold for every \(\lambda\).
Step 3
Exam Tip
शून्य से गुणा होने वाला पद अक्सर नियतांक को अप्रभावी बना देता है। / A term multiplied by zero often makes the parameter irrelevant for the identity.
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वास्तविक संख्याओं पर \(a*b=a+b+\lambda ab\) परिभाषित है। यदि \(\lambda\neq 0\), तो किस अवयव का प्रतिलोम नहीं होगा?
On real numbers, \(a*b=a+b+\lambda ab\) is defined. If \(\lambda\neq 0\), which element will not have an inverse?
#binary operations
#parameter
#inverse existence
#real numbers
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A \(-\frac{1}{\lambda}\)
B (0)
C \(\lambda\)
D \(\frac{1}{\lambda}\)
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Correct Answer
A. \(-\frac{1}{\lambda}\)
Step 1
Concept
इस क्रिया का तत्समक (0) है। / The identity is (0).
Step 2
Why this answer is correct
(a*x=0\Rightarrow a+x+\lambda ax=0\Rightarrow x\(1+\lambda a\)=-a)। यदि \(1+\lambda a=0\), तो प्रतिलोम नहीं मिलेगा। / (a*x=0\Rightarrow a+x+\lambda ax=0\Rightarrow x\(1+\lambda a\)=-a). If \(1+\lambda a=0\), no inverse is obtained.
Step 3
Exam Tip
हर वाले पद को शून्य बनाने वाले मान को अलग पहचानें। / Identify the value that makes the denominator zero.
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वास्तविक संख्याओं पर (a*b=a+b-ab) परिभाषित है। कौन सा अवयव प्रतिलोम नहीं रखता?
On real numbers, (a*b=a+b-ab) is defined. Which element does not have an inverse?
#binary operations
#inverse existence
#real numbers
#exception
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (1)
B (-1)
C (0)
D (2)
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Step 1
Concept
(a*0=a), इसलिए तत्समक (0) है। / Since (a*0=a), the identity is (0).
Step 2
Why this answer is correct
(a*x=0\Rightarrow a+x-ax=0\Rightarrow x(1-a)=-a)। यदि (a=1), तो (x) का मान नहीं मिल सकता। / (a*x=0\Rightarrow a+x-ax=0\Rightarrow x(1-a)=-a). If (a=1), no value of (x) can satisfy it.
Step 3
Exam Tip
प्रतिलोम निकालते समय (1-a) जैसे गुणक को शून्य होने से रोकना जरूरी है। / While finding inverse, check where factors like (1-a) become zero.
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समुच्चय \(A=\{0,1,2\}\) पर (a*b) को (a+b) को (3) से भाग देने पर शेषफल माना गया है। (2*2) का मान क्या है?
On \(A=\{0,1,2\}\), (a*b) is the remainder when (a+b) is divided by (3). What is the value of (2*2)?
#binary operations
#modulo 3
#evaluation
#finite set
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (1)
B (0)
C (2)
D (4)
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
(2+2=4)। / (2+2=4).
Step 2
Why this answer is correct
(4) को (3) से भाग देने पर शेषफल (1) है, इसलिए (2*2=1)। / The remainder when (4) is divided by (3) is (1), so (2*2=1).
Step 3
Exam Tip
शेषफल आधारित क्रिया में अंतिम उत्तर समुच्चय के भीतर होना चाहिए। / In a remainder-based operation, the final answer must lie in the given set.
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वास्तविक संख्याओं पर (a*b=a+b-4ab) परिभाषित है। \(a=\frac{1}{4}\) के बारे में सही कथन चुनिए।
On real numbers, (a*b=a+b-4ab) is defined. Choose the correct statement about \(a=\frac{1}{4}\).
#binary operations
#inverse existence
#exception
#real numbers
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A इसका प्रतिलोम नहीं है / It has no inverse
B इसका प्रतिलोम (0) है / Its inverse is (0)
C इसका प्रतिलोम (1) है / Its inverse is (1)
D इसका प्रतिलोम (-1) है / Its inverse is (-1)
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Correct Answer
A. इसका प्रतिलोम नहीं है / It has no inverse
Step 1
Concept
इस क्रिया का तत्समक (0) है क्योंकि (a*0=a)। / The identity is (0) because (a*0=a).
Step 2
Why this answer is correct
(a*x=0\Rightarrow a+x-4ax=0\Rightarrow x(1-4a)=-a)। \(a=\frac{1}{4}\) पर (1-4a=0), इसलिए समाधान नहीं है। / (a*x=0\Rightarrow a+x-4ax=0\Rightarrow x(1-4a)=-a). At \(a=\frac{1}{4}\), (1-4a=0), so no solution exists.
Step 3
Exam Tip
विशेष मान को सामान्य सूत्र में रखने से पहले हर की जाँच करें। / Check the denominator before substituting special values.
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वास्तविक संख्याओं पर (a*b=a+b+ab) परिभाषित है। समीकरण (x*2=7) का हल क्या है?
On real numbers, (a*b=a+b+ab) is defined. What is the solution of (x*2=7)?
#binary operations
#equation solving
#real numbers
#application
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A \(\frac{5}{3}\)
B (3)
C \(\frac{7}{2}\)
D (1)
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Correct Answer
A. \(\frac{5}{3}\)
Step 1
Concept
परिभाषा के अनुसार (x*2=x+2+2x)। / By definition, (x*2=x+2+2x).
Step 2
Why this answer is correct
\(x+2+2x=7\Rightarrow 3x=5\Rightarrow x=\frac{5}{3}\)। / \(x+2+2x=7\Rightarrow 3x=5\Rightarrow x=\frac{5}{3}\).
Step 3
Exam Tip
समीकरण वाले प्रश्नों में क्रिया को पहले सामान्य बीजगणितीय रूप में लिखें। / In equation-based problems, first convert the operation into an algebraic equation.
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वास्तविक संख्याओं पर (a*b=2a+3b) परिभाषित है। क्या यह क्रिया क्रमविनिमेय है?
On real numbers, (a*b=2a+3b) is defined. Is this operation commutative?
#binary operations
#commutativity
#counterexample
#linear operation
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A नहीं, क्योंकि \(1*2\neq 2*1\) / No, because \(1*2\neq 2*1\)
B हाँ, क्योंकि योग क्रमविनिमेय है / Yes, because addition is commutative
C हाँ, केवल जब (a=b) हो / Yes, only when (a=b)
D नहीं, क्योंकि यह आंतरिक नहीं है / No, because it is not closed
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Correct Answer
A. नहीं, क्योंकि \(1*2\neq 2*1\) / No, because \(1*2\neq 2*1\)
Step 1
Concept
(1*2=2(1)+3(2)=8)। / (1*2=2(1)+3(2)=8).
Step 2
Why this answer is correct
(2*1=2(2)+3(1)=7), इसलिए दोनों बराबर नहीं हैं। / (2*1=2(2)+3(1)=7), so the values are not equal.
Step 3
Exam Tip
अलग-अलग गुणांकों वाली रैखिक क्रिया सामान्यतः क्रमविनिमेय नहीं होती। / A linear operation with different coefficients is generally not commutative.
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वास्तविक संख्याओं पर (a*b=2a+3b) परिभाषित है। क्या इस क्रिया का कोई तत्समक अवयव है?
On real numbers, (a*b=2a+3b) is defined. Does this operation have an identity element?
#binary operations
#identity
#linear operation
#real numbers
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A नहीं / No
B हाँ, (0) / Yes, (0)
C हाँ, (1) / Yes, (1)
D हाँ, (-1) / Yes, (-1)
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Correct Answer
A. नहीं / No
Step 1
Concept
दाएँ तत्समक के लिए \(a*e=a\Rightarrow 2a+3e=a\), जिससे (3e=-a), जो (a) पर निर्भर है। / For a right identity, \(a*e=a\Rightarrow 2a+3e=a\), giving (3e=-a), which depends on (a).
Step 2
Why this answer is correct
एक स्थिर (e) सभी (a) के लिए नहीं मिल सकता। / No fixed (e) works for all (a).
Step 3
Exam Tip
तत्समक अवयव को स्थिर होना चाहिए, बदलते (a) के साथ बदलना नहीं चाहिए। / An identity must be a fixed element, not a value depending on (a).
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वास्तविक संख्याओं पर (a*b=a+b+m) परिभाषित है। यदि तत्समक अवयव (5) है, तो (m) का मान क्या है?
On real numbers, (a*b=a+b+m) is defined. If the identity element is (5), what is the value of (m)?
#binary operations
#parameter
#identity
#real numbers
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A (-5)
B (5)
C (0)
D (10)
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Step 1
Concept
(5) तत्समक है, इसलिए (a*5=a)। / Since (5) is the identity, (a*5=a).
Step 2
Why this answer is correct
\(a+5+m=a\Rightarrow m=-5\)। / \(a+5+m=a\Rightarrow m=-5\).
Step 3
Exam Tip
दिए गए तत्समक को सीधे परिभाषा में रखकर नियतांक निकाला जा सकता है। / Substitute the given identity directly into the operation to find the parameter.
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वास्तविक संख्याओं पर (a*b=a+b+mab) परिभाषित है। किस (m) के लिए (2) का प्रतिलोम (-1) होगा?
On real numbers, (a*b=a+b+mab) is defined. For which (m) will the inverse of (2) be (-1)?
#binary operations
#parameter
#inverse
#real numbers
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? Hint Small clue
A \(\frac{1}{2}\)
B (1)
C \(-\frac{1}{2}\)
D (2)
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Correct Answer
A. \(\frac{1}{2}\)
Step 1
Concept
इस क्रिया का तत्समक (0) है। / The identity is (0).
Step 2
Why this answer is correct
(2*(-1)=0) होना चाहिए। इसलिए (2-1+m(2)(-1)=0\Rightarrow 1-2m=0\Rightarrow m=\frac{1}{2})। / We need (2*(-1)=0). Thus (2-1+m(2)(-1)=0\Rightarrow 1-2m=0\Rightarrow m=\frac{1}{2}).
Step 3
Exam Tip
प्रतिलोम से जुड़े प्रश्न में दोनों अवयवों की क्रिया तत्समक के बराबर रखें। / In inverse-related parameter problems, set the operation equal to the identity.
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वास्तविक संख्याओं पर (a*b=a+b+ab) परिभाषित है। यदि (a*b=0), तो (b) को (a) के रूप में कैसे लिखा जाएगा, जहाँ \(a\neq -1\)?
On real numbers, (a*b=a+b+ab) is defined. If (a*b=0), how will (b) be written in terms of (a), where \(a\neq -1\)?
#binary operations
#inverse formula
#algebra
#real numbers
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? Hint Small clue
A \(-\frac{a}{a+1}\)
B \(\frac{a}{a+1}\)
C (-a-1)
D (a+1)
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Correct Answer
A. \(-\frac{a}{a+1}\)
Step 1
Concept
(a+b+ab=0) लिखें। / Write (a+b+ab=0).
Step 2
Why this answer is correct
(b(1+a)=-a), इसलिए \(b=-\frac{a}{a+1}\), जहाँ \(a\neq -1\)। / (b(1+a)=-a), so \(b=-\frac{a}{a+1}\), where \(a\neq -1\).
Step 3
Exam Tip
(b) के पदों को साथ लेकर गुणनखंड निकालना ऐसे प्रश्नों में तेज तरीका है। / Collect the (b)-terms and factor them for a quick solution.
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समुच्चय \(A=\mathbb{R}\setminus{1}\) पर (a*b=a+b-ab) परिभाषित है। इस समुच्चय पर क्रिया के बारे में सही कथन चुनिए।
On \(A=\mathbb{R}\setminus{1}\), (a*b=a+b-ab) is defined. Choose the correct statement about this operation on this set.
#binary operations
#closure
#excluded value
#real numbers
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A यह आंतरिक क्रिया है / It is closed
B यह आंतरिक क्रिया नहीं है / It is not closed
C यह केवल धनात्मक संख्याओं पर आंतरिक है / It is closed only on positive numbers
D यह केवल पूर्णांकों पर आंतरिक है / It is closed only on integers
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Correct Answer
A. यह आंतरिक क्रिया है / It is closed
Step 1
Concept
(1-(a*b)=1-a-b+ab=(1-a)(1-b))। / (1-(a*b)=1-a-b+ab=(1-a)(1-b)).
Step 2
Why this answer is correct
यदि \(a\neq 1\) और \(b\neq 1\), तो ((1-a)(1-b)\neq 0), इसलिए \(a*b\neq 1\)। / If \(a\neq 1\) and \(b\neq 1\), then ((1-a)(1-b)\neq 0), so \(a*b\neq 1\).
Step 3
Exam Tip
समुच्चय से हटाए गए मान को परिणाम में आने से रोकना आंतरिकता जाँचने का अच्छा तरीका है। / To check closure on an excluded-value set, show that the excluded value cannot appear as an output.
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समुच्चय \(A=\mathbb{R}\setminus{-1}\) पर (a*b=a+b+ab) परिभाषित है। इस क्रिया के बारे में सही कथन कौन सा है?
On \(A=\mathbb{R}\setminus{-1}\), (a*b=a+b+ab) is defined. Which statement about this operation is correct?
#binary operations
#closure
#identity
#excluded value
50 50-50 2 wrong hide
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A यह आंतरिक है और (0) तत्समक है / It is closed and (0) is the identity
B यह आंतरिक नहीं है / It is not closed
C इसका तत्समक (-1) है / Its identity is (-1)
D यह केवल प्राकृत संख्याओं पर आंतरिक है / It is closed only on natural numbers
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Correct Answer
A. यह आंतरिक है और (0) तत्समक है / It is closed and (0) is the identity
Step 1
Concept
(1+(a*b)=1+a+b+ab=(1+a)(1+b))। / (1+(a*b)=1+a+b+ab=(1+a)(1+b)).
Step 2
Why this answer is correct
यदि \(a\neq -1\) और \(b\neq -1\), तो यह गुणनफल शून्य नहीं है, अतः \(a*b\neq -1\)। / If \(a\neq -1\) and \(b\neq -1\), this product is non-zero, so \(a*b\neq -1\).
Step 3
Exam Tip
(a*0=a), इसलिए (0) तत्समक भी है। / Since (a*0=a), (0) is also the identity.
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वास्तविक संख्याओं पर (a*b=a+b+ab) परिभाषित है। (a*(b*c)) को साधारण रूप में लिखने पर क्या मिलेगा?
On real numbers, (a*b=a+b+ab) is defined. What is the simplified form of (a*(b*c))?
#binary operations
#associativity expansion
#algebra
#real numbers
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (a+b+c+ab+bc+ca+abc)
B (a+b+c+abc)
C (ab+bc+ca)
D (a+b+c-ab-bc-ca)
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Correct Answer
A. (a+b+c+ab+bc+ca+abc)
Step 1
Concept
पहले (b*c=b+c+bc)। / First (b*c=b+c+bc).
Step 2
Why this answer is correct
(a*(b*c)=a+(b+c+bc)+a(b+c+bc))। सरल करने पर (a+b+c+ab+bc+ca+abc) मिलता है। / (a*(b*c)=a+(b+c+bc)+a(b+c+bc)). Simplifying gives (a+b+c+ab+bc+ca+abc).
Step 3
Exam Tip
विस्तार करते समय हर पद को सावधानी से लिखें। / While expanding, write every term carefully.
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वास्तविक संख्याओं पर (a*b=a+b+ab) परिभाषित है। इस क्रिया के साहचर्य होने का सबसे उपयुक्त कारण कौन सा है?
On real numbers, (a*b=a+b+ab) is defined. Which is the most suitable reason for this operation being associative?
#binary operations
#associativity
#structure
#real numbers
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A क्योंकि (1+(a*b)=(1+a)(1+b)) / Because (1+(a*b)=(1+a)(1+b))
B क्योंकि (a*b=a-b) है / Because (a*b=a-b)
C क्योंकि हर वास्तविक संख्या का वर्ग धनात्मक है / Because every real square is positive
D क्योंकि (a*b) हमेशा (0) है / Because (a*b) is always (0)
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Correct Answer
A. क्योंकि (1+(a*b)=(1+a)(1+b)) / Because (1+(a*b)=(1+a)(1+b))
Step 1
Concept
(1+(a*b)=1+a+b+ab=(1+a)(1+b))। / (1+(a*b)=1+a+b+ab=(1+a)(1+b)).
Step 2
Why this answer is correct
गुणन साहचर्य है, इसलिए ((1+a)(1+b)(1+c)) में कोष्ठक बदलने से मान नहीं बदलता। / Multiplication is associative, so changing brackets in ((1+a)(1+b)(1+c)) does not change the value.
Step 3
Exam Tip
छिपी हुई संरचना पहचानने से लंबी गणना बचती है। / Recognizing a hidden structure saves lengthy calculation.
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समुच्चय \(A=\{0,1,2,3,4\}\) पर (a*b) को (ab) को (5) से भाग देने पर शेषफल माना गया है। (2) का प्रतिलोम क्या है?
On \(A=\{0,1,2,3,4\}\), (a*b) is the remainder when (ab) is divided by (5). What is the inverse of (2)?
#binary operations
#modulo multiplication
#inverse
#finite set
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (3)
B (2)
C (4)
D (1)
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Step 1
Concept
गुणन आधारित शेषफल क्रिया में तत्समक (1) है। / In multiplication modulo (5), the identity is (1).
Step 2
Why this answer is correct
(2*x) का (5) से शेषफल (1) चाहिए। \(2\cdot 3=6\), जिसका शेषफल (1) है। / We need (2*x) to have remainder (1) on division by (5). Since \(2\cdot 3=6\), the remainder is (1).
Step 3
Exam Tip
गुणनात्मक प्रतिलोम में गुणनफल को (1) के बराबर शेषफल देना चाहिए। / A multiplicative inverse must make the product congruent to (1).
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समुच्चय \(A=\{0,1,2,3,4\}\) पर (a*b) को (ab) को (5) से भाग देने पर शेषफल माना गया है। किस अवयव का प्रतिलोम नहीं है?
On \(A=\{0,1,2,3,4\}\), (a*b) is the remainder when (ab) is divided by (5). Which element does not have an inverse?
#binary operations
#modulo multiplication
#inverse existence
#zero
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (0)
B (1)
C (2)
D (4)
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Step 1
Concept
इस क्रिया का तत्समक (1) है। / The identity of this operation is (1).
Step 2
Why this answer is correct
(0*x=0) हर (x) के लिए, इसलिए यह कभी (1) नहीं बन सकता। / (0*x=0) for every (x), so it can never become (1).
Step 3
Exam Tip
शून्य का गुणनात्मक प्रतिलोम नहीं होता, यह बात शेषफल वाली क्रिया में भी याद रखें। / Zero has no multiplicative inverse, even in a remainder-based operation.
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धनात्मक वास्तविक संख्याओं पर \(a*b=\frac{a}{b}\) परिभाषित है। यह क्रिया किस गुण को संतुष्ट नहीं करती?
On positive real numbers, \(a*b=\frac{a}{b}\) is defined. Which property is not satisfied by this operation?
#binary operations
#associativity
#positive reals
#division
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A साहचर्य / Associativity
B आंतरिकता / Closure
C परिभाषित होना / Being well-defined
D धनात्मक परिणाम / Positive output
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Correct Answer
A. साहचर्य / Associativity
Step 1
Concept
धनात्मक (a,b) के लिए \(\frac{a}{b}\) धनात्मक है, इसलिए आंतरिकता है। / For positive (a,b), \(\frac{a}{b}\) is positive, so closure holds.
Step 2
Why this answer is correct
((a*b)*c=\frac{a}{bc}), जबकि (a*(b*c)=\frac{ac}{b}), ये सामान्य रूप से बराबर नहीं हैं। / ((a*b)*c=\frac{a}{bc}), while (a*(b*c)=\frac{ac}{b}), which are not equal in general.
Step 3
Exam Tip
भाग वाली क्रियाएँ अक्सर साहचर्य नहीं होतीं। / Division-type operations are often not associative.
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वास्तविक संख्याओं पर (a*b=a+b+ab) परिभाषित है। (a*b=b*a) क्यों सत्य है?
On real numbers, (a*b=a+b+ab) is defined. Why is (a*b=b*a) true?
#binary operations
#commutativity
#real numbers
#property proof
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A क्योंकि (a+b=b+a) और (ab=ba) / Because (a+b=b+a) and (ab=ba)
B क्योंकि (a-b=b-a) / Because (a-b=b-a)
C क्योंकि \(a^2=b^2\) / Because \(a^2=b^2\)
D क्योंकि (a=b) हमेशा होता है / Because (a=b) always holds
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Correct Answer
A. क्योंकि (a+b=b+a) और (ab=ba) / Because (a+b=b+a) and (ab=ba)
Step 1
Concept
(a*b=a+b+ab)। / (a*b=a+b+ab).
Step 2
Why this answer is correct
(b*a=b+a+ba)। वास्तविक संख्याओं में योग और गुणन क्रमविनिमेय हैं, इसलिए दोनों बराबर हैं। / (b*a=b+a+ba). In real numbers, addition and multiplication are commutative, so both are equal.
Step 3
Exam Tip
क्रिया के हर पद में क्रम बदलने का प्रभाव देखें। / Check how changing order affects every term of the operation.
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वास्तविक संख्याओं पर (a*b=a+b+ab) परिभाषित है। यदि (a*b=a), तो (b) का मान क्या होगा, जहाँ \(a\neq -1\)?
On real numbers, (a*b=a+b+ab) is defined. If (a*b=a), what is the value of (b), where \(a\neq -1\)?
#binary operations
#identity condition
#equation
#real numbers
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+10 Time+ 10 sec extra
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A (0)
B (1)
C (-1)
D (-a)
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Step 1
Concept
(a+b+ab=a) लिखें। / Write (a+b+ab=a).
Step 2
Why this answer is correct
(b+ab=0\Rightarrow b(1+a)=0)। क्योंकि \(a\neq -1\), इसलिए (b=0)। / (b+ab=0\Rightarrow b(1+a)=0). Since \(a\neq -1\), (b=0).
Step 3
Exam Tip
ऐसे प्रश्न में वास्तव में तत्समक अवयव की पहचान छिपी होती है। / Such a question often hides the identity element condition.
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वास्तविक संख्याओं पर (a*b=a+b+ab) परिभाषित है। यदि ((x*1)=5), तो (x) का मान क्या है?
On real numbers, (a*b=a+b+ab) is defined. If ((x*1)=5), what is the value of (x)?
#binary operations
#equation solving
#real numbers
#practice
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (2)
B (1)
C (3)
D \(\frac{5}{2}\)
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Step 1
Concept
(x*1=x+1+x=2x+1)। / (x*1=x+1+x=2x+1).
Step 2
Why this answer is correct
\(2x+1=5\Rightarrow 2x=4\Rightarrow x=2\)। / \(2x+1=5\Rightarrow 2x=4\Rightarrow x=2\).
Step 3
Exam Tip
क्रिया को सामान्य बीजगणितीय रूप में बदलते ही समीकरण आसान हो जाता है। / Once the operation is converted into an algebraic expression, the equation becomes easy.
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वास्तविक संख्याओं के समुच्चय \(A=\mathbb{R}\setminus{-1}\) पर क्रिया (a*b=a+b+ab) परिभाषित है। यदि (x), (5) का प्रतिलोम है, तो (x*2) का मान क्या होगा?
On the set \(A=\mathbb{R}\setminus{-1}\), the operation (a*b=a+b+ab) is defined. If (x) is the inverse of (5), what is the value of (x*2)?
#binary operations
#inverse
#evaluation
#relations and functions
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A \(-\frac{1}{2}\)
B \(\frac{1}{2}\)
C \(-\frac{5}{6}\)
D \(\frac{7}{6}\)
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Correct Answer
A. \(-\frac{1}{2}\)
Step 1
Concept
इस क्रिया में तत्समक अवयव (0) है, क्योंकि (a*0=a)। / The identity element is (0) because (a*0=a).
Step 2
Why this answer is correct
\(5*x=0\Rightarrow 5+x+5x=0\Rightarrow 6x=-5\Rightarrow x=-\frac{5}{6}\)। / \(5*x=0\Rightarrow 5+x+5x=0\Rightarrow 6x=-5\Rightarrow x=-\frac{5}{6}\).
Step 3
Exam Tip
अब \(x*2=-\frac{5}{6}+2-\frac{10}{6}=-\frac{1}{2}\)। परीक्षा में प्रतिलोम मिलने के बाद उसे अगली क्रिया में सावधानी से रखें। / Now \(x*2=-\frac{5}{6}+2-\frac{10}{6}=-\frac{1}{2}\). In exams, after finding the inverse, substitute it carefully into the next operation.
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