Since \(A\times B\) has \(3\times2=6\) elements, the number of relations is \(2^6=64\). In exams, count the elements of \(A\times B\) first.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (64). Since \(A\times B\) has \(3\times2=6\) elements, the number of relations is \(2^6=64\). In exams, count the elements of \(A\times B\) first.
Step 3
Exam Tip
क्योंकि \(A\times B\) में \(3\times2=6\) अवयव हैं, इसलिए संबंधों की संख्या \(2^6=64\) है। परीक्षा में पहले \(A\times B\) के अवयव गिनें।
The domain contains all first components, so it is ({2,4,6}). In exams, look at the first place in each ordered pair.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. ({2,4,6}). The domain contains all first components, so it is ({2,4,6}). In exams, look at the first place in each ordered pair.
Step 3
Exam Tip
प्रांत में सभी प्रथम घटक आते हैं, इसलिए ({2,4,6}) मिलेगा। परीक्षा में ordered pair का पहला स्थान देखें।
All ((a,a)) elements are present, so the relation is reflexive. For symmetry, ((2,1)) would also be needed.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. प्रतिवर्ती / Reflexive. All ((a,a)) elements are present, so the relation is reflexive. For symmetry, ((2,1)) would also be needed.
Step 3
Exam Tip
सभी ((a,a)) अवयव मौजूद हैं, इसलिए संबंध प्रतिवर्ती है। सममिति के लिए ((2,1)) भी चाहिए था।
A. क्योंकि ((3,3)) अनुपस्थित है/Because ((3,3)) is absent
Step 1
Concept
A reflexive relation must contain \((a,a)\in R\) for every \(a\in A\). Here ((3,3)) is missing.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. क्योंकि ((3,3)) अनुपस्थित है / Because ((3,3)) is absent. A reflexive relation must contain \((a,a)\in R\) for every \(a\in A\). Here ((3,3)) is missing.
Step 3
Exam Tip
प्रतिवर्ती संबंध में हर \(a\in A\) के लिए \((a,a)\in R\) होना चाहिए। यहां ((3,3)) नहीं है।
For every ((a,b)), ((b,a)) is also present, so the relation is symmetric. For reflexivity, ((1,1),(2,2),(3,3)) are also needed.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. सममित / Symmetric. For every ((a,b)), ((b,a)) is also present, so the relation is symmetric. For reflexivity, ((1,1),(2,2),(3,3)) are also needed.
Step 3
Exam Tip
हर ((a,b)) के साथ ((b,a)) भी है, इसलिए संबंध सममित है। प्रतिवर्ती होने के लिए ((1,1),(2,2),(3,3)) भी चाहिए।
A. ((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3))/From ((1,2)) and ((2,3)) to ((1,3))
Step 1
Concept
Transitivity needs ((a,b)) and ((b,c)) to imply ((a,c)). Here ((1,2)) and ((2,3)) give ((1,3)).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. ((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) / From ((1,2)) and ((2,3)) to ((1,3)). Transitivity needs ((a,b)) and ((b,c)) to imply ((a,c)). Here ((1,2)) and ((2,3)) give ((1,3)).
Step 3
Exam Tip
संक्रामिता में ((a,b)) और ((b,c)) से ((a,c)) चाहिए। यहां ((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) मिलता है।
All ((a,a)) are present and ((2,1)) is present with ((1,2)). So it is reflexive and symmetric.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. प्रतिवर्ती और सममित / Reflexive and symmetric. All ((a,a)) are present and ((2,1)) is present with ((1,2)). So it is reflexive and symmetric.
Step 3
Exam Tip
सभी ((a,a)) मौजूद हैं और ((1,2)) के साथ ((2,1)) भी है। इसलिए यह प्रतिवर्ती और सममित है।
A. प्रतिवर्ती और संक्रामी/Reflexive and transitive
Step 1
Concept
Since \(a\le a\) is true and \(a\le b,\ b\le c\) gives \(a\le c\). It is generally not symmetric.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. प्रतिवर्ती और संक्रामी / Reflexive and transitive. Since \(a\le a\) is true and \(a\le b,\ b\le c\) gives \(a\le c\). It is generally not symmetric.
Step 3
Exam Tip
क्योंकि \(a\le a\) सत्य है और \(a\le b,\ b\le c\) से \(a\le c\) मिलता है। यह सामान्यतः सममित नहीं है।
The evenness of (a-b) gives reflexive, symmetric, and transitive properties. Hence it is an equivalence relation.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. समतुल्य संबंध / Equivalence relation. The evenness of (a-b) gives reflexive, symmetric, and transitive properties. Hence it is an equivalence relation.
Step 3
Exam Tip
(a-b) का सम होना प्रतिवर्ती, सममित और संक्रामी तीनों गुण देता है। इसलिए यह समतुल्य संबंध है।
In the inverse relation, the components of each ordered pair are reversed. Thus ((1,2)) gives ((2,1)) and ((2,3)) gives ((3,2)).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. ({(2,1),(3,2)}). In the inverse relation, the components of each ordered pair are reversed. Thus ((1,2)) gives ((2,1)) and ((2,3)) gives ((3,2)).
Step 3
Exam Tip
व्युत्क्रम संबंध में हर ordered pair के घटक उलट जाते हैं। इसलिए ((1,2)) से ((2,1)) और ((2,3)) से ((3,2)) मिलेगा।
\(A\times A\) has (16) pairs and (4) diagonal pairs are compulsory. The remaining (12) pairs are free, so the number is \(2^{12}\).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(2^{12}\). \(A\times A\) has (16) pairs and (4) diagonal pairs are compulsory. The remaining (12) pairs are free, so the number is \(2^{12}\).
Step 3
Exam Tip
\(A\times A\) में (16) युग्म हैं और (4) diagonal युग्म अनिवार्य हैं। शेष (12) युग्म स्वतंत्र हैं, इसलिए संख्या \(2^{12}\) है।
The empty relation has no pair that violates symmetry. But it is not reflexive because ((1,1),(2,2),(3,3)) are absent.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. यह सममित है / It is symmetric. The empty relation has no pair that violates symmetry. But it is not reflexive because ((1,1),(2,2),(3,3)) are absent.
Step 3
Exam Tip
रिक्त संबंध में सममिति की शर्त का विरोध करने वाला कोई युग्म नहीं है। लेकिन यह प्रतिवर्ती नहीं है क्योंकि ((1,1),(2,2),(3,3)) नहीं हैं।
In this relation, each element is related only to itself. It is called the identity relation.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. सर्वसम संबंध / Identity relation. In this relation, each element is related only to itself. It is called the identity relation.
Step 3
Exam Tip
ऐसे संबंध में हर अवयव केवल स्वयं से संबंधित होता है। इसे सर्वसम संबंध कहते हैं।
Any subset of \(A\times B\) is a relation from (A) to (B). It need not be a function.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (A) से (B) तक संबंध / Relation from (A) to (B). Any subset of \(A\times B\) is a relation from (A) to (B). It need not be a function.
Step 3
Exam Tip
\(A\times B\) का कोई भी उपसमुच्चय (A) से (B) तक संबंध कहलाता है। यह जरूरी नहीं कि फलन हो।
A. \(p\in A\) और \(q\in B\)/\(p\in A\) and \(q\in B\)
Step 1
Concept
In a Cartesian product, the first component comes from the first set and the second from the second set. Therefore \(p\in A\) and \(q\in B\).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(p\in A\) और \(q\in B\) / \(p\in A\) and \(q\in B\). In a Cartesian product, the first component comes from the first set and the second from the second set. Therefore \(p\in A\) and \(q\in B\).
Step 3
Exam Tip
कार्टेशियन गुणन में पहला घटक पहले समुच्चय से और दूसरा घटक दूसरे समुच्चय से आता है। इसलिए \(p\in A\) और \(q\in B\) है।
A. सममित लेकिन प्रतिवर्ती नहीं/Symmetric but not reflexive
Step 1
Concept
If (a+b) is odd, then (b+a) is also odd, so it is symmetric. But (a+a) is even, so it is not reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. सममित लेकिन प्रतिवर्ती नहीं / Symmetric but not reflexive. If (a+b) is odd, then (b+a) is also odd, so it is symmetric. But (a+a) is even, so it is not reflexive.
Step 3
Exam Tip
यदि (a+b) विषम है तो (b+a) भी विषम है, इसलिए सममित है। लेकिन (a+a) सम होता है, इसलिए प्रतिवर्ती नहीं है।
A. प्रतिवर्ती और संक्रामी/Reflexive and transitive
Step 1
Concept
It is reflexive because ((1,1)) and ((2,2)) are present. The pair ((1,2)) causes no violation of transitivity, so it is also transitive.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. प्रतिवर्ती और संक्रामी / Reflexive and transitive. It is reflexive because ((1,1)) and ((2,2)) are present. The pair ((1,2)) causes no violation of transitivity, so it is also transitive.
Step 3
Exam Tip
((1,1)) और ((2,2)) होने से यह प्रतिवर्ती है। ((1,2)) के कारण कोई संक्रामिता भंग नहीं होती, इसलिए यह संक्रामी भी है।
A. यह सममित है लेकिन प्रतिवर्ती नहीं/It is symmetric but not reflexive
Step 1
Concept
Both ((1,2)) and ((2,1)) are present, so it is symmetric. But ((1,1)) and ((2,2)) are absent, so it is not reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. यह सममित है लेकिन प्रतिवर्ती नहीं / It is symmetric but not reflexive. Both ((1,2)) and ((2,1)) are present, so it is symmetric. But ((1,1)) and ((2,2)) are absent, so it is not reflexive.
Step 3
Exam Tip
((1,2)) और ((2,1)) दोनों हैं, इसलिए सममित है। लेकिन ((1,1)) और ((2,2)) नहीं हैं, इसलिए प्रतिवर्ती नहीं है।
A. क्योंकि ((1,3)) अनुपस्थित है/Because ((1,3)) is absent
Step 1
Concept
Since ((1,2)) and ((2,3)) are present, transitivity requires ((1,3)). It is absent.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. क्योंकि ((1,3)) अनुपस्थित है / Because ((1,3)) is absent. Since ((1,2)) and ((2,3)) are present, transitivity requires ((1,3)). It is absent.
Step 3
Exam Tip
((1,2)) और ((2,3)) हैं, इसलिए संक्रामिता के लिए ((1,3)) होना चाहिए। यह अनुपस्थित है।
A. (R) प्रतिवर्ती और संक्रामी है/(R) is reflexive and transitive
Step 1
Concept
Every (a) divides itself and \(a\mid b,\ b\mid c\) imply \(a\mid c\). Hence it is reflexive and transitive.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (R) प्रतिवर्ती और संक्रामी है / (R) is reflexive and transitive. Every (a) divides itself and \(a\mid b,\ b\mid c\) imply \(a\mid c\). Hence it is reflexive and transitive.
Step 3
Exam Tip
हर (a) अपने को विभाजित करता है और \(a\mid b,\ b\mid c\) से \(a\mid c\) मिलता है। इसलिए यह प्रतिवर्ती और संक्रामी है।
A. यह प्रतिवर्ती, सममित और संक्रामी है/It is reflexive, symmetric, and transitive
Step 1
Concept
It is the identity relation, so it has all three properties. Such a relation is also an equivalence relation.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. यह प्रतिवर्ती, सममित और संक्रामी है / It is reflexive, symmetric, and transitive. It is the identity relation, so it has all three properties. Such a relation is also an equivalence relation.
Step 3
Exam Tip
यह सर्वसम संबंध है, इसलिए तीनों गुण रखता है। ऐसे संबंध को समतुल्य भी कहा जा सकता है।
A. प्रतिवर्ती, सममित, संक्रामी/Reflexive, symmetric, transitive
Step 1
Concept
The definition of equivalence relation includes reflexive, symmetric, and transitive properties. In exams, check all three separately.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. प्रतिवर्ती, सममित, संक्रामी / Reflexive, symmetric, transitive. The definition of equivalence relation includes reflexive, symmetric, and transitive properties. In exams, check all three separately.
Step 3
Exam Tip
समतुल्य संबंध की परिभाषा में प्रतिवर्ती, सममित और संक्रामी तीनों गुण आते हैं। परीक्षा में इन तीनों को अलग-अलग जांचें।
A. सममित लेकिन प्रतिवर्ती नहीं/Symmetric but not reflexive
Step 1
Concept
If (|a-b|=1), then (|b-a|=1) too, so it is symmetric. But (|a-a|=0), so it is not reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. सममित लेकिन प्रतिवर्ती नहीं / Symmetric but not reflexive. If (|a-b|=1), then (|b-a|=1) too, so it is symmetric. But (|a-a|=0), so it is not reflexive.
Step 3
Exam Tip
यदि (|a-b|=1), तो (|b-a|=1) भी है, इसलिए सममित है। लेकिन (|a-a|=0), इसलिए प्रतिवर्ती नहीं है।
A. परिसर सहप्रांत का उपसमुच्चय है/Range is a subset of codomain
Step 1
Concept
The range is always a subset of the codomain. They need not be equal.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. परिसर सहप्रांत का उपसमुच्चय है / Range is a subset of codomain. The range is always a subset of the codomain. They need not be equal.
Step 3
Exam Tip
परिसर हमेशा सहप्रांत का उपसमुच्चय होता है। दोनों बराबर होना जरूरी नहीं है।
A. सार्वत्रिक और समतुल्य/Universal and equivalence
Step 1
Concept
It contains all pairs of \(A\times A\), so it is universal. It is also reflexive, symmetric, and transitive.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. सार्वत्रिक और समतुल्य / Universal and equivalence. It contains all pairs of \(A\times A\), so it is universal. It is also reflexive, symmetric, and transitive.
Step 3
Exam Tip
यह \(A\times A\) के सभी युग्म रखता है, इसलिए सार्वत्रिक है। यह प्रतिवर्ती, सममित और संक्रामी भी है।
A. \((5,3)\in R\) नहीं हो सकता/\((5,3)\in R\) cannot occur
Step 1
Concept
In an antisymmetric relation, for distinct (a) and (b), both ((a,b)) and ((b,a)) cannot occur together. Since \(3\ne5\), ((5,3)) cannot occur.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \((5,3)\in R\) नहीं हो सकता / \((5,3)\in R\) cannot occur. In an antisymmetric relation, for distinct (a) and (b), both ((a,b)) and ((b,a)) cannot occur together. Since \(3\ne5\), ((5,3)) cannot occur.
Step 3
Exam Tip
प्रतिसममित संबंध में अलग-अलग (a) और (b) के लिए दोनों ((a,b)) और ((b,a)) साथ नहीं हो सकते। क्योंकि \(3\ne5\), ((5,3)) नहीं हो सकता।
A. यह प्रतिवर्ती और प्रतिसममित है/It is reflexive and antisymmetric
Step 1
Concept
All diagonal pairs are present, so it is reflexive. Since ((2,1)) is absent, ((1,2)) does not break antisymmetry.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. यह प्रतिवर्ती और प्रतिसममित है / It is reflexive and antisymmetric. All diagonal pairs are present, so it is reflexive. Since ((2,1)) is absent, ((1,2)) does not break antisymmetry.
Step 3
Exam Tip
सभी diagonal युग्म हैं, इसलिए यह प्रतिवर्ती है। ((2,1)) नहीं है, इसलिए ((1,2)) से प्रतिसममिति नहीं टूटती।
A. प्रतिवर्ती, प्रतिसममित और संक्रामी/Reflexive, antisymmetric, and transitive
Step 1
Concept
Because \(a\ge a\) is true, and \(a\ge b,\ b\ge c\) imply \(a\ge c\). Also \(a\ge b\) and \(b\ge a\) imply (a=b).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. प्रतिवर्ती, प्रतिसममित और संक्रामी / Reflexive, antisymmetric, and transitive. Because \(a\ge a\) is true, and \(a\ge b,\ b\ge c\) imply \(a\ge c\). Also \(a\ge b\) and \(b\ge a\) imply (a=b).
Step 3
Exam Tip
क्योंकि \(a\ge a\) सत्य है, और \(a\ge b,\ b\ge c\) से \(a\ge c\) मिलता है। साथ ही \(a\ge b\) और \(b\ge a\) से (a=b) होता है।
