Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
A. यह (A) से (B) में फलन है/It is a function from (A) to (B)
Step 1
Concept
Each \(x \in A\) has exactly one image, so it is a function. In exams, first check every element of the domain.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. यह (A) से (B) में फलन है / It is a function from (A) to (B). Each \(x \in A\) has exactly one image, so it is a function. In exams, first check every element of the domain.
Step 3
Exam Tip
हर \(x \in A\) की ठीक एक छवि है, इसलिए यह फलन है। परीक्षा में पहले प्रांत के हर अवयव को जांचें।
A. क्योंकि (1) की दो अलग छवियां हैं/Because (1) has two different images
Step 1
Concept
In a function, one first element cannot have two different images. In exams, watch for repeated first elements.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. क्योंकि (1) की दो अलग छवियां हैं / Because (1) has two different images. In a function, one first element cannot have two different images. In exams, watch for repeated first elements.
Step 3
Exam Tip
फलन में किसी एक प्रथम अवयव की दो अलग छवियां नहीं हो सकतीं। परीक्षा में दोहराए गए प्रथम अवयव पर ध्यान दें।
For a function, each element of (A) gets one image in (B), so there are \(3^2\) functions. Do not confuse this with all relations.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. \(3^2\). For a function, each element of (A) gets one image in (B), so there are \(3^2\) functions. Do not confuse this with all relations.
Step 3
Exam Tip
फलन के लिए (A) के हर अवयव को (B) की एक छवि मिलती है, इसलिए \(3^2\) फलन हैं। सभी संबंधों की संख्या से भ्रमित न हों।
B. यह फलन है और यह अनेक-से-एक हो सकता है/It is a function and it can be many-one
Step 1
Concept
Different first elements may have the same image, so a many-one function is valid. The common mistake is treating the same image as an error.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. यह फलन है और यह अनेक-से-एक हो सकता है / It is a function and it can be many-one. Different first elements may have the same image, so a many-one function is valid. The common mistake is treating the same image as an error.
Step 3
Exam Tip
अलग प्रथम अवयवों की समान छवि हो सकती है, इसलिए अनेक-से-एक फलन मान्य है। गलती यह है कि समान छवि को दोष मान लिया जाता है।
For every \(x \in A\), (y=x+1) gives exactly one value in (B). Hence it is a function from (A) to (B).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (A) से (B) में फलन / A function from (A) to (B). For every \(x \in A\), (y=x+1) gives exactly one value in (B). Hence it is a function from (A) to (B).
Step 3
Exam Tip
हर \(x \in A\) के लिए (y=x+1) का ठीक एक मान (B) में है। इसलिए यह (A) से (B) में फलन है।
A. \(R=\{(1,1),(2,4),(3,9)\}\) और यह फलन है/\(R=\{(1,1),(2,4),(3,9)\}\) and it is a function
Step 1
Concept
Using \(y=x^2\), each (x) gets exactly one image. Even in formula-based relations, check the whole domain.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(R=\{(1,1),(2,4),(3,9)\}\) और यह फलन है / \(R=\{(1,1),(2,4),(3,9)\}\) and it is a function. Using \(y=x^2\), each (x) gets exactly one image. Even in formula-based relations, check the whole domain.
Step 3
Exam Tip
\(y=x^2\) रखने पर हर (x) की ठीक एक छवि मिलती है। सूत्र आधारित संबंध में भी प्रांत पूरा जांचना जरूरी है।
यदि \(f:{1,2,3,4}\to{0,1}\) और (f(x)) को (x) के सम-विषम होने से परिभाषित किया गया है, (f(x)=0) जब (x) सम है और (f(x)=1) जब (x) विषम है, तो परिसर क्या है?
B. यह फलन नहीं है क्योंकि (2) की दो छवियां हैं/It is not a function because (2) has two images
Step 1
Concept
The element (2) is linked to both (3) and (4), so the single-image condition fails. Having all first elements is not enough.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. यह फलन नहीं है क्योंकि (2) की दो छवियां हैं / It is not a function because (2) has two images. The element (2) is linked to both (3) and (4), so the single-image condition fails. Having all first elements is not enough.
Step 3
Exam Tip
(2) से (3) और (4) दोनों जुड़े हैं, इसलिए एकल छवि की शर्त टूटती है। केवल सभी प्रथम अवयव आना पर्याप्त नहीं है।
A. हर \(a \in A\) के लिए ठीक एक ((a,b)) वाला उपसमुच्चय/A subset with exactly one ((a,b)) for every \(a \in A\)
Step 1
Concept
A function is a special relation where each domain element has exactly one image. This is the key point in definition-based questions.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. हर \(a \in A\) के लिए ठीक एक ((a,b)) वाला उपसमुच्चय / A subset with exactly one ((a,b)) for every \(a \in A\). A function is a special relation where each domain element has exactly one image. This is the key point in definition-based questions.
Step 3
Exam Tip
फलन संबंध का विशेष रूप है जिसमें हर प्रांत अवयव की ठीक एक छवि होती है। यह परिभाषा आधारित प्रश्नों में सबसे महत्वपूर्ण बिंदु है।
The number of functions is \(2^3=8\) and the number of relations is \(2^{3\cdot2}=64\). Keep the order of the ratio in mind.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\frac{8}{64}\). The number of functions is \(2^3=8\) and the number of relations is \(2^{3\cdot2}=64\). Keep the order of the ratio in mind.
Step 3
Exam Tip
फलनों की संख्या \(2^3=8\) और संबंधों की संख्या \(2^{3\cdot2}=64\) है। अनुपात लेते समय क्रम को ध्यान रखें।
B. यह फलन है क्योंकि हर (x) की ठीक एक छवि है/It is a function because every (x) has exactly one image
Step 1
Concept
Two different (x)-values having the same image does not violate being a function. The condition is only one image for each (x).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. यह फलन है क्योंकि हर (x) की ठीक एक छवि है / It is a function because every (x) has exactly one image. Two different (x)-values having the same image does not violate being a function. The condition is only one image for each (x).
Step 3
Exam Tip
दो अलग (x) की समान छवि होना फलन के विरुद्ध नहीं है। शर्त केवल हर (x) की एक छवि है।
A. क्योंकि \(f(3)=6\notin{1,2,3,4,5}\)/Because \(f(3)=6\notin{1,2,3,4,5}\)
Step 1
Concept
Every image of a function must lie in the codomain. Here the image of (3) is (6), outside the codomain.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. क्योंकि \(f(3)=6\notin{1,2,3,4,5}\) / Because \(f(3)=6\notin{1,2,3,4,5}\). Every image of a function must lie in the codomain. Here the image of (3) is (6), outside the codomain.
Step 3
Exam Tip
फलन की हर छवि सहप्रांत में होनी चाहिए। यहां (3) की छवि (6) सहप्रांत से बाहर है।
In option (B), each of (1,2,3) appears exactly once as a first element. This identifies a valid function.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. \({(1,x),(2,y),(3,z)}\). In option (B), each of (1,2,3) appears exactly once as a first element. This identifies a valid function.
Step 3
Exam Tip
विकल्प (B) में (1,2,3) प्रत्येक प्रथम अवयव के रूप में ठीक एक बार आया है। यही वैध फलन की पहचान है।
A. क्योंकि (x=4) पर (y=2) और (y=-2) दोनों संभव हैं/Because for (x=4), both (y=2) and (y=-2) are possible
Step 1
Concept
For the same (x), two different (y)-values occur, so it is not a function. In square relations, check positive and negative roots.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. क्योंकि (x=4) पर (y=2) और (y=-2) दोनों संभव हैं / Because for (x=4), both (y=2) and (y=-2) are possible. For the same (x), two different (y)-values occur, so it is not a function. In square relations, check positive and negative roots.
Step 3
Exam Tip
एक ही (x) के लिए दो अलग (y) मिल रहे हैं, इसलिए यह फलन नहीं है। वर्ग वाले संबंधों में धन और ऋण मूल जांचें।
B. यह फलन है और इसका परिसर (B) है/It is a function and its range is (B)
Step 1
Concept
Every domain element has one image and both (a,b) occur. Hence it is a function and its range is (B).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. यह फलन है और इसका परिसर (B) है / It is a function and its range is (B). Every domain element has one image and both (a,b) occur. Hence it is a function and its range is (B).
Step 3
Exam Tip
हर प्रांत अवयव की एक छवि है और दोनों (a,b) प्राप्त होते हैं। अतः यह फलन है और परिसर (B) है।
A. क्योंकि (x=2) पर मान अपरिभाषित है/Because it is undefined at (x=2)
Step 1
Concept
At (x=2), the denominator becomes zero, so the value is undefined. A function must have a value at every domain element.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. क्योंकि (x=2) पर मान अपरिभाषित है / Because it is undefined at (x=2). At (x=2), the denominator becomes zero, so the value is undefined. A function must have a value at every domain element.
Step 3
Exam Tip
(x=2) रखने पर हर शून्य हो जाता है, इसलिए मान परिभाषित नहीं है। फलन के लिए हर प्रांत अवयव पर मान होना चाहिए।
B. हर फलन संबंध होता है, पर हर संबंध फलन नहीं होता/Every function is a relation, but every relation is not a function
Step 1
Concept
A function is a special type of relation with the single-image condition. This basic definition is asked often in exams.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. हर फलन संबंध होता है, पर हर संबंध फलन नहीं होता / Every function is a relation, but every relation is not a function. A function is a special type of relation with the single-image condition. This basic definition is asked often in exams.
Step 3
Exam Tip
फलन संबंध का विशेष प्रकार है जिसमें एकल छवि की शर्त होती है। यह मूल परिभाषा परीक्षा में बार-बार पूछी जाती है।
A. सहप्रांत \(B=\{2,4,6,8\}\), परिसर ({2,4,6})/Codomain \(B=\{2,4,6,8\}\), range ({2,4,6})
Step 1
Concept
The codomain is the given set (B), while the range is the set of actual images. Here (8) is in the codomain but not in the range.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. सहप्रांत \(B=\{2,4,6,8\}\), परिसर ({2,4,6}) / Codomain \(B=\{2,4,6,8\}\), range ({2,4,6}). The codomain is the given set (B), while the range is the set of actual images. Here (8) is in the codomain but not in the range.
Step 3
Exam Tip
सहप्रांत दिया हुआ (B) है, जबकि परिसर वास्तविक प्राप्त छवियां हैं। यहां (8) सहप्रांत में है पर परिसर में नहीं।
Two functions are equal when their domain, codomain, and values at every element are the same. The given condition gives (f=g).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (f=g). Two functions are equal when their domain, codomain, and values at every element are the same. The given condition gives (f=g).
Step 3
Exam Tip
दो फलन समान होते हैं जब उनका प्रांत, सहप्रांत और हर अवयव पर मान समान हो। यहां दी गई शर्त (f=g) देती है।
(y=3x-5) gives exactly one real (y) for every real (x). The other options give zero or multiple (y)-values for some (x).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. \(y=3x-5\). (y=3x-5) gives exactly one real (y) for every real (x). The other options give zero or multiple (y)-values for some (x).
Step 3
Exam Tip
(y=3x-5) हर वास्तविक (x) के लिए ठीक एक वास्तविक (y) देता है। बाकी विकल्पों में कुछ (x) पर शून्य या अनेक (y) मिलते हैं।
A. यह \(\mathbb{R}\) से \(\mathbb{R}\) में फलन है/It is a function from \(\mathbb{R}\) to \(\mathbb{R}\)
Step 1
Concept
For every real (x), (|x|) has one real value. Different inputs with the same image do not make a function invalid.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. यह \(\mathbb{R}\) से \(\mathbb{R}\) में फलन है / It is a function from \(\mathbb{R}\) to \(\mathbb{R}\). For every real (x), (|x|) has one real value. Different inputs with the same image do not make a function invalid.
Step 3
Exam Tip
हर वास्तविक (x) के लिए (|x|) का एक ही वास्तविक मान होता है। समान छवि वाले अलग इनपुट फलन को अमान्य नहीं बनाते।
A. किसी \(a\in A\) के लिए कोई छवि नहीं है/Some \(a\in A\) has no image
Step 1
Concept
If any domain element has no image, it is not a function. Same images or extra codomain elements are usually not a problem.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. किसी \(a\in A\) के लिए कोई छवि नहीं है / Some \(a\in A\) has no image. If any domain element has no image, it is not a function. Same images or extra codomain elements are usually not a problem.
Step 3
Exam Tip
प्रांत का कोई अवयव बिना छवि के रह जाए तो फलन नहीं बनता। समान छवि या अतिरिक्त सहप्रांत अवयव सामान्यतः समस्या नहीं हैं।
A. क्योंकि \(f(4)=4\notin B\)/Because \(f(4)=4\notin B\)
Step 1
Concept
The codomain (B) does not contain (4), so the image of (4) goes outside. In a function, each image must lie in the codomain.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. क्योंकि \(f(4)=4\notin B\) / Because \(f(4)=4\notin B\). The codomain (B) does not contain (4), so the image of (4) goes outside. In a function, each image must lie in the codomain.
Step 3
Exam Tip
सहप्रांत (B) में (4) नहीं है, इसलिए (4) की छवि बाहर चली जाती है। फलन में छवि सहप्रांत के अंदर होनी चाहिए।
A. हाँ, क्योंकि हर (x) के लिए \(y=\sqrt[3]{x}\) अद्वितीय है/Yes, because for every (x), \(y=\sqrt[3]{x}\) is unique
Step 1
Concept
Every real (x) has a unique real cube root. Hence this relation is a function from \(\mathbb{R}\) to \(\mathbb{R}\).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. हाँ, क्योंकि हर (x) के लिए \(y=\sqrt[3]{x}\) अद्वितीय है / Yes, because for every (x), \(y=\sqrt[3]{x}\) is unique. Every real (x) has a unique real cube root. Hence this relation is a function from \(\mathbb{R}\) to \(\mathbb{R}\).
Step 3
Exam Tip
हर वास्तविक (x) का वास्तविक घनमूल अद्वितीय होता है। इसलिए यह संबंध \(\mathbb{R}\) से \(\mathbb{R}\) में फलन है।
There are \(2^3=8\) total functions, and two constant functions have range only ({0}) or ({1}). Hence (8-2=6) functions remain.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (6). There are \(2^3=8\) total functions, and two constant functions have range only ({0}) or ({1}). Hence (8-2=6) functions remain.
Step 3
Exam Tip
कुल फलन \(2^3=8\) हैं और दो स्थिर फलनों में परिसर केवल ({0}) या ({1}) है। इसलिए (8-2=6) फलन बचते हैं।
Two arrows from one domain element break the single-image condition. In arrow diagrams, this is the fastest check.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. यह फलन नहीं है / It is not a function. Two arrows from one domain element break the single-image condition. In arrow diagrams, this is the fastest check.
Step 3
Exam Tip
एक प्रांत अवयव से दो तीर एकल छवि की शर्त तोड़ते हैं। तीर आरेख में यह सबसे तेज जांच है।
B. नहीं, क्योंकि सहप्रांत अलग हैं/No, because the codomains are different
Step 1
Concept
Equality of functions also requires the codomain to be the same. The same formula alone is not sufficient.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. नहीं, क्योंकि सहप्रांत अलग हैं / No, because the codomains are different. Equality of functions also requires the codomain to be the same. The same formula alone is not sufficient.
Step 3
Exam Tip
फलन की समानता में सहप्रांत भी समान होना चाहिए। केवल समान सूत्र पर्याप्त नहीं है।
In option (A), every domain element has exactly one image. In the others, an image is missing or two images occur.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \({(-1,1),(0,0),(1,1)}\). In option (A), every domain element has exactly one image. In the others, an image is missing or two images occur.
Step 3
Exam Tip
विकल्प (A) में प्रत्येक प्रांत अवयव की ठीक एक छवि है। अन्य विकल्पों में या तो छवि छूटी है या दो छवियां हैं।
A. यह फलन है क्योंकि \(x+5\in\mathbb{Z}\) हर \(x\in\mathbb{Z}\) के लिए/It is a function because \(x+5\in\mathbb{Z}\) for every \(x\in\mathbb{Z}\)
Step 1
Concept
Adding (5) to an integer gives an integer and the value is unique. An infinite domain is not a problem for being a function.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. यह फलन है क्योंकि \(x+5\in\mathbb{Z}\) हर \(x\in\mathbb{Z}\) के लिए / It is a function because \(x+5\in\mathbb{Z}\) for every \(x\in\mathbb{Z}\). Adding (5) to an integer gives an integer and the value is unique. An infinite domain is not a problem for being a function.
Step 3
Exam Tip
पूर्णांक में (5) जोड़ने पर फिर पूर्णांक मिलता है और मान अद्वितीय होता है। अनंत प्रांत फलन होने में बाधा नहीं है।
There are (3) choices for the common image of the first three elements and (3) choices for the image of (4). Total functions are \(3\cdot3=9\).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (9). There are (3) choices for the common image of the first three elements and (3) choices for the image of (4). Total functions are \(3\cdot3=9\).
Step 3
Exam Tip
पहले तीन अवयवों की समान छवि के लिए (3) विकल्प हैं और (4) की छवि के लिए (3) विकल्प हैं। कुल \(3\cdot3=9\) फलन हैं।
A. क्योंकि (x<0) के लिए \(\sqrt{x}\) वास्तविक नहीं है/Because for (x<0), \(\sqrt{x}\) is not real
Step 1
Concept
With the whole \(\mathbb{R}\) as domain, negative (x)-values have no real image. Hence it is not a function on the given domain.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. क्योंकि (x<0) के लिए \(\sqrt{x}\) वास्तविक नहीं है / Because for (x<0), \(\sqrt{x}\) is not real. With the whole \(\mathbb{R}\) as domain, negative (x)-values have no real image. Hence it is not a function on the given domain.
Step 3
Exam Tip
पूरे \(\mathbb{R}\) को प्रांत लेने पर ऋणात्मक (x) के लिए वास्तविक मान नहीं मिलता। इसलिए यह दिए गए प्रांत पर फलन नहीं है।
A. हर \(x\in A\) के लिए (f(x)=c) होता है, जहां \(c\in B\)/For every \(x\in A\), (f(x)=c), where \(c\in B\)
Step 1
Concept
In a constant function, all domain elements have the same codomain element as image. It is a simple valid many-one function.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. हर \(x\in A\) के लिए (f(x)=c) होता है, जहां \(c\in B\) / For every \(x\in A\), (f(x)=c), where \(c\in B\). In a constant function, all domain elements have the same codomain element as image. It is a simple valid many-one function.
Step 3
Exam Tip
स्थिर फलन में सभी प्रांत अवयवों की छवि एक ही सहप्रांत अवयव होती है। यह वैध अनेक-से-एक फलन का सरल उदाहरण है।
For a constant function, the common image is chosen from (B). Since (B) has (3) choices, there are (3) constant functions.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (3). For a constant function, the common image is chosen from (B). Since (B) has (3) choices, there are (3) constant functions.
Step 3
Exam Tip
स्थिर फलन के लिए सभी अवयवों की समान छवि (B) से चुनी जाती है। (B) में (3) विकल्प हैं, इसलिए (3) स्थिर फलन हैं।
