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\(|B|=\frac{24}{4}=6\), इसलिए \(|B\times C|=6\cdot7=42\)। पहले अज्ञात समुच्चय की कार्डिनलिटी निकालें। / Since \(|B|=\frac{24}{4}=6\), \(|B\times C|=6\cdot7=42\). First find the unknown cardinality.
कुल (12) युग्म हैं, (2) युग्म रखने और (1) युग्म हटाने के बाद (9) स्वतंत्र युग्म बचते हैं। इसलिए संख्या \(2^9=512\) है। / There are (12) pairs, and after forcing (2) in and (1) out, (9) pairs remain free. Hence the number is \(2^9=512\).
\(|A\times B|=10\), इसलिए ठीक (5) युग्म चुनने के तरीके \(\binom{10}{5}=252\) हैं। ठीक संख्या के लिए संयोजन लगाएँ। / \(|A\times B|=10\), so choosing exactly (5) pairs gives \(\binom{10}{5}=252\). Use combinations for exact-size subsets.
शर्त से ((8,3)) और ((5,4)) मिलते हैं, इसलिए (|R|=2)। समीकरण में (b) के संभावित मान व्यवस्थित रूप से जाँचें। / The condition gives ((8,3)) and ((5,4)), so (|R|=2). Check possible (b)-values systematically.
युग्म ((0,5),(3,4),(4,3),(5,0)) हैं, इसलिए संख्या (4) है। क्रमित युग्मों में उलटे युग्म अलग गिने जाते हैं। / The pairs are ((0,5),(3,4),(4,3),(5,0)), so the count is (4). Reversed ordered pairs are counted separately.
(a=1) पर (5), (a=2) पर (2), और (a=3) पर (1) युग्म मिलते हैं, कुल (8)। समानता (a=b) को शामिल न करें। / For (a=1), there are (5) pairs; for (a=2), (2); and for (a=3), (1), totaling (8). Do not include (a=b).
यदि \(A=\{1,2,3,4,5\}\) और \(B=\{2,3,4,5,6,7\}\) हैं, तो \(A\times B\) में ऐसे कितने क्रमित युग्म \((a,b)\) हैं जिनके लिए \(a+b\) अभाज्य है और \(a<b\) है?
शर्त \(a<b\) और अभाज्य योग को साथ-साथ जाँचें। \(a=1\) के लिए \(b=2,4,6\) से योग \(3,5,7\) मिलते हैं, इसलिए 3 युग्म हैं। \(a=2\) के लिए \(b=3,5\) से 2 युग्म, \(a=3\) के लिए \(b=4\) से 1 युग्म, \(a=4\) के लिए \(b=7\) से 1 युग्म और \(a=5\) के लिए \(b=6\) से 1 युग्म मिलते हैं। कुल \(3+2+1+1+1=8\) युग्म हैं। अतः सही उत्तर B है। परीक्षा-युक्ति: प्रत्येक \(a\) के लिए केवल \(b>a\) वाले मान लिखकर उनके योगों की अभाज्यता जाँचें। / Apply both conditions simultaneously. For \(a=1\), the values \(b=2,4,6\) give the prime sums \(3,5,7\), contributing 3 pairs. For \(a=2\), \(b=3,5\) contribute 2 pairs; for \(a=3\), \(b=4\) contributes 1 pair; for \(a=4\), \(b=7\) contributes 1 pair; and for \(a=5\), \(b=6\) contributes 1 pair. Thus the total is \(3+2+1+1+1=8\) pairs. Therefore, option B is correct. Exam tip: for each \(a\), list only elements \(b>a\), then test whether \(a+b\) is prime.
पूरक में विषम योग वाले युग्म होंगे और उनकी संख्या \(2\cdot2+2\cdot2=8\) है। पूरक गिनती में विपरीत शर्त लिखें। / The complement contains pairs with odd sum, and the count is \(2\cdot2+2\cdot2=8\). For complements, write the opposite condition.
(a=0,1,2,3) के लिए (b) के क्रमशः (5,5,2,0) मान मिलते हैं, कुल (12)। हर (a) पर सीमा अलग जाँचें। / For (a=0,1,2,3), the counts of (b) are (5,5,2,0), totaling (12). Check the boundary separately for each (a).
दोनों अवयवों की समता समान होनी चाहिए और (\gcd(a,b)=1) भी चाहिए, ऐसे (7) युग्म हैं। सम-सम युग्मों में \(\gcd\) जल्दी जाँचें। / The components must have the same parity and also (\gcd(a,b)=1), giving (7) pairs. Check \(\gcd\) carefully among same-parity pairs.
यह \(a\mid b\) की शर्त है; (a=1,2,3,4) के लिए गिनती (4,4,1,2) है। कुल (11) युग्म मिलते हैं। / This is the condition \(a\mid b\); for (a=1,2,3,4), the counts are (4,4,1,2). The total is (11) pairs.
यदि \(A=\{1,2,3\}\), \(B=\{1,2,3,4\}\) और \(C=\{2,3,5\}\) हैं, तो \(\lvert A\times(B\setminus C)\rvert+\lvert(A\times B)\cap(A\times C)\rvert\) का मान क्या है?
पहले, \(B\setminus C=\{1,4\}\), इसलिए \(\lvert A\times(B\setminus C)\rvert=3\times2=6\)। साथ ही, \((A\times B)\cap(A\times C)=A\times(B\cap C)\) और \(B\cap C=\{2,3\}\), इसलिए इस समुच्चय में भी \(3\times2=6\) युग्म हैं। अतः कुल मान \(6+6=12\) है। परीक्षा-युक्ति: \((A\times B)\cap(A\times C)\) को \(A\times(B\cap C)\) के रूप में सरल करें। / First, \(B\setminus C=\{1,4\}\), so \(\lvert A\times(B\setminus C)\rvert=3\times2=6\). Also, \((A\times B)\cap(A\times C)=A\times(B\cap C)\), and \(B\cap C=\{2,3\}\), so this intersection also contains \(3\times2=6\) ordered pairs. Therefore, the total is \(6+6=12\). Exam tip: simplify \((A\times B)\cap(A\times C)\) as \(A\times(B\cap C)\) before counting elements.
(a+b=6) वाले (5) और (a=b) वाले (5) युग्म हैं, पर ((3,3)) दो बार गिना गया। इसलिए (5+5-1=9)। / There are (5) pairs with (a+b=6) and (5) with (a=b), but ((3,3)) is counted twice. Hence (5+5-1=9).
पहली शर्त के अंदर विपरीत समता वाले युग्म गिनने पर (10) मिलते हैं। संयुक्त शर्तों में पहले सीमा और फिर समता जाँचें। / Counting opposite-parity pairs under the product bound gives (10). For combined conditions, check the bound first and then parity.
संभव अंतरों को जाँचने पर अभाज्य अंतर वाले (6) युग्म मिलते हैं। ध्यान रखें कि (1) अभाज्य नहीं है। / Checking possible differences gives (6) pairs with prime difference. Remember that (1) is not prime.
यदि \(A=\{1,2,3,4\}\), \(B=\{1,2,3\}\) और \(C=\{0,1\}\) हैं, तो \(A\times B\times C\) में ऐसे कितने क्रमित त्रिक \((a,b,c)\) हैं जो \(a=b+c\) को संतुष्ट करते हैं?
हर \((b,c)\) के लिए \(a=b+c\) निश्चित रूप से एक ही मान देता है। जब \(c=0\), तो \(a=1,2,3\) मिलते हैं; और जब \(c=1\), तो \(a=2,3,4\) मिलते हैं। ये सभी मान \(A\) में हैं, इसलिए कुल \(3+3=6\) क्रमित त्रिक हैं। समान \(a\) मानों को अलग-अलग \((b,c)\) युग्मों के कारण अलग त्रिक माना जाता है। परीक्षा में पहले \((b,c)\) के सभी युग्म गिनकर प्रत्येक के लिए \(a\) की वैधता जाँचें। / For every pair \((b,c)\), the equation \(a=b+c\) determines exactly one value of \(a\). When \(c=0\), the values of \(a\) are \(1,2,3\); when \(c=1\), they are \(2,3,4\). All these values belong to \(A\), so the total number of ordered triples is \(3+3=6\). Repeated values of \(a\) still correspond to different triples because their \((b,c)\) pairs are different. In an exam, count the possible \((b,c)\) pairs first and then check whether the resulting \(a\) lies in \(A\).
(\operatorname{lcm}(a,b)=6) के लिए (a,b) के मान (6) के भाजक होने चाहिए और कुल (9) युग्म मिलते हैं। भाजकों की सूची से जाँचें। / For (\operatorname{lcm}(a,b)=6), both values must divide (6), and there are (9) pairs. Check using the list of divisors.
कुल (25) युग्मों में (|a-b|>2) वाले (6) युग्म हैं, इसलिए (25-6=19)। पूरक गिनती तेज रहती है। / Among (25) total pairs, (6) pairs have (|a-b|>2), so (25-6=19). Complement counting is quicker.
शर्त a<b को संतुष्ट करने वाले युग्म हैं (1,2), (1,3), (1,4), (2,3), (2,4), (3,4), इसलिए इनकी संख्या 6 है। शर्त a+b=5 को संतुष्ट करने वाले 4 युग्म हैं: (1,4), (2,3), (3,2), (4,1)। इनमें (1,4) और (2,3) दोनों शर्तों को संतुष्ट करते हैं, इसलिए उन्हें दो बार नहीं गिनना चाहिए। अतः कुल संख्या 6+4−2=8 है। परीक्षा-युक्ति: ‘या’ वाली दो शर्तों में समावेशन-बहिष्करण सूत्र |P∪Q|=|P|+|Q|−|P∩Q| लगाएँ। / The ordered pairs satisfying a<b are (1,2), (1,3), (1,4), (2,3), (2,4), and (3,4), giving 6 pairs. The pairs satisfying a+b=5 are (1,4), (2,3), (3,2), and (4,1), giving 4 pairs. The pairs (1,4) and (2,3) satisfy both conditions, so they must not be counted twice. Therefore, the required number is 6+4−2=8. Exam tip: For two conditions joined by ‘or’, use |P∪Q|=|P|+|Q|−|P∩Q|.
\(a+b\le4\) वाले कुल (15) युग्म हैं और उनमें बराबर युग्म ((0,0),(1,1),(2,2)) हैं। इसलिए (15-3=12)। / There are (15) pairs with \(a+b\le4\), and equal pairs among them are ((0,0),(1,1),(2,2)). Hence (15-3=12).
(3) से विभाज्य योग वाले (12) युग्म हैं और उनमें ((3,3),(6,6)) बराबर युग्म हैं। इसलिए (12-2=10)। / There are (12) pairs with sum divisible by (3), and equal pairs among them are ((3,3),(6,6)). Hence (12-2=10).
a = 1 के लिए 1² < b, अर्थात b > 1; इसलिए b = 2, 3, 4, 5 के 4 क्रमित युग्म मिलते हैं। a = 2 के लिए 4 < b केवल b = 5 पर सत्य है, इसलिए 1 युग्म मिलता है। a = 3 और 4 के लिए a² क्रमशः 9 और 16 है, जो B के किसी भी अवयव से छोटा नहीं है। अतः |R| = 4 + 1 = 5। परीक्षा-युक्ति: प्रत्येक a के लिए B में उन b का अलग-अलग गिनना करें जो a² से बड़े हों। / For a = 1, the condition 1² < b means b > 1, giving b = 2, 3, 4, 5 and hence 4 ordered pairs. For a = 2, the condition 4 < b is satisfied only by b = 5, giving 1 pair. For a = 3 and 4, a² is 9 and 16 respectively, so no element of B satisfies the condition. Therefore, |R| = 4 + 1 = 5. Exam tip: Count the valid values of b in B separately for each value of a.
R में (2,5) इसलिए है क्योंकि 2+5=7। प्रतिलोम संबंध R⁻¹ में प्रत्येक क्रमित युग्म के निर्देशांक उलट जाते हैं, अतः (5,2)∈R⁻¹। विकल्प (2,4) और (4,5) के लिए निर्देशांकों का योग 7 नहीं है, जबकि (1,6), A×B का युग्म ही नहीं है क्योंकि 6∉B। परीक्षा-युक्ति: प्रतिलोम संबंध में युग्म के स्थान बदलें, मानों को नहीं। / The pair (2,5) belongs to R because 2+5=7. In the inverse relation R⁻¹, the coordinates of every ordered pair are interchanged; hence (5,2)∈R⁻¹. The pairs (2,4) and (4,5) do not satisfy the required sum of 7, while (1,6) is not in A×B because 6∉B. Exam tip: To form an inverse relation, interchange the coordinates of each ordered pair.
यदि \(A=\{1,2,3\}\) और \(B=\{1,2,3,4,5,6\}\) हैं, तो \(A\times B\) में ऐसे कितने क्रमित युग्म \((a,b)\) हैं जिनके लिए \(b\), \(a\) का गुणज है और \(b\ne a\) है?
जब \(a=1\), तो \(b\) के 6 संभावित गुणज हैं: 1, 2, 3, 4, 5, 6। जब \(a=2\), तो 3 गुणज हैं: 2, 4, 6; और जब \(a=3\), तो 2 गुणज हैं: 3, 6। अतः कुल युग्म \(6+3+2=11\) हैं। इनमें \((1,1),(2,2),(3,3)\) में \(b=a\) है, इसलिए इन्हें हटाने पर \(11-3=8\) युग्म बचते हैं। परीक्षा-युक्ति: पहले प्रत्येक \(a\) के लिए \(B\) में उपलब्ध गुणज गिनें, फिर समान अवयव वाले युग्म हटाएँ। / For \(a=1\), there are 6 possible multiples of \(a\) in \(B\): 1, 2, 3, 4, 5, 6. For \(a=2\), there are 3: 2, 4, 6; and for \(a=3\), there are 2: 3, 6. Thus, the total number of pairs before applying \(b\ne a\) is \(6+3+2=11\). The three pairs \((1,1),(2,2),(3,3)\) have \(b=a\), so they must be excluded. Therefore, the required number is \(11-3=8\). Exam tip: count the available multiples for each value of \(a\), then remove the equal-coordinate pairs.
\(a^2\) के अवशेष (1,4,4,1) हैं और (B) में हर ऐसे अवशेष का एक-एक मान है। इसलिए कुल (4) युग्म हैं। / The residues of \(a^2\) are (1,4,4,1), and each such residue has one value in (B). Therefore there are (4) pairs.
यदि \(A=\{1,2,3,4,5\}\), \(B=\{1,2,3,4,5\}\) और \(R=\{(a,b):a+b\le6\}\) है, तो \(R\) में ऐसे कितने क्रमित युग्म हैं जिनका पहला अवयव \(a\) सम संख्या है?
सम मानों के लिए \(a=2\) या \(a=4\) हो सकता है। \(a=2\) पर \(b\le4\), इसलिए \(b=1,2,3,4\) से 4 युग्म मिलते हैं। \(a=4\) पर \(b\le2\), इसलिए 2 युग्म मिलते हैं। अतः कुल युग्म \(4+2=6\) हैं। परीक्षा-टिप: ऐसे प्रश्नों में प्रत्येक अनुमत \(a\) के लिए \(b\) के मानों की संख्या अलग-अलग गिनें। / The even values of \(a\) in \(A\) are 2 and 4. For \(a=2\), the condition gives \(b\le4\), so there are 4 choices: 1, 2, 3, and 4. For \(a=4\), it gives \(b\le2\), so there are 2 choices. Therefore, the total number of ordered pairs is \(4+2=6\). Exam tip: Count the permitted values of \(b\) separately for each allowed value of \(a\).
समीकरण ((a-1)(b-1)=1) देता है, इसलिए केवल ((2,2)) मिलता है। रूपांतरण से गिनती आसान होती है। / The equation gives ((a-1)(b-1)=1), so only ((2,2)) works. Factor transformation makes counting easier.
विषम योग वाले युग्म (8) हैं, इसलिए (R) के उपसमुच्चय \(2^8=256\) हैं। पहले संबंध की कार्डिनलिटी निकालें। / There are (8) pairs with odd sum, so subsets of (R) are \(2^8=256\). First find the cardinality of the relation.
योग सम के लिए दोनों की समता समान चाहिए और (a<b) भी चाहिए। विषमों से (3) और समों से (1) युग्म मिलते हैं, कुल (4)। / Even sum requires same parity, along with (a<b). Odd values give (3) pairs and even values give (1), totaling (4).
a = 1 के लिए (1, 2) और (1, 3), a = 2 के लिए (2, 4) और (2, 6), तथा a = 3 के लिए केवल (3, 6) प्राप्त होता है। a = 4 के लिए 2a = 8 और 3a = 12, जो B में नहीं हैं। इसलिए R = {(1, 2), (1, 3), (2, 4), (2, 6), (3, 6)} और |R| = 5। ध्यान दें कि (2, 6) और (3, 6) में दूसरा घटक समान है, फिर भी वे अलग-अलग क्रमित युग्म हैं। परीक्षा-युक्ति: संबंध के युग्म गिनते समय प्रत्येक a के लिए जाँच करें कि प्राप्त b, B में है या नहीं। / For a = 1, the pairs are (1, 2) and (1, 3); for a = 2, they are (2, 4) and (2, 6); and for a = 3, only (3, 6) is valid. For a = 4, 2a = 8 and 3a = 12, neither of which belongs to B. Thus, R = {(1, 2), (1, 3), (2, 4), (2, 6), (3, 6)}, so |R| = 5. Although (2, 6) and (3, 6) have the same second component, they are distinct ordered pairs. Exam tip: Check whether each resulting b belongs to B before counting the ordered pair.
यदि \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) और \(B=\{1,2,3,4,5,6\}\) हैं, तो \(A\times B\) में कितने युग्म ((a,b)) ऐसे हैं जिनमें (a) और (b) दोनों अभाज्य हैं या दोनों भाज्य हैं?
अभाज्य संख्याएँ (3) और भाज्य संख्याएँ (2) हैं, इसलिए गिनती \(3^2+2^2=13\) है। (1) न अभाज्य है न भाज्य। / There are (3) primes and (2) composites, so the count is \(3^2+2^2=13\). The number (1) is neither prime nor composite.
(a-b=1) से (5) और (a-b=3) से (3) युग्म मिलते हैं, कुल (8)। अलग-अलग अंतरों को जोड़ें। / The condition (a-b=1) gives (5) pairs and (a-b=3) gives (3), totaling (8). Add the counts for separate differences.
विकर्ण युग्म ((1,1),(2,2),(3,3),(4,4)) हैं, इसलिए (4) हटाने होंगे। विकर्ण की संख्या (|A|) होती है। / The diagonal pairs are ((1,1),(2,2),(3,3),(4,4)), so (4) must be removed. The number of diagonal pairs is (|A|).
तीन संख्याओं (1) से (3) के बीच योग (6) के कुल (7) क्रमित त्रिक हैं। क्रमित त्रिक में क्रम अलग गिना जाता है। / There are (7) ordered triples from (1) to (3) with sum (6). In ordered triples, order is counted separately.
योग (4) या (8) हो सकता है और अनुकूल युग्मों की कुल संख्या (6) है। शेषफल या योग-सूची से गिनें। / The sum can be (4) or (8), and the total number of valid pairs is (6). Count using remainders or a sum list.
योग (5) या (10) बनने वाले क्रमित युग्मों की संख्या (7) है। शेषफलों के पूरक जोड़ से तेज गिनती होती है। / The number of ordered pairs with sum (5) or (10) is (7). Complementary remainders give a quick count.
प्रत्येक \(a\in A\) के लिए \(a^2\) का modulo \(5\) में ठीक एक अवशेष \(b\in B\) मिलता है। क्रमशः अवशेष \(0,1,4,4,1\) प्राप्त होते हैं, इसलिए पाँच अलग-अलग क्रमित युग्म बनते हैं। भले ही कुछ \(b\) मान दोहरते हैं, \(a\) अलग होने के कारण युग्म अलग रहते हैं। अतः \(|R|=5\)। परीक्षा में संबंध के युग्मों की गिनती करते समय केवल अलग-अलग \(b\) मान नहीं, बल्कि पूरे क्रमित युग्म गिनें। / For every \(a\in A\), there is exactly one residue \(b\in B\) congruent to \(a^2 \pmod{5}\). The residues for \(a=0,1,2,3,4\) are \(0,1,4,4,1\), respectively, so five ordered pairs are formed. Although some values of \(b\) repeat, the pairs remain distinct because their first components are different. Hence, \(|R|=5\). In an exam, count complete ordered pairs rather than only the distinct second components.
\(a\mid b\) वाले (16) युग्म हैं और \(b\mid a\) भी होने वाले ((1,1),(2,2),(3,3),(4,4)) हैं। इसलिए (16-4=12)। / There are (16) pairs with \(a\mid b\), and pairs where \(b\mid a\) also holds are ((1,1),(2,2),(3,3),(4,4)). Hence (16-4=12).
हर (x) के लिए (R) उसे (6-x) से और फिर वापस (x) से जोड़ता है। इसलिए \(R\circ R={(x,x):x\in A}\) में (5) युग्म हैं। / For each (x), (R) maps it to (6-x) and then back to (x). Thus \(R\circ R={(x,x):x\in A}\) has (5) pairs.
दोनों संख्याएँ (2) से गुणित हों और भाग देने पर परस्पर अभाज्य रहें, ऐसे (7) युग्म हैं। \(\gcd\) प्रश्न में सामान्य गुणनखंड निकालें। / Both numbers must be multiples of (2), and after division the reduced pair must be coprime, giving (7) pairs. Factor out the common divisor in \(\gcd\) questions.
पूरक में (a+b<6) वाले युग्म होंगे, जिनकी पंक्ति-गिनती (4,3,2,1) है। इसलिए कुल (10) युग्म हैं। / The complement has pairs with (a+b<6), whose row counts are (4,3,2,1). Hence there are (10) pairs.
यदि \(A=\{1,2,3,4,5\}\) और \(B=\{1,2,3,4,5\}\) हैं, तो \(A\times B\) में ऐसे कितने क्रमित युग्म \((a,b)\) हैं जिनके लिए \(a+b\) सम है और \(ab\), \(3\) से विभाज्य है?
\(a+b\) के सम होने के लिए \(a\) और \(b\) की समता समान होनी चाहिए। \(ab\) के \(3\) से विभाज्य होने के लिए \(a\) या \(b\) में से कम-से-कम एक का मान \(3\) होना चाहिए, क्योंकि समुच्चय में \(3\) का एकमात्र गुणज \(3\) है। संख्या \(3\) विषम है, इसलिए दोनों संख्याएँ विषम होनी चाहिए। विषम संख्याएँ \(\{1,3,5\}\) हैं। अतः ऐसे क्रमित युग्मों की संख्या \(3\times3-2\times2=9-4=5\) नहीं, बल्कि शर्त \(a=3\) या \(b=3\) लगाने पर \(3+3-1=5\) होगी। इसलिए सही उत्तर \(5\) है; दिए गए विकल्पों में यह उपलब्ध नहीं है। प्रश्न के विकल्पों में तथ्यात्मक त्रुटि है। परीक्षा-टिप: पहले समता की शर्त लगाएँ, फिर विभाज्यता की शर्त से युग्मों को छाँटें। / For \(a+b\) to be even, \(a\) and \(b\) must have the same parity. For \(ab\) to be divisible by \(3\), at least one of \(a\) or \(b\) must be \(3\), since \(3\) is the only multiple of \(3\) in the set. Because \(3\) is odd, both entries must be odd. Among the odd values \(\{1,3,5\}\), the ordered pairs with \(a=3\) or \(b=3\) number \(3+3-1=5\), where \((3,3)\) is counted only once. Thus the correct answer is \(5\), which is not present among the supplied options. The original options contain a factual error. Exam tip: apply the parity condition first, then filter the remaining ordered pairs using divisibility.
(a+b=9) वाले (4) और (ab=12) वाले (4) युग्म हैं, साझा कोई नहीं है। इसलिए कुल (8) युग्म हैं। / There are (4) pairs with (a+b=9) and (4) with (ab=12), with no overlap. Hence the total is (8).
\(R^{-1}\) में (a>b) वाली शर्त होगी, जो (a<b) के साथ एक साथ संभव नहीं है। इसलिए प्रतिच्छेद रिक्त है। / \(R^{-1}\) has the condition (a>b), which cannot hold together with (a<b). Therefore the intersection is empty.
\(b-a=0\) के लिए क्रमित युग्म \((1,1),(2,2),(3,3),(4,4)\) मिलते हैं, अर्थात् 4 युग्म। \(b-a=2\) के लिए \((1,3),(2,4),(3,5)\) मिलते हैं, अर्थात् 3 युग्म। दोनों स्थितियाँ अलग हैं, इसलिए \(|R|=4+3=7\)। ध्यान रखें कि संबंध के युग्म क्रमित होते हैं और केवल \(A\times B\) में आने वाले युग्म ही गिने जाते हैं। / For \(b-a=0\), the ordered pairs are \((1,1),(2,2),(3,3),(4,4)\), giving 4 pairs. For \(b-a=2\), the valid pairs are \((1,3),(2,4),(3,5)\), giving 3 pairs. These cases do not overlap, so \(|R|=4+3=7\). A common mistake is to count only the two possible differences or to include pairs outside \(A\times B\); always list the valid ordered pairs within the given sets.
यदि \(A=\{1,2,3\}\), \(B=\{1,2,3\}\) और \(C=\{1,2\}\) हैं, तो \(A\times B\times C\) में ऐसे कितने क्रमित त्रिक \((a,b,c)\) हैं जो \(a+b=2c+1\) को संतुष्ट करते हैं?
जब \(c=1\), तब \(a+b=3\) होना चाहिए। \(A\) और \(B\) से इसके लिए क्रमित युग्म \((1,2)\ ext{ और }(2,1)\) मिलते हैं, अर्थात 2 त्रिक। जब \(c=2\), तब \(a+b=5\) होना चाहिए और क्रमित युग्म \((2,3)\text{ और }(3,2)\) मिलते हैं, अर्थात 2 त्रिक। इसलिए कुल त्रिक \(2+2=4\) हैं। ध्यान दें कि क्रमित युग्मों में क्रम बदलने पर अलग युग्म माना जाता है। / For \(c=1\), the condition becomes \(a+b=3\). The ordered pairs from \(A\) and \(B\) are \((1,2)\) and \((2,1)\), giving 2 triples. For \(c=2\), the condition becomes \(a+b=5\), with ordered pairs \((2,3)\) and \((3,2)\), giving 2 more triples. Hence, the total number of triples is \(2+2=4\). Remember that reversing an ordered pair produces a different pair.
(a=1,2,3,4,5) के लिए योग्य (b) की गिनती (3,2,2,1,1) है, कुल (9)। विषम योग के लिए समता अलग होनी चाहिए। / For (a=1,2,3,4,5), the counts of valid (b) are (3,2,2,1,1), totaling (9). Odd sum requires opposite parity.
शर्त \(a+b\le5\) उलटने पर भी वही रहती है, इसलिए (R) के सभी (10) युग्म योग्य हैं। सममित शर्त को पहचानें। / The condition \(a+b\le5\) remains the same after reversal, so all (10) pairs of (R) qualify. Recognize symmetric conditions.
\(a^2-b^2=0\) को \((a-b)(a+b)=0\) लिखा जा सकता है। चूँकि \(a,b\) दोनों \(1\) से \(5\) तक धनात्मक हैं, इसलिए \(a+b\neq 0\), अतः \(a-b=0\), अर्थात् \(a=b\)। ऐसे क्रमित युग्म \((1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5)\) हैं, इसलिए कुल \(5\) युग्म हैं। परीक्षा-युक्ति: ऐसे प्रश्नों में पहले समीकरण को गुणनखंडित करके देखें कि कौन-सी शर्त वास्तव में संभव है। / The equation \(a^2-b^2=0\) factors as \((a-b)(a+b)=0\). Since both \(a\) and \(b\) are positive integers from \(1\) to \(5\), \(a+b\neq 0\); hence \(a=b\). The valid ordered pairs are \((1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5)\), giving a total of \(5\) pairs. Exam tip: Factor a difference of squares first, then apply the restrictions on the elements of the sets.
यदि \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\), \(B=\{1,2,3,4,5,6\}\) और \(R=\{(a,b):a+b=7\}\) है, तो (R) के कितने उपसमुच्चय कम से कम एक युग्म रखते हैं जिसका पहला अवयव (1) है?
(R) में (6) युग्म हैं और पहला अवयव (1) वाला केवल ((1,6)) है। उसे रखना होगा, इसलिए बाकी (5) युग्म स्वतंत्र हैं और संख्या \(2^5=32\) है। / There are (6) pairs in (R), and only ((1,6)) has first component (1). It must be included, so the other (5) pairs are free, giving \(2^5=32\).
