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एक सर्वे में (n(U)=210), (n(A)=96), (n(B)=88), (n(C)=74), (n\(A\cap B\)=39), (n\(B\cap C\)=31), (n\(C\cap A\)=28) और (n\(A\cap B\cap C\)=14) है। किसी भी समुच्चय में न आने वालों की संख्या कितनी है?
(n\(A\cup B\cup C\)=96+88+74-39-31-28+14=174), इसलिए बाहर (210-174=36) है। पहले संघ निकालकर ही पूरक लें। / (n\(A\cup B\cup C\)=96+88+74-39-31-28+14=174), so outside is (210-174=36). First find the union and then take the complement.
(n(\(A\cap C\)-B)=n\(A\cup B\)+n\(B\cup C\)-n(B)-n\(A\cup B\cup C\)=118+124-64-155=23) नहीं, इसलिए विकल्पों से पहले सूत्र जाँचें; सही क्षेत्र (155-118) और (155-124) जैसे बाहर वाले हिस्सों से नहीं निकलेगा। / (n(\(A\cap C\)-B)=n\(A\cup B\)+n\(B\cup C\)-n(B)-n\(A\cup B\cup C\)=118+124-64-155=23), not (30). Check the formula before matching options.
यदि \(n(A)=78\), \(n(B)=69\), \(n(C)=63\), \(n(A\cap B)=30\), \(n(B\cap C)=25\), \(n(C\cap A)=21\) और \(n(A\cap B\cap C)=9\) हो, तो केवल समुच्चय A में कितने तत्व हैं?
केवल A में आने वाले तत्वों के लिए inclusion–exclusion प्रयोग करें: केवल A = \(n(A)-n(A\cap B)-n(A\cap C)+n(A\cap B\cap C)\). क्योंकि तीनों में आने वाले तत्त्व दोनों जोड़-घटाव में दो बार घटे होते हैं इसलिए उन्हें एक बार वापस जोड़ा जाता है। यहाँ \(78-30-21+9=36\)। विकल्प (27) इसलिए गलत है क्योंकि वह त्रुटि से त्रिकूट (triple intersection) \(+9\) को जोड़ना भूल गया (\(78-30-21=27\))। अन्य विकल्प अधिक विचलित करने वाले हैं और गलत घटाव/जोड़ के परिणाम हैं। परीक्षा टिप: वेंस आरेख बनाकर प्रत्येक क्षेत्र को लेबल करें या केवल A का फार्मूला याद रखें। / Use inclusion–exclusion for the region only in A: Only A = \(n(A)-n(A\cap B)-n(A\cap C)+n(A\cap B\cap C)\). The triple-overlap was subtracted twice when removing pairwise intersections, so add it back once. Substituting gives \(78-30-21+9=36\). Answer 27 comes from forgetting to add the triple intersection (\(78-30-21=27\)), so that distractor is incorrect. The other choices result from other incorrect subtractions. Exam tip: draw the Venn diagram and label the seven regions or memorize the inclusion–exclusion expression for three sets.
किसी वेन आरेख में केवल (A) में (18), केवल (B) में (22), केवल (C) में (16), केवल \(A\cap B\) में (11), केवल \(B\cap C\) में (13), केवल \(C\cap A\) में (9) और तीनों में (6) तत्व हैं। कम से कम दो समुच्चयों में आने वाले तत्व कितने हैं?
कम से कम दो में (11+13+9+6=39) तत्व हैं। इस प्रकार के प्रश्न में तीनों वाला केंद्र भी शामिल होता है। / At least two sets contain (11+13+9+6=39) elements. In this type of question, the centre region is also included.
संघ तीन अलग भागों का योग है, इसलिए प्रतिच्छेद (112-43-37=32) है। वेन आरेख में अलग क्षेत्रों को एक-एक बार गिनें। / The union is the sum of three disjoint parts, so the intersection is (112-43-37=32). Count each separate region once in a Venn diagram.
(n(A)=140-58=82) और (n(B)=140-71=69), इसलिए संघ (82+69-34=117) है। पूरक से मूल संख्या निकालना पहला कदम है। / (n(A)=140-58=82) and (n(B)=140-71=69), so the union is (82+69-34=117). Getting original sizes from complements is the first step.
सभी चार अलग क्षेत्रों का योग (29+33+17+21=100) है। सार्वत्रिक समुच्चय में अंदर और बाहर दोनों क्षेत्र आते हैं। / The sum of all four disjoint regions is (29+33+17+21=100). The universal set includes both inside and outside regions.
एक कक्षा में 95 विद्यार्थी हैं। इनमें 56 विद्यार्थी गणित पढ़ते हैं, 49 विद्यार्थी विज्ञान पढ़ते हैं और 27 विद्यार्थी दोनों विषय पढ़ते हैं। ठीक एक विषय पढ़ने वाले कितने हैं?
ठीक एक विषय = (केवल गणित) + (केवल विज्ञान)। केवल गणित = 56−27, केवल विज्ञान = 49−27 इसलिए ठीक एक = (56−27)+(49−27) = 51। वैकल्पिक रूप से पहले से मिलकर पढ़ने वाले की संख्या (union) = 56+49−27 = 78 होती है और ठीक एक = union − दोनों = 78−27 = 51। निकटतम भ्रमित विकल्प: 78 उन छात्रों की संख्या है जो कम से कम एक विषय पढ़ते हैं (दोनों सहित), और 22 केवल विज्ञान पढ़ने वाले हैं (49−27)। परीक्षा-सुझाव: वेन आरेख बनाकर क्षेत्रों को लेबल करें या फार्मूला \\(exactly\ one = M+S-2\times(both)\\) याद रखें। / Exactly one subject = (only Math) + (only Science). Only Math = 56−27, Only Science = 49−27, so exactly one = (56−27)+(49−27) = 51. Alternatively union = 56+49−27 = 78 and exactly one = union − both = 78−27 = 51. Closest distractors: 78 is the count of students studying at least one subject (includes both), and 22 equals only Science (49−27), not the sum of both "only" regions. Exam tip: draw a two-circle Venn diagram and label the three regions or use the formula \(exactly\ one = M+S-2\times(both)\) to avoid errors.
पहले (n\(A\cap B\)=64+59-91=32), फिर (n\(A\triangle B\)=91-32=59) है। सममित अंतर में साझा भाग नहीं आता। / First (n\(A\cap B\)=64+59-91=32), then (n\(A\triangle B\)=91-32=59). The symmetric difference does not include the common part.
क्योंकि \(A\subseteq B\), इसलिए (B-A=83-47=36) होगा। उपसमुच्चय वाले वेन आरेख में छोटा वृत्त बड़े के अंदर होता है। / Since \(A\subseteq B\), (B-A=83-47=36). In a subset Venn diagram, the smaller circle lies inside the larger one.
असंबद्ध समुच्चयों में संघ (44+52=96) है, इसलिए पूरक (130-96=34) है। असंबद्ध होने पर साझा भाग शून्य होता है। / For disjoint sets, the union is (44+52=96), so the complement is (130-96=34). Disjoint sets have zero common part.
तीन क्लबों में \(n(A)=72\), \(n(B)=68\), \(n(C)=61\), \(n(A\cap B)=29\), \(n(B\cap C)=24\), \(n(C\cap A)=26\) और \(n(A\cap B\cap C)=11\) दिए हैं। केवल \(B\) में आने वाले सदस्य कितने हैं?
केवल \(B\) वाले सदस्य के लिए समावेशन–बहिष्करण का उपयोग करें: केवल \(B\)=\(n(B)-n(A\cap B)-n(B\cap C)+n(A\cap B\cap C)\)। यहाँ \(68-29-24+11=26\)। विकल्प 15 तब होता है जब त्रि-इंटरसेक्शन \(+11\) जोड़ना भूल जाएँ (यानी \(68-29-24=15\))—यह गलत है क्योंकि केंद्र भाग को दो बार घटाने पर उसे एक बार जोड़ना जरूरी है। परीक्षा टिप: एक Venn आरेख बनाकर केंद्र व किनारे के हिस्से लेबल करें; इससे केवल-एक सेट के हिस्से सीधे मिल जाते हैं। / Use inclusion–exclusion for the part only in B: only \(B\)=\(n(B)-n(A\cap B)-n(B\cap C)+n(A\cap B\cap C)\). Thus \(68-29-24+11=26\). The option 15 corresponds to forgetting to add back the triple intersection (\(68-29-24=15\)), which is incorrect because the common central region was subtracted twice and must be added once. Exam tip: sketch a three-set Venn diagram and label each region; compute the ‘only B’ region directly from the overlaps.
संघ (=) ठीक एक (+) ठीक दो (+) तीनों है, इसलिए तीनों (135-58-49=28) हैं। क्षेत्र आधारित प्रश्नों में भागों को अलग रखें। / Union equals exactly one plus exactly two plus all three, so all three is (135-58-49=28). In region-based questions, keep the parts separate.
(78=(5x+4)+(4x+7)-(2x+3)=7x+8), इसलिए (x=10) है। बीजगणितीय प्रश्न में संघ का सूत्र सीधे लगाएँ। / (78=(5x+4)+(4x+7)-(2x+3)=7x+8), so (x=10). In algebraic questions, apply the union formula directly.
संघ (3x+2+2x+5+x+4=6x+11=71), इसलिए (x=10) है। अलग क्षेत्रों का योग सीधे संघ देता है। / The union is (3x+2+2x+5+x+4=6x+11=71), so (x=10). The sum of disjoint regions directly gives the union.
साझा गुणज (\operatorname{lcm}(6,8)=24) के गुणज होंगे, जो (24,48,72) हैं। इसलिए संख्या (3) है। / Common multiples are multiples of (\operatorname{lcm}(6,8)=24), namely (24,48,72). Hence the count is (3).
(5) के गुणज (18), (9) के गुणज (10), और (45) के गुणज (2) हैं, इसलिए संघ (18+10-2=26) है। साझा गुणजों को दोबारा न गिनें। / Multiples of (5) are (18), multiples of (9) are (10), and multiples of (45) are (2), so the union is (18+10-2=26). Do not count common multiples twice.
(7) के गुणज (12), (4) के गुणज (21), और (28) के गुणज (3) हैं, इसलिए संघ (30) और पूरक (84-30=54) है। / Multiples of (7) are (12), multiples of (4) are (21), and multiples of (28) are (3), so the union is (30) and the complement is (84-30=54).
सम अभाज्य संख्या केवल (2) है, इसलिए \(A\cap B={2}\) है। प्रतिच्छेद में दोनों शर्तें साथ में पूरी होनी चाहिए। / The only even prime is (2), so \(A\cap B={2}\). In an intersection, both conditions must be satisfied together.
वर्ग संख्याएँ (1,4,9,16,25,36) हैं और (3) के गुणज वर्ग (9,36) हैं। इसलिए प्रतिच्छेद में (2) तत्व हैं। / Square numbers are (1,4,9,16,25,36), and the square multiples of (3) are (9,36). Therefore, the intersection has (2) elements.
\(B\cap C\) में (5) और (15) आते हैं, इसलिए संख्या (2) है। समुच्चय-निर्माण रूप में शर्तों को एक साथ जाँचें। / \(B\cap C\) contains (5) and (15), so the count is (2). In set-builder form, check the conditions together.
न्यूनतम प्रतिच्छेद (46+41-75=12) है। जब दोनों का योग (U) से अधिक हो तो अतिव्यापन अनिवार्य होता है। / The minimum intersection is (46+41-75=12). When the sum of two sets exceeds (U), overlap is necessary.
प्रतिच्छेद छोटे समुच्चय से बड़ा नहीं हो सकता, इसलिए अधिकतम (58) है। अधिकतम स्थिति में छोटा समुच्चय बड़े के भीतर हो सकता है। / The intersection cannot be larger than the smaller set, so the maximum is (58). In the maximum case, the smaller set may lie inside the larger set.
संघ का न्यूनतम मान बड़े समुच्चय जितना हो सकता है, यानी (91)। ऐसा तब संभव है जब \(B\subseteq A\) हो। / The minimum union can be as small as the larger set, which is (91). This is possible when \(B\subseteq A\).
\(A'\cap B\) का अर्थ (B-A) है, इसलिए (38-17=21) है। प्रतीक को वेन आरेख के केवल (B) क्षेत्र से जोड़कर देखें। / \(A'\cap B\) means (B-A), so it is (38-17=21). Connect the notation with the only (B) region in the Venn diagram.
(n\(A\cap B\)=55-23=32), इसलिए (n\(A\cup B\)=55+62-32=85) है। पहले साझा भाग खोजें फिर संघ निकालें। / (n\(A\cap B\)=55-23=32), so (n\(A\cup B\)=55+62-32=85). First find the common part and then the union.
किसी भी दो सेट के लिए \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)\)। यहां हम सीधे \(n(A)\) और \(n(B)\) नहीं जानते, पर दोनों “केवल” क्षेत्रों का योग यानी \(n(A-B)+n(B-A)\) बराबर होता है \(n(A\cup B)-n(A\cap B)\)। इसलिए \(98-35=63\)। वैकल्पिक रूप से यह ही \(A\triangle B\) (symmetric difference) का आकार भी है। सबसे निकट भ्रमजनक विकल्प \(133\) है — वह \(n(A)+n(B)\) का मान होगा जिसे आप तब पाते हैं जब आप सम्मिलन सूत्र को \(n(A)+n(B)=n(A\cup B)+n(A\cap B)\) की तरह अव्यवस्थित रूप से समझ लें; पर प्रश्न सिर्फ केवल क्षेत्रों का योग पूछता है। परिक्षा-सुझाव: एक साधारण वेन चित्र बनाकर "केवल A", "केवल B" और "A∩B" को लेबल करें — इससे गणना तात्कालिक हो जाती है। / For two sets, \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)\). We do not need individual values of \(n(A)\) and \(n(B)\); the sum of the "only" regions \(n(A-B)+n(B-A)\) equals \(n(A\cup B)-n(A\cap B)\). Thus \(98-35=63\). This is also the size of the symmetric difference \(A\triangle B\). The closest distractor 133 corresponds to \(n(A)+n(B)\), which some may mistakenly choose by rearranging the union formula, but it is not the sum of only regions. Exam tip: draw a Venn diagram and label the three regions — union minus intersection gives the desired value immediately.
A. (A) का वह भाग जो \(B\cap C\) में नहीं है/The part of (A) not in \(B\cap C\)
Explanation
Simple Explanation
(A-\(B\cap C\)) में (A) के वे तत्व हैं जो \(B\cap C\) में नहीं हैं। वेन आरेख में घटाने वाला क्षेत्र हटाकर देखें। / (A-\(B\cap C\)) contains elements of (A) that are not in \(B\cap C\). In a Venn diagram, remove the subtracted region.
क्योंकि \(A\subseteq B\), इसलिए \(A\cup B=B\), और (\(A\cup B\)-A=B-A) है। उपसमुच्चय में पहले संघ को सरल करें। / Since \(A\subseteq B\), \(A\cup B=B\), and (\(A\cup B\)-A=B-A). In subset problems, simplify the union first.
यदि साझा भाग पूरा (A) है, तो (A) पूरी तरह (B) में है। इसलिए \(A\subseteq B\) सही है। / If the common part is the whole of (A), then (A) lies completely inside (B). Hence \(A\subseteq B\) is correct.
जब (A) और (B) में कोई साझा तत्व नहीं है, तो (B) को हटाने पर (A) वैसा ही रहता है। इसलिए (A-B=A) है। / When (A) and (B) have no common element, removing (B) from (A) leaves (A) unchanged. Therefore, (A-B=A).
संघ (A) जितना ही है, इसका अर्थ (B) से कोई नया क्षेत्र नहीं जुड़ रहा। इसलिए \(B\subseteq A\) है। / The union is the same size as (A), meaning (B) adds no new region. Therefore, \(B\subseteq A\).
असंबद्ध समुच्चयों में सममित अंतर पूरा संघ होता है, इसलिए (28+34=62) है। साझा भाग शून्य होने पर कुछ हटाना नहीं पड़ता। / For disjoint sets, the symmetric difference is the whole union, so (28+34=62). When the common part is zero, nothing needs to be removed.
कम से कम एक (120-24=96) है, इसलिए दोनों (66+58-96=28) हैं। पहले बाहर वाले भाग को हटाकर संघ निकालें। / At least one is (120-24=96), so both is (66+58-96=28). First remove the outside part to get the union.
एक परीक्षा में (150) विद्यार्थियों में (82) ने प्रश्न (A), (76) ने प्रश्न (B), (69) ने प्रश्न (C), (37) ने (A) और (B), (32) ने (B) और (C), (29) ने (C) और (A), तथा (15) ने तीनों हल किए। कम से कम एक प्रश्न हल करने वाले कितने हैं?
कम से कम एक (82+76+69-37-32-29+15=144) है। तीन समुच्चयों में केंद्र को अंत में जोड़ना न भूलें। / At least one is (82+76+69-37-32-29+15=144). In three sets, do not forget to add the centre at the end.
केवल \(A\cap B\) में (26-10=16) तत्व होंगे। दो-समुच्चय प्रतिच्छेद में तीनों वाला केंद्र भी शामिल रहता है। / Only \(A\cap B\) has (26-10=16) elements. A two-set intersection includes the central three-set region too.
यदि केवल \(A\cap B\) में (14), केवल \(B\cap C\) में (12), केवल \(C\cap A\) में (15) और \(A\cap B\cap C\) में (8) तत्व हैं, तो (n(\(A\cap B\)\cup\(B\cap C\)\cup\(C\cap A\))) कितना है?
यह क्षेत्र कम से कम दो समुच्चयों का भाग है, इसलिए (14+12+15+8=49) है। केंद्र को केवल एक बार जोड़ें। / This region is the part belonging to at least two sets, so (14+12+15+8=49). Add the centre only once.
संघ सभी अलग क्षेत्रों का योग (31+27+25+42+11=136) है। वेन आरेख में कोई क्षेत्र दो बार न जोड़ें। / The union is the sum of all disjoint regions (31+27+25+42+11=136). Do not add any region twice in a Venn diagram.
सूत्र में (128=70+65+60-27-24-22+x), इसलिए (x=6) है। अज्ञात केंद्र को (x) मानकर समीकरण बनाएं। / Using (128=70+65+60-27-24-22+x), we get (x=6). Let the unknown centre be (x) and form an equation.
(A\cap\(B\cup C\)) में केवल \(A\cap B\), केवल \(A\cap C\) और केंद्र आते हैं, इसलिए केंद्र (44-18-16=10) है। / (A\cap\(B\cup C\)) includes only \(A\cap B\), only \(A\cap C\), and the centre, so the centre is (44-18-16=10).
A. वे तत्व जो (A) और (B) में हैं पर (C) में नहीं हैं/Elements in (A) and (B) but not in (C)
Explanation
Simple Explanation
(B-C) में (B) के वे तत्व हैं जो (C) में नहीं हैं, और फिर (A) से साझा भाग लिया जाता है। इसलिए यह केवल \(A\cap B\) वाला भाग है। / (B-C) has elements of (B) not in (C), and then the common part with (A) is taken. So it is the only \(A\cap B\) region.
परस्पर असंबद्ध होने पर संघ (18+24+29=71) है, इसलिए पूरक (90-71=19) है। असंबद्ध समुच्चयों में कोई साझा भाग नहीं घटता। / For mutually disjoint sets, the union is (18+24+29=71), so the complement is (90-71=19). In disjoint sets, no common part is subtracted.
सभी समुच्चय (C) के भीतर हैं, इसलिए उनका संघ (C) ही होगा। उपसमुच्चय श्रृंखला में सबसे बड़ा समुच्चय संघ देता है। / All sets are inside (C), so their union is (C). In a subset chain, the largest set gives the union.
क्यों صحيح: \(A\subseteq B\subseteq C\) का अर्थ है कि A के सभी तत्त्व B और C में भी आते हैं। अतः तीनों का समन्वय (intersection) उन तत्त्वों का समूह होगा जो A में हैं, यानी \(A\cap B\cap C= A\)। निकटतम विचलन क्यों गलत है: विकल्प B गलत है क्योंकि B में A के अतिरिक्त अन्य तत्त्व हो सकते हैं; विकल्प C भी बड़ा हो सकता है; विकल्प D (\(C\setminus A\)) तो उन तत्त्वों का समूह है जो C में हैं पर A में नहीं — यह intersection नहीं हो सकता। परीक्षा-सुझाव: सूक्ष्मता के लिए उपसमुच्चय का पारगम्य गुण (transitivity) याद रखें: \(A\subseteq B\) एवं \(B\subseteq C\) से \(A\subseteq C\) और फिर किसी बड़े सेट के साथ intersection लेने पर छोटा सेट ही रहेगा। / Reasoning: From \(A\subseteq B\subseteq C\) every element of A belongs to B and to C, so A is contained in both B and C. Therefore the common elements of A, B and C are precisely the elements of A, i.e. \(A\cap B\cap C = A\). Why the closest distractor is wrong: option B is not necessarily equal because B may contain elements not in A; option C can be larger than A; option D (\(C\setminus A\)) consists of elements of C that are not in A, so it cannot represent the intersection. Exam tip: Use transitivity \(A\subseteq C\) and remember intersection with supersets gives the smallest set — a quick nested Venn sketch helps.
\(n(A\setminus B)=0\) का अर्थ है कि सेट \(A\) का कोई तत्व B के बाहर नहीं है, अर्थात् हर तत्व B में भी आता है। यह परिभाषा सीधे बताती है कि \(A\subseteq B\) होगा। विकल्प B (\(B\subseteq A\)) गलत है क्योंकि वह कहता है कि हर B का तत्व A में है — दिए गए सूचकांक से यह निष्कर्ष नहीं निकलता। विकल्प C (\(A\cap B=\varnothing\)) भी गलत है: यदि \(A\cap B=\varnothing\) होता तो \(A\setminus B=A\) होता और तब \(n(A\setminus B)=n(A)>0\) होता, जो प्रतिवाद है। परीक्षा-टिप: हमेशा \(A\setminus B\) की परिभाषा याद रखें — यह वे तत्व हैं जो A में हैं पर B में नहीं; यदि इसका कार्दिनल 0 है तो A का पूरा भाग B में है। / \(n(A\setminus B)=0\) means no element of A lies outside B, i.e. every element of A is also in B. By definition this implies \(A\subseteq B\). Option B (\(B\subseteq A\)) is not implied by the given information. Option C (\(A\cap B=\varnothing\)) is incorrect because if the intersection were empty then \(A\setminus B=A\), so \(n(A\setminus B)=n(A)>0\), contradicting the given. Exam tip: translate \(A\setminus B\) as “elements in A but not in B”; if its cardinality is zero, A is contained in B.
सूत्र से (160=70+75+80-S+18), इसलिए (S=83) है। यहाँ (S) तीनों युग्म प्रतिच्छेदों का योग है। / Using the formula (160=70+75+80-S+18), so (S=83). Here (S) is the sum of the three pairwise intersections.
A. नहीं, साझा क्षेत्रों की जानकारी चाहिए/No, information about common regions is needed
Explanation
Simple Explanation
इन अंतरों से सभी क्षेत्रों की जानकारी नहीं मिलती। संघ के लिए केवल और साझा दोनों प्रकार के क्षेत्रों की जरूरत होती है। / These differences do not give information about all regions. The union needs both only-regions and common regions.
A. अभिकथन और कारण दोनों सही हैं और कारण सही व्याख्या है/Both assertion and reason are true, and the reason is the correct explanation
Explanation
Simple Explanation
दोनों कथन सही हैं और कारण बताता है कि प्रतिच्छेद क्यों घटाते हैं। वेन आरेख में साझा क्षेत्र की दोहरी गिनती पहचानना जरूरी है। / Both statements are true, and the reason explains why the intersection is subtracted. In Venn diagrams, identifying double counting of the common region is essential.
A. अभिकथन और कारण दोनों सही हैं और कारण सही व्याख्या है/Both assertion and reason are true, and the reason is the correct explanation
Explanation
Simple Explanation
असंबद्ध होने पर प्रतिच्छेद (0) होता है, इसलिए संघ सीधा योग होता है। कारण अभिकथन की सही व्याख्या करता है। / For disjoint sets, the intersection is (0), so the union is the direct sum. The reason correctly explains the assertion.
किसी वेन आरेख में (n\(A\cup B\cup C\)=190), (n(\(A\cup B\cup C\)')=25), और ठीक दो समुच्चयों में (54) तत्व हैं। यदि (n(U)) पूछा जाए, तो उत्तर क्या होगा?
सार्वत्रिक समुच्चय (U) संघ और उसके बाहर वाले भाग का योग है, इसलिए (190+25=215) है। ठीक दो वाला आंकड़ा इस प्रश्न में अनावश्यक है। / The universal set (U) is the sum of the union and the outside region, so (190+25=215). The exactly-two data is extra here.
