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\(x^2=16\) के हल (-4) और (4) हैं इसलिए दोनों में वही अवयव हैं। परीक्षा में क्रम नहीं अवयव देखें। / The solutions of \(x^2=16\) are (-4) and (4) so both sets have the same elements. In exams compare elements not order.
एक-अवयवी उपसमुच्चय ({a},{b},{c}) होते हैं इसलिए दोनों समुच्चय बराबर हैं। परीक्षा में अवयव और उपसमुच्चय के स्तर को ध्यान से देखें। / The singleton subsets are ({a},{b},{c}), so the two sets are equal. In exams carefully check the level of elements and subsets.
दस से छोटे धनात्मक सम पूर्णांक (2,4,6,8) हैं। वर्णनात्मक रूप को रोस्टर रूप में बदलकर मिलान करें। / The positive even integers less than ten are (2,4,6,8). Convert set builder form to roster form before comparing.
विकल्प D में \({{\varnothing}}\) अवयव है जो (A) में नहीं है। रिक्त समुच्चय वाले प्रश्नों में कोष्ठकों की संख्या गिनें। / Option D contains \({{\varnothing}}\) as an element, which is not in (A). In empty set questions count the braces carefully.
समुच्चय में क्रम बदलने से समुच्चय नहीं बदलता पर ({3}) और (3) अलग हैं। नेस्टेड अवयव को अलग पहचानें। / Changing order does not change a set but ({3}) and (3) are different. Identify nested elements carefully.
\(A\subseteq B\) है और (B) में (A) के अलावा कोई नया अवयव नहीं है इसलिए दोनों में वही अवयव हैं। बराबरी सिद्ध करने में दोनों ओर सम्मिलन की सोच उपयोगी है। / Since \(A\subseteq B\) and (B) has no new element outside (A), both have the same elements. Thinking about inclusion from both sides helps prove equality.
तीन अवयवों वाले समुच्चय के उपसमुच्चय \(2^3=8\) होते हैं। कुल उपसमुच्चय में रिक्त समुच्चय और वही समुच्चय भी गिनें। / A set with three elements has \(2^3=8\) subsets. Count the empty set and the set itself among all subsets.
(|x-2|<2) से पूर्णांक (1,2,3) मिलते हैं और ({1,3}) इसके अंदर है पर बराबर नहीं है। उचित उपसमुच्चय में सभी अवयव अंदर होते हैं लेकिन पूरा समुच्चय नहीं होता। / The condition (|x-2|<2) gives integers (1,2,3), and ({1,3}) lies inside it but is not equal to it. A proper subset has all elements inside but is not the whole set.
B. \(A\subset B\) और \(A\ne B\)/\(A\subset B\) and \(A\ne B\)
Explanation
Simple Explanation
रिक्त समुच्चय हर समुच्चय का उपसमुच्चय है और ({0}) रिक्त नहीं है। \(\varnothing\) और (0) को अलग रखें। / The empty set is a subset of every set and ({0}) is not empty. Keep \(\varnothing\) and (0) different.
आठ से छोटे धनात्मक विषम पूर्णांक (1,3,5,7) हैं। शब्दों में दिए समुच्चय को अवयवों में लिखें। / The positive odd integers less than eight are (1,3,5,7). Write the described set in elements before comparing.
B. \(B\subset A\) और \(B\ne A\)/\(B\subset A\) and \(B\ne A\)
Explanation
Simple Explanation
(B) के सभी अवयव (A) में हैं लेकिन (A) में अतिरिक्त अवयव भी हैं। इसे उचित उपसमुच्चय कहते हैं। / All elements of (B) are in (A), but (A) has extra elements. This is a proper subset relation.
(B) का एकमात्र अवयव पूरा समुच्चय ({1,2}) है। उपसमुच्चय और अवयव के चिन्ह में सावधानी रखें। / The only element of (B) is the whole set ({1,2}). Be careful with subset and element symbols.
क्योंकि \(B\subset A\), इसलिए (B) का हर उपसमुच्चय (A) का भी उपसमुच्चय है। यह ट्रांजिटिव सोच का प्रयोग है। / Because \(B\subset A\), every subset of (B) is also a subset of (A). This uses transitive reasoning.
\(\varnothing\) उपसमुच्चय है लेकिन \({\varnothing}\) में अवयव \(\varnothing\) है जो (A) में नहीं है। यह सामान्य गलती है। / \(\varnothing\) is a subset, but \({\varnothing}\) has \(\varnothing\) as an element, which is not in (A). This is a common mistake.
दोनों दिशाओं में उपसमुच्चय होने का अर्थ है कि दोनों में ठीक वही अवयव हैं। बराबर समुच्चय सिद्ध करने की यह मानक विधि है। / Subset relation in both directions means both sets have exactly the same elements. This is a standard way to prove equality of sets.
कुल उपसमुच्चय (16) हैं और शून्य या एक अवयव वाले (1+4=5) हैं। इसलिए उत्तर (16-5=11) है। / There are (16) total subsets and (1+4=5) subsets with zero or one element. So the answer is (16-5=11).
A. सत्य है और (A) उचित उपसमुच्चय है/It is true and (A) is a proper subset
Explanation
Simple Explanation
(A) के सभी अवयव (B) में हैं और (B) में एक अतिरिक्त अवयव है। इसलिए (A) उचित उपसमुच्चय है। / All elements of (A) are in (B), and (B) has one extra element. Hence (A) is a proper subset.
(20) के धनात्मक भाजक (1,2,4,5,10,20) हैं। भाजक वाले प्रश्न में (1) और संख्या स्वयं न भूलें। / The positive divisors of (20) are (1,2,4,5,10,20). In divisor questions do not forget (1) and the number itself.
दोहराए गए अवयव समुच्चय में एक बार ही माने जाते हैं। इसलिए दोनों में वही अलग अवयव हैं। / Repeated elements are counted only once in a set. Therefore both have the same distinct elements.
(1) और \(\varnothing\) दोनों (A) के अवयव हैं। उपसमुच्चय में हर चुना अवयव मूल समुच्चय में होना चाहिए। / Both (1) and \(\varnothing\) are elements of (A). Every chosen element of a subset must belong to the original set.
तीन अवयवों के कुल उपसमुच्चय \(2^3=8\) हैं। उचित उपसमुच्चय में पूरा (A) हटाने पर (7) बचते हैं। / A three element set has \(2^3=8\) total subsets. Removing the whole set (A) gives (7) proper subsets.
जब \(A\subseteq B\) और दोनों के अवयवों की संख्या समान हो तो कोई अतिरिक्त अवयव नहीं बचता। इसलिए (A=B)। / When \(A\subseteq B\) and both have the same number of elements, no extra element remains. Hence (A=B).
A. क्योंकि (C) का हर अवयव (A) में है और \(A\ne C\)/Because every element of (C) is in (A) and \(A\ne C\)
Explanation
Simple Explanation
उचित उपसमुच्चय के लिए हर अवयव का सम्मिलन और असमानता दोनों चाहिए। केवल अवयवों की संख्या कम होना पर्याप्त नहीं है। / A proper subset needs inclusion of every element and inequality. Having fewer elements alone is not enough.
हर अगले समुच्चय में पिछले के सभी अवयव और एक अतिरिक्त अवयव है। इसलिए उचित उपसमुच्चय की शृंखला बनती है। / Each next set contains all elements of the previous one and one extra element. Hence it forms a chain of proper subsets.
\(A=\{3,4,5,6\}\) है और ({3,5}) इसके अंदर है पर बराबर नहीं है। इसलिए यह उचित उपसमुच्चय है। / Here \(A=\{3,4,5,6\}\), and ({3,5}) lies inside it but is not equal to it. So it is a proper subset.
B. \(A\subset B\) और \(A\ne B\)/\(A\subset B\) and \(A\ne B\)
Explanation
Simple Explanation
(A) के सभी अवयव (B) में हैं और (B) में अतिरिक्त अवयव ({1}) है। ({1}) को (1) से अलग मानें। / All elements of (A) are in (B), and (B) has the extra element ({1}). Treat ({1}) as different from (1).
समीकरण के हल (-2,2) हैं पर प्राकृतिक हल केवल (2) है। दिए हुए संख्या समुच्चय की शर्त अवश्य देखें। / The equation has roots (-2,2), but the natural solution is only (2). Always check the given number set condition.
\(A=\{2,4,6,8,12,24\}\) है और विकल्प में (2,6,8) सभी (A) में हैं। बाहरी अवयव वाला विकल्प उपसमुच्चय नहीं होता। / Here \(A=\{2,4,6,8,12,24\}\), and (2,6,8) all belong to (A). An option with an outside element is not a subset.
तीन अवयव चुनने की संख्या \(\binom{4}{3}=4\) है। ये सभी उचित हैं क्योंकि पूरा समुच्चय चार अवयवों का है। / The number of ways to choose three elements is \(\binom{4}{3}=4\). All are proper because the whole set has four elements.
क्योंकि \({1,3}\subseteq A\), इसलिए ({1,3}) पावर समुच्चय का अवयव है। पावर समुच्चय में उपसमुच्चय अवयव बनते हैं। / Since \({1,3}\subseteq A\), ({1,3}) is an element of the power set. In a power set, subsets become elements.
अऋण पूर्णांक (0) से शुरू होते हैं और (9) से छोटे होने पर (8) तक जाते हैं। इसलिए दोनों बराबर हैं। / Non-negative integers start from (0) and those less than (9) go up to (8). Hence the two sets are equal.
समुच्चय अपने आप का उपसमुच्चय है पर अपने आप का उचित उपसमुच्चय नहीं है। उचित संबंध में बराबरी हटती है। / A set is a subset of itself but not a proper subset of itself. Proper relation excludes equality.
A. (B=C) और \(B\subset A\)/(B=C) and \(B\subset A\)
Explanation
Simple Explanation
(A) के सम अवयव (2,4,6) हैं इसलिए (C=B) है और (B) (A) का उचित उपसमुच्चय है। शर्त को मूल समुच्चय के अंदर लागू करें। / The even elements of (A) are (2,4,6), so (C=B) and (B) is a proper subset of (A). Apply the condition inside the original set.
समीकरण के हल (1) और (3) हैं इसलिए दोनों समुच्चयों में वही अवयव हैं। बराबर समुच्चय में क्रम नहीं देखा जाता। / The equation has roots (1) and (3), so both sets have the same elements. In equal sets order is not considered.
हर (X) में (1) और (4) होना चाहिए तथा (2) नहीं होना चाहिए, इसलिए केवल (3) वैकल्पिक है। ऐसे प्रश्नों में अनिवार्य और निषिद्ध अवयव पहले तय करें। / Every (X) must contain (1) and (4), and must not contain (2), so only (3) is optional. In such questions, fix required and forbidden elements first.
\(2^n=64\) से (n=6) है और उचित उपसमुच्चय \(2^6-1=63\) होंगे। पावर समुच्चय और उचित उपसमुच्चय के सूत्र अलग रखें। / From \(2^n=64\), (n=6), and proper subsets are \(2^6-1=63\). Keep the formulas for power set and proper subsets separate.
(42) के अभाज्य भाजक (2,3,7) हैं। सभी भाजकों और अभाज्य भाजकों में अंतर समझें। / The prime divisors of (42) are (2,3,7). Understand the difference between all divisors and prime divisors.
(0) को निश्चित रखने पर बाकी तीन अवयव स्वतंत्र हैं इसलिए \(2^3=8\) उपसमुच्चय मिलते हैं। निश्चित अवयव को चुनकर बाकी पर गिनती करें। / Fixing (0), the remaining three elements are optional, so there are \(2^3=8\) subsets. For a fixed element, count choices for the remaining elements.
(a) हटाने के बाद चार अवयव बचते हैं और उनसे \(2^4=16\) उपसमुच्चय बनते हैं। निषिद्ध अवयव को पहले बाहर करें। / After excluding (a), four elements remain and they form \(2^4=16\) subsets. Remove the forbidden element first.
A. \(A\subset C\) उचित रूप से/(A) is a proper subset of (C)
Explanation
Simple Explanation
ट्रांजिटिव नियम से \(A\subseteq C\) और \(A\not=C\) होने से (A) उचित उपसमुच्चय है। बीच वाला समुच्चय बराबर भी हो सकता है। / By transitivity \(A\subseteq C\), and since \(A\ne C\), (A) is a proper subset. The middle set may or may not be equal.
धनात्मक पूर्ण वर्ग (1,4,9,16) हैं और (25) सीमा में शामिल नहीं है। हर शर्त को साथ में लागू करें। / The positive perfect squares are (1,4,9,16), and (25) is not included. Apply every condition together.
\(\varnothing\) और (1) दोनों (A) के अवयव हैं इसलिए \({\varnothing,1}\) उपसमुच्चय है। (0) और \(\varnothing\) अलग हैं। / Both \(\varnothing\) and (1) are elements of (A), so \({\varnothing,1}\) is a subset. (0) and \(\varnothing\) are different.
(16) के भाजकों में केवल (1) विषम है। नकारात्मक शर्त वाले प्रश्न में हटाए गए अवयवों पर ध्यान दें। / Among the factors of (16), only (1) is odd. In questions with a negative condition, pay attention to the excluded elements.
तीन या अधिक अवयवों की संख्या \(\binom{5}{3}+\binom{5}{4}+\binom{5}{5}=16\) है। आकार आधारित गिनती में संयोजन जोड़ें। / The number is \(\binom{5}{3}+\binom{5}{4}+\binom{5}{5}=16\). For size based counting, add the combinations.
समुच्चय में दोहराव नहीं गिना जाता इसलिए अलग अक्षर (L,E,V) हैं। अक्षरों वाले प्रश्न में केवल अलग अवयव गिनें। / Repetition is not counted in a set, so the distinct letters are (L,E,V). In letter based questions count only distinct elements.
\(A=\{-2,-1,0,1,2\}\) है इसलिए वही समुच्चय उपसमुच्चय है पर उचित नहीं है। उचित उपसमुच्चय पूरा समुच्चय नहीं होता। / Here \(A=\{-2,-1,0,1,2\}\), so the same set is a subset but not proper. A proper subset is not the whole set.
(P(A)) के अवयव (A) के उपसमुच्चय होते हैं और (2) स्वयं उपसमुच्चय नहीं है। ({2}) और (2) अलग हैं। / The elements of (P(A)) are subsets of (A), and (2) itself is not a subset. ({2}) and (2) are different.
कक्षा (11) में सामान्यतः \(\mathbb{N}={1,2,3,\ldots}\) लिया जाता है इसलिए दोनों (1) से (9) तक हैं। संकेत में दी गई संख्या पद्धति को ध्यान से देखें। / In Class (11), usually \(\mathbb{N}={1,2,3,\ldots}\), so both sets are (1) to (9). Read the given number system carefully.
दोनों संख्याओं के सामान्य धनात्मक भाजक (1,3,5,15) हैं। और की शर्त में समान अवयव चुनें। / The common positive divisors of both numbers are (1,3,5,15). For an and condition, choose common elements.
पावर समुच्चय में सभी उपसमुच्चय अवयव के रूप में लिखे जाते हैं। (a) नहीं बल्कि ({a}) उसका अवयव होगा। / A power set lists all subsets as elements. It contains ({a}), not (a) as the singleton subset.
\(|x|\leq 2\) में (-2) से (2) तक के सभी पूर्णांक आते हैं। मापांक में धन और ऋण दोनों पक्ष देखें। / The condition \(|x|\leq 2\) includes all integers from (-2) to (2). In modulus, check both positive and negative sides.
जो उपसमुच्चय (A) के अंदर हैं वही दोनों के लिए उपसमुच्चय होंगे और उनकी संख्या \(2^3=8\) है। साझा सीमा को छोटे समुच्चय से तय करें। / The subsets lying inside (A) are subsets of both, and their number is \(2^3=8\). Decide the common limit using the smaller set.
\(A=\{1,2,3,4,5,6,7\}\) है और (8) इसमें नहीं है। एक बाहरी अवयव पूरा उपसमुच्चय कथन गलत कर देता है। / Here \(A=\{1,2,3,4,5,6,7\}\), and (8) is not in it. One outside element makes the subset statement false.
दोनों संख्याओं के सामान्य अभाज्य भाजक (2) और (3) हैं। सामान्य भाजक और सामान्य अभाज्य भाजक अलग हो सकते हैं। / The common prime divisors of both numbers are (2) and (3). Common divisors and common prime divisors can be different.
यहाँ (1), (2), और ({1,2}) तीन अलग अवयव हैं। पूरा समुच्चय भी किसी बड़े समुच्चय का अवयव हो सकता है। / Here (1), (2), and ({1,2}) are three distinct elements. A whole set can be an element of a larger set.
B. (A) (B) का उचित उपसमुच्चय है/(A) is a proper subset of (B)
Explanation
Simple Explanation
\(A=\{-3,3\}\) है और (B) में अतिरिक्त (9) है। समीकरण के हल और समीकरण में आए स्थिरांक को अलग समझें। / Here \(A=\{-3,3\}\), and (B) has the extra element (9). Distinguish roots of an equation from constants in it.
\(A=\{25,50,75\}\) में (3) अवयव हैं इसलिए \(2^3=8\) उपसमुच्चय होंगे। सीमा में (100) शामिल नहीं है। / \(A=\{25,50,75\}\) has (3) elements, so it has \(2^3=8\) subsets. The boundary (100) is not included.
A. वह (B) ही है और (A) का उपसमुच्चय भी है/It is (B) itself and also a subset of (A)
Explanation
Simple Explanation
तीन अवयवों वाला (B) का केवल उपसमुच्चय (B) स्वयं है। क्योंकि \(B\subset A\) है इसलिए यह (A) का उपसमुच्चय भी है। / The only three element subset of (B) is (B) itself. Since \(B\subset A\), it is also a subset of (A).
(2) या (3) के गुणजों को मिलाने पर (2,3,4,6,8,9,10) मिलते हैं। या की शर्त में संघ जैसी सोच रखें। / Combining multiples of (2) or (3) gives (2,3,4,6,8,9,10). For an or condition, think like a union.
A. (B=C) और (A) (B) का उचित उपसमुच्चय है/(B=C) and (A) is a proper subset of (B)
Explanation
Simple Explanation
(B) और (C) में वही अवयव हैं और (A) में (4) नहीं है। समानता और उचित उपसमुच्चय दोनों अलग-अलग जांचें। / (B) and (C) have the same elements, and (A) does not contain (4). Check equality and proper subset separately.
(A) में अवयव समुच्चय के रूप में लिखे हैं और ({1,2}) उनमें से एक है। अंदर के (1) और (2) सीधे (A) के अवयव नहीं हैं। / The elements of (A) are written as sets, and ({1,2}) is one of them. The inner (1) and (2) are not directly elements of (A).
(40) के (10) तक के धनात्मक भाजक (1,2,4,5,8,10) हैं। सीमा की शर्त को भाजक सूची पर लगाएं। / The positive divisors of (40) up to (10) are (1,2,4,5,8,10). Apply the boundary condition to the divisor list.
(2) और (3) निश्चित हैं तथा (1,4) स्वतंत्र हैं इसलिए \(2^2=4\) उपसमुच्चय मिलते हैं। निश्चित अवयवों को पहले शामिल करें। / (2) and (3) are fixed, while (1,4) are optional, so \(2^2=4\) subsets are obtained. Include fixed elements first.
(1) अभाज्य नहीं है और (20) तक अभाज्य संख्याएं वही हैं जो (B) में हैं। अभाज्य संख्या की परिभाषा याद रखें। / The number (1) is not prime, and the primes up to (20) are exactly those in (B). Remember the definition of a prime number.
बराबर नहीं होने वाले उपसमुच्चय ही उचित उपसमुच्चय हैं और उनकी संख्या \(2^5-1=31\) है। पूरा समुच्चय केवल एक बार हटता है। / Subsets not equal to (A) are proper subsets, and their number is \(2^5-1=31\). Only the whole set is removed once.
(A) में ({1,2}) एक अवयव है पर (1) और (2) अलग से अवयव नहीं हैं। इसलिए ({1,2}) उपसमुच्चय नहीं है। / In (A), ({1,2}) is one element, but (1) and (2) are not separate elements. So ({1,2}) is not a subset.
\(A=\{1,2,3\}\) है और इसके एक-अवयवी उपसमुच्चय (3) हैं। पावर समुच्चय में ये उपसमुच्चय अवयव बनते हैं। / Here \(A=\{1,2,3\}\), and it has (3) singleton subsets. These subsets become elements of the power set.
A. \(C\subset A\subset B\) उचित रूप से/\(C\subset A\subset B\) properly
Explanation
Simple Explanation
(C) के सभी अवयव (A) में हैं और (A) के सभी अवयव (B) में हैं। प्रत्येक चरण में अतिरिक्त अवयव होने से संबंध उचित है। / All elements of (C) are in (A), and all elements of (A) are in (B). Each step is proper because there is an extra element.
(1) और (3) निश्चित हैं तथा (2,4) स्वतंत्र हैं इसलिए \(2^2=4\) उपसमुच्चय होंगे। किसी उपसमुच्चय को शामिल रखना हो तो उसके अवयव पहले तय करें। / (1) and (3) are fixed, while (2,4) are optional, so there are \(2^2=4\) subsets. When a subset must be contained, fix its elements first.
समीकरण से ((x-1)(x-3)=0), इसलिए \(A=\{1,3\}\)। बराबर समुच्चय में अवयव वही होते हैं, क्रम जरूरी नहीं। / The equation gives ((x-1)(x-3)=0), so \(A=\{1,3\}\). Equal sets have the same elements, order is not important.
समुच्चय में किसी अवयव की पुनरावृत्ति नहीं गिनी जाती। परीक्षा में पहले वास्तविक अलग-अलग अवयव लिखें। / Repeated elements are not counted in a set. In exams, first list the distinct elements.
(A) का हर अवयव (B) में है और (B) में एक अतिरिक्त अवयव है। इसलिए (A), (B) का उचित उपसमुच्चय है। / Every element of (A) is in (B), and (B) has one extra element. So (A) is a proper subset of (B).
(a) निश्चित है और (c) हटाया गया है, इसलिए (b,d,e) में से 2 चुनने हैं। संख्या \(\binom{3}{2}=3\) है। / (a) is fixed and (c) is excluded, so choose 2 from (b,d,e). The number is \(\binom{3}{2}=3\).
बराबर समुच्चयों में वही अवयव होने चाहिए, इसलिए 3 और 5 दोनों ओर होने चाहिए। ऐसे प्रश्नों में क्रम से भ्रमित न हों। / Equal sets must contain exactly the same elements, so 3 and 5 must appear on both sides. Do not be confused by order.
बराबर समुच्चय के लिए दोनों अवयव 4 और 6 ही होने चाहिए। (m=4) रखने पर ({m,m+2}={4,6}) मिलता है। / For equal sets, the two elements must be exactly 4 and 6. Substituting (m=4) gives ({m,m+2}={4,6}).
A. \({2}\in A\) और \({2}\subset A\) दोनों सत्य हैं/Both \({2}\in A\) and \({2}\subset A\) are true
Explanation
Simple Explanation
({2}) (A) का अवयव है और 2 भी (A) में है, इसलिए \({2}\subset A\) भी सत्य है। \(\in\) और \(\subset\) का अंतर ध्यान रखें। / ({2}) is an element of (A), and 2 is also in (A), so \({2}\subset A\) is also true. Keep the difference between \(\in\) and \(\subset\) clear.
12 के सभी धनात्मक गुणनखंड यही छह हैं। वर्णनात्मक रूप और सूची रूप एक ही समुच्चय दे रहे हैं। / These six numbers are exactly the positive factors of 12. Set-builder form and roster form give the same set.
सीमित समुच्चयों में यदि एक दूसरे का उपसमुच्चय हो और दोनों में समान संख्या में अवयव हों, तो वे बराबर होते हैं। यह बराबरी सिद्ध करने का उपयोगी नियम है। / For finite sets, if one is a subset of the other and both have the same number of elements, they are equal. This is a useful rule for proving equality.
4, (A) का अवयव नहीं है, इसलिए ({2,4}) उपसमुच्चय नहीं है। किसी भी विकल्प में बाहरी अवयव खोजें। / 4 is not an element of (A), so ({2,4}) is not a subset. Look for any outside element in the option.
1 को निश्चित रखें और शेष 4 अवयवों को चुनना या न चुनना स्वतंत्र है। इसलिए \(2^4=16\) उपसमुच्चय मिलते हैं। / Fix 1, and each of the remaining 4 elements may be chosen or not. So there are \(2^4=16\) subsets.
ठीक 3 अवयव चुनने के तरीके \(\binom{4}{3}=4\) हैं। क्रम बदलने से नया उपसमुच्चय नहीं बनता। / The number of ways to choose exactly 3 elements is \(\binom{4}{3}=4\). Changing order does not create a new subset.
(A) का हर अवयव (B) में है, इसलिए साझा अवयव पूरे (A) ही हैं। यह उपसमुच्चय का महत्वपूर्ण परिणाम है। / Every element of (A) is in (B), so the common elements are exactly (A). This is an important result of subset relation.
पावर सेट में सभी उपसमुच्चय अवयव के रूप में लिखे जाते हैं। इसलिए एकल अवयव भी ({1}) और ({2}) रूप में होंगे। / In a power set, all subsets are written as elements. Thus single elements appear as ({1}) and ({2}).
रिक्त समुच्चय हर समुच्चय का उपसमुच्चय है और (B) रिक्त नहीं है। इसलिए (A) उचित उपसमुच्चय है। / The empty set is a subset of every set, and (B) is not empty. Hence (A) is a proper subset.
20 से छोटे धनात्मक 6 के गुणज 6, 12 और 18 हैं। इसलिए दोनों समुच्चय समान हैं। / The positive multiples of 6 less than 20 are 6, 12 and 18. So the two sets are equal.
(A) स्वयं (A) का उपसमुच्चय है, लेकिन अपना उचित उपसमुच्चय नहीं है। इसलिए \(A\subset B\) भी असत्य है। / (A) is a subset of itself, but it is not a proper subset of itself. Also \(A\subset B\) is false here.
8 से छोटी धनात्मक विषम संख्याएं 1, 3, 5 और 7 हैं। सूची और नियम दोनों समान समुच्चय देते हैं। / The positive odd numbers less than 8 are 1, 3, 5 and 7. The list and rule give the same set.
2 निश्चित है और 11 निषिद्ध है, शेष 3 अवयव स्वतंत्र हैं। इसलिए \(2^3=8\) उपसमुच्चय हैं। / 2 is fixed and 11 is excluded, while the remaining 3 elements are optional. Hence \(2^3=8\) subsets.
कुल उपसमुच्चय \(2^4=16\) हैं। कम से कम एक अवयव के लिए रिक्त समुच्चय हटाएं, इसलिए 15। / Total subsets are \(2^4=16\). For at least one element, remove the empty set, giving 15.
5 को छोड़कर ({1,2,3,4}) से 2 अवयव चुनने हैं। संख्या \(\binom{4}{2}=6\) है। / Exclude 5 and choose 2 elements from ({1,2,3,4}). The number is \(\binom{4}{2}=6\).
A. \({1,2}\subset A\) और \({1,2}\in A\) दोनों सत्य हैं/Both \({1,2}\subset A\) and \({1,2}\in A\) are true
Explanation
Simple Explanation
(1) और (2) (A) में हैं, इसलिए \({1,2}\subset A\), और ({1,2}) भी एक अवयव है। यह मिश्रित notation का अच्छा उदाहरण है। / Since (1) and (2) are in (A), \({1,2}\subset A\), and ({1,2}) is also an element. This is a good mixed notation example.
(A) में सम अवयव 2, 4 और 6 हैं। इसलिए \(B\subset A\) और \(B=\{2,4,6\}\)। / The even elements in (A) are 2, 4 and 6. Thus \(B\subset A\) and \(B=\{2,4,6\}\).
D. न तो \(A\subseteq B\) और न ही \(B\subseteq A\)/Neither \(A\subseteq B\) nor \(B\subseteq A\)
Explanation
Simple Explanation
(a), (B) में नहीं है और (d), (A) में नहीं है। इसलिए कोई भी दूसरे का उपसमुच्चय नहीं है। / (a) is not in (B), and (d) is not in (A). Hence neither set is a subset of the other.
हर अवयव अपने ही समुच्चय में होता है, इसलिए \(A\subseteq A\) सत्य है। इसे reflexive property की तरह याद रखें। / Every element of a set is in the same set, so \(A\subseteq A\) is true. Remember it like a reflexive property.
\(A\subset B\) उचित उपसमुच्चय को दर्शाता है, इसलिए बराबरी संभव नहीं। प्रतीक \(\subset\) और \(\subseteq\) में अंतर रखें। / \(A\subset B\) denotes a proper subset, so equality is not possible. Distinguish \(\subset\) from \(\subseteq\).
कुल 16 उपसमुच्चय हैं और जिनमें न 1 है न 2, वे ({3,4}) के \(2^2=4\) उपसमुच्चय हैं। इसलिए (16-4=12)। / There are 16 total subsets, and those containing neither 1 nor 2 are the \(2^2=4\) subsets of ({3,4}). Hence (16-4=12).
1 निश्चित है और 2 नहीं लेना है, शेष 3 अवयव स्वतंत्र हैं। इसलिए \(2^3=8\) उपसमुच्चय होंगे। / 1 is fixed and 2 is excluded, while the remaining 3 elements are optional. Thus \(2^3=8\) subsets.
दोनों वर्णन ({1,2,3,4}) देते हैं। असमानता के अलग रूपों से भ्रमित न हों। / Both descriptions give ({1,2,3,4}). Do not be confused by different forms of inequalities.
1, 2 और 3 निश्चित हैं, जबकि 4 और 5 वैकल्पिक हैं। इसलिए \(2^2=4\) उपसमुच्चय होंगे। / 1, 2 and 3 are fixed, while 4 and 5 are optional. Hence \(2^2=4\) subsets.
