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\(x^2=16\) के हल (-4) और (4) हैं इसलिए दोनों में वही अवयव हैं। परीक्षा में क्रम नहीं अवयव देखें। / The solutions of \(x^2=16\) are (-4) and (4) so both sets have the same elements. In exams compare elements not order.
एक-अवयवी उपसमुच्चय ({a},{b},{c}) होते हैं इसलिए दोनों समुच्चय बराबर हैं। परीक्षा में अवयव और उपसमुच्चय के स्तर को ध्यान से देखें। / The singleton subsets are ({a},{b},{c}), so the two sets are equal. In exams carefully check the level of elements and subsets.
दस से छोटे धनात्मक सम पूर्णांक (2,4,6,8) हैं। वर्णनात्मक रूप को रोस्टर रूप में बदलकर मिलान करें। / The positive even integers less than ten are (2,4,6,8). Convert set builder form to roster form before comparing.
विकल्प D में \({{\varnothing}}\) अवयव है जो (A) में नहीं है। रिक्त समुच्चय वाले प्रश्नों में कोष्ठकों की संख्या गिनें। / Option D contains \({{\varnothing}}\) as an element, which is not in (A). In empty set questions count the braces carefully.
समुच्चय में क्रम बदलने से समुच्चय नहीं बदलता पर ({3}) और (3) अलग हैं। नेस्टेड अवयव को अलग पहचानें। / Changing order does not change a set but ({3}) and (3) are different. Identify nested elements carefully.
\(A\subseteq B\) है और (B) में (A) के अलावा कोई नया अवयव नहीं है इसलिए दोनों में वही अवयव हैं। बराबरी सिद्ध करने में दोनों ओर सम्मिलन की सोच उपयोगी है। / Since \(A\subseteq B\) and (B) has no new element outside (A), both have the same elements. Thinking about inclusion from both sides helps prove equality.
तीन अवयवों वाले समुच्चय के उपसमुच्चय \(2^3=8\) होते हैं। कुल उपसमुच्चय में रिक्त समुच्चय और वही समुच्चय भी गिनें। / A set with three elements has \(2^3=8\) subsets. Count the empty set and the set itself among all subsets.
(|x-2|<2) से पूर्णांक (1,2,3) मिलते हैं और ({1,3}) इसके अंदर है पर बराबर नहीं है। उचित उपसमुच्चय में सभी अवयव अंदर होते हैं लेकिन पूरा समुच्चय नहीं होता। / The condition (|x-2|<2) gives integers (1,2,3), and ({1,3}) lies inside it but is not equal to it. A proper subset has all elements inside but is not the whole set.
उचित उपसमुच्चय की संख्या \(2^n-1\) होती है। \(2^n-1=31\) से (n=5) मिलता है। / The number of proper subsets is \(2^n-1\). From \(2^n-1=31\), we get (n=5).
B. \(A\subset B\) और \(A\ne B\)/\(A\subset B\) and \(A\ne B\)
Explanation
Simple Explanation
रिक्त समुच्चय हर समुच्चय का उपसमुच्चय है और ({0}) रिक्त नहीं है। \(\varnothing\) और (0) को अलग रखें। / The empty set is a subset of every set and ({0}) is not empty. Keep \(\varnothing\) and (0) different.
दोनों में वही चार अलग अक्षर हैं। समुच्चय में दोहराव और क्रम का प्रभाव नहीं होता। / Both sets contain the same four distinct letters. Repetition and order do not affect a set.
आठ से छोटे धनात्मक विषम पूर्णांक (1,3,5,7) हैं। शब्दों में दिए समुच्चय को अवयवों में लिखें। / The positive odd integers less than eight are (1,3,5,7). Write the described set in elements before comparing.
B. \(B\subset A\) और \(B\ne A\)/\(B\subset A\) and \(B\ne A\)
Explanation
Simple Explanation
(B) के सभी अवयव (A) में हैं लेकिन (A) में अतिरिक्त अवयव भी हैं। इसे उचित उपसमुच्चय कहते हैं। / All elements of (B) are in (A), but (A) has extra elements. This is a proper subset relation.
(12) के अलग अभाज्य गुणनखंड (2) और (3) हैं। समुच्चय में दोहराव नहीं लिखा जाता। / The distinct prime factors of (12) are (2) and (3). Repeated factors are not repeated in a set.
(B) का एकमात्र अवयव पूरा समुच्चय ({1,2}) है। उपसमुच्चय और अवयव के चिन्ह में सावधानी रखें। / The only element of (B) is the whole set ({1,2}). Be careful with subset and element symbols.
क्योंकि \(B\subset A\), इसलिए (B) का हर उपसमुच्चय (A) का भी उपसमुच्चय है। यह ट्रांजिटिव सोच का प्रयोग है। / Because \(B\subset A\), every subset of (B) is also a subset of (A). This uses transitive reasoning.
\(\varnothing\) उपसमुच्चय है लेकिन \({\varnothing}\) में अवयव \(\varnothing\) है जो (A) में नहीं है। यह सामान्य गलती है। / \(\varnothing\) is a subset, but \({\varnothing}\) has \(\varnothing\) as an element, which is not in (A). This is a common mistake.
यदि (A) में (n) अवयव हों तो (P(A)) में \(2^n\) अवयव होते हैं। \(2^n=16\) से (n=4) है। / If (A) has (n) elements, then (P(A)) has \(2^n\) elements. From \(2^n=16\), (n=4).
पावर समुच्चय के अवयव मूल समुच्चय के उपसमुच्चय होते हैं। ({2,3}) (A) का उपसमुच्चय है। / Elements of a power set are subsets of the original set. ({2,3}) is a subset of (A).
दोनों दिशाओं में उपसमुच्चय होने का अर्थ है कि दोनों में ठीक वही अवयव हैं। बराबर समुच्चय सिद्ध करने की यह मानक विधि है। / Subset relation in both directions means both sets have exactly the same elements. This is a standard way to prove equality of sets.
(18) के विषम धनात्मक भाजक (1,3,9) हैं। सभी शर्तों को साथ में लागू करें। / The odd positive divisors of (18) are (1,3,9). Apply all conditions together.
(A) में ({2}) अवयव है पर (2) अवयव नहीं है। इसलिए ({{2},3}) उपसमुच्चय है। / The set (A) has ({2}) as an element but not (2). Therefore ({{2},3}) is a subset.
दो अवयव चुनने की संख्या \(\binom{5}{2}=10\) है। उपसमुच्चय में क्रम नहीं गिना जाता। / The number of ways to choose two elements is \(\binom{5}{2}=10\). Order is not counted in subsets.
कुल उपसमुच्चय (16) हैं और शून्य या एक अवयव वाले (1+4=5) हैं। इसलिए उत्तर (16-5=11) है। / There are (16) total subsets and (1+4=5) subsets with zero or one element. So the answer is (16-5=11).
(x-2-5x+6=(x-2)(x-3)) इसलिए हल (2,3) हैं। समीकरण के हलों को समुच्चय के अवयव बनाएं। / Since (x-2-5x+6=(x-2)(x-3)), the solutions are (2,3). Make the roots the elements of the set.
A. सत्य है और (A) उचित उपसमुच्चय है/It is true and (A) is a proper subset
Explanation
Simple Explanation
(A) के सभी अवयव (B) में हैं और (B) में एक अतिरिक्त अवयव है। इसलिए (A) उचित उपसमुच्चय है। / All elements of (A) are in (B), and (B) has one extra element. Hence (A) is a proper subset.
(20) के धनात्मक भाजक (1,2,4,5,10,20) हैं। भाजक वाले प्रश्न में (1) और संख्या स्वयं न भूलें। / The positive divisors of (20) are (1,2,4,5,10,20). In divisor questions do not forget (1) and the number itself.
दोहराए गए अवयव समुच्चय में एक बार ही माने जाते हैं। इसलिए दोनों में वही अलग अवयव हैं। / Repeated elements are counted only once in a set. Therefore both have the same distinct elements.
(1) और \(\varnothing\) दोनों (A) के अवयव हैं। उपसमुच्चय में हर चुना अवयव मूल समुच्चय में होना चाहिए। / Both (1) and \(\varnothing\) are elements of (A). Every chosen element of a subset must belong to the original set.
तीन अवयवों के कुल उपसमुच्चय \(2^3=8\) हैं। उचित उपसमुच्चय में पूरा (A) हटाने पर (7) बचते हैं। / A three element set has \(2^3=8\) total subsets. Removing the whole set (A) gives (7) proper subsets.
जब \(A\subseteq B\) और दोनों के अवयवों की संख्या समान हो तो कोई अतिरिक्त अवयव नहीं बचता। इसलिए (A=B)। / When \(A\subseteq B\) and both have the same number of elements, no extra element remains. Hence (A=B).
पूर्णांकों में \(x^2=1\) के हल (-1) और (1) हैं। ऋणात्मक हल को न छोड़ें। / In integers, the solutions of \(x^2=1\) are (-1) and (1). Do not miss the negative solution.
(36) के वर्ग भाजक (1,4,9,36) हैं। वर्ग होने और भाजक होने दोनों शर्तें जांचें। / The square divisors of (36) are (1,4,9,36). Check both conditions square and divisor.
A. क्योंकि (C) का हर अवयव (A) में है और \(A\ne C\)/Because every element of (C) is in (A) and \(A\ne C\)
Explanation
Simple Explanation
उचित उपसमुच्चय के लिए हर अवयव का सम्मिलन और असमानता दोनों चाहिए। केवल अवयवों की संख्या कम होना पर्याप्त नहीं है। / A proper subset needs inclusion of every element and inequality. Having fewer elements alone is not enough.
(15) से छोटे (3) के धनात्मक गुणज (3,6,9,12) हैं। कठोर सीमा में (15) शामिल नहीं है। / The positive multiples of (3) less than (15) are (3,6,9,12). The strict boundary excludes (15).
हर अगले समुच्चय में पिछले के सभी अवयव और एक अतिरिक्त अवयव है। इसलिए उचित उपसमुच्चय की शृंखला बनती है। / Each next set contains all elements of the previous one and one extra element. Hence it forms a chain of proper subsets.
\(A=\{3,4,5,6\}\) है और ({3,5}) इसके अंदर है पर बराबर नहीं है। इसलिए यह उचित उपसमुच्चय है। / Here \(A=\{3,4,5,6\}\), and ({3,5}) lies inside it but is not equal to it. So it is a proper subset.
B. \(A\subset B\) और \(A\ne B\)/\(A\subset B\) and \(A\ne B\)
Explanation
Simple Explanation
(A) के सभी अवयव (B) में हैं और (B) में अतिरिक्त अवयव ({1}) है। ({1}) को (1) से अलग मानें। / All elements of (A) are in (B), and (B) has the extra element ({1}). Treat ({1}) as different from (1).
\(A=\{10,20,30,40\}\) में (4) अवयव हैं। उचित उपसमुच्चय \(2^4-1=15\) होते हैं। / \(A=\{10,20,30,40\}\) has (4) elements. Proper subsets are \(2^4-1=15\).
समीकरण के हल (-2,2) हैं पर प्राकृतिक हल केवल (2) है। दिए हुए संख्या समुच्चय की शर्त अवश्य देखें। / The equation has roots (-2,2), but the natural solution is only (2). Always check the given number set condition.
\(A=\{2,4,6,8,12,24\}\) है और विकल्प में (2,6,8) सभी (A) में हैं। बाहरी अवयव वाला विकल्प उपसमुच्चय नहीं होता। / Here \(A=\{2,4,6,8,12,24\}\), and (2,6,8) all belong to (A). An option with an outside element is not a subset.
तीन अवयव चुनने की संख्या \(\binom{4}{3}=4\) है। ये सभी उचित हैं क्योंकि पूरा समुच्चय चार अवयवों का है। / The number of ways to choose three elements is \(\binom{4}{3}=4\). All are proper because the whole set has four elements.
शर्त \(0\leq x<5\) में (0) शामिल और (5) बाहर है। इसलिए अवयव (0,1,2,3,4) हैं। / The condition \(0\leq x<5\) includes (0) and excludes (5). Thus the elements are (0,1,2,3,4).
क्योंकि \({1,3}\subseteq A\), इसलिए ({1,3}) पावर समुच्चय का अवयव है। पावर समुच्चय में उपसमुच्चय अवयव बनते हैं। / Since \({1,3}\subseteq A\), ({1,3}) is an element of the power set. In a power set, subsets become elements.
अऋण पूर्णांक (0) से शुरू होते हैं और (9) से छोटे होने पर (8) तक जाते हैं। इसलिए दोनों बराबर हैं। / Non-negative integers start from (0) and those less than (9) go up to (8). Hence the two sets are equal.
समुच्चय अपने आप का उपसमुच्चय है पर अपने आप का उचित उपसमुच्चय नहीं है। उचित संबंध में बराबरी हटती है। / A set is a subset of itself but not a proper subset of itself. Proper relation excludes equality.
(30) के अभाज्य भाजक (2,3,5) हैं। (1) और (30) अभाज्य भाजक नहीं हैं। / The prime divisors of (30) are (2,3,5). The numbers (1) and (30) are not prime divisors.
A. (B=C) और \(B\subset A\)/(B=C) and \(B\subset A\)
Explanation
Simple Explanation
(A) के सम अवयव (2,4,6) हैं इसलिए (C=B) है और (B) (A) का उचित उपसमुच्चय है। शर्त को मूल समुच्चय के अंदर लागू करें। / The even elements of (A) are (2,4,6), so (C=B) and (B) is a proper subset of (A). Apply the condition inside the original set.
