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दो सीमित समुच्चयों के लिए \(n(A\times B)=n(A)\,n(B)\)। अतः \(72=8\times n(B)\), इसलिए \(n(B)=72/8=9\)। विकल्प B में \(n(A)=8\) को ही उत्तर मान लिया गया है, जबकि पूछा \(n(B)\) गया है। परीक्षा-युक्ति: कार्तीय गुणनफल की कार्डिनैलिटी में दोनों समुच्चयों की कार्डिनैलिटी का गुणन करें। / For two finite sets, \(n(A\times B)=n(A)\,n(B)\). Therefore, \(72=8\times n(B)\), giving \(n(B)=72/8=9\). Option B incorrectly repeats \(n(A)=8\), whereas the question asks for \(n(B)\). Exam tip: use the product rule for the cardinality of a Cartesian product, then divide by the known set cardinality.
(n\(A\times B\)=12) और (\(A\times B\)\cap\(C\times D\)=\(A\cap C\)\times\(B\cap D\)) में (4) अवयव हैं। इसलिए अंतर में (12-4=8) अवयव होंगे। / (n\(A\times B\)=12), and (\(A\times B\)\cap\(C\times D\)=\(A\cap C\)\times\(B\cap D\)) has (4) elements. So the difference has (12-4=8) elements.
अशून्य समुच्चयों के लिए \(A\times B=B\times A\) तभी होता है जब (A=B)। परीक्षा में खाली समुच्चय की शर्त जरूर देखें। / For non-empty sets, \(A\times B=B\times A\) only when (A=B). In exams, always check the empty-set condition.
संबंध में \(x\in A\), \(y\in B\) और \(y=x+2\) होना आवश्यक है। \(x=1\) पर \(y=3\), तथा \(x=2\) पर \(y=4\) मिलता है, इसलिए क्रमित युग्म \((1,3)\) और \((2,4)\) हैं। \(x=3\) पर \(y=5\) मिलता है, लेकिन \(5\notin B\), इसलिए \((3,5)\) शामिल नहीं होगा। परीक्षा-युक्ति: संबंध में केवल वही क्रमित युग्म लें जो दिए गए कार्तीय गुणनफल \(A\times B\) में हों। / A pair belongs to the relation only if \(x\in A\), \(y\in B\), and \(y=x+2\). For \(x=1\), we get \(y=3\), and for \(x=2\), we get \(y=4\), giving the pairs \((1,3)\) and \((2,4)\). For \(x=3\), \(y=5\), but \(5\notin B\), so \((3,5)\) is excluded. Exam tip: In a relation defined as a subset of \(A\times B\), retain only those ordered pairs whose second component belongs to \(B\).
यहां \(A=\{-2,2\}\) और \(B=\{2,3\}\), इसलिए (n\(A\times B\)=2\cdot 2=4)। परीक्षा में पहले प्रत्येक समुच्चय के अवयव निकालें। / Here \(A=\{-2,2\}\) and \(B=\{2,3\}\), so (n\(A\times B\)=2\cdot 2=4). In exams, first list each set.
( (4,2) ) में पहला अवयव (4) है जो (A) में नहीं है। परीक्षा में क्रमबद्ध युग्म में पहला स्थान (A) से और दूसरा स्थान (B) से लें। / In ( (4,2) ), the first element (4) is not in (A). In exams, take the first coordinate from (A) and the second from (B).
(\(A\times B\)\cap\(C\times D\)=\(A\cap C\)\times\(B\cap D\)), जहां \(A\cap C={2,3}\) और \(B\cap D={b}\)। इसलिए कुल \(2\cdot1=2\) अवयव हैं। / (\(A\times B\)\cap\(C\times D\)=\(A\cap C\)\times\(B\cap D\)), where \(A\cap C={2,3}\) and \(B\cap D={b}\). So there are \(2\cdot1=2\) elements.
हर \(a\in A\) के लिए \(a\in C\) और हर \(b\in B\) के लिए \(b\in D\), इसलिए \((a,b)\in C\times D\)। परीक्षा में दोनों निर्देशांकों की सदस्यता अलग जांचें। / Every \(a\in A\) lies in (C), and every \(b\in B\) lies in (D), so \((a,b)\in C\times D\). In exams, check membership of both coordinates separately.
\(2\in[1,3]\) और \(4\in(2,5)\), इसलिए \((2,4)\in A\times B\)। परीक्षा में बंद और खुले अंतराल के सिरों को ध्यान से देखें। / \(2\in[1,3]\) and \(4\in(2,5)\), so \((2,4)\in A\times B\). In exams, check endpoints of closed and open intervals carefully.
बराबर निर्देशांक वाले युग्म ((a,a)) रूप के होते हैं और ऐसे युग्मों की संख्या (n(A)) होती है। परीक्षा में इन्हें विकर्ण युग्म समझें। / Pairs with equal coordinates are of the form ((a,a)), and their number is (n(A)). In exams, treat them as diagonal pairs.
कुल युग्म \(7^2=49\) और बराबर निर्देशांक वाले (7) हैं। इसलिए अलग निर्देशांक वाले (49-7=42) हैं। / Total pairs are \(7^2=49\), and equal-coordinate pairs are (7). Hence distinct-coordinate pairs are (49-7=42).
संबंध \(A\times B\) का कोई भी उपसमुच्चय होता है और (n\(A\times B\)=20)। इसलिए कुल संबंधों की संख्या \(2^{20}\) है। / A relation is any subset of \(A\times B\), and (n\(A\times B\)=20). Hence the number of relations is \(2^{20}\).
यहां (n\(A\times B\)=3\cdot2=6)। ठीक (2) युग्म चुनने की संख्या \(\binom{6}{2}=15\) है। / Here (n\(A\times B\)=3\cdot2=6). The number of ways to choose exactly (2) pairs is \(\binom{6}{2}=15\).
दो क्रमबद्ध युग्म तभी बराबर होते हैं जब उनके संगत अवयव बराबर हों। इसलिए \(2x-1=5\) और \(y+3=10\)। पहले समीकरण से \(2x=6\), अतः \(x=3\); दूसरे से \(y=7\)। इसलिए \((x,y)=(3,7)\), अर्थात् विकल्प B सही है। परीक्षा-युक्ति: क्रमबद्ध युग्मों की तुलना हमेशा समान क्रम में करें; अवयवों का स्थान बदलने पर युग्म सामान्यतः समान नहीं रहता। / Two ordered pairs are equal only when their corresponding components are equal. Hence, \(2x-1=5\) and \(y+3=10\). The first equation gives \(2x=6\), so \(x=3\), while the second gives \(y=7\). Therefore, \((x,y)=(3,7)\), making option B correct. Exam tip: Compare the components of ordered pairs in the same position; changing their order generally changes the pair.
क्योंकि (a-2-b-2=(a+b)(a-b)), इसलिए मान \(9\cdot1=9\) है। परीक्षा में युग्म बराबरी से सीधे निर्देशांक मिलाएं। / Since (a-2-b-2=(a+b)(a-b)), the value is \(9\cdot1=9\). In exams, match coordinates directly from pair equality.
पहले निर्देशांक (1,2) हैं और दूसरे निर्देशांक (3,4) हैं। इसलिए \(A=\{1,2\}\) और \(B=\{3,4\}\)। / The first coordinates are (1,2), and the second coordinates are (3,4). Hence \(A=\{1,2\}\) and \(B=\{3,4\}\).
B. \(A=\varnothing\) या \(B=\varnothing\)/\(A=\varnothing\) or \(B=\varnothing\)
Explanation
Simple Explanation
कार्तीय गुणन खाली तभी होता है जब कम से कम एक समुच्चय खाली हो। परीक्षा में दोनों के खाली होने की जरूरत नहीं होती। / A Cartesian product is empty when at least one set is empty. In exams, both sets need not be empty.
\(B\cup C={3,4,5}\), इसलिए (n(A\times\(B\cup C\))=2\cdot3=6)। परीक्षा में पहले अंदर का समुच्चय सरल करें। / \(B\cup C={3,4,5}\), so (n(A\times\(B\cup C\))=2\cdot3=6). In exams, simplify the inner set first.
(x=0) पर (3), (x=1) पर (2), और (x=2) पर (1) विकल्प हैं। कुल (3+2+1=6) युग्म मिलते हैं। / For (x=0) there are (3) choices, for (x=1) there are (2), and for (x=2) there is (1). Total pairs are (3+2+1=6).
समीकरण \(x+y=1\) से \(y=1-x\) मिलता है। \(x\in A\) के लिए जाँच करने पर मान्य युग्म \((-1,2)\), \((0,1)\) और \((1,0)\) मिलते हैं। \(x=2\) रखने पर \(y=-1\) आता है, जो \(B\) में नहीं है; इसलिए उसे शामिल नहीं किया जाएगा। अतः कुल 3 युग्म हैं। परीक्षा-युक्ति: प्रत्येक \(x\) के लिए \(y=1-x\) निकालकर देखें कि वह \(B\) का सदस्य है या नहीं। / From \(x+y=1\), we get \(y=1-x\). Checking each \(x\in A\) gives the valid pairs \((-1,2)\), \((0,1)\), and \((1,0)\). For \(x=2\), \(y=-1\), but \(-1\notin B\), so that pair is excluded. Therefore, the total number of pairs is 3. Exam tip: for every \(x\), calculate \(y=1-x\) and verify that \(y\) belongs to \(B\).
(x=1) से (4), (x=2) से (2), (x=3) से (1), (x=4) से (1) युग्म मिलते हैं। कुल (4+2+1+1=8) है। / For (x=1) there are (4), for (x=2) there are (2), for (x=3) there is (1), and for (x=4) there is (1). Total is (4+2+1+1=8).
कुल (9) युग्म हैं और गुणनफल विषम केवल ((1,3)) तथा ((3,3)) में है। इसलिए सम गुणनफल वाले (9-2=7) हैं। / There are (9) total pairs, and the product is odd only for ((1,3)) and ((3,3)). Hence even-product pairs are (9-2=7).
(x=2) पर (1), (x=4) पर (3), और (x=6) पर (4) विकल्प हैं। कुल (1+3+4=8) नहीं बल्कि (x=6) के लिए चारों (y) सही हैं, अतः कुल (8) है। / For (x=2) there is (1) choice, for (x=4) there are (3), and for (x=6) there are (4). Hence the total is (1+3+4=8), so choose the option (8).
जब x=1 है, तब अधिकतम योग 1+8=9 होता है, इसलिए कोई युग्म मान्य नहीं है। x=3 के लिए केवल y=8 लेने पर 3+8=11>9 मिलता है, अर्थात 1 युग्म। x=5 के लिए y=6 और 8 लेने पर क्रमशः 11 और 13 मिलते हैं, अर्थात 2 युग्म। इसलिए कुल 1+2=3 युग्म हैं। परीक्षा-युक्ति: प्रत्येक x के लिए B के उन मानों की गिनती करें जो 9−x से बड़े हों। / For x=1, the maximum possible sum is 1+8=9, so no pair qualifies. For x=3, only y=8 gives 3+8=11>9, contributing 1 pair. For x=5, y=6 and y=8 give sums 11 and 13, contributing 2 pairs. Hence, the total number of ordered pairs is 1+2=3. Exam tip: For each value of x, count the elements of B that are greater than 9−x.
\(B\) के प्रत्येक \(y\) मान के लिए \(x=2y-1\) निकालते हैं: \(y=1\) पर \(x=1\), \(y=2\) पर \(x=3\), और \(y=3\) पर \(x=5\)। इस प्रकार युग्म \((1,1),(3,2),(5,3)\) प्राप्त होते हैं और इन सभी में पहला घटक \(A\) तथा दूसरा घटक \(B\) में है। इसलिए कुल 3 युग्म हैं। परीक्षा में ध्यान रखें कि \(A\times B\) में पहले घटक का \(A\) और दूसरे घटक का \(B\) से होना आवश्यक है। / For each value of \(y\) in \(B\), calculate \(x=2y-1\): when \(y=1\), \(x=1\); when \(y=2\), \(x=3\); and when \(y=3\), \(x=5\). Thus the ordered pairs are \((1,1),(3,2),(5,3)\), and every first component belongs to \(A\) while every second component belongs to \(B\). Therefore, the total number of pairs is 3. Exam tip: in \(A\times B\), the first entry must come from \(A\) and the second from \(B\).
शर्त \(y=2x\) के अनुसार प्रत्येक \(x\in A\) के लिए \(y\) का मान जाँचते हैं। इससे क्रमित युग्म \((1,2),(2,4),(4,8),(8,16)\) प्राप्त होते हैं और सभी में दूसरा घटक \(B\) में है। इसलिए कुल \(4\) युग्म हैं। विकल्प 3 में एक वैध युग्म छूट जाता है। परीक्षा-युक्ति: ऐसी गणना में पहले \(A\) के प्रत्येक अवयव का \(2x\) निकालकर देखें कि वह \(B\) में है या नहीं। / Using \(y=2x\), check the value of \(2x\) for each \(x\in A\). The valid ordered pairs are \((1,2),(2,4),(4,8),(8,16)\), and each second component belongs to \(B\). Hence, there are \(4\) pairs. Option 3 misses one valid pair. Exam tip: for this type of question, compute \(2x\) for every element of \(A\) and retain it only when the result lies in \(B\).
\(A\) के प्रत्येक मान के लिए \(y=x^2\) निकालने पर क्रमशः \((0,0),(1,1),(2,4),(3,9)\) प्राप्त होते हैं। इन चारों युग्मों में पहला अवयव \(A\) में और दूसरा अवयव \(B\) में है, इसलिए सभी \(A\times B\) के सदस्य हैं। अतः कुल \(4\) युग्म हैं। विकल्प 3 में एक युग्म छूट जाता है, जबकि विकल्प 5 में एक अतिरिक्त युग्म गिना जाता है। परीक्षा-युक्ति: ऐसे प्रश्नों में \(A\) के प्रत्येक \(x\) का वर्ग निकालकर जाँचें कि वह \(B\) में है या नहीं। / For each \(x\in A\), the equation \(y=x^2\) gives the pairs \((0,0),(1,1),(2,4),(3,9)\). In every pair, the first component belongs to \(A\) and the second component belongs to \(B\), so all four pairs are in \(A\times B\). Therefore, the answer is \(4\). The value 3 misses one valid pair, while 5 counts an extra pair. Exam tip: square each element of \(A\) and count only those results that belong to \(B\).
योग सम तब होगा जब दोनों संख्याएं समान समता की हों। विषम-विषम (4) और सम-सम (1) मिलकर कुल (5) युग्म देते हैं। / The sum is even when both numbers have the same parity. Odd-odd gives (4) pairs and even-even gives (1), so total is (5).
(x+y=5) और दोनों निर्देशांक (1) से (4) में होने चाहिए। इसलिए चार युग्म ((1,4),(2,3),(3,2),(4,1)) मिलते हैं। / (x+y=5), and both coordinates must lie from (1) to (4). Thus the four pairs are ((1,4),(2,3),(3,2),(4,1)).
\(B\times A\) में पहला निर्देशांक (B) से और दूसरा (A) से आता है। इसलिए ((1,a)) सही है। / In \(B\times A\), the first coordinate comes from (B) and the second from (A). Hence ((1,a)) is correct.
(\(A\times B\)\times C) का अवयव (((a,b),c)) रूप का होता है। इसलिए (((1,3),5)) सही संरचना है। / An element of (\(A\times B\)\times C) has the form (((a,b),c)). Therefore (((1,3),5)) has the correct structure.
सामान्यतः \(A\times B\neq B\times A\) क्योंकि क्रम बदल जाता है। परीक्षा में ((a,b)) और ((b,a)) को अलग समझें। / Generally \(A\times B\neq B\times A\) because the order changes. In exams, treat ((a,b)) and ((b,a)) as different.
पहले प्रतिच्छेद ज्ञात करें: \(A\cap C=\{2,3\}\) और \(B\cap C=\{3,4\}\)। दोनों समुच्चयों में 2-2 अवयव हैं। इसलिए कार्तीय गुणनफल में अवयवों की संख्या \(|A\cap C|\times|B\cap C|=2\times2=4\) होगी। 6 या 8 जैसे विकल्प प्रतिच्छेदों के आकारों का गलत गुणन या अनावश्यक जोड़ दर्शाते हैं। परीक्षा-युक्ति: \(|X\times Y|=|X|\,|Y|\) सूत्र याद रखें। / First find the intersections: \(A\cap C=\{2,3\}\) and \(B\cap C=\{3,4\}\). Each intersection has 2 elements, so the Cartesian product has \(|A\cap C|\times|B\cap C|=2\times2=4\) elements. The options 6 and 8 result from incorrectly combining the set sizes rather than multiplying them. Exam tip: remember \(|X\times Y|=|X|\,|Y|\).
मान लें \(n(B)=m\)। तब \(n(A)=m+2\) और कार्तीय गुणनफल के लिए \(n(A\times B)=n(A)n(B)\) होता है। इसलिए \(m(m+2)=24\), अर्थात् \(m^2+2m-24=0\)। इसके हल \(m=4\) और \(m=-6\) हैं, लेकिन समुच्चय की cardinality ऋणात्मक नहीं हो सकती। अतः \(n(A)=m+2=6\)। परीक्षा-युक्ति: कार्तीय गुणनफल में अवयवों की संख्या दोनों समुच्चयों की cardinalities के गुणनफल के बराबर होती है। / Let \(n(B)=m\). Then \(n(A)=m+2\), and the cardinality of a Cartesian product is given by \(n(A\times B)=n(A)n(B)\). Hence, \(m(m+2)=24\), or \(m^2+2m-24=0\). Its roots are \(m=4\) and \(m=-6\), but a set’s cardinality cannot be negative. Therefore, \(n(A)=m+2=6\). Exam tip: The number of ordered pairs in \(A\times B\) equals the product of the cardinalities of \(A\) and \(B\).
कार्तीय गुणनफल के लिए \(n(X\times Y)=n(X)n(Y)\)। अतः \(n(A)\cdot5=30\), इसलिए \(n(A)=6\); इसी प्रकार \(5\cdot n(C)=30\), इसलिए \(n(C)=6\)। अब \(n(A\times C)=n(A)n(C)=6\cdot6=36\)। विकल्प 30 केवल दिए गए गुणनफल की संख्या को दोहराता है, जबकि पूछा गया गुणनफल \(A\times C\) का है। परीक्षा-युक्ति: साझा समुच्चय \(B\) की cardinality से पहले \(A\) और \(C\) की cardinalities निकालें। / For Cartesian products, \(n(X\times Y)=n(X)n(Y)\). Thus, \(n(A)\cdot5=30\), so \(n(A)=6\); similarly, \(5\cdot n(C)=30\), so \(n(C)=6\). Therefore, \(n(A\times C)=n(A)n(C)=6\cdot6=36\). Option 30 merely repeats the given product cardinality, whereas the question asks for the cardinality of \(A\times C\). Exam tip: first determine the cardinalities of the two outer sets using the shared set \(B\).
यदि \(A=\{1,2,3\}\) और \(B=\{1,2,3,4\}\) हों, तो \(A\times B\) में ऐसे क्रमित युग्मों की संख्या कितनी है जिनमें पहला निर्देशांक दूसरे निर्देशांक से बड़ा हो?
\(A\times B\) के युग्म \((x,y)\) में \(x>y\) होना चाहिए। \(x=1\) के लिए कोई मान्य \(y\) नहीं है; \(x=2\) के लिए केवल \(y=1\), और \(x=3\) के लिए \(y=1,2\) मिलते हैं। अतः युग्म \((2,1),(3,1),(3,2)\) हैं और कुल संख्या \(1+2=3\) है। इसलिए सही विकल्प B है। परीक्षा-युक्ति: प्रत्येक \(x\) के लिए उससे छोटे \(y\) मानों की संख्या गिनकर जोड़ें। / For an ordered pair \((x,y)\) in \(A\times B\), we need \(x>y\). When \(x=1\), there is no valid \(y\); when \(x=2\), only \(y=1\) works; and when \(x=3\), \(y=1,2\) work. Thus the pairs are \((2,1),(3,1),(3,2)\), giving \(1+2=3\) pairs. Hence option B is correct. Exam tip: For each first coordinate, count the elements of \(B\) that are smaller than it, then add those counts.
प्रत्येक \(x\) के लिए अनुमत \(y\) मान गिनें। \(x=1\) पर 4 मान, \(x=2\) पर 3 मान, \(x=3\) पर 2 मान और \(x=4\) पर 1 मान मिलता है। इसलिए कुल क्रमित युग्म \(4+3+2+1=10\) हैं। अतः सही विकल्प C है। ध्यान रखें कि \((x,y)\) क्रमित युग्म है, इसलिए क्रम और प्रत्येक \(x\) के लिए अनुमत \(y\) मान दोनों का ध्यान रखना आवश्यक है। / Count the allowed values of \(y\) for each value of \(x\). For \(x=1\), there are 4 choices; for \(x=2\), 3 choices; for \(x=3\), 2 choices; and for \(x=4\), 1 choice. Thus, the total number of ordered pairs is \(4+3+2+1=10\), so option C is correct. Remember that \((x,y)\) is an ordered pair, and the count must include every valid \(y\) for each fixed \(x\).
यदि \(A=\{0,2,4\}\) और \(B=\{1,3,5\}\) हैं, तो \(A\times B\) में ऐसे क्रमित युग्मों की संख्या कितनी है जिनका दूसरा निर्देशांक पहले निर्देशांक से 1 अधिक है?
शर्त है कि दूसरे निर्देशांक \(y\) का मान पहले निर्देशांक \(x\) से 1 अधिक हो, अर्थात \(y=x+1\)। \(A\times B\) में इस शर्त को संतुष्ट करने वाले युग्म \((0,1),(2,3),(4,5)\) हैं। इसलिए ऐसे कुल 3 युग्म हैं। विकल्प 4 इसलिए गलत है क्योंकि \(A\) के प्रत्येक तत्व के साथ \(B\) का तत्व 1 अधिक नहीं बनता। परीक्षा-युक्ति: ऐसे प्रश्नों में पहले शर्त को समीकरण के रूप में लिखकर प्रत्येक संभावित \(x\) के लिए \(y\) जाँचें। / The condition is that the second coordinate \(y\) is exactly 1 greater than the first coordinate \(x\), so \(y=x+1\). The pairs in \(A\times B\) satisfying this condition are \((0,1),(2,3),(4,5)\). Hence, there are 3 such pairs. Option 4 is incorrect because every element of \(A\) does not produce a corresponding element of \(B\) that is exactly 1 greater. Exam tip: Rewrite the coordinate condition as an equation and check the possible values systematically.
विषम (x) मान (1,3,5) हैं और इनके वर्ग (1,9,25) (B) में हैं। इसलिए कुल (3) युग्म हैं। / The odd values of (x) are (1,3,5), and their squares (1,9,25) are in (B). Hence there are (3) pairs.
योग (3,5,7) अभाज्य हो सकते हैं। सही युग्म ((1,2),(1,4),(2,3),(3,2),(3,4)) हैं, इसलिए (5) युग्म हैं। / The prime sums possible are (3,5,7). The valid pairs are ((1,2),(1,4),(2,3),(3,2),(3,4)), so there are (5) pairs.
(x=1) से (4), (x=2) से (4), (x=3) से (1), और (x=4) से (2) युग्म मिलते हैं। कुल (4+4+1+2=11) है। / For (x=1) there are (4), for (x=2) there are (4), for (x=3) there is (1), and for (x=4) there are (2). Total is (11).
कुल (9) युग्म हैं और बराबर निर्देशांक वाले (3) हैं। इसलिए \(x\neq y\) वाले (9-3=6) युग्म हैं। / There are (9) total pairs and (3) equal-coordinate pairs. Hence pairs with \(x\neq y\) are (9-3=6).
(x=2) पर (4,6,10), (x=3) पर (6,15), और (x=5) पर (10,15) सही हैं। कुल (3+2+2=7) नहीं बल्कि ((5,15)) सहित (7) है, इसलिए सही विकल्प (7) होना चाहिए। / For (x=2), (4,6,10) work; for (x=3), (6,15) work; for (x=5), (10,15) work. The total is (3+2+2=7), so the correct option is (7).
x = 1 के लिए y ≥ 3 होना चाहिए, इसलिए y के 3 मान (3, 4, 5) मिलते हैं। x = 2 के लिए y ≥ 4, इसलिए 2 मान (4, 5) मिलते हैं। x = 3 के लिए केवल y = 5 संभव है। अतः कुल युग्म 3 + 2 + 1 = 6 हैं। 7 का चयन अतिरिक्त युग्म गिनने के कारण गलत होगा। परीक्षा-युक्ति: प्रत्येक x के लिए B में x + 2 या उससे बड़े y मान गिनें। / For x = 1, we need y ≥ 3, giving 3 values: 3, 4, and 5. For x = 2, we need y ≥ 4, giving 2 values: 4 and 5. For x = 3, only y = 5 is possible. Therefore, the total number of ordered pairs is 3 + 2 + 1 = 6. The distractor 7 results from counting one extra pair. Exam tip: for each x, count the elements of B that are at least x + 2.
योग (3) या (6) हो सकता है। सही युग्म ((1,2),(2,1),(2,4),(3,3),(4,2)) हैं, इसलिए (5) युग्म हैं। / The sum can be (3) or (6). Valid pairs are ((1,2),(2,1),(2,4),(3,3),(4,2)), so there are (5) pairs.
यहाँ \(x\in A\) और \(y\in B\) होना चाहिए। \(x=0\) पर \(y^2=1\), इसलिए दो युग्म \((0,-1)\\\) और \((0,1)\) मिलते हैं। \(x=1\) पर \(y=0\), इसलिए \((1,0)\) एक और युग्म है। \(x=2\) पर \(y^2=-3\), जो संभव नहीं है। अतः कुल \(3\) युग्म हैं। परीक्षा-युक्ति: पहले \(A\) के प्रत्येक मान को रखकर \(y^2=1-x^2\) जाँचें; इससे कोई युग्म छूटेगा नहीं। / Here, \(x\in A\) and \(y\in B\). For \(x=0\), \(y^2=1\), giving \((0,-1)\) and \((0,1)\). For \(x=1\), \(y=0\), giving \((1,0)\). For \(x=2\), \(y^2=-3\), which is impossible for a real element of \(B\). Therefore, the total number of ordered pairs is \(3\). Exam tip: substitute each value of \(x\) and check \(y^2=1-x^2\) against the set \(B\).
शर्त \(x+y=0\) से \(y=-x\) मिलता है। \(y\) का मान \(B\) में होने के लिए \(x\) केवल \(-1,0,1\) हो सकता है। अतः क्रमित युग्म \((-1,1),(0,0),(1,-1)\) हैं और इनकी संख्या \(3\) है। परीक्षा-युक्ति: कार्तीय गुणनफल में क्रमित युग्म \((x,y)\) में पहला अवयव \(A\) और दूसरा अवयव \(B\) से होना चाहिए। / From \(x+y=0\), we get \(y=-x\). Since \(y\) must belong to \(B\), the possible values of \(x\) are only \(-1,0,1\). The valid ordered pairs are \((-1,1),(0,0),(1,-1)\), so their number is \(3\). Exam tip: In \(A\times B\), the first element of each ordered pair must come from \(A\), and the second must come from \(B\).
\(A\) के प्रत्येक \(x\) के लिए \(y=2x-1\) निकालते हैं: \(x=1,2,3,4\) पर क्रमशः \(y=1,3,5,7\) प्राप्त होता है। ये सभी मान \(B\) में हैं, इसलिए क्रमित युग्म \((1,1),(2,3),(3,5),(4,7)\) और कुल 4 हैं। 3 चुनना गलत होगा, क्योंकि चौथा युग्म \((4,7)\) भी शर्त पूरी करता है। परीक्षा-युक्ति: प्रत्येक \(x\) के लिए प्राप्त \(y\) का \(B\) में होना अवश्य जाँचें। / For each \(x\in A\), calculate \(y=2x-1\). The values are \(1,3,5,7\) for \(x=1,2,3,4\), respectively. All these values belong to \(B\), giving the ordered pairs \((1,1),(2,3),(3,5),(4,7)\). Therefore, the total is 4. Choosing 3 is incorrect because \((4,7)\) also satisfies the condition. Exam tip: after calculating \(y\), always verify that it belongs to the second set \(B\).
प्रत्येक \(x\in A\) के लिए \(y\in B\) जाँचते हैं। \(x=1\) पर चारों मान \(2,4,6,8\) उपयुक्त हैं और \(x=2\) पर भी चारों मान उपयुक्त हैं। \(x=3\) पर केवल \(y=6\) के लिए \(6/3=2\) पूर्णांक है। इसलिए कुल युग्म \(4+4+1=9\) हैं। परीक्षा-युक्ति: ऐसे प्रश्नों में प्रत्येक \(x\) के लिए उपयुक्त \(y\) की संख्या अलग-अलग गिनें। / Check the elements of \(B\) for each value of \(x\in A\). For \(x=1\), all four values \(2,4,6,8\) give an integer quotient, and for \(x=2\), all four do so as well. For \(x=3\), only \(y=6\) works because \(6/3=2\) is an integer. Hence, the total number of ordered pairs is \(4+4+1=9\). Exam tip: count the valid values of \(y\) separately for each \(x\).
समीकरण (xy-x-y=0) से ((x-1)(y-1)=1) मिलता है। धनात्मक पूर्णांकों में केवल ((2,2)) सही है, इसलिए संख्या (1) है। / The equation (xy-x-y=0) gives ((x-1)(y-1)=1). Among positive integers, only ((2,2)) works, so the count is (1).
