Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
संबंध में \(x\in A\), \(y\in B\) और \(y=x+2\) होना आवश्यक है। \(x=1\) पर \(y=3\), तथा \(x=2\) पर \(y=4\) मिलता है, इसलिए क्रमित युग्म \((1,3)\) और \((2,4)\) हैं। \(x=3\) पर \(y=5\) मिलता है, लेकिन \(5\notin B\), इसलिए \((3,5)\) शामिल नहीं होगा। परीक्षा-युक्ति: संबंध में केवल वही क्रमित युग्म लें जो दिए गए कार्तीय गुणनफल \(A\times B\) में हों। / A pair belongs to the relation only if \(x\in A\), \(y\in B\), and \(y=x+2\). For \(x=1\), we get \(y=3\), and for \(x=2\), we get \(y=4\), giving the pairs \((1,3)\) and \((2,4)\). For \(x=3\), \(y=5\), but \(5\notin B\), so \((3,5)\) is excluded. Exam tip: In a relation defined as a subset of \(A\times B\), retain only those ordered pairs whose second component belongs to \(B\).
समीकरण \(x+y=1\) से \(y=1-x\) मिलता है। \(x\in A\) के लिए जाँच करने पर मान्य युग्म \((-1,2)\), \((0,1)\) और \((1,0)\) मिलते हैं। \(x=2\) रखने पर \(y=-1\) आता है, जो \(B\) में नहीं है; इसलिए उसे शामिल नहीं किया जाएगा। अतः कुल 3 युग्म हैं। परीक्षा-युक्ति: प्रत्येक \(x\) के लिए \(y=1-x\) निकालकर देखें कि वह \(B\) का सदस्य है या नहीं। / From \(x+y=1\), we get \(y=1-x\). Checking each \(x\in A\) gives the valid pairs \((-1,2)\), \((0,1)\), and \((1,0)\). For \(x=2\), \(y=-1\), but \(-1\notin B\), so that pair is excluded. Therefore, the total number of pairs is 3. Exam tip: for every \(x\), calculate \(y=1-x\) and verify that \(y\) belongs to \(B\).
मान लें \(n(B)=m\)। तब \(n(A)=m+2\) और कार्तीय गुणनफल के लिए \(n(A\times B)=n(A)n(B)\) होता है। इसलिए \(m(m+2)=24\), अर्थात् \(m^2+2m-24=0\)। इसके हल \(m=4\) और \(m=-6\) हैं, लेकिन समुच्चय की cardinality ऋणात्मक नहीं हो सकती। अतः \(n(A)=m+2=6\)। परीक्षा-युक्ति: कार्तीय गुणनफल में अवयवों की संख्या दोनों समुच्चयों की cardinalities के गुणनफल के बराबर होती है। / Let \(n(B)=m\). Then \(n(A)=m+2\), and the cardinality of a Cartesian product is given by \(n(A\times B)=n(A)n(B)\). Hence, \(m(m+2)=24\), or \(m^2+2m-24=0\). Its roots are \(m=4\) and \(m=-6\), but a set’s cardinality cannot be negative. Therefore, \(n(A)=m+2=6\). Exam tip: The number of ordered pairs in \(A\times B\) equals the product of the cardinalities of \(A\) and \(B\).
प्रत्येक \(x\) के लिए अनुमत \(y\) मान गिनें। \(x=1\) पर 4 मान, \(x=2\) पर 3 मान, \(x=3\) पर 2 मान और \(x=4\) पर 1 मान मिलता है। इसलिए कुल क्रमित युग्म \(4+3+2+1=10\) हैं। अतः सही विकल्प C है। ध्यान रखें कि \((x,y)\) क्रमित युग्म है, इसलिए क्रम और प्रत्येक \(x\) के लिए अनुमत \(y\) मान दोनों का ध्यान रखना आवश्यक है। / Count the allowed values of \(y\) for each value of \(x\). For \(x=1\), there are 4 choices; for \(x=2\), 3 choices; for \(x=3\), 2 choices; and for \(x=4\), 1 choice. Thus, the total number of ordered pairs is \(4+3+2+1=10\), so option C is correct. Remember that \((x,y)\) is an ordered pair, and the count must include every valid \(y\) for each fixed \(x\).
प्रत्येक \(x\in A\) के लिए \(y\in B\) जाँचते हैं। \(x=1\) पर चारों मान \(2,4,6,8\) उपयुक्त हैं और \(x=2\) पर भी चारों मान उपयुक्त हैं। \(x=3\) पर केवल \(y=6\) के लिए \(6/3=2\) पूर्णांक है। इसलिए कुल युग्म \(4+4+1=9\) हैं। परीक्षा-युक्ति: ऐसे प्रश्नों में प्रत्येक \(x\) के लिए उपयुक्त \(y\) की संख्या अलग-अलग गिनें। / Check the elements of \(B\) for each value of \(x\in A\). For \(x=1\), all four values \(2,4,6,8\) give an integer quotient, and for \(x=2\), all four do so as well. For \(x=3\), only \(y=6\) works because \(6/3=2\) is an integer. Hence, the total number of ordered pairs is \(4+4+1=9\). Exam tip: count the valid values of \(y\) separately for each \(x\).
