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यदि \(A=\{1,2,3,4,5\}\) और \(B=\{2,3,4,5,6,7\}\) हैं, तो \(A\times B\) में ऐसे कितने क्रमित युग्म \((a,b)\) हैं जिनके लिए \(a+b\) अभाज्य है और \(a<b\) है?
शर्त \(a<b\) और अभाज्य योग को साथ-साथ जाँचें। \(a=1\) के लिए \(b=2,4,6\) से योग \(3,5,7\) मिलते हैं, इसलिए 3 युग्म हैं। \(a=2\) के लिए \(b=3,5\) से 2 युग्म, \(a=3\) के लिए \(b=4\) से 1 युग्म, \(a=4\) के लिए \(b=7\) से 1 युग्म और \(a=5\) के लिए \(b=6\) से 1 युग्म मिलते हैं। कुल \(3+2+1+1+1=8\) युग्म हैं। अतः सही उत्तर B है। परीक्षा-युक्ति: प्रत्येक \(a\) के लिए केवल \(b>a\) वाले मान लिखकर उनके योगों की अभाज्यता जाँचें। / Apply both conditions simultaneously. For \(a=1\), the values \(b=2,4,6\) give the prime sums \(3,5,7\), contributing 3 pairs. For \(a=2\), \(b=3,5\) contribute 2 pairs; for \(a=3\), \(b=4\) contributes 1 pair; for \(a=4\), \(b=7\) contributes 1 pair; and for \(a=5\), \(b=6\) contributes 1 pair. Thus the total is \(3+2+1+1+1=8\) pairs. Therefore, option B is correct. Exam tip: for each \(a\), list only elements \(b>a\), then test whether \(a+b\) is prime.
यदि \(A=\{1,2,3,4\}\), \(B=\{1,2,3\}\) और \(C=\{0,1\}\) हैं, तो \(A\times B\times C\) में ऐसे कितने क्रमित त्रिक \((a,b,c)\) हैं जो \(a=b+c\) को संतुष्ट करते हैं?
हर \((b,c)\) के लिए \(a=b+c\) निश्चित रूप से एक ही मान देता है। जब \(c=0\), तो \(a=1,2,3\) मिलते हैं; और जब \(c=1\), तो \(a=2,3,4\) मिलते हैं। ये सभी मान \(A\) में हैं, इसलिए कुल \(3+3=6\) क्रमित त्रिक हैं। समान \(a\) मानों को अलग-अलग \((b,c)\) युग्मों के कारण अलग त्रिक माना जाता है। परीक्षा में पहले \((b,c)\) के सभी युग्म गिनकर प्रत्येक के लिए \(a\) की वैधता जाँचें। / For every pair \((b,c)\), the equation \(a=b+c\) determines exactly one value of \(a\). When \(c=0\), the values of \(a\) are \(1,2,3\); when \(c=1\), they are \(2,3,4\). All these values belong to \(A\), so the total number of ordered triples is \(3+3=6\). Repeated values of \(a\) still correspond to different triples because their \((b,c)\) pairs are different. In an exam, count the possible \((b,c)\) pairs first and then check whether the resulting \(a\) lies in \(A\).
शर्त a<b को संतुष्ट करने वाले युग्म हैं (1,2), (1,3), (1,4), (2,3), (2,4), (3,4), इसलिए इनकी संख्या 6 है। शर्त a+b=5 को संतुष्ट करने वाले 4 युग्म हैं: (1,4), (2,3), (3,2), (4,1)। इनमें (1,4) और (2,3) दोनों शर्तों को संतुष्ट करते हैं, इसलिए उन्हें दो बार नहीं गिनना चाहिए। अतः कुल संख्या 6+4−2=8 है। परीक्षा-युक्ति: ‘या’ वाली दो शर्तों में समावेशन-बहिष्करण सूत्र |P∪Q|=|P|+|Q|−|P∩Q| लगाएँ। / The ordered pairs satisfying a<b are (1,2), (1,3), (1,4), (2,3), (2,4), and (3,4), giving 6 pairs. The pairs satisfying a+b=5 are (1,4), (2,3), (3,2), and (4,1), giving 4 pairs. The pairs (1,4) and (2,3) satisfy both conditions, so they must not be counted twice. Therefore, the required number is 6+4−2=8. Exam tip: For two conditions joined by ‘or’, use |P∪Q|=|P|+|Q|−|P∩Q|.
a = 1 के लिए 1² < b, अर्थात b > 1; इसलिए b = 2, 3, 4, 5 के 4 क्रमित युग्म मिलते हैं। a = 2 के लिए 4 < b केवल b = 5 पर सत्य है, इसलिए 1 युग्म मिलता है। a = 3 और 4 के लिए a² क्रमशः 9 और 16 है, जो B के किसी भी अवयव से छोटा नहीं है। अतः |R| = 4 + 1 = 5। परीक्षा-युक्ति: प्रत्येक a के लिए B में उन b का अलग-अलग गिनना करें जो a² से बड़े हों। / For a = 1, the condition 1² < b means b > 1, giving b = 2, 3, 4, 5 and hence 4 ordered pairs. For a = 2, the condition 4 < b is satisfied only by b = 5, giving 1 pair. For a = 3 and 4, a² is 9 and 16 respectively, so no element of B satisfies the condition. Therefore, |R| = 4 + 1 = 5. Exam tip: Count the valid values of b in B separately for each value of a.
R में (2,5) इसलिए है क्योंकि 2+5=7। प्रतिलोम संबंध R⁻¹ में प्रत्येक क्रमित युग्म के निर्देशांक उलट जाते हैं, अतः (5,2)∈R⁻¹। विकल्प (2,4) और (4,5) के लिए निर्देशांकों का योग 7 नहीं है, जबकि (1,6), A×B का युग्म ही नहीं है क्योंकि 6∉B। परीक्षा-युक्ति: प्रतिलोम संबंध में युग्म के स्थान बदलें, मानों को नहीं। / The pair (2,5) belongs to R because 2+5=7. In the inverse relation R⁻¹, the coordinates of every ordered pair are interchanged; hence (5,2)∈R⁻¹. The pairs (2,4) and (4,5) do not satisfy the required sum of 7, while (1,6) is not in A×B because 6∉B. Exam tip: To form an inverse relation, interchange the coordinates of each ordered pair.
यदि \(A=\{1,2,3\}\) और \(B=\{1,2,3,4,5,6\}\) हैं, तो \(A\times B\) में ऐसे कितने क्रमित युग्म \((a,b)\) हैं जिनके लिए \(b\), \(a\) का गुणज है और \(b\ne a\) है?
जब \(a=1\), तो \(b\) के 6 संभावित गुणज हैं: 1, 2, 3, 4, 5, 6। जब \(a=2\), तो 3 गुणज हैं: 2, 4, 6; और जब \(a=3\), तो 2 गुणज हैं: 3, 6। अतः कुल युग्म \(6+3+2=11\) हैं। इनमें \((1,1),(2,2),(3,3)\) में \(b=a\) है, इसलिए इन्हें हटाने पर \(11-3=8\) युग्म बचते हैं। परीक्षा-युक्ति: पहले प्रत्येक \(a\) के लिए \(B\) में उपलब्ध गुणज गिनें, फिर समान अवयव वाले युग्म हटाएँ। / For \(a=1\), there are 6 possible multiples of \(a\) in \(B\): 1, 2, 3, 4, 5, 6. For \(a=2\), there are 3: 2, 4, 6; and for \(a=3\), there are 2: 3, 6. Thus, the total number of pairs before applying \(b\ne a\) is \(6+3+2=11\). The three pairs \((1,1),(2,2),(3,3)\) have \(b=a\), so they must be excluded. Therefore, the required number is \(11-3=8\). Exam tip: count the available multiples for each value of \(a\), then remove the equal-coordinate pairs.
a = 1 के लिए (1, 2) और (1, 3), a = 2 के लिए (2, 4) और (2, 6), तथा a = 3 के लिए केवल (3, 6) प्राप्त होता है। a = 4 के लिए 2a = 8 और 3a = 12, जो B में नहीं हैं। इसलिए R = {(1, 2), (1, 3), (2, 4), (2, 6), (3, 6)} और |R| = 5। ध्यान दें कि (2, 6) और (3, 6) में दूसरा घटक समान है, फिर भी वे अलग-अलग क्रमित युग्म हैं। परीक्षा-युक्ति: संबंध के युग्म गिनते समय प्रत्येक a के लिए जाँच करें कि प्राप्त b, B में है या नहीं। / For a = 1, the pairs are (1, 2) and (1, 3); for a = 2, they are (2, 4) and (2, 6); and for a = 3, only (3, 6) is valid. For a = 4, 2a = 8 and 3a = 12, neither of which belongs to B. Thus, R = {(1, 2), (1, 3), (2, 4), (2, 6), (3, 6)}, so |R| = 5. Although (2, 6) and (3, 6) have the same second component, they are distinct ordered pairs. Exam tip: Check whether each resulting b belongs to B before counting the ordered pair.
प्रत्येक \(a\in A\) के लिए \(a^2\) का modulo \(5\) में ठीक एक अवशेष \(b\in B\) मिलता है। क्रमशः अवशेष \(0,1,4,4,1\) प्राप्त होते हैं, इसलिए पाँच अलग-अलग क्रमित युग्म बनते हैं। भले ही कुछ \(b\) मान दोहरते हैं, \(a\) अलग होने के कारण युग्म अलग रहते हैं। अतः \(|R|=5\)। परीक्षा में संबंध के युग्मों की गिनती करते समय केवल अलग-अलग \(b\) मान नहीं, बल्कि पूरे क्रमित युग्म गिनें। / For every \(a\in A\), there is exactly one residue \(b\in B\) congruent to \(a^2 \pmod{5}\). The residues for \(a=0,1,2,3,4\) are \(0,1,4,4,1\), respectively, so five ordered pairs are formed. Although some values of \(b\) repeat, the pairs remain distinct because their first components are different. Hence, \(|R|=5\). In an exam, count complete ordered pairs rather than only the distinct second components.
यदि \(A=\{1,2,3,4,5\}\) और \(B=\{1,2,3,4,5\}\) हैं, तो \(A\times B\) में ऐसे कितने क्रमित युग्म \((a,b)\) हैं जिनके लिए \(a+b\) सम है और \(ab\), \(3\) से विभाज्य है?
\(a+b\) के सम होने के लिए \(a\) और \(b\) की समता समान होनी चाहिए। \(ab\) के \(3\) से विभाज्य होने के लिए \(a\) या \(b\) में से कम-से-कम एक का मान \(3\) होना चाहिए, क्योंकि समुच्चय में \(3\) का एकमात्र गुणज \(3\) है। संख्या \(3\) विषम है, इसलिए दोनों संख्याएँ विषम होनी चाहिए। विषम संख्याएँ \(\{1,3,5\}\) हैं। अतः ऐसे क्रमित युग्मों की संख्या \(3\times3-2\times2=9-4=5\) नहीं, बल्कि शर्त \(a=3\) या \(b=3\) लगाने पर \(3+3-1=5\) होगी। इसलिए सही उत्तर \(5\) है; दिए गए विकल्पों में यह उपलब्ध नहीं है। प्रश्न के विकल्पों में तथ्यात्मक त्रुटि है। परीक्षा-टिप: पहले समता की शर्त लगाएँ, फिर विभाज्यता की शर्त से युग्मों को छाँटें। / For \(a+b\) to be even, \(a\) and \(b\) must have the same parity. For \(ab\) to be divisible by \(3\), at least one of \(a\) or \(b\) must be \(3\), since \(3\) is the only multiple of \(3\) in the set. Because \(3\) is odd, both entries must be odd. Among the odd values \(\{1,3,5\}\), the ordered pairs with \(a=3\) or \(b=3\) number \(3+3-1=5\), where \((3,3)\) is counted only once. Thus the correct answer is \(5\), which is not present among the supplied options. The original options contain a factual error. Exam tip: apply the parity condition first, then filter the remaining ordered pairs using divisibility.
\(b-a=0\) के लिए क्रमित युग्म \((1,1),(2,2),(3,3),(4,4)\) मिलते हैं, अर्थात् 4 युग्म। \(b-a=2\) के लिए \((1,3),(2,4),(3,5)\) मिलते हैं, अर्थात् 3 युग्म। दोनों स्थितियाँ अलग हैं, इसलिए \(|R|=4+3=7\)। ध्यान रखें कि संबंध के युग्म क्रमित होते हैं और केवल \(A\times B\) में आने वाले युग्म ही गिने जाते हैं। / For \(b-a=0\), the ordered pairs are \((1,1),(2,2),(3,3),(4,4)\), giving 4 pairs. For \(b-a=2\), the valid pairs are \((1,3),(2,4),(3,5)\), giving 3 pairs. These cases do not overlap, so \(|R|=4+3=7\). A common mistake is to count only the two possible differences or to include pairs outside \(A\times B\); always list the valid ordered pairs within the given sets.
यदि \(A=\{1,2,3\}\), \(B=\{1,2,3\}\) और \(C=\{1,2\}\) हैं, तो \(A\times B\times C\) में ऐसे कितने क्रमित त्रिक \((a,b,c)\) हैं जो \(a+b=2c+1\) को संतुष्ट करते हैं?
जब \(c=1\), तब \(a+b=3\) होना चाहिए। \(A\) और \(B\) से इसके लिए क्रमित युग्म \((1,2)\ ext{ और }(2,1)\) मिलते हैं, अर्थात 2 त्रिक। जब \(c=2\), तब \(a+b=5\) होना चाहिए और क्रमित युग्म \((2,3)\text{ और }(3,2)\) मिलते हैं, अर्थात 2 त्रिक। इसलिए कुल त्रिक \(2+2=4\) हैं। ध्यान दें कि क्रमित युग्मों में क्रम बदलने पर अलग युग्म माना जाता है। / For \(c=1\), the condition becomes \(a+b=3\). The ordered pairs from \(A\) and \(B\) are \((1,2)\) and \((2,1)\), giving 2 triples. For \(c=2\), the condition becomes \(a+b=5\), with ordered pairs \((2,3)\) and \((3,2)\), giving 2 more triples. Hence, the total number of triples is \(2+2=4\). Remember that reversing an ordered pair produces a different pair.
\(a^2-b^2=0\) को \((a-b)(a+b)=0\) लिखा जा सकता है। चूँकि \(a,b\) दोनों \(1\) से \(5\) तक धनात्मक हैं, इसलिए \(a+b\neq 0\), अतः \(a-b=0\), अर्थात् \(a=b\)। ऐसे क्रमित युग्म \((1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5)\) हैं, इसलिए कुल \(5\) युग्म हैं। परीक्षा-युक्ति: ऐसे प्रश्नों में पहले समीकरण को गुणनखंडित करके देखें कि कौन-सी शर्त वास्तव में संभव है। / The equation \(a^2-b^2=0\) factors as \((a-b)(a+b)=0\). Since both \(a\) and \(b\) are positive integers from \(1\) to \(5\), \(a+b\neq 0\); hence \(a=b\). The valid ordered pairs are \((1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5)\), giving a total of \(5\) pairs. Exam tip: Factor a difference of squares first, then apply the restrictions on the elements of the sets.
