Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
(A=[2,5)) में (2) से (5) से छोटी सभी वास्तविक संख्याएं आती हैं। / The interval (A=[2,5)) contains all real numbers from (2) up to but not including (5).
Step 2
Why this answer is correct
ये सभी संख्याएं (1) से बड़ी और (5) से छोटी हैं, इसलिए वे (B=(1,5)) में भी आती हैं। / All these numbers are greater than (1) and less than (5), so they also lie in (B=(1,5)).
Step 3
Exam Tip
परीक्षा संकेत: अंतरालों में उपसमुच्चय जांचते समय दोनों सिरों की सीमा और शामिल होने की स्थिति ध्यान से देखें। / Exam tip: while checking interval subsets, compare both limits and endpoint inclusion carefully.
A. \(\varnothing\in A\)/\(\varnothing\) belongs to (A)
Step 1
Concept
किसी समुच्चय में जो चीज सीधे अवयव के रूप में लिखी हो, वह उस समुच्चय की सदस्य होती है। / Anything written directly as an element of a set belongs to that set.
Step 2
Why this answer is correct
यहाँ \(\varnothing\) सीधे (A) के अंदर लिखा है, इसलिए \(\varnothing\in A\) सही है। / Here \(\varnothing\) is directly listed inside (A), so \(\varnothing\in A\) is correct.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा संकेत: \(\varnothing\) और \({\varnothing}\) में अंतर ध्यान से समझें। / Exam tip: carefully distinguish between \(\varnothing\) and \({\varnothing}\).
उचित उपसमुच्चय में सभी अवयव मूल समुच्चय में होते हैं, पर वह मूल समुच्चय के बराबर नहीं होता। / A proper subset has all its elements in the given set but is not equal to it.
Step 2
Why this answer is correct
({2,4}) के दोनों अवयव (A) में हैं और यह (A) से छोटा है। / Both (2) and (4) are in (A), and ({2,4}) is not equal to (A).
Step 3
Exam Tip
परीक्षा संकेत: बराबर समुच्चय को उचित उपसमुच्चय न मानें। / Exam tip: the whole set is a subset, but not a proper subset of itself.
A. \(\varnothing \subseteq A\)/\(\varnothing\) is a subset of (A)
Step 1
Concept
खाली समुच्चय में कोई अवयव नहीं होता, इसलिए उसके बाहर जाने वाला कोई अवयव बचता ही नहीं। / The empty set has no element that can violate the subset condition.
Step 2
Why this answer is correct
इसी कारण \(\varnothing\) हर समुच्चय का उपसमुच्चय माना जाता है। / So \(\varnothing\) is considered a subset of every set (A).
Step 3
Exam Tip
परीक्षा संकेत: \(\varnothing \subseteq A\) और \(\varnothing \in A\) में अंतर याद रखें। / Exam tip: do not confuse \(\varnothing \subseteq A\) with \(\varnothing \in A\).
\(x\ne 0\) का अर्थ है कि (0) को छोड़कर सभी वास्तविक संख्याएं लेनी हैं। / \(x\ne 0\) means all real numbers except (0).
Step 2
Why this answer is correct
(0) से छोटी संख्याएं (\(-\infty,0\)) में और (0) से बड़ी संख्याएं (\(0,\infty\)) में आती हैं। / Numbers less than (0) form (\(-\infty,0\)), and numbers greater than (0) form (\(0,\infty\)).
Step 3
Exam Tip
परीक्षा संकेत: किसी एक बिंदु को हटाने पर अक्सर दो खुले अंतराल बनते हैं। / Exam tip: removing one point from the real line often creates two open intervals.
(A) की सभी संख्याएं (-1) से (3) तक हैं। / All numbers in (A) lie from (-1) to (3).
Step 2
Why this answer is correct
ये सभी संख्याएं (-2) और (4) के बीच आती हैं, इसलिए \(A\subseteq B\) सही है। / All of them are between (-2) and (4), so \(A\subseteq B\) is correct.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा संकेत: अंतरालों की तुलना करते समय दोनों सीमाओं और सिरों को साथ में देखें। / Exam tip: while comparing intervals, check both limits and endpoint inclusion together.
गोल कोष्ठक वाला सिरा शामिल नहीं होता और चौकोर कोष्ठक वाला सिरा शामिल होता है। / A round bracket excludes an endpoint, while a square bracket includes it.
Step 2
Why this answer is correct
((5,10]) में (5) बाहर है और (10) अंदर है। / In ((5,10]), (5) is excluded and (10) is included.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा संकेत: दाहिने सिरे पर (]) देखकर (10) को शामिल मानें। / Exam tip: the symbol (]) on the right means the right endpoint is included.
\(x\ge -3\) में (-3) शामिल है और उसके बाद की सभी वास्तविक संख्याएं भी शामिल हैं। / In \(x\ge -3\), (-3) is included along with all larger real numbers.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए बायां सिरा चौकोर और दायां सिरा \(\infty\) के साथ गोल होगा। / So the left endpoint is square and the infinity side is round.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा संकेत: \(\ge\) देखकर शुरुआती संख्या को शामिल करें। / Exam tip: the symbol \(\ge\) includes the boundary number.
A. \(\mathbb{N}\subseteq \mathbb{Z}\subseteq \mathbb{Q}\subseteq \mathbb{R}\)
Step 1
Concept
प्राकृतिक संख्याएं पूर्णांकों में आती हैं, पूर्णांक परिमेय संख्याओं में आते हैं और परिमेय संख्याएं वास्तविक संख्याओं में आती हैं। / Natural numbers are inside integers, integers are inside rational numbers, and rational numbers are inside real numbers.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए श्रृंखला \(\mathbb{N}\subseteq \mathbb{Z}\subseteq \mathbb{Q}\subseteq \mathbb{R}\) सही है। / Hence \(\mathbb{N}\subseteq \mathbb{Z}\subseteq \mathbb{Q}\subseteq \mathbb{R}\) is correct.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा संकेत: संख्या परिवारों का क्रम छोटे से बड़े समुच्चय की ओर याद रखें। / Exam tip: remember the number sets from smaller to larger collections.
\(\mathbb{R}\) में सभी वास्तविक संख्याएं आती हैं। / \(\mathbb{R}\) contains all real numbers.
Step 2
Why this answer is correct
हर पूर्णांक वास्तविक संख्या होता है, इसलिए \(\mathbb{Z}\subseteq \mathbb{R}\)। / Every integer is a real number, so \(\mathbb{Z}\subseteq \mathbb{R}\).
Step 3
Exam Tip
परीक्षा संकेत: (i) वाली संख्याएं सामान्य रूप से वास्तविक संख्या नहीं मानी जातीं। / Exam tip: numbers involving (i) are not real numbers in this basic context.
\(\mathbb{Q}\) में वे संख्याएं आती हैं जिन्हें \(\frac{p}{q}\) के रूप में लिखा जा सके। / \(\mathbb{Q}\) contains numbers that can be written as \(\frac{p}{q}\).
Step 2
Why this answer is correct
\(\frac{3}{4}\) परिमेय है और हर परिमेय संख्या वास्तविक भी होती है। / \(\frac{3}{4}\) is rational, and every rational number is also real.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा संकेत: परिमेय संख्या हमेशा वास्तविक संख्याओं के बड़े समुच्चय में आती है। / Exam tip: every rational number is inside the set of real numbers.
वास्तविक संख्याओं की रेखा पर दो अलग संख्याओं के बीच भी अनंत बिंदु होते हैं। / On the real number line, there are infinitely many points between two distinct numbers.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) में (1) और (2) नहीं हैं, फिर भी उनके बीच अनंत वास्तविक संख्याएं हैं। / Even though (1) and (2) are excluded, ((1,2)) still has infinitely many real numbers.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा संकेत: अंतराल को केवल पूर्णांकों की सूची न समझें। / Exam tip: do not treat an interval as only a list of integers.
((2,5)) में वे संख्याएं आती हैं जो (2) से बड़ी और (5) से छोटी हों। / The interval ((2,5)) contains numbers greater than (2) and less than (5).
Step 2
Why this answer is correct
(3) इस शर्त को पूरा करता है, जबकि (2) और (5) सिरे होने के कारण शामिल नहीं हैं। / (3) satisfies this condition, while (2) and (5) are excluded endpoints.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा संकेत: खुले अंतराल में दोनों छोर नहीं गिने जाते। / Exam tip: open intervals do not include their endpoints.
([2,5]) में (2) से (5) तक की सभी वास्तविक संख्याएं शामिल हैं, दोनों सिरे भी शामिल हैं। / ([2,5]) contains all real numbers from (2) to (5), including both endpoints.
Step 2
Why this answer is correct
(6), (5) से बड़ा है, इसलिए यह अंतराल में नहीं है। / (6) is greater than (5), so it is outside the interval.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा संकेत: बंद अंतराल में सिरे आते हैं, पर सीमा से बाहर की संख्या नहीं आती। / Exam tip: a closed interval includes endpoints, but not numbers outside its limits.
((2,4)) में केवल (2) और (4) के बीच की संख्याएं हैं। / ((2,4)) contains only the numbers between (2) and (4).
Step 2
Why this answer is correct
([2,4]) में वे सभी संख्याएं और दोनों सिरे भी हैं, इसलिए ((2,4)) उसका उपसमुच्चय है। / ([2,4]) contains those numbers plus both endpoints, so \((2,4)\subseteq[2,4]\).
Step 3
Exam Tip
परीक्षा संकेत: खुला अंतराल अपने उसी सीमा वाले बंद अंतराल में समा जाता है। / Exam tip: an open interval is contained in the closed interval with the same endpoints.
B. यह असत्य है क्योंकि (2) और (4) खुले अंतराल में नहीं हैं/it is false because (2) and (4) are not in the open interval
Step 1
Concept
([2,4]) में (2) और (4) दोनों शामिल हैं। / ([2,4]) includes both (2) and (4).
Step 2
Why this answer is correct
((2,4)) में ये दोनों सिरे शामिल नहीं हैं, इसलिए पूरा ([2,4]) उसके अंदर नहीं जा सकता। / ((2,4)) excludes these endpoints, so the whole set ([2,4]) cannot be inside it.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा संकेत: उपसमुच्चय में एक भी बाहरी अवयव मिलने पर कथन गलत हो जाता है। / Exam tip: one outside element is enough to make a subset statement false.
दोनों ओर केवल (<) है, इसलिए दोनों सीमाएं शामिल नहीं होंगी। / Both sides use (<), so neither boundary is included.
Step 2
Why this answer is correct
(-1) और (3) के बीच की सभी वास्तविक संख्याएं ((-1,3)) से लिखी जाती हैं। / All real numbers between (-1) and (3) are written as ((-1,3)).
Step 3
Exam Tip
परीक्षा संकेत: समुच्चय रूप से अंतराल रूप में बदलते समय असमानता के चिन्हों को ध्यान से पढ़ें। / Exam tip: while converting set-builder form to interval form, read the inequality signs carefully.
A. (a) और (b) दोनों शामिल हैं/both (a) and (b) are included
Step 1
Concept
चौकोर कोष्ठक का अर्थ है कि संबंधित सिरा शामिल है। / A square bracket means the corresponding endpoint is included.
Step 2
Why this answer is correct
([a,b]) में दोनों ओर चौकोर कोष्ठक हैं, इसलिए (a) और (b) दोनों शामिल हैं। / In ([a,b]), both ends have square brackets, so both (a) and (b) are included.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा संकेत: बंद अंतराल में दोनों सीमाएं गिनी जाती हैं। / Exam tip: a closed interval includes both boundary values.
A. क्योंकि (A) का हर अवयव (A) में ही होता है/because every element of (A) is in (A)
Step 1
Concept
उपसमुच्चय की शर्त केवल यह देखती है कि पहले समुच्चय का हर अवयव दूसरे में है या नहीं। / The subset condition checks whether every element of the first set is in the second set.
Step 2
Why this answer is correct
(A) का हर अवयव स्वाभाविक रूप से (A) में ही होता है। / Every element of (A) is naturally in (A) itself.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा संकेत: हर समुच्चय स्वयं का उपसमुच्चय होता है। / Exam tip: every set is a subset of itself.
वास्तविक संख्या रेखा दोनों दिशाओं में बिना अंत तक फैलती है। / The real number line extends endlessly in both directions.
Step 2
Why this answer is correct
इसे (\(-\infty,\infty\)) से दर्शाते हैं और \(\infty\) के साथ गोल कोष्ठक लगते हैं। / It is represented as (\(-\infty,\infty\)), with round brackets at infinity.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा संकेत: \(\infty\) कोई वास्तविक सिरा नहीं है, इसलिए उसे शामिल नहीं करते। / Exam tip: \(\infty\) is not a real endpoint, so it is never included.
((0,1)) की हर संख्या (0) से बड़ी और (1) से छोटी है। / Every number in ((0,1)) is greater than (0) and less than (1).
Step 2
Why this answer is correct
ऐसी हर संख्या (0) से बड़ी और (2) से छोटी भी होगी, इसलिए वह ((0,2)) में आती है। / Such a number is also greater than (0) and less than (2), so it belongs to ((0,2)).
Step 3
Exam Tip
परीक्षा संकेत: उपसमुच्चय जांचते समय पूरे अंतराल की सीमा देखें। / Exam tip: compare the full interval limits while checking subset relation.
A. क्योंकि (0), ([0,1]) में है पर ((0,1]) में नहीं है/because (0) is in ([0,1]) but not in ((0,1])
Step 1
Concept
([0,1]) में (0) शामिल है। / ([0,1]) includes (0).
Step 2
Why this answer is correct
((0,1]) में (0) शामिल नहीं है, इसलिए ([0,1]) की हर संख्या दूसरे अंतराल में नहीं जाती। / ((0,1]) does not include (0), so not every element of ([0,1]) is in the second interval.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा संकेत: उपसमुच्चय में सीमा बिंदु सबसे आम गलती बनते हैं। / Exam tip: endpoint checking often decides subset questions.
(P) के अवयव (2,3,5,7) हैं। / The elements of (P) are (2,3,5,7).
Step 2
Why this answer is correct
ये चारों अवयव (Q) में मिलते हैं, इसलिए \(P\subseteq Q\)। / All four are present in (Q), so \(P\subseteq Q\).
Step 3
Exam Tip
परीक्षा संकेत: बड़े समुच्चय में अतिरिक्त अवयव होने से उपसमुच्चय संबंध टूटता नहीं है। / Exam tip: extra elements in the larger set do not break the subset relation.
\(A\subseteq B\) बताता है कि (A) के सभी अवयव (B) में हैं। / \(A\subseteq B\) says all elements of (A) are in (B).
Step 2
Why this answer is correct
\(A\ne B\) बताता है कि (A), (B) के बराबर नहीं है, इसलिए (A) उचित उपसमुच्चय है। / \(A\ne B\) says (A) is not equal to (B), so (A) is a proper subset of (B).
Step 3
Exam Tip
परीक्षा संकेत: उचित उपसमुच्चय में बराबरी की अनुमति नहीं होती। / Exam tip: equality is not allowed in a proper subset.
([1,6)) में (1) शामिल है लेकिन (6) शामिल नहीं है। / In ([1,6)), (1) is included but (6) is not included.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए शर्त \(1\le x<6\) होगी। / Therefore the condition is \(1\le x<6\).
Step 3
Exam Tip
परीक्षा संकेत: पहले बाएं कोष्ठक से बाईं असमानता और फिर दाएं कोष्ठक से दाईं असमानता तय करें। / Exam tip: decide the left inequality from the left bracket and the right inequality from the right bracket.
([0,10]) में (0) से (10) तक की सभी वास्तविक संख्याएं हैं। / ([0,10]) contains all real numbers from (0) to (10).
Step 2
Why this answer is correct
((2,8]) की हर संख्या इसी सीमा के अंदर आती है। / Every number in ((2,8]) lies within this range.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा संकेत: उपसमुच्चय अंतराल चुनते समय दोनों सिरों को मूल सीमा के अंदर रखें। / Exam tip: while choosing a subset interval, keep both endpoints within the original limits.
((1,4)) में (1) से बड़ी और (4) से छोटी सभी वास्तविक संख्याएं आती हैं। / ((1,4)) contains all real numbers greater than (1) and less than (4).
Step 2
Why this answer is correct
\(\frac{3}{2}\), (1) से बड़ा और (4) से छोटा है, इसलिए यह (A) में है। / \(\frac{3}{2}\) is greater than (1) and less than (4), so it belongs to (A).
Step 3
Exam Tip
परीक्षा संकेत: अंतराल में केवल पूर्णांक नहीं, भिन्न और दशमलव भी आ सकते हैं। / Exam tip: intervals include fractions and decimals too, not just integers.
