Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
तीन तत्वों वाले समुच्चय के उपसमुच्चय \(2^3=8\) होते हैं। परीक्षा में घात समुच्चय की संख्या के लिए \(2^n\) याद रखें। / A set with three elements has \(2^3=8\) subsets. For exams remember \(2^n\) for number of elements in a power set.
पहले (A'={3,4,5,6}) मिलेगा जिसमें (4) तत्व हैं। इसलिए (\mathcal{P}(A')) में \(2^4=16\) तत्व होंगे। / First (A'={3,4,5,6}), which has (4) elements. So (\mathcal{P}(A')) has \(2^4=16\) elements.
घात समुच्चय किसी समुच्चय के सभी उपसमुच्चयों का समुच्चय होता है। परीक्षा में तत्व और उपसमुच्चय में अंतर रखें। / A power set is the set of all subsets of a given set. In exams keep the difference between element and subset clear.
({a}) समुच्चय (A) का उपसमुच्चय है इसलिए यह (\mathcal{P}(A)) का तत्व है। घात समुच्चय के तत्व हमेशा उपसमुच्चय होते हैं। / ({a}) is a subset of (A) so it is an element of (\mathcal{P}(A)). Elements of a power set are always subsets.
रिक्त समुच्चय का एक ही उपसमुच्चय \(\emptyset\) होता है। इसलिए (\mathcal{P}\(\emptyset\)={\emptyset}) है। / The empty set has only one subset which is \(\emptyset\). Hence (\mathcal{P}\(\emptyset\)={\emptyset}).
A. चर्चा में सभी संबंधित तत्वों का समुच्चय/set of all relevant elements under discussion
Explanation
Simple Explanation
सार्वत्रिक समुच्चय उस संदर्भ के सभी संबंधित तत्व रखता है। प्रश्न में दिए गए संदर्भ को देखकर (U) तय करें। / The universal set contains all relevant elements in the given context. Decide (U) from the context of the question.
पूरक में (U) के वे तत्व आते हैं जो (A) में नहीं हैं। यहां (1,3,5) (A) में नहीं हैं। / The complement contains elements of (U) that are not in (A). Here (1,3,5) are not in (A).
एक तत्व वाले समुच्चय के उपसमुच्चय \(\emptyset\) और ({x}) हैं। इसलिए घात समुच्चय \({\emptyset,{x}}\) है। / A one element set has subsets \(\emptyset\) and ({x}). So its power set is \({\emptyset,{x}}\).
({3}) समुच्चय ({1,2}) का उपसमुच्चय नहीं है। इसलिए यह घात समुच्चय का तत्व नहीं हो सकता। / ({3}) is not a subset of ({1,2}). So it cannot be an element of the power set.
रिक्त समुच्चय हर समुच्चय का उपसमुच्चय होता है। इसलिए \(\emptyset\) हर घात समुच्चय का तत्व है। / The empty set is a subset of every set. Therefore \(\emptyset\) is an element of every power set.
पूरक के सभी तत्व सार्वत्रिक समुच्चय (U) से ही लिए जाते हैं। इसलिए \(A'\subseteq U\) होता है। / All elements of a complement are taken from the universal set (U). Hence \(A'\subseteq U\).
जब (A=U) हो तो (U) में (A) के बाहर कोई तत्व नहीं बचता। इसलिए \(A'=\emptyset\) है। / When (A=U), no element remains outside (A) in (U). Hence \(A'=\emptyset\).
रिक्त समुच्चय में कोई तत्व नहीं होता इसलिए उसका पूरक पूरा (U) होता है। परीक्षा में \(\emptyset'=U\) याद रखें। / The empty set has no elements so its complement is the whole (U). Remember \(\emptyset'=U\) for exams.
दो तत्वों वाले समुच्चय के चार उपसमुच्चय होते हैं। इनमें \(\emptyset\) और पूरा समुच्चय भी शामिल होते हैं। / A two element set has four subsets. These include \(\emptyset\) and the whole set itself.
हर मूल तत्व से एक एकल उपसमुच्चय बनता है। इसलिए पांच एक तत्व वाले उपसमुच्चय होंगे। / Each original element forms one singleton subset. So there will be five one element subsets.
A. हां क्योंकि \(A\subseteq A\)/Yes because \(A\subseteq A\)
Explanation
Simple Explanation
हर समुच्चय स्वयं का उपसमुच्चय होता है। इसलिए \(A\in \mathcal{P}(A)\) सही है। / Every set is a subset of itself. Therefore \(A\in \mathcal{P}(A)\) is correct.
B. विद्यालय के वे विद्यार्थी जो कक्षा (11) में नहीं हैं/school students not in class (11)
Explanation
Simple Explanation
पूरक (U) के अंदर (A) से बाहर के तत्वों को दिखाता है। यहां यह कक्षा (11) में न पढ़ने वाले विद्यालय के विद्यार्थी हैं। / The complement shows elements inside (U) but outside (A). Here it means school students who are not in class (11).
क्योंकि \(8=2^3\), इसलिए (n(A)=3) है। घात समुच्चय से मूल संख्या निकालते समय \(2^n\) मिलाएं। / Since \(8=2^3\), (n(A)=3). Match the power set size with \(2^n\) to find the original number.
(A) में एक तत्व है और वह \(\emptyset\) है। इसलिए (n(\mathcal{P}(A))=21=2) है। / (A) has one element and that element is \(\emptyset\). Therefore (n(\mathcal{P}(A))=21=2).
(A) के उपसमुच्चय \(\emptyset\) और \({\emptyset}\) हैं। इसलिए उसका घात समुच्चय \({\emptyset,{\emptyset}}\) है। / The subsets of (A) are \(\emptyset\) and \({\emptyset}\). So its power set is \({\emptyset,{\emptyset}}\).
(\mathcal{P}(A)) में उपसमुच्चय होते हैं, सीधे तत्व नहीं। ({1}) उपसमुच्चय है इसलिए सही है। / (\mathcal{P}(A)) contains subsets, not direct elements. ({1}) is a subset, so it is correct.
(E) में सम संख्याएं हैं और (U) में बची संख्याएं (1,3,5) हैं। इसलिए (E'={1,3,5}) है। / (E) contains even numbers and the remaining numbers in (U) are (1,3,5). Hence (E'={1,3,5}).
({1,5}) (A) का उपसमुच्चय है लेकिन (A) का सीधा तत्व नहीं है। इसलिए यह (\mathcal{P}(A)) का तत्व है। / ({1,5}) is a subset of (A) but not a direct element of (A). So it is an element of (\mathcal{P}(A)).
क्योंकि \(32=2^5\), मूल समुच्चय में (5) तत्व होंगे। घात समुच्चय की संख्या हमेशा (2) की घात होती है। / Since \(32=2^5\), the original set has (5) elements. The size of a power set is always a power of (2).
(0) तत्वों वाले समुच्चय के लिए \(2^0=1\) होता है। इसलिए रिक्त समुच्चय का घात समुच्चय एक तत्व वाला है। / For a set with (0) elements, \(2^0=1\). So the power set of the empty set has one element.
पूरक में (U) के वे तत्व आते हैं जो (A) में नहीं हैं। यहां (ख) और (घ) बचते हैं। / The complement contains elements of (U) not in (A). Here (b) and (d) remain.
यदि पूरक (4,5) है तो (A) में (U) के बाकी तत्व होंगे। इसलिए \(A=\{1,2,3\}\) है। / If the complement is (4,5), then (A) contains the remaining elements of (U). So \(A=\{1,2,3\}\).
\(\emptyset\) हर समुच्चय का उपसमुच्चय है। इसलिए यह (\mathcal{P}(A)) का तत्व है। / \(\emptyset\) is a subset of every set. So it is an element of (\mathcal{P}(A)).
A. क्योंकि हर समुच्चय स्वयं का उपसमुच्चय है/because every set is a subset of itself
Explanation
Simple Explanation
({7,8}=A) और हर समुच्चय स्वयं का उपसमुच्चय होता है। इसलिए यह घात समुच्चय में शामिल है। / ({7,8}=A) and every set is a subset of itself. Hence it is included in the power set.
(A) में विषम संख्याएं हैं और (U) में बची संख्याएं (2,4,6) हैं। इसलिए (A'={2,4,6}) है। / (A) contains odd numbers and the remaining numbers in (U) are (2,4,6). Therefore (A'={2,4,6}).
पूरक तब रिक्त होगा जब (A) ने पूरे सार्वत्रिक समुच्चय को ले लिया हो। इसलिए (A=U) सही स्थिति है। / The complement is empty when (A) takes the whole universal set. Therefore (A=U) is the correct case.
रिक्त समुच्चय में कोई तत्व नहीं होता इसलिए उसका पूरक पूरा (U) है। परीक्षा में यह मूल नियम बहुत उपयोगी है। / The empty set has no element, so its complement is the whole (U). This basic rule is very useful in exams.
चार तत्वों में से तीन चुनने के (4) तरीके हैं। इसलिए तीन तत्व वाले उपसमुच्चय (4) होंगे। / There are (4) ways to choose three elements from four. So there are (4) three element subsets.
शून्य तत्व वाला उपसमुच्चय केवल \(\emptyset\) होता है। इसलिए संख्या (1) है। / The only zero element subset is \(\emptyset\). Therefore the number is (1).
(A') में (U) के वे रंग होंगे जो (A) में नहीं हैं। इसलिए नीला और हरा सही हैं। / (A') contains the colors in (U) that are not in (A). So blue and green are correct.
घात समुच्चय में \(\emptyset\) और पूरा मूल समुच्चय दोनों होते हैं। यहां पूरा मूल समुच्चय ({5}) है। / A power set contains both \(\emptyset\) and the whole original set. Here the whole original set is ({5}).
A. क्योंकि (3) (A) में नहीं है/because (3) is not in (A)
Explanation
Simple Explanation
({1,2,3}) (A) का उपसमुच्चय नहीं है क्योंकि इसमें अतिरिक्त तत्व (3) है। घात समुच्चय में केवल उपसमुच्चय आते हैं। / ({1,2,3}) is not a subset of (A) because it has the extra element (3). A power set contains only subsets.
(A') में (U) से (1) और (4) हटाने पर बचे तत्व आते हैं। इसलिए \(B=\{2,3\}\) है। / (A') contains the elements left after removing (1) and (4) from (U). Hence \(B=\{2,3\}\).
दो वस्तुओं वाले समुच्चय के उपसमुच्चय \(2^2=4\) होते हैं। नाम कुछ भी हो नियम वही रहता है। / A set with two objects has \(2^2=4\) subsets. The rule stays the same whatever the names are.
A. \({4,8}\subseteq A\) और \({4,8}\in \mathcal{P}(A)\)/\({4,8}\subseteq A\) and \({4,8}\in \mathcal{P}(A)\)
Explanation
Simple Explanation
(4) और (8) दोनों (A) में हैं इसलिए \({4,8}\subseteq A\) है। इसी कारण यह (\mathcal{P}(A)) का तत्व है। / Both (4) and (8) are in (A), so \({4,8}\subseteq A\). Therefore it is an element of (\mathcal{P}(A)).
({20}) (A) का एक उपसमुच्चय है इसलिए यह (\mathcal{P}(A)) में होगा। सीधे (20) को घात समुच्चय का तत्व न समझें। / ({20}) is a subset of (A), so it will be in (\mathcal{P}(A)). Do not treat direct (20) as an element of the power set.
