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\(A\cup B\) में दोनों समुच्चयों के सभी अलग-अलग अवयव आते हैं। परीक्षा में दोहराए गए अवयव को केवल एक बार लिखें। / \(A\cup B\) contains all distinct elements of both sets. In exams, write repeated elements only once.
\(A\cap B\) में केवल वे अवयव आते हैं जो दोनों में समान हों। पहले समान अवयवों को पहचानना आसान तरीका है। / \(A\cap B\) contains only elements common to both sets. First identify common elements for quick solving.
(A-B) में (A) के वे अवयव आते हैं जो (B) में नहीं हैं। घटाने में क्रम बदलने से उत्तर बदल सकता है। / (A-B) contains elements of (A) that are not in (B). In set difference, changing order can change the answer.
\(P=\{1,2,3,4\}\) है, इसलिए \(P\cup Q={1,2,3,4,6}\) है। पहले set-builder form को roster form में बदलें। / \(P=\{1,2,3,4\}\), so \(P\cup Q={1,2,3,4,6}\). Convert set-builder form to roster form first.
दोनों समुच्चयों में कोई समान अवयव नहीं है, इसलिए \(A\cap B=\varnothing\) है। ऐसे समुच्चय असंयुक्त होते हैं। / There is no common element, so \(A\cap B=\varnothing\). Such sets are disjoint sets.
(Y-X) में (Y) के वे अवयव हैं जो (X) में नहीं हैं। यहां (9) ही ऐसा अवयव है। / (Y-X) contains elements of (Y) that are not in (X). Here only (9) satisfies this.
संघ में सभी अलग-अलग अवयव लिए जाते हैं। दोहराव लिखना समुच्चय में आवश्यक नहीं होता। / Union takes all distinct elements. Repetition is not needed in a set.
तीनों समुच्चयों में समान अवयव (3) और (5) हैं। \(A\cap B\cap C\) में केवल सभी में सामान्य अवयव आते हैं। / The elements common to all three sets are (3) and (5). \(A\cap B\cap C\) contains only elements common to every set.
(B) का हर अवयव (A) में है, इसलिए \(B-A=\varnothing\) है। यदि \(B\subset A\), तो (B-A) खाली हो सकता है। / Every element of (B) is in (A), so \(B-A=\varnothing\). If \(B\subset A\), then (B-A) may be empty.
यदि \(A\subseteq B\), तो (B) में (A) के सभी अवयव पहले से हैं। इसलिए \(A\cup B=B\) होता है। / If \(A\subseteq B\), then (B) already contains all elements of (A). Therefore, \(A\cup B=B\).
जब \(A\subseteq B\), तब (A) के सभी अवयव दोनों में सामान्य होते हैं। अतः \(A\cap B=A\) है। / When \(A\subseteq B\), all elements of (A) are common to both sets. Hence \(A\cap B=A\).
\(A\cup B\) में (A) और (B) के सभी अलग-अलग अवयव आते हैं। (U) यहां केवल सार्वत्रिक समुच्चय की जानकारी देता है। / \(A\cup B\) contains all distinct elements of (A) and (B). (U) only gives the universal set here.
(A-B) में (A) से (B) के सामान्य अवयव हटाए जाते हैं। इसलिए (4) और (8) हटाकर ({2,6,10}) मिलता है। / In (A-B), common elements of (B) are removed from (A). Removing (4) and (8) gives ({2,6,10}).
खाली समुच्चय में कोई अवयव नहीं होता, इसलिए \(A\cup \varnothing=A\) है। यह संघ का पहचान गुण है। / The empty set has no elements, so \(A\cup \varnothing=A\). This is the identity property of union.
\(\varnothing\) में कोई अवयव नहीं है, इसलिए कोई सामान्य अवयव नहीं मिलेगा। अतः \(A\cap \varnothing=\varnothing\) है। / \(\varnothing\) has no element, so no common element can exist. Thus \(A\cap \varnothing=\varnothing\).
(A-A) में (A) के वे अवयव चाहिए जो (A) में न हों, जो संभव नहीं है। इसलिए \(A-A=\varnothing\) है। / (A-A) needs elements of (A) that are not in (A), which is impossible. So \(A-A=\varnothing\).
\(A\cup B={1,2,3,4,5,6}\) और \(A\cap B={3,4}\) है। सामान्य भाग हटाने पर ({1,2,5,6}) मिलता है। / \(A\cup B={1,2,3,4,5,6}\) and \(A\cap B={3,4}\). Removing the common part gives ({1,2,5,6}).
\(A=\{a,e,i,o,u\}\) और \(B\subseteq A\) है, इसलिए \(A\cup B=A\) है। बड़े समुच्चय में छोटे के अवयव पहले से शामिल होते हैं। / \(A=\{a,e,i,o,u\}\) and \(B\subseteq A\), so \(A\cup B=A\). The larger set already includes the smaller set's elements.
\(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) और \(B=\{2,4,6,8\}\) है। सामान्य अवयव (2,4,6) हैं। / \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) and \(B=\{2,4,6,8\}\). The common elements are (2,4,6).
A. (A-B={0,1}) और (B-A={4,5})/(A-B={0,1}) and (B-A={4,5})
Explanation
Simple Explanation
(A-B) में (0,1) और (B-A) में (4,5) बचते हैं। समुच्चय अंतर सामान्यतः क्रमविनिमेय नहीं होता। / (0,1) remain in (A-B), and (4,5) remain in (B-A). Set difference is generally not commutative.
समुच्चय में क्रम और दोहराव का महत्व नहीं होता। इसलिए (A=B) और \(A\cup B=A\) है। / Order and repetition do not matter in sets. Therefore (A=B) and \(A\cup B=A\).
दोनों समुच्चय समान हैं, इसलिए सभी अवयव सामान्य हैं। अतः \(A\cap B={1,2,3}\) है। / Both sets are equal, so all elements are common. Hence \(A\cap B={1,2,3}\).
दोनों में मौजूद अवयव (1,4,16) हैं। (9) केवल (A) में है, इसलिए वह intersection में नहीं आएगा। / The elements present in both sets are (1,4,16). (9) is only in (A), so it will not be in the intersection.
संघ में दोनों समुच्चयों के सभी रंग एक बार लिए जाते हैं। (blue) दोहराया हुआ है, इसलिए एक बार लिखा जाएगा। / Union takes all colors from both sets once. (blue) is repeated, so it is written only once.
(A-B={1,3,5}) है, इसलिए इसमें (3) अवयव हैं। पहले अंतर निकालें, फिर गिनें। / (A-B={1,3,5}), so it has (3) elements. First find the difference, then count.
\(A\cup B=B\cup A\) में क्रम बदलने पर संघ नहीं बदलता। यह संघ का क्रमविनिमेय गुण है। / In \(A\cup B=B\cup A\), changing the order does not change the union. This is the commutative property of union.
\(A\cap B=B\cap A\) में intersection का क्रम बदलने से परिणाम नहीं बदलता। इसे क्रमविनिमेय गुण कहते हैं। / In \(A\cap B=B\cap A\), changing the order of intersection does not change the result. This is called the commutative property.
किसी समुच्चय का अपने साथ सर्वनिष्ठ वही समुच्चय होता है। इसलिए \(A\cap A=A\) है। / The intersection of a set with itself is the same set. Hence \(A\cap A=A\).
\(A\cup B={1,2,3,4}\) और \(A\cap B={2,3}\) है। दिए गए विकल्पों में (1) union में है लेकिन intersection में नहीं है। / \(A\cup B={1,2,3,4}\) and \(A\cap B={2,3}\). Among the options, (1) is in the union but not in the intersection.
\(A-B=\varnothing\) का अर्थ है कि (A) का हर अवयव (B) में है। इसलिए \(A\subseteq B\) है। / \(A-B=\varnothing\) means every element of (A) is in (B). Therefore \(A\subseteq B\).
\(A\cap B=A\) बताता है कि (A) के सभी अवयव (B) में भी हैं। इसलिए \(A\subseteq B\) है। / \(A\cap B=A\) shows that all elements of (A) are also in (B). Hence \(A\subseteq B\).
\(A\cup B=A\) का अर्थ है कि (B) के सभी अवयव (A) में पहले से हैं। अतः \(B\subseteq A\) है। / \(A\cup B=A\) means all elements of (B) are already in (A). Hence \(B\subseteq A\).
कक्षा में क्रिकेट खेलने वाले छात्रों का समुच्चय \(C=\{Amit,Ravi,Sita\}\) और फुटबॉल खेलने वाले छात्रों का समुच्चय \(F=\{Ravi,Neha\}\) है। दोनों खेलों में कौन है?
दोनों खेलों में आने वाला नाम \(C\cap F\) में होगा। यहां \(C\cap F={Ravi}\) है। / The name present in both games belongs to \(C\cap F\). Here \(C\cap F={Ravi}\).
(12) और (18) के समान गुणनखंड (1,2,3,6) हैं। अतः \(A\cap B={1,2,3,6}\) है। / The common factors of (12) and (18) are (1,2,3,6). Hence \(A\cap B={1,2,3,6}\).
\(A=\{1,2,5,10\}\) और \(B=\{1,3,5,15\}\) है। संघ में सभी अलग-अलग अवयव ({1,2,3,5,10,15}) होंगे। / \(A=\{1,2,5,10\}\) and \(B=\{1,3,5,15\}\). The union contains all distinct elements ({1,2,3,5,10,15}).
पहले \(B\cup C={2,4,5,6,8}\) निकालें। फिर (A) से सामान्य अवयव (2) और (5) मिलते हैं। / First find \(B\cup C={2,4,5,6,8}\). Then the common elements with (A) are (2) and (5).
\(B\cup C={20,30,50,60}\) है। (A) से (20) और (30) हटाने पर ({10,40}) बचता है। / \(B\cup C={20,30,50,60}\). Removing (20) and (30) from (A) leaves ({10,40}).
\(A\cup B\) में दोनों समुच्चयों के सभी अलग-अलग अवयव आते हैं। परीक्षा में दोहराए गए अवयव एक बार ही लिखें। / \(A\cup B\) contains all distinct elements of both sets. In exams, write repeated elements only once.
\(A\cap B\) में केवल वे अवयव आते हैं जो दोनों में समान हों। समान अवयव पहचानना सबसे पहला कदम है। / \(A\cap B\) contains only elements common to both sets. First identify the common elements carefully.
(A-B) में (A) के वे अवयव आते हैं जो (B) में नहीं हैं। अंतर निकालते समय पहले (B) के समान अवयव हटाएं। / (A-B) contains elements of (A) that are not in (B). While finding difference, remove the common elements from (A).
(B-A) में (B) के वे अवयव रहते हैं जो (A) में नहीं हैं। (A-B) और (B-A) अलग हो सकते हैं। / (B-A) keeps elements of (B) that are not in (A). Remember that (A-B) and (B-A) may be different.
यहां \(A=\{2,4,6,8\}\) है और केवल (2) दोनों में है। पहले समुच्चय को सूची रूप में लिखना उपयोगी है। / Here \(A=\{2,4,6,8\}\), and only (2) is common. Converting set-builder form to roster form helps.
दोनों समुच्चयों में कोई समान अवयव नहीं है इसलिए प्रतिच्छेद \( \varnothing \) है। असंयुक्त समुच्चयों का प्रतिच्छेद रिक्त होता है। / There is no common element, so the intersection is \( \varnothing \). Disjoint sets always have an empty intersection.
क्योंकि \(A\subseteq B\), इसलिए \(A\cup B=B\) होगा। उपसमुच्चय वाले प्रश्नों में बड़ा समुच्चय संघ होता है। / Since \(A\subseteq B\), \(A\cup B=B\). In subset cases, the larger set is the union.
क्योंकि (A) के सभी अवयव (B) में हैं, इसलिए \(A\cap B=A\) है। उपसमुच्चय में प्रतिच्छेद छोटा समुच्चय होता है। / All elements of (A) are in (B), so \(A\cap B=A\). In subset cases, the smaller set is the intersection.
(A) से (B) के अवयव (2) और (4) हटाने पर ({1,3,5}) बचता है। अंतर में क्रम का ध्यान रखें। / Removing (2) and (4) from (A) gives ({1,3,5}). Pay attention to the order in set difference.
दोनों समुच्चय समान हैं इसलिए (A) का कोई नया अवयव नहीं बचता। याद रखें \(A-A=\varnothing\) होता है। / The two sets are equal, so no element of (A) remains. Remember that \(A-A=\varnothing\).
रिक्त समुच्चय में कोई अवयव नहीं होता इसलिए \(A\cup \varnothing=A\) है। पहचान सूत्रों को याद रखना आसान अंक दिलाता है। / The empty set has no elements, so \(A\cup \varnothing=A\). Knowing identity rules helps in quick scoring.
\(\varnothing\) में कोई अवयव नहीं है, इसलिए कोई सामान्य अवयव नहीं होगा। हमेशा \(A\cap \varnothing=\varnothing\) होता है। / Since \(\varnothing\) has no element, there is no common element. Always \(A\cap \varnothing=\varnothing\).
(A-A) में (A) के वे अवयव चाहिए जो (A) में नहीं हैं, ऐसा कोई अवयव नहीं है। समान समुच्चय का अंतर रिक्त होता है। / (A-A) asks for elements of (A) not in (A), and none exist. Difference of a set from itself is empty.
सूत्र (n\(A\cup B\)=n(A)+n(B)-n\(A\cap B\)) से उत्तर (5+4-2=7) है। सामान्य भाग को एक बार घटाना जरूरी है। / Using (n\(A\cup B\)=n(A)+n(B)-n\(A\cap B\)), the answer is (5+4-2=7). Subtract the common part once.
सूत्र से (n\(A\cap B\)=7+8-12=3) होगा। संघ वाला सूत्र उल्टा लगाते समय चिन्ह सही रखें। / From the formula, (n\(A\cap B\)=7+8-12=3). Keep signs correct when using the union formula backward.
(A-B) में (A) से सामान्य (4) अवयव हटते हैं, इसलिए (10-4=6)। अंतर में केवल पहले समुच्चय की गिनती देखें। / In (A-B), the (4) common elements are removed from (A), so (10-4=6). For difference, count only from the first set.
क्योंकि \(B\subseteq A\), (B) का कोई अवयव (A) के बाहर नहीं है। इसलिए \(B-A=\varnothing\) है। / Since \(B\subseteq A\), no element of (B) lies outside (A). Therefore \(B-A=\varnothing\).
यहां \(A=\{1,2,3,4,5\}\) है, इसलिए संघ ({1,2,3,4,5,6}) है। प्राकृतिक संख्याओं को सूचीबद्ध करके हल करें। / Here \(A=\{1,2,3,4,5\}\), so the union is ({1,2,3,4,5,6}). List the natural numbers first.
(A) में से (B) के अवयव (2) और (3) हटाने पर ({0,1}) बचता है। (A-B) में केवल (A) से शुरू करें। / Removing (2) and (3) from (A) leaves ({0,1}). For (A-B), start only with set (A).
तीनों समुच्चयों के सभी अलग-अलग अवयव लेने पर ({1,2,3,4,5}) मिलता है। संघ में पुनरावृत्ति नहीं लिखी जाती। / Taking all distinct elements from the three sets gives ({1,2,3,4,5}). Repetition is not written in a union.
(3) तीनों समुच्चयों में है, इसलिए \(A\cap B\cap C={3}\) है। तीन समुच्चयों में सामान्य अवयव को सभी में जांचें। / The element (3) is in all three sets, so \(A\cap B\cap C={3}\). Check common elements in every set.
\(B\cup C={2,4,5,6}\) है और (A) से इन्हें हटाने पर ({1,3}) बचता है। पहले कोष्ठक हल करें। / \(B\cup C={2,4,5,6}\), and removing these from (A) leaves ({1,3}). Solve the bracket first.
\(B\cup C={b,c,d,e}\) है और (A) से इसका सामान्य भाग ({b,c,d}) है। संयुक्त क्रियाओं में क्रम से हल करें। / \(B\cup C={b,c,d,e}\), and its common part with (A) is ({b,c,d}). Solve combined operations step by step.
\(A\cap B={3,4}\) है, फिर इसे (C) से मिलाने पर ({3,4,5,6}) मिलता है। कोष्ठक पहले करें। / \(A\cap B={3,4}\), and its union with (C) gives ({3,4,5,6}). Do the bracket first.
(B) से (A) के अवयव (1,3,5) हटाने पर ({2,4}) बचता है। (B-A) में शुरुआत (B) से करें। / Removing (1,3,5) from (B) leaves ({2,4}). For (B-A), start with (B).
\(A\cup B={1,2,3,4,5,6,8,10}\) है, इसलिए अवयव (8) हैं। गिनते समय समान अवयव दो बार न गिनें। / \(A\cup B={1,2,3,4,5,6,8,10}\), so it has (8) elements. Do not count common elements twice.
सामान्य अवयव (20) और (40) हैं, इसलिए संख्या (2) है। प्रतिच्छेद में केवल समान अवयव गिने जाते हैं। / The common elements are (20) and (40), so the number is (2). In intersection, count only common elements.
\(A=\{a,e,i,o,u\}\) है और (B) हटाने पर ({o,u}) बचता है। पहले वर्णनात्मक समुच्चय को सूची रूप में बदलें। / \(A=\{a,e,i,o,u\}\), and removing (B) leaves ({o,u}). First convert the descriptive set into roster form.
(8) समुच्चय (B) में है, इसलिए वह \(A\cup B\) में भी होगा। संघ में किसी भी एक समुच्चय का अवयव शामिल होता है। / (8) is in set (B), so it is also in \(A\cup B\). A union includes elements from either set.
(3) (A) में है लेकिन (B) में नहीं है, इसलिए \(3\in A-B\) है। अंतर में केवल पहले समुच्चय के बाहर वाले सामान्य अवयव हटते हैं। / (3) is in (A) but not in (B), so \(3\in A-B\). In difference, keep elements of the first set not in the second.
दोनों समुच्चयों में केवल (blue) समान है। प्रतिच्छेद में सिर्फ समान अवयव लिखें। / Only (blue) is common to both sets. Write only common elements in the intersection.
संघ में सभी अलग-अलग नाम आते हैं, इसलिए ({cat,dog,cow,goat}) है। समान नाम (dog) को एक बार लिखें। / The union contains all distinct names, so it is ({cat,dog,cow,goat}). Write the repeated name (dog) only once.
(A) के (4) और (16) (B) में भी हैं, इसलिए हटते हैं। बचे अवयव ({1,9}) हैं। / The elements (4) and (16) of (A) are also in (B), so they are removed. The remaining elements are ({1,9}).
दोनों समुच्चय असंयुक्त हैं, इसलिए (A) से कुछ नहीं हटेगा। असंयुक्त होने पर (A-B=A) होता है। / The sets are disjoint, so nothing is removed from (A). For disjoint sets, (A-B=A).
असंयुक्त समुच्चयों का संघ भी दोनों के सभी अवयवों का समुच्चय होता है। यहां उत्तर ({1,2,3,4,5}) है। / The union of disjoint sets contains all elements of both sets. Here the answer is ({1,2,3,4,5}).
(A-B={2,3}) और (B-A={6,7}) है, इसलिए संघ ({2,3,6,7}) है। यह सामान्य भाग हटाकर बचे भागों का संघ है। / (A-B={2,3}) and (B-A={6,7}), so the union is ({2,3,6,7}). This is the union of non-common parts.
\(A\cup B={1,2,3,4,5,6}\) है और (A) हटाने पर ({5,6}) बचता है। यह (B-A) के बराबर है। / \(A\cup B={1,2,3,4,5,6}\), and removing (A) leaves ({5,6}). This is equal to (B-A).
संघ ({a,b,c,d,e}) है और (B) हटाने पर ({a,b}) बचता है। यह (A-B) जैसा परिणाम देता है। / The union is ({a,b,c,d,e}), and removing (B) leaves ({a,b}). This gives the same result as (A-B).
पहले (A-B={1,3,5}) है और यह (A) का ही भाग है। इसलिए प्रतिच्छेद ({1,3,5}) है। / First (A-B={1,3,5}), and it is already a part of (A). Therefore the intersection is ({1,3,5}).
\(A\cup B\) में (A) के सभी अवयव हैं, इसलिए (A\cap \(A\cup B\)=A) है। इसे अवशोषण नियम कहते हैं। / \(A\cup B\) contains all elements of (A), so (A\cap \(A\cup B\)=A). This is called the absorption law.
\(A\cap B={4}\) है और \(A\cup {4}=A\) होगा। यह भी अवशोषण नियम का उदाहरण है। / \(A\cap B={4}\), and \(A\cup {4}=A\). This is also an example of the absorption law.
(B) में से (C) का समान अवयव (2) हटता है, इसलिए ({4,6}) बचता है। तीसरा समुच्चय होने पर भी चुनी गई क्रिया पर ध्यान दें। / The common element (2) is removed from (B), so ({4,6}) remains. Even with three sets, focus on the asked operation.
एक कक्षा में (18) विद्यार्थी क्रिकेट खेलते हैं, (12) फुटबॉल खेलते हैं और (5) दोनों खेलते हैं। कम से कम एक खेल खेलने वाले विद्यार्थियों की संख्या क्या है?
कम से कम एक खेल (n\(A\cup B\)=18+12-5=25) होगा। दोनों खेलने वालों को दो बार गिनने से बचने के लिए घटाएं। / At least one game means (n\(A\cup B\)=18+12-5=25). Subtract those who play both to avoid double counting.
केवल गणित (=20-8=12) है। केवल वाले प्रश्न में संबंधित समुच्चय से सामान्य भाग घटाएं। / Only Mathematics is (20-8=12). For only-type questions, subtract the common part from the related set.
\(A\cup B\) में (A) और (B) के सभी अलग-अलग अवयव आते हैं। (U) केवल संदर्भ समुच्चय है, हर बार पूरा (U) उत्तर नहीं होता। / \(A\cup B\) contains all distinct elements of (A) and (B). (U) is only the universal set; the answer is not always the whole (U).
(A) से (B) का समान अवयव (b) हटता है और ({a,d}) बचता है। सार्वत्रिक समुच्चय दिए होने पर भी अंतर केवल दिए गए दो समुच्चयों से निकालें। / The common element (b) is removed from (A), leaving ({a,d}). Even when a universal set is given, find the difference only between the asked sets.
पहले (B-C={3,4}) है, फिर (A) के साथ सामान्य भाग ({3,4}) मिलता है। कोष्ठक वाली क्रिया हमेशा पहले करें। / First (B-C={3,4}), then the common part with (A) is ({3,4}). Always solve the operation inside brackets first.
संघ से समान भाग (5) और (11) हटाने पर ({1,2,8,9}) बचता है। यह सामान्य भाग को हटाकर अलग-अलग भाग देता है। / Removing the common elements (5) and (11) from the union leaves ({1,2,8,9}). This gives the non-common parts.
सूत्र से (n\(A\cap B\)=16+13-21=8) होगा। संघ के सूत्र में सामान्य भाग दो बार गिना जाता है, इसलिए उसे घटाया जाता है। / Using the formula, (n\(A\cap B\)=16+13-21=8). The common part is counted twice in the union formula, so it is subtracted.
एक सर्वे में (24) विद्यार्थियों ने हिंदी चुनी, (18) विद्यार्थियों ने अंग्रेजी चुनी और (10) विद्यार्थियों ने दोनों चुनी। केवल अंग्रेजी चुनने वाले कितने विद्यार्थी हैं?
केवल अंग्रेजी (=18-10=8) है। केवल वाले प्रश्न में उस समुच्चय से प्रतिच्छेद घटाएं। / Only English is (18-10=8). In only-type questions, subtract the intersection from that set.
\(A\cup B\) में दोनों समुच्चयों के सभी अलग-अलग अवयव आते हैं। दोहराए गए अवयवों को केवल एक बार लिखें। / \(A\cup B\) contains all distinct elements of both sets. Write repeated elements only once.
\(A\cap B\) में केवल वे अवयव आते हैं जो दोनों समुच्चयों में हों। सामान्य अवयवों को ध्यान से पहचानें। / \(A\cap B\) contains only elements present in both sets. Identify common elements carefully.
(A-B) में (A) के वे अवयव रहते हैं जो (B) में नहीं हैं। अंतर में हमेशा पहले समुच्चय से शुरुआत करें। / (A-B) keeps elements of (A) that are not in (B). Always start from the first set in difference.
(B-A) में (B) के (b) और (d) बचते हैं क्योंकि ये (A) में नहीं हैं। (A-B) और (B-A) को समान न मानें। / (B-A) leaves (b) and (d) because they are not in (A). Do not assume (A-B) and (B-A) are the same.
यहां \(A=\{1,2,3,4\}\) है और संघ में (B) के (5) और (6) भी जुड़ते हैं। पहले समुच्चय को सूची रूप में बदलें। / Here \(A=\{1,2,3,4\}\), and (5) and (6) from (B) are also included. First convert the set to roster form.
दोनों समुच्चयों में कोई समान अवयव नहीं है इसलिए \(A\cap B=\varnothing\) है। असंयुक्त समुच्चयों का प्रतिच्छेद रिक्त होता है। / There is no common element, so \(A\cap B=\varnothing\). Disjoint sets have an empty intersection.
क्योंकि \(A\subseteq B\), इसलिए \(A\cup B=B\) है। उपसमुच्चय वाले प्रश्नों में बड़ा समुच्चय संघ होता है। / Since \(A\subseteq B\), \(A\cup B=B\). In subset cases, the larger set is the union.
यहां \(B\subseteq A\), इसलिए \(A\cap B=B\) है। उपसमुच्चय में प्रतिच्छेद छोटा समुच्चय देता है। / Here \(B\subseteq A\), so \(A\cap B=B\). In subset cases, intersection gives the smaller set.
रिक्त समुच्चय में कोई अवयव नहीं होता इसलिए \(A\cup \varnothing=A\) है। यह संघ का मूल पहचान सूत्र है। / The empty set has no element, so \(A\cup \varnothing=A\). This is a basic identity of union.
\(\varnothing\) में कोई अवयव नहीं है, इसलिए सामान्य अवयव भी नहीं होगा। हमेशा \(A\cap \varnothing=\varnothing\) होता है। / Since \(\varnothing\) has no element, there is no common element. Always \(A\cap \varnothing=\varnothing\).
\(\varnothing\) से कोई अवयव हटाने के लिए नहीं है, इसलिए \(A-\varnothing=A\) है। अंतर में हटाए जाने वाले समुच्चय को ध्यान से देखें। / There is no element in \(\varnothing\) to remove, so \(A-\varnothing=A\). In difference, check the removing set carefully.
\(\varnothing\) में पहले से कोई अवयव नहीं है, इसलिए कुछ भी नहीं बचेगा। याद रखें \(\varnothing-A=\varnothing\) होता है। / The empty set has no element from the start, so nothing remains. Remember \(\varnothing-A=\varnothing\).
(A-B={1,2}) और (B-A={5,6}), इसलिए संघ ({1,2,5,6}) है। यह सामान्य भाग को छोड़कर बचे भागों को दिखाता है। / (A-B={1,2}) and (B-A={5,6}), so the union is ({1,2,5,6}). It shows the parts outside the common part.
सूत्र (n\(A\cup B\)=n(A)+n(B)-n\(A\cap B\)) से (14+9-4=19) है। सामान्य भाग को एक बार घटाना जरूरी है। / Using (n\(A\cup B\)=n(A)+n(B)-n\(A\cap B\)), (14+9-4=19). The common part must be subtracted once.
सूत्र से (n\(A\cap B\)=12+11-20=3) है। उल्टा सूत्र लगाते समय संघ को घटाएं। / From the formula, (n\(A\cap B\)=12+11-20=3). When using the formula backward, subtract the union.
(A-B) में (A) से सामान्य (7) अवयव हटेंगे, इसलिए (18-7=11) है। केवल (A) से जुड़े अवयव गिनें। / In (A-B), the (7) common elements are removed from (A), so (18-7=11). Count only elements related to (A).
(B-A) के लिए (B) से सामान्य भाग हटेगा, इसलिए (15-6=9) है। अंतर में पहले समुच्चय की संख्या से घटाएं। / For (B-A), the common part is removed from (B), so (15-6=9). In difference, subtract from the first set.
\(A=\{2,3,4,5,6,7\}\) है और (4,6) हटाने पर ({2,3,5,7}) बचता है। पहले सीमा के अनुसार अवयव लिखें। / \(A=\{2,3,4,5,6,7\}\), and removing (4,6) gives ({2,3,5,7}). First list elements according to the bounds.
संघ ({0,1,2,3,4,5,6}) और प्रतिच्छेद ({2,3,4}) है। प्रतिच्छेद हटाने पर ({0,1,5,6}) मिलता है। / The union is ({0,1,2,3,4,5,6}) and the intersection is ({2,3,4}). Removing the intersection gives ({0,1,5,6}).
संघ में समुच्चयों का क्रम बदलने से उत्तर नहीं बदलता। इसे संघ का क्रमविनिमेय नियम कहते हैं। / The order of sets does not change the union. This is the commutative law of union.
केवल (3) तीनों समुच्चयों में मौजूद है। तीन समुच्चयों के प्रतिच्छेद में अवयव सभी में होना चाहिए। / Only (3) is present in all three sets. In the intersection of three sets, the element must be in every set.
\(B\cup C={2,3,5,6,7}\) है और (A) से इन्हें हटाने पर ({1,4}) बचता है। पहले कोष्ठक हल करें। / \(B\cup C={2,3,5,6,7}\), and removing these from (A) leaves ({1,4}). Solve the bracket first.
\(B\cup C={b,d,e,f}\) है और इसका (A) से सामान्य भाग ({b,d}) है। संयुक्त क्रियाओं को क्रम से करें। / \(B\cup C={b,d,e,f}\), and its common part with (A) is ({b,d}). Do combined operations step by step.
\(A\cap B={3,5}\) है और (C) के साथ संघ ({3,5,7,11}) है। कोष्ठक वाली क्रिया पहले करें। / \(A\cap B={3,5}\), and its union with (C) is ({3,5,7,11}). Perform the operation inside brackets first.
\(A\cup B={1,2,3,4,5,6,8}\) है, इसलिए इसमें (7) अवयव हैं। सामान्य अवयवों को दो बार न गिनें। / \(A\cup B={1,2,3,4,5,6,8}\), so it has (7) elements. Do not count common elements twice.
सामान्य अवयव (24) और (48) हैं, इसलिए संख्या (2) है। प्रतिच्छेद में केवल समान अवयव गिने जाते हैं। / The common elements are (24) and (48), so the count is (2). In intersection, count only common elements.
(A) से (8) और (64) हटेंगे क्योंकि वे (B) में भी हैं। इसलिए (A-B={1,27}) है। / The elements (8) and (64) are removed from (A) because they are also in (B). So (A-B={1,27}).
दोनों समुच्चय असंयुक्त हैं, इसलिए (A) से कोई अवयव नहीं हटेगा। असंयुक्त समुच्चयों के लिए (A-B=A) होता है। / The two sets are disjoint, so no element is removed from (A). For disjoint sets, (A-B=A).
दोनों समुच्चयों में केवल (book) समान है। प्रतिच्छेद में केवल समान अवयव लिखें। / Only (book) is common to both sets. Write only common elements in the intersection.
संघ में सभी अलग-अलग नाम आते हैं, इसलिए (lily) एक बार लिखा जाएगा। उत्तर ({rose,lily,lotus,jasmine}) है। / The union contains all distinct names, so (lily) is written once. The answer is ({rose,lily,lotus,jasmine}).
(A) से (east) और (west) हटाने पर (north) और (south) बचते हैं। अंतर में हटाए गए अवयव उत्तर में नहीं आते। / Removing (east) and (west) from (A) leaves (north) and (south). Removed elements do not appear in the difference.
(4) दोनों समुच्चयों में है, इसलिए वह \(A\cap B\) में है। प्रतिच्छेद के लिए अवयव दोनों में होना चाहिए। / (4) is in both sets, so it is in \(A\cap B\). For intersection, an element must be in both sets.
(6) समुच्चय (A) में है, इसलिए \(A\cup B\) में भी होगा। संघ में किसी भी एक समुच्चय का अवयव शामिल होता है। / (6) is in set (A), so it is also in \(A\cup B\). A union includes elements from either set.
(1) (A) में है लेकिन (B) में नहीं है, इसलिए \(1\in A-B\) है। अंतर में पहले समुच्चय के गैर-सामान्य अवयव रहते हैं। / (1) is in (A) but not in (B), so \(1\in A-B\). Difference keeps non-common elements of the first set.
\(A\cup B\) में (A) और (B) के सभी अलग-अलग अवयव हैं। (U) केवल सार्वत्रिक समुच्चय है, उत्तर हमेशा पूरा (U) नहीं होता। / \(A\cup B\) contains all distinct elements of (A) and (B). (U) is only the universal set; the answer is not always the whole (U).
(A) और (B) में सामान्य अवयव (c) और (e) हैं। सार्वत्रिक समुच्चय केवल संदर्भ देता है। / The common elements of (A) and (B) are (c) and (e). The universal set only gives the reference.
(A) से (B) का समान अवयव (20) हटता है और ({10,40}) बचता है। (U) दिए होने पर भी अंतर (A) और (B) से निकालें। / The common element (20) is removed from (A), leaving ({10,40}). Even when (U) is given, find the difference from (A) and (B).
\(A\cup B\) में (A) के सभी अवयव हैं, इसलिए प्रतिच्छेद (A) ही होगा। यह अवशोषण नियम का उदाहरण है। / \(A\cup B\) contains all elements of (A), so the intersection is (A) itself. This is an example of the absorption law.
\(A\cap B={q,r}\) है और यह (A) का भाग है, इसलिए संघ (A) ही होगा। यह अवशोषण नियम है। / \(A\cap B={q,r}\), and it is a part of (A), so the union is (A) itself. This is the absorption law.
एक कक्षा में (22) विद्यार्थी चित्रकला पसंद करते हैं, (16) संगीत पसंद करते हैं और (6) दोनों पसंद करते हैं। कम से कम एक गतिविधि पसंद करने वाले कितने विद्यार्थी हैं?
कम से कम एक का अर्थ (n\(A\cup B\)) है, इसलिए (22+16-6=32) है। दोनों पसंद करने वालों को दो बार न गिनें। / At least one means (n\(A\cup B\)), so (22+16-6=32). Do not count those who like both twice.
केवल चाय (=30-12=18) है। केवल वाले प्रश्न में उसी समुच्चय से प्रतिच्छेद घटाएं। / Only tea is (30-12=18). In only-type questions, subtract the intersection from that set.
केवल साइकिल (=14-9=5) है। केवल दूसरे समुच्चय के लिए दूसरे समुच्चय से सामान्य भाग घटाएं। / Only bicycle is (14-9=5). For only the second set, subtract the common part from the second set.
\(A=\{1,2,3,4,6,12\}\) है और (B) के साथ सामान्य भाग ({1,2,3}) है। गुणनखंड वाले समुच्चय को पहले लिखें। / \(A=\{1,2,3,4,6,12\}\), and the common part with (B) is ({1,2,3}). List the factor set first.
\(A=\{1,2,3,6,9,18\}\) है और (B) हटाने पर ({1,18}) बचता है। सूची रूप में बदलने से गलती कम होती है। / \(A=\{1,2,3,6,9,18\}\), and removing (B) leaves ({1,18}). Converting to roster form reduces mistakes.
पहले (A-B={1,4,6}) है और इसका (C) से सामान्य भाग ({4,6}) है। मिश्रित क्रियाओं में कोष्ठक पहले हल करें। / First (A-B={1,4,6}), and its common part with (C) is ({4,6}). In mixed operations, solve the bracket first.
पहले \(A\cup B={1,2,3,4,6,8}\) है, फिर (C) के साथ सामान्य भाग ({2,6}) मिलता है। मिश्रित क्रिया में कोष्ठक पहले हल करें। / First \(A\cup B={1,2,3,4,6,8}\), then the common part with (C) is ({2,6}). In mixed operations, solve the bracket first.
पहले \(B\cap C={4,6}\) है, फिर (A) से इन्हें हटाने पर ({1,2,3,5}) बचता है। अंतर में पहले समुच्चय से ही अवयव हटाएं। / First \(B\cap C={4,6}\), then removing these from (A) leaves ({1,2,3,5}). In difference, remove elements only from the first set.
एक पुस्तकालय में (35) विद्यार्थी कहानी की किताबें पढ़ते हैं, (20) विद्यार्थी कविता की किताबें पढ़ते हैं और (45) विद्यार्थी कम से कम एक प्रकार की किताब पढ़ते हैं। दोनों प्रकार की किताबें पढ़ने वाले कितने हैं?
सूत्र से (n\(A\cap B\)=35+20-45=10) है। कम से कम एक का अर्थ (n\(A\cup B\)) होता है। / Using the formula, (n\(A\cap B\)=35+20-45=10). At least one means (n\(A\cup B\)).
(A-B={3,9}) और (B-A={18,24}) हैं, जिनमें कोई समान अवयव नहीं है। इसलिए उनका प्रतिच्छेद \(\varnothing\) है। / (A-B={3,9}) and (B-A={18,24}), and they have no common element. Therefore their intersection is \(\varnothing\).
