यदि \(A\cap B = A\) है, तो कौन-सा निष्कर्ष सही है?

Correct Answer: A. \(A\subseteq B\). Explanation: यदि \(A\cap B = A\), तो हर तत्त्व जो \(A\) में है वह \(A\cap B\) में भी होगा। पर \(A\cap B\) के तत्त्व वे ही होते हैं जो दोनों \(A\) और \(B\) में हैं; इसलिए किसी भी \(x\in A\) के लिए \(x\in B\) भी होगा। यह बिल्कुल यही कहता है कि \(A\subseteq B\)। दूसरे विकल्प (\(B\subseteq A\)) गलत है क्योंकि \(B\) में ऐसे तत्त्व हो सकते हैं जो \(A\) में न हों — उदाहरण के लिए \(A=\{1\},\;B=\{1,2\}\) में \(A\cap B=A\) रहता है पर \(B\subseteq A\) गलत है। विकल्प (\(A=B^{c}\)) और (\(A\cup B=\varnothing\)) सामान्यतः लागू नहीं होते। परीक्षा टिप: सदस्य-स्तरीय (element-wise) तर्क अपनाएँ — किसी भी \(x\in A\) को लेकर दिखाएँ कि \(x\in B\)। / If \(A\cap B = A\), then every element of \(A\) is also an element of \(A\cap B\). But elements of \(A\cap B\) are precisely those in both \(A\) and \(B\), so for any \(x\in A\) we must have \(x\in B\). This means \(A\subseteq B\). Option B (\(B\subseteq A\)) is not necessarily true — for example \(A=\{1\},\;B=\{1,2\}\) satisfies \(A\cap B=A\) but not \(B\subseteq A\). Options C and D do not follow from the given equality in general. Exam tip: use an element-wise proof or remember the identity \(A\cap B=A\iff A\subseteq B\).