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\(A\cup B\) में दोनों समुच्चयों के सभी अलग-अलग अवयव आते हैं। परीक्षा में दोहराए गए अवयव को केवल एक बार लिखें। / \(A\cup B\) contains all distinct elements of both sets. In exams, write repeated elements only once.
\(A\cap B\) में केवल वे अवयव आते हैं जो दोनों में समान हों। पहले समान अवयवों को पहचानना आसान तरीका है। / \(A\cap B\) contains only elements common to both sets. First identify common elements for quick solving.
(A-B) में (A) के वे अवयव आते हैं जो (B) में नहीं हैं। घटाने में क्रम बदलने से उत्तर बदल सकता है। / (A-B) contains elements of (A) that are not in (B). In set difference, changing order can change the answer.
\(P=\{1,2,3,4\}\) है, इसलिए \(P\cup Q={1,2,3,4,6}\) है। पहले set-builder form को roster form में बदलें। / \(P=\{1,2,3,4\}\), so \(P\cup Q={1,2,3,4,6}\). Convert set-builder form to roster form first.
दोनों समुच्चयों में कोई समान अवयव नहीं है, इसलिए \(A\cap B=\varnothing\) है। ऐसे समुच्चय असंयुक्त होते हैं। / There is no common element, so \(A\cap B=\varnothing\). Such sets are disjoint sets.
भिन्न (Y − X) में Y के वे सदस्य आते हैं जो X में नहीं हैं। Y के सदस्य हैं 3, 7 और 9। 3 और 7 दोनों X में भी मौजूद हैं, केवल 9 X में नहीं है; इसलिए Y − X = {9}। निकटवर्ती भ्रामक विकल्प {3, 7} है — यह वास्तव में Y ∩ X (intersection) है, जबकि {1,5} X − Y है। परिक्षा-संकेत: सदस्यता की जाँच करें — हर तत्व के लिए पूछें “क्या यह X में है?” और केवल उन तत्वों को रखें जो X में नहीं हैं। / The difference Y − X contains elements of Y that are not in X. Y = {3, 7, 9}; 3 and 7 are in X as well, so they are excluded. Only 9 is not in X, so Y − X = {9}. The closest distractor {3, 7} represents Y ∩ X (the intersection), not the difference; {1, 5} would be X − Y. Exam tip: check membership for each element (or sketch a quick Venn diagram) to avoid mixing up intersection and difference.
यूनियन (\(\cup\)) में सभी समुच्चय के अलग-अलग अवयव शामिल किए जाते हैं। यहाँ \(A\) में 1 और 2 हैं, \(B\) में 2 और 3 हैं, \(C\) में 3 और 4 हैं। सभी अलग-अलग अवयव मिलाकर \(\{1,2,3,4\}\) बनता है। विकल्प D में अवयव दोहराए गए हैं — समुच्चय में दोहराव मान्य नहीं है; विकल्प B और C कुछ अवयव गायब करते हैं। परीक्षा-सुझाव: यूनियन चरण-दर-चरण करें और केवल अलग-अलग तत्व लिखें। / Union \((\cup)\) collects every distinct element from the sets. A contributes 1 and 2, B contributes 2 and 3, C contributes 3 and 4; collecting distinct elements gives \(\{1,2,3,4\}\). Option D incorrectly shows repeated entries (sets do not list duplicates); options B and C omit elements. Exam tip: compute union stepwise (e.g. first \(A\cup B\), then union with \(C\)) and list each element only once.
तीनों समुच्चयों में समान अवयव (3) और (5) हैं। \(A\cap B\cap C\) में केवल सभी में सामान्य अवयव आते हैं। / The elements common to all three sets are (3) and (5). \(A\cap B\cap C\) contains only elements common to every set.
(B) का हर अवयव (A) में है, इसलिए \(B-A=\varnothing\) है। यदि \(B\subset A\), तो (B-A) खाली हो सकता है। / Every element of (B) is in (A), so \(B-A=\varnothing\). If \(B\subset A\), then (B-A) may be empty.
यदि \(A\subseteq B\), तो \(A\) के सभी तत्व पहले से ही \(B\) में मौजूद हैं। इसलिए संघ में कोई नया तत्व नहीं जुड़ता और \(A\cup B=B\) होगा। विकल्प B और C कुछ छात्रों को भ्रमित कर सकते हैं — ध्यान रखें कि जब \(A\subseteq B\) हो तब \(A\cap B=A\) होता है, अतः वे उत्तर सही नहीं हैं। विकल्प D में \(A\setminus B\) इस स्थिति में शून सेट \(\varnothing\) होगा। परीक्षा-सुझाव: पहले यह जाँचें कि कोई समुच्चय अन्य का भाग है; इससे \(\cup,\cap,\setminus\) के परिणाम तुरंत मिल जाते हैं। / If \(A\subseteq B\), every element of A is already in B, so the union adds nothing new and \(A\cup B=B\). A common distractor is \(A\cap B\); note that when \(A\subseteq B\) we have \(A\cap B=A\), so that option is not the union unless \(A=B\). \(A\setminus B\) would be \(\varnothing\) in this case, also incorrect. Exam tip: remember that for \(A\subseteq B\) you immediately get \(A\cup B=B\), \(A\cap B=A\), and \(A\setminus B=\varnothing\).
यदि \(A\subseteq B\) है तो इसका अर्थ है कि सेट \(A\) का हर तत्व सेट \(B\) में भी मौजूद है। प्रतिशत का परस्पर सामान्य भाग (intersection) उन तत्वों का सेट होता है जो दोनों सेटों में सामान्य हों। चूँकि \(A\) के सभी तत्व \(B\) में हैं, इसलिए सभी तत्व \(A\) और \(B\) दोनों में ही आते हैं; अतः \(A\cap B= A\)। विकल्प \(B\) गलत है क्योंकि \(B\) में \(A\) के अतिरिक्त भी तत्व हो सकते हैं। \(A\cup B\) भी गलत है क्योंकि यह दोनों का सम्मिलन है और सामान्यतः \(A\) से बड़ा या बराबर होगा। \(B\setminus A\) (या \(B-A\)) तो स्पष्ट रूप से \(A\) के बराबर नहीं हो सकता क्योंकि इसमें उन तत्वों को रखा जाता है जो \(B\) में हैं पर \(A\) में नहीं। परीक्षण युक्ति: यदि पूछा जाए कि \(A\cap B\) क्या होगा और दिया हो \(A\subseteq B\), तुरंत उत्तर \(A\) याद रखें। / If \(A\subseteq B\), every element of \(A\) also belongs to \(B\). The intersection \(A\cap B\) consists of elements common to both sets. Since all elements of \(A\) are in \(B\), every element of \(A\) is in the intersection, so \(A\cap B= A\). Option \(B\) is incorrect because \(B\) may contain additional elements not in \(A\). Option \(A\cup B\) is the union (usually larger than or equal to \(A\)). Option \(B\setminus A\) contains only elements of \(B\) that are not in \(A\), so it cannot equal \(A\). Exam tip: memorize the subset-intersection identity \(A\cap B=A\) whenever \(A\subseteq B\).
\(A\cup B\) में (A) और (B) के सभी अलग-अलग अवयव आते हैं। (U) यहां केवल सार्वत्रिक समुच्चय की जानकारी देता है। / \(A\cup B\) contains all distinct elements of (A) and (B). (U) only gives the universal set here.
(A-B) में (A) से (B) के सामान्य अवयव हटाए जाते हैं। इसलिए (4) और (8) हटाकर ({2,6,10}) मिलता है। / In (A-B), common elements of (B) are removed from (A). Removing (4) and (8) gives ({2,6,10}).
खाली समुच्चय में कोई अवयव नहीं होता, इसलिए \(A\cup \varnothing=A\) है। यह संघ का पहचान गुण है। / The empty set has no elements, so \(A\cup \varnothing=A\). This is the identity property of union.
\(\varnothing\) में कोई अवयव नहीं है, इसलिए कोई सामान्य अवयव नहीं मिलेगा। अतः \(A\cap \varnothing=\varnothing\) है। / \(\varnothing\) has no element, so no common element can exist. Thus \(A\cap \varnothing=\varnothing\).
(A-A) में (A) के वे अवयव चाहिए जो (A) में न हों, जो संभव नहीं है। इसलिए \(A-A=\varnothing\) है। / (A-A) needs elements of (A) that are not in (A), which is impossible. So \(A-A=\varnothing\).
पहले \(A\cup B=\{1,2,3,4,5,6\}\) और \(A\cap B=\{3,4\}\) है। \((A\cup B)-(A\cap B)\) का अर्थ यूनियन से इंटरसेक्शन के तत्वों को हटाना है, इसलिए बचे हुए तत्व \(\{1,2,5,6\}\) होंगे। विकल्प B केवल इंटरसेक्शन है; विकल्प C पूरी यूनियन है (इंटरसेक्शन नहीं हटाया गया); विकल्प D खाली सेट है और गलत है। परीक्षा‑टिप: इसे सिमेट्रिक डिफरेंस समझें — वे तत्व जो ठीक एक ही सेट में हों। / Compute \(A\cup B=\{1,2,3,4,5,6\}\) and \(A\cap B=\{3,4\}\). Subtracting the intersection from the union removes 3 and 4, leaving \(\{1,2,5,6\}\). Option B gives the intersection, C gives the full union (didn't remove the common elements), and D is the empty set. Exam tip: \((A\cup B)-(A\cap B)\) is the symmetric difference — elements that belong to exactly one set.
\(A=\{a,e,i,o,u\}\) और \(B\subseteq A\) है, इसलिए \(A\cup B=A\) है। बड़े समुच्चय में छोटे के अवयव पहले से शामिल होते हैं। / \(A=\{a,e,i,o,u\}\) and \(B\subseteq A\), so \(A\cup B=A\). The larger set already includes the smaller set's elements.
पहले सेटों को लिखें: \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) और \(B=\{2,4,6,8\}\). अंतरण (intersection) उन तत्वों का सेट है जो दोनों में उपस्थित हों। दोनों में सामान्य तत्व \{2,4,6\} हैं, इसलिए \(A\cap B=\{2,4,6\}\). विकल्प C गलत है क्योंकि इसमें 8 है जो A में नहीं है; विकल्प B केवल विषम संख्याएँ देता है; विकल्प D अतिरिक्त 8 और पुनरावृत्ति देता है। परीक्षा टिप: सीमित (finite) सेटों के लिए पहले दोनों सेटों के सदस्य लिख/crank कर लें और सामान्य (common) सदस्यों को चुनें। / Write the sets explicitly: \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) and \(B=\{2,4,6,8\}\). The intersection is the set of elements common to both, which are \{2,4,6\}. So \(A\cap B=\{2,4,6\}\). Option C is incorrect because it includes 8, which is not in A; option B lists only odd numbers; option D incorrectly adds extra elements. Exam tip: For finite sets list their elements and pick the common ones to find the intersection quickly.
A. (A-B={0,1}) और (B-A={4,5})/(A-B={0,1}) and (B-A={4,5})
Explanation
Simple Explanation
(A-B) में (0,1) और (B-A) में (4,5) बचते हैं। समुच्चय अंतर सामान्यतः क्रमविनिमेय नहीं होता। / (0,1) remain in (A-B), and (4,5) remain in (B-A). Set difference is generally not commutative.
समुच्चय में तत्वों का क्रम या दोहराव मायने नहीं रखता। दोनों समुच्चयों A और B में वही तीन तत्व हैं: 1, 2 और 3। इन दोनों का युनियन उन सभी तत्वों का समुच्चय है जो किसी भी समुच्चय में आते हैं, अतः \(A\cup B=\{1,2,3\}\)। निकटतम विचलन विकल्प B (\(\{1,2,3,4\}\)) इसलिए गलत है क्योंकि उसमें तत्व 4 होना चाहिए था, जो न तो A में है और न ही B में। परीक्षा सुझाव: यूनियन लेते समय केवल उन तत्वों को शामिल करें जो कम-से-कम एक समुच्चय में मौजूद हों; किसी अतिरिक्त तत्व को जोड़ने से बचें। / Order and repetition do not matter in sets. A and B contain exactly the elements 1, 2 and 3, so the union includes all elements that appear in either set: \(A\cup B=\{1,2,3\}\). The closest distractor is option B (\(\{1,2,3,4\}\)), which is wrong because 4 is not present in A or B. Exam tip: when forming a union, list each distinct element that appears in at least one set and do not add external elements.
इंटरसेक्शन \(A\cap B\) उन तत्वों का समुच्चय है जो दोनों समुच्चयों में सामान्य हों। यहाँ A और B के तत्व समान रूप से 1, 2, 3 हैं, इसलिए सभी तीन तत्व दोनों में मौजूद हैं। अतः \(A\cap B=\{1,2,3\}\). विकल्प C (\(\{3\}\)) निकटतम गलत उत्तर है क्योंकि वह केवल एक सामान्य तत्व दिखाता है जबकि वास्तव में तीनों तत्व सामान्य हैं। परीक्षा युक्ति: दो समतुल्य (equal) समुच्चयों के लिए उनकी इंटरसेक्शन और यूनियन दोनों ही उसी समुच्चय के बराबर होते हैं — पहले समुच्चयों के तत्व जांच कर लें। / The intersection \(A\cap B\) is the set of elements common to both sets. Here A and B contain exactly the same elements 1, 2 and 3, so every element is common; therefore \(A\cap B=\{1,2,3\}\). The closest distractor is \(\{3\}\) because it lists only one common element, but in fact all three are common. Exam tip: if two sets are equal, their intersection (and their union) equals the set itself — verify equality by comparing elements first.
दोनों में मौजूद अवयव (1,4,16) हैं। (9) केवल (A) में है, इसलिए वह intersection में नहीं आएगा। / The elements present in both sets are (1,4,16). (9) is only in (A), so it will not be in the intersection.
संघ में दोनों समुच्चयों के सभी रंग एक बार लिए जाते हैं। (blue) दोहराया हुआ है, इसलिए एक बार लिखा जाएगा। / Union takes all colors from both sets once. (blue) is repeated, so it is written only once.
सेट का अंतर परिभाषा है: \(A-B=\{x\in A:\;x\notin B\}\)। यहाँ \(blue\) दोनों सेटों में सामान्य है, इसलिए उसे \(A\) से हटा दिया जाएगा। अतः \(A-B=\{red,\;green\}\)। विकल्प B त्रुटिपूर्ण है क्योंकि वह दोनों का समाहार (intersection) \(A\cap B=\{blue\}\) दिखाता है; विकल्प C गलत है क्योंकि \(yellow\) \(A\) में नहीं है; विकल्प D गलत है क्योंकि वह दोनों का योग (union) है, अंतर नहीं। परीक्षा-सुझाव: किसी तत्व को निकालने से पहले चेक करें कि वह वास्तव में \(B\) में है या नहीं — केवल सामान्य तत्वों को ही हटाएँ। / Set difference is defined by \(A-B=\{x\in A:\;x\notin B\}\). Here the only element common to both sets is \(blue\), so remove it from \(A\). Therefore \(A-B=\{red,\;green\}\). Option B is the intersection \(A\cap B=\{blue\}\), not the difference; option C is wrong because \(yellow\) is not an element of \(A\); option D is the union of the sets, not the difference. Exam tip: verify membership of each element in \(B\) before removing it from \(A\) to avoid confusing difference with union or intersection.
यूनियन के लिए सूत्र \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)\) लागू करें। यहाँ \(5+4-2=7\) आता है, इसलिए उत्तर 7 है। विकल्प 9 वह मान है जो आप तब पाते हैं जब आप छेदन \(n(A\cap B)\) को घटाना भूल जाते हैं (यानि केवल \(5+4\)) — इसलिए 9 गलत है। विकल्प 2 केवल दोनों सेटों के सामान्य सदस्यों की संख्या (छेदन) है और 11 अतिरिक्त गिनती है। परीक्षा सुझाव: यूनियन निकालते समय हमेशा छेदन घटाएँ ताकि दोबारा गिनती न हो। / Apply the union formula \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)\). Substituting gives \(5+4-2=7\), so 7 is correct. The option 9 equals \(5+4\) without subtracting the intersection, so it double-counts common elements; 2 is just the intersection size, and 11 is an incorrect sum. Exam tip: always subtract the intersection when computing the size of a union to avoid double counting.
समुच्चयों के कार्डिनैलिटी पर शामिल-अपवाद (inclusion–exclusion) सूत्र है: \(n(A\cap B)=n(A)+n(B)-n(A\cup B)\)। यहाँ \(8+6-10=4\) आता है, अतः उत्तर 4 है। भ्रामक विकल्पों की जाँच: 2 तब मिल सकता है जब कोई भिन्नता \(|n(A)-n(B)|=2\) को गलत तरीके से अन्तर समझ ले; 14 वह मान है जो ओवरलैप को न घटाने पर समष्टि जोड़ने से मिलता है; 10 संघ (union) का मान है, न कि छेद (intersection)। परीक्षा टिप: जोड़ते समय हमेशा inclusion–exclusion सूत्र याद रखें और जाँचें कि intersection किसी भी सेट के आकार से अधिक नहीं हो सकता (यहाँ अधिकतम 6)। / Use the inclusion–exclusion formula: \(n(A\cap B)=n(A)+n(B)-n(A\cup B)\). Substituting gives \(8+6-10=4\), so the intersection has 4 elements. Why other options are wrong: 2 is \(|n(A)-n(B)|\), a different quantity, 14 ignores overlap (sum of sizes), and 10 is the union, not the intersection. Exam tip: apply the inclusion–exclusion formula directly and verify the intersection ≤ min\(n(A),n(B)\) to catch mistakes.
समुच्चयों के काउंट की सामान्य सूत्र है \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)\)। यहाँ \(A\cap B=\varnothing\) होने से \(n(A\cap B)=0\) होगा, अतः \(n(A\cup B)=3+5-0=8\)। विकल्प B (5) गलत है क्योंकि वह केवल \(B\) के तत्वों की गिनती है और \(A\) के तत्व जोड़ना भूल गया है। परीक्षा सलाह: किसी भी दो समुच्चयों के यूनियन के लिए ऊपर दिया गया सूत्र याद रखें और सबसे पहले \(n(A\cap B)\) की वैल्यू जाँच लें। / Use the formula for two sets: \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)\). Since \(A\cap B=\varnothing\), we have \(n(A\cap B)=0\), so \(n(A\cup B)=3+5-0=8\). Option B (5) is wrong because it counts only the elements of \(B\) and ignores the elements of \(A\). Exam tip: always apply the union formula and evaluate \(n(A\cap B)\) first — if sets are disjoint, simply add their cardinalities.
सेट का अंतर \(A-B\) वे अवयव हैं जो A में तो हैं पर B में नहीं। यहाँ \(A-B=\{1,3,5\}\), इसलिए इसमें 3 अवयव हैं। विकल्प B (6) गलत है क्योंकि वह A के कुल अवयवों की संख्या है, न कि अंतर की। विकल्प C (0) तभी सही होता अगर B में A के सभी अवयव होते। परीक्षा-सुझाव: पहले अंतर निकालें (A से B के सामान्य अवयव हटा दें), फिर शेष तत्वों को गिनें। / The difference \(A-B\) consists of elements that are in A but not in B. Here \(A-B=\{1,3,5\}\), so there are 3 elements. Option B (6) is incorrect because it is the total number of elements in A, not the difference. Option C (0) would be correct only if B contained all elements of A. Exam tip: compute the set difference by removing all elements of B from A, then count the remaining elements.
संघ (union) में दोनों सेटों के सभी अलग-अलग तत्व शामिल होते हैं। यहाँ \(A\cup B=\{1,2,3,4,5,6\}\) इसलिए तत्त्वों की संख्या \(n(A\cup B)=6\) है। इसे सिद्ध करने के लिए सामान्य सूत्र प्रयोग कर सकते हैं: \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)\)। यहाँ \(n(A)=4,\ n(B)=3\) और \(A\cap B=\{4\}\) है इसलिए \(n(A\cap B)=1\) और \(4+3-1=6\)। निकटतम भ्रांतिपूर्ण विकल्प 7 इसलिए गलत है क्योंकि वह दोनों सेटों के आकारों को जोड़कर परस्पर काट (intersection) की गणना नहीं घटाता — यानी 4 को दोगुना गिन लिया गया। परीक्षा सुझाव: संघ की संख्या निकालने के लिए हमेशा \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)\) सूत्र या एक छोटा वैन आरेख बनाएं। / The union contains all distinct elements from both sets. Here \(A\cup B=\{1,2,3,4,5,6\}\), so the number of elements is \(n(A\cup B)=6\). Using the standard formula: \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)\). We have \(n(A)=4,\ n(B)=3\) and \(A\cap B=\{4\}\), so \(n(A\cap B)=1\) and \(4+3-1=6\). The closest distractor 7 is wrong because it corresponds to naively adding sizes \(4+3\) without subtracting the intersection (counting the common element twice). Exam tip: use the union formula or draw a small Venn diagram to avoid double counting.
A और B का परस्पर छेदन \(A\cap B\) उन अवयवों का समूह है जो दोनों सेटों में सामान्य रूप से आते हैं. यहाँ सामान्य अवयव \(3\) और \(5\) हैं, अतः \(A\cap B=\{3,5\}\). इसका क्रमांक \(n(A\cap B)=2\) है. विकल्प B (4) इसीलिए गलत है क्योंकि यह दोनों सेटों के कुल अवयव या योगफल को गिनने का भ्रम है; सही तरीका सामान्य अवयवों को ही गिनना है. परीक्षा सुझाव: सदैव पहले सामान्य अवयव लिखें, फिर उनकी संख्या लें। / The intersection \(A\cap B\) consists of elements common to both sets. Here the common elements are \(3\) and \(5\), so \(A\cap B=\{3,5\}\) and therefore \(n(A\cap B)=2\). Option B (4) is incorrect because it appears to count unrelated total elements rather than only the common ones. Exam tip: list common elements explicitly before counting to avoid mistakes.
\(A\cup B=B\cup A\) में क्रम बदलने पर संघ नहीं बदलता। यह संघ का क्रमविनिमेय गुण है। / In \(A\cup B=B\cup A\), changing the order does not change the union. This is the commutative property of union.
\(A\cap B=B\cap A\) में intersection का क्रम बदलने से परिणाम नहीं बदलता। इसे क्रमविनिमेय गुण कहते हैं। / In \(A\cap B=B\cap A\), changing the order of intersection does not change the result. This is called the commutative property.
किसी समुच्चय का अपने‑आप के साथ संघ उसी समुच्चय के बराबर होता है — यह idempotent गुण है। इसलिए \((A\cup A)=A\)। विकल्प B सामान्यतः गलत है क्योंकि \(\varnothing\) खाली समुच्चय है और केवल तब बराबर होगा जब \(A\) भी खाली हो; विकल्प C में \(A\setminus A=\varnothing\) आता है; विकल्प D में \(A\cap\varnothing=\varnothing\) होता है। परीक्षा सुझाव: संघ का idempotent नियम \((X\cup X=X)\) याद रखें और अलग‑अलग सेट ऑपरेशनों के परिणामों (जैसे \(A\setminus A\), \(A\cap\varnothing\)) का अभ्यास करें। / The union of a set with itself equals the same set — this is the idempotent law. Hence \((A\cup A)=A\). Option B is incorrect because \(\varnothing\) is the empty set and equals \(A\) only when \(A\) itself is empty; option C gives \(A\setminus A=\varnothing\); option D gives \(A\cap\varnothing=\varnothing\). Exam tip: Memorize the idempotent law \((X\cup X=X)\) and practise basic set operation results like \(A\setminus A\) and \(A\cap\varnothing\).
किसी समुच्चय का अपने साथ प्रतिच्छेदन (intersection) हमेशा वही समुच्चय देता है — यह idempotent नियम है: \\((A\cap A = A)\\). इसलिए विकल्प \\((A)\\) सही है।
विकल्प \\((\\varnothing)\\) तब ही बराबर होगा जब \\(A=\\varnothing\\), जो सार्वभौमिक सत्य नहीं है। विकल्प \\((A^{c})\\) -- यह \\(A\\) का पूरक है और सामान्यतः \\(A \\neq A^{c}\\). विकल्प \\((A\\setminus B)\\) केवल तब \\(A\\) के बराबर होगा जब \\(B=\\varnothing\\); सामान्य स्थिति में यह अलग होगा।
परीक्षा सुझाव: याद रखें idempotent नियम — \\((A\cap A=A)\\) और \\((A\cup A=A)\\) — अक्सर सरल प्रश्नों में काम आता है। / The intersection of a set with itself returns the same set — this is the idempotent law: \\((A\cap A = A)\\). Hence \\((A)\\) is correct.
Option \\((\\varnothing)\\) equals \\((A)\\) only if \\(A=\\varnothing\\), not generally. Option \\((A^{c})\\) is the complement of \\(A\\) and generally \\(A \\neq A^{c}\\). Option \\((A\\setminus B)\\) equals \\(A\\) only when \\(B=\\varnothing\\); in typical cases it differs.
Exam tip: Memorize idempotent laws \\((A\cap A=A)\\) and \\((A\cup A=A)\\) — they are quick checks in set-operation questions.
पहले संयुक्त सेट निकालें: \(A\cup B=\{1,2,3,4\}\). अब इसका C के साथ इंटरसेक्शन लें: \(\{1,2,3,4\}\cap\{4,5\}=\{4\}\). इसलिए उत्तर \(\{4\}\) है. विकल्प \(\{3\}\) भ्रमित कर सकता है क्योंकि 3 तो \(A\cup B\) में है परंतु C में नहीं है, इसलिए इंटरसेक्शन में नहीं आता। परीक्षा-सुझाव: पहले \(\cup\) फिर \(\cap\) के नियम के अनुसार सेट्स क्रम से घटाकर देखें या वेन आरेख की मदद लें। / Compute the union first: \(A\cup B=\{1,2,3,4\}\). Then intersect with C: \(\{1,2,3,4\}\cap\{4,5\}=\{4\}\). Thus the result is \(\{4\}\). The distractor \(\{3\}\) is tempting because 3 belongs to \(A\cup B\) but 3 is not in C, so it cannot appear in the intersection. Exam tip: do the union step first, then intersect; drawing a quick Venn diagram often avoids such mistakes.
सबसे पहले प्रतिच्छेद लें: \(A\cap B=\{2,4\}\)। अब इसका संघ \(C\) के साथ लें: \(\{2,4\}\cup\{1,2,6\}=\{1,2,4,6\}\)। विकल्प B केवल \(A\cap B\) है, विकल्प C केवल \(C\) है, और विकल्प D में अनावश्यक रूप से 3 शामिल है। परीक्षा टिप: पहले \(\cap\) (intersection) निकालें, फिर \(\cup\) (union) लगाएँ और कदम-दर-कदम लिखें। / Compute the intersection first: \(A\cap B=\{2,4\}\). Now take union with \(C\): \(\{2,4\}\cup\{1,2,6\}=\{1,2,4,6\}\). Option B is only the intersection, option C is just set \(C\), and option D incorrectly includes 3. Exam tip: evaluate intersections before unions and write each intermediate set to avoid mistakes.
पहलें अंतर निकालें: \(A-B\) का अर्थ है A के वे तत्व जो B में नहीं हैं, इसलिए \(A-B=\{2,6\}\). अब इसका सम्मिलन (union) C के साथ लें: \(\{2,6\}\cup\{8,10\}=\{2,6,8,10\}\). इसलिए सही उत्तर \{2,6,8,10\} है। सबसे नजदीकी भ्रमित करने वाला विकल्प D (\{2,4,6,8,10\}) इसलिए गलत है क्योंकि इसमें 4 शामिल किया गया है जबकि 4 को B में होने के कारण A-B में नहीं होना चाहिए; विकल्प C (\{4,8\}) भी गलत है क्योंकि उसमें 2 और 6 नहीं हैं। परीक्षा टिप: पहले अंतर/घटाव (difference) या इंटरसेक्शन निकालें, फिर यूनियन करें—इससे ग़लतियाँ कम होंगी। / Compute the difference first: \(A-B\) contains elements of A not in B, so \(A-B=\{2,6\}\). Now take the union with C: \(\{2,6\}\cup\{8,10\}=\{2,6,8,10\}\). Hence the correct set is {2,6,8,10}. The closest distractor {2,4,6,8,10} is wrong because it incorrectly keeps 4 (4 is in B so it should be removed in A-B); {4,8} misses 2 and 6. Exam tip: do difference/intersection steps before union to avoid missing or extra elements.
पहले \(A-B\) निकालें: \(A-B=\{1,3,4\}\) क्योंकि 2 और 5 को B से हटा दिया गया है। अब \((A-B)\cap C\) में \(\{1,3,4\}\) और \(\{5,6\}\) का समापवर्तक देखें — कोई सामान्य अवयव नहीं है, अतः परिणाम खाली सेट \(\varnothing\) है। निकटवर्ती भ्रामक विकल्प \(\{5\}\) इसलिए गलत है क्योंकि 5 को पहले ही A से घटा दिया गया था। परीक्षा टिप: पहले अंतर (difference) निकालें, फिर प्राप्त सेट का इंटरसेक्शन लें। / Compute \(A-B\) first: \(A-B=\{1,3,4\}\) because elements 2 and 5 are removed. Now take the intersection with \(C=\{5,6\}\). There is no common element, so the result is the empty set \(\varnothing\). The closest distractor \(\{5\}\) is incorrect because 5 is not in \(A-B\). Exam tip: perform set difference before intersection to avoid mistakes.
\(A\cup B={1,2,3,4}\) और \(A\cap B={2,3}\) है। दिए गए विकल्पों में (1) union में है लेकिन intersection में नहीं है। / \(A\cup B={1,2,3,4}\) and \(A\cap B={2,3}\). Among the options, (1) is in the union but not in the intersection.
यदि \(A - B = \varnothing\) है तो इसका अर्थ है कि A का कोई भी तत्त्व ऐसा नहीं है जो B में न हो। अर्थात् हर \(x\in A\) के लिए \(x\in B\) सत्य है। यही परिभाषा है कि \(A \subseteq B\)। विकल्प B गलत है क्योंकि वह B के हर तत्त्व का A में होने का दावा करता है, जो दिए हुए कथन से निष्पन्न नहीं होता। विकल्प C और D भी गलत हैं: C (विसंगति) तभी सच होगी जब A और B में कोई साझा तत्त्व न हो — पर मूल कथन ऐसा नहीं कहता; D (एकीकरण खाली) तभी होगा जब दोनों सेट खाली हों, जो साबित नहीं हुआ। परीक्षा-सुझाव: तत्व-आधारित तर्क अपनाएँ — किसी सामान्य \(x\in A\) को लेकर दिखाएँ कि \(x\in B\)। / If \(A - B = \varnothing\), no element of A lies outside B; equivalently every \(x\in A\) is also in B. That is precisely \(A \subseteq B\). Option B is incorrect because it would require every element of B to be in A, which is not implied. Option C (\(A\cap B=\varnothing\)) is not implied — A and B may share elements. Option D (\(A\cup B=\varnothing\)) would force both sets empty, which is not given. Exam tip: use an element-wise argument — assume \(x\in A\) and prove \(x\in B\).
यदि \(A\cap B = A\), तो हर तत्त्व जो \(A\) में है वह \(A\cap B\) में भी होगा। पर \(A\cap B\) के तत्त्व वे ही होते हैं जो दोनों \(A\) और \(B\) में हैं; इसलिए किसी भी \(x\in A\) के लिए \(x\in B\) भी होगा। यह बिल्कुल यही कहता है कि \(A\subseteq B\)। दूसरे विकल्प (\(B\subseteq A\)) गलत है क्योंकि \(B\) में ऐसे तत्त्व हो सकते हैं जो \(A\) में न हों — उदाहरण के लिए \(A=\{1\},\;B=\{1,2\}\) में \(A\cap B=A\) रहता है पर \(B\subseteq A\) गलत है। विकल्प (\(A=B^{c}\)) और (\(A\cup B=\varnothing\)) सामान्यतः लागू नहीं होते। परीक्षा टिप: सदस्य-स्तरीय (element-wise) तर्क अपनाएँ — किसी भी \(x\in A\) को लेकर दिखाएँ कि \(x\in B\)। / If \(A\cap B = A\), then every element of \(A\) is also an element of \(A\cap B\). But elements of \(A\cap B\) are precisely those in both \(A\) and \(B\), so for any \(x\in A\) we must have \(x\in B\). This means \(A\subseteq B\). Option B (\(B\subseteq A\)) is not necessarily true — for example \(A=\{1\},\;B=\{1,2\}\) satisfies \(A\cap B=A\) but not \(B\subseteq A\). Options C and D do not follow from the given equality in general. Exam tip: use an element-wise proof or remember the identity \(A\cap B=A\iff A\subseteq B\).
यदि \(A\cup B = A\) है तो अर्थ यह है कि \(A\) में \(B\) के सभी तत्व पहले से मौजूद हैं। इसलिए हर \(b\in B\) के लिए \(b\in A\) होगा, यानि \(B\subseteq A\)। विकल्प \(A\subseteq B\) तब ही सही होगा जब \(A=B\) (पर्याप्त नहीं साबित)। विकल्प \(A\cap B=\varnothing\) गलत है क्योंकि यदि \(B\subseteq A\) है तो परस्पर छेद (intersection) \(B\) बराबर भी हो सकता है, खाली सेट नहीं जरुरी। विकल्प \(B\setminus A=B\) तब ही संभव है जब \(B\) का कोई भी सदस्य \(A\) में न हो — पर यहाँ \(B\subseteq A\) है, अतः \(B\setminus A=\varnothing\) होगा। परीक्षा-सुझाव: एक सरल सदस्य-युक्त तर्क (take an arbitrary element of B) या Venn-आलेख से यह तुरंत दिखता है। / From \(A\cup B = A\) we infer every element of \(B\) is already in \(A\); hence for any \(b\in B\) we have \(b\in A\), i.e. \(B\subseteq A\). \(A\subseteq B\) is not implied (it would require \(A=B\)). \(A\cap B=\varnothing\) is not necessarily true — if \(B\subseteq A\) then the intersection may be \(B\) (not empty). \(B\setminus A=B\) would mean no element of \(B\) lies in \(A\), which contradicts \(B\subseteq A\); in fact then \(B\setminus A=\varnothing\). Exam tip: Use the element-wise definition of union/subset (pick an arbitrary element of B) or draw a quick Venn diagram to check containment.
समूह अंतर (difference) \(A-B\) से तात्पर्य है वे सभी तत्व जो \(A\) में हैं पर \(B\) में नहीं। \(B\) के तत्व \(2\) और \(4\) \(A\) में भी हैं, इसलिए उन्हें \(A\) से हटाना है; \(6\) \(A\) में नहीं है, अतः उसे शामिल नहीं करना। इसलिए \(C=\{1,3,5\}\)। नजदीकी भ्रामक विकल्पों की जाँच: विकल्प (B) केवल \(B\) के सामान्य तत्व दिखाता है (यह \(A\) से घटाने का परिणाम नहीं है); विकल्प (D) में \(A\) को बिना घटाए दे रखा गया है। परीक्षा सुझाव: प्रत्येक तत्व पर जाएँ और देखें क्या वह \(B\) में है — अगर हाँ, तो उसे निकाल दें। / The set difference \(A-B\) consists of elements that are in \(A\) but not in \(B\). Elements 2 and 4 are in both \(A\) and \(B\), so they are removed from \(A\); 6 is not in \(A\), so it is not included. Thus \(C=\{1,3,5\}\). Why distractors are wrong: option (B) lists elements of \(B\), not the difference; option (D) leaves \(A\) unchanged (forgetting to subtract). Exam tip: to compute \(A-B\), scan elements of \(A\) and discard those that also appear in \(B\).
कक्षा में क्रिकेट खेलने वाले छात्रों का समुच्चय \(C=\{Amit,Ravi,Sita\}\) और फुटबॉल खेलने वाले छात्रों का समुच्चय \(F=\{Ravi,Neha\}\) है। दोनों खेल कौन-कौन से छात्र खेलते हैं?
दो सेटों में एक साथ आने वाले सदस्य समुच्च्य के विच्छेद (intersection) \(C\cap F\) में होते हैं। यहाँ दोनों समुच्चयों में केवल "Ravi" सामान्य है, अतः \(C\cap F=\{Ravi\}\)। विकल्प B ({Amit, Sita}) गलत है क्योंकि Amit और Sita केवल क्रिकेट खेलने वाले हैं; विकल्प C ({Neha}) गलत है क्योंकि Neha केवल फुटबॉल में है; विकल्प D पूरे छात्रों का संघ है, जो दोनों खेल खेलने का गलत उत्तर है। परीक्षा-सुझाव: किसी भी दो समुच्चयों में सामान्य तत्व खोजने के लिए उनका संघ नहीं, बल्कि अंतर (intersection) लें। / Members common to both sets are given by the intersection \(C\cap F\). Here the only common name is Ravi, so \(C\cap F=\{Ravi\}\). Option B ({Amit, Sita}) is wrong because Amit and Sita belong only to the cricket set; option C ({Neha}) is wrong because Neha belongs only to the football set; option D is the union of both sets, not the intersection. Exam tip: to find who plays both games, compute the intersection \(C\cap F\).
एक पुस्तकालय में हिंदी पुस्तकें \(H=\{h_1,h_2,h_3\}\) और अंग्रेज़ी पुस्तकें \(E=\{h_3,e_1,e_2\}\) रखी हुई हैं। "कम से कम एक श्रेणी" में आने वाली पुस्तकों का समुच्चय कौन-सा है?
"कम से कम एक श्रेणी" का अर्थ संघ (union) है — वे सभी सदस्य जो कम से कम किसी एक समुच्चय में मौजूद हों। \(H\cup E\) में दोनों समुच्चयों के सभी अलग-अलग तत्व लिए जाते हैं; यहाँ \(h_3\) दोनों में है पर संघ में एक बार ही लिखते हैं, इसलिए \(H\cup E=\{h_1,h_2,h_3,e_1,e_2\}\)। विकल्प B (छेदन) केवल दोनों में सामान्य तत्व देता है, इसलिए गलत है। विकल्प C और D क्रमशः केवल H में लेकिन E में नहीं और केवल E में लेकिन H में नहीं वाले तत्व देते हैं, जो "कम से कम एक" की परिभाषा पूरी नहीं करते। परीक्षा-सुझाव: किसी भी संघ/छेदन/छेदान की पहचान करते समय पहले सामान्य और अनन्य तत्व अलग कर लें और फिर क्रम से समुच्चय बनाएं। / "At least one category" means the union of the sets — every element that appears in H or in E (or both). Compute \(H\cup E\) by listing distinct elements from both sets; since \(h_3\) appears in both, it is included only once, giving \(H\cup E=\{h_1,h_2,h_3,e_1,e_2\}\). Option B is the intersection (elements common to both) and thus not the required set. Options C and D are set differences (elements only in H or only in E), which do not represent "at least one". Exam tip: when asked for union, combine all unique elements; when asked for intersection or difference, apply the corresponding membership test first.
पहला चरण दोनों संख्याओं के गुणनखंड लिखना है: \(12\) के गुणनखंड \(\{1,2,3,4,6,12\}\) और \(18\) के गुणनखंड \(\{1,2,3,6,9,18\}\) हैं। दोनों सेटों का परस्पर छेद (common elements) \(\{1,2,3,6\}\) है। इसलिए \(A\cap B=\{1,2,3,6\}\)। परीक्षा टिप: पहले प्रत्येक संख्या के सभी गुणनखंड लिखें और फिर सामान्य (common) तत्व ही निकालें। / List factors of each number: factors of 12 are \(\{1,2,3,4,6,12\}\) and factors of 18 are \(\{1,2,3,6,9,18\}\). The common elements are \(\{1,2,3,6\}\), so \(A\cap B=\{1,2,3,6\}\). Exam tip: write factor lists first, then pick the common elements for the intersection.
\(A=\{1,2,5,10\}\) और \(B=\{1,3,5,15\}\) है। संघ में सभी अलग-अलग अवयव ({1,2,3,5,10,15}) होंगे। / \(A=\{1,2,5,10\}\) and \(B=\{1,3,5,15\}\). The union contains all distinct elements ({1,2,3,5,10,15}).
पहला कदम \(B\cup C\) निकालना है: \(B\cup C=\{2,4,5,6,8\}\)। फिर इसे \(A\) के साथ इंटरसेक्ट करें: \(A\cap (B\cup C)=\{1,2,5,7\}\cap\{2,4,5,6,8\}=\{2,5\}\)। विकल्प (C) गलत है क्योंकि वह \(B\cup C\) (यूनियन) का सेट है, न कि इंटरसेक्शन; विकल्प (B) में दिए गए तत्व \(A\) के हैं पर वे \(B\cup C\) में नहीं आते। परीक्षा सुझाव: पहले यूनियन और फिर इंटरसेक्शन निकालें — क्रम स्पष्ट रखें और दोनों सेटों के सामान्य तत्व ही लें। / Compute the union first: \(B\cup C=\{2,4,5,6,8\}\). Now intersect with \(A\): \(A\cap(B\cup C)=\{1,2,5,7\}\cap\{2,4,5,6,8\}=\{2,5\}\). Option C is incorrect because it lists the union \(B\cup C\), not the intersection; option B lists elements of \(A\) that are not in \(B\cup C\). Exam tip: always perform the union or intersection inside parentheses first, then intersect with the outer set — this avoids order mistakes.
पहले \(B\cup C=\{20,30,50,60\}\) पाएँ। अब \(A\) में से उन तत्वों को हटाएँ जो संयुक्त सेट में हैं: \(A- (B\cup C)=\{10,20,30,40\}-\{20,30,50,60\}=\{10,40\}\)। विकल्प B (\{20,30\}) केवल संयुक्त सेट के सदस्य हैं इसलिए यह गलत है। परीक्षा टिप: पहले यूनियन निकालें और फिर सदस्यता देखकर घटाएँ। / Compute the union first: \(B\cup C=\{20,30,50,60\}\). Subtract these from \(A\): \(A-(B\cup C)=\{10,20,30,40\}-\{20,30,50,60\}=\{10,40\}\). Option B (\{20,30\}) lists elements removed from \(A\), not the remaining ones, so it is incorrect. Exam tip: always form the union then remove its elements from the given set to avoid errors.
