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Find the nearest lower multiple of 112 below 1365.
Step 2
Why this answer is correct
\(112\times12=1344\), so the remainder is (1365-1344=21).
Step 3
Exam Tip
In exams, always check that the final remainder is smaller than the divisor. चरण 1: 112 का 1365 से छोटा निकट गुणज खोजें। चरण 2: \(112\times12=1344\), इसलिए शेषफल (1365-1344=21) है। चरण 3: परीक्षा में अंतिम शेषफल को भाजक से छोटा जरूर जांचें।
The number has the form \(39\times22+r\), where \(0\le r<39\).
Step 2
Why this answer is correct
The greatest remainder is 38, so the number is (858+38=896).
Step 3
Exam Tip
For the greatest number, take the remainder one less than the divisor. चरण 1: संख्या \(39\times22+r\) के रूप में होगी, जहाँ \(0\le r<39\)। चरण 2: सबसे बड़ा शेषफल 38 होगा, इसलिए संख्या (858+38=896) है। चरण 3: अधिकतम संख्या के लिए शेषफल भाजक से एक कम लें।
For the least value, (r=0), so the number is \(57\times18=1026\).
Step 3
Exam Tip
For a minimum value, start with remainder zero. चरण 1: संख्या \(57\times18+r\) होगी। चरण 2: सबसे छोटे मान के लिए (r=0), इसलिए संख्या \(57\times18=1026\) है। चरण 3: न्यूनतम मान में शेषफल हमेशा शून्य मानकर शुरू करें।
\(73\times12=876\), so (947=876+71), and 71 is valid.
Step 3
Exam Tip
A form with a negative remainder may look close, but it is not Euclidean form. चरण 1: वैध शेषफल 0 से 72 के बीच होना चाहिए। चरण 2: \(73\times12=876\), इसलिए (947=876+71) और 71 वैध शेषफल है। चरण 3: ऋणात्मक शेषफल वाला रूप सही गणना जैसा लग सकता है, पर वह यूक्लिडीय रूप नहीं है।
Adding 28 gives total remainder (25+28=53), and \(53=26\times2+1\).
Step 3
Exam Tip
After addition, reduce the remainder again by the divisor. चरण 1: (x) का शेषफल 25 है। चरण 2: 28 जोड़ने पर कुल शेषफल (25+28=53), और \(53=26\times2+1\)। चरण 3: जोड़ के बाद शेषफल को फिर से भाजक से घटाकर छोटा करें।
The remainder of (5n+7) comes from \(5\times8+7=47\), and \(47=19\times2+9\).
Step 3
Exam Tip
In a linear expression, using the remainder keeps the calculation short. चरण 1: (n=19q+8) मानें। चरण 2: (5n+7) का शेषफल \(5\times8+7=47\) से मिलेगा, और \(47=19\times2+9\)। चरण 3: रैखिक व्यंजक में शेषफल रखकर गणना छोटी हो जाती है।
The square remainder comes from dividing \(9^2=81\) by 11.
Step 2
Why this answer is correct
\(81=11\times7+4\), so the remainder is 4.
Step 3
Exam Tip
In square questions, square the remainder instead of the whole number. चरण 1: वर्ग का शेषफल \(9^2=81\) को 11 से भाग देकर मिलेगा। चरण 2: \(81=11\times7+4\), इसलिए शेषफल 4 है। चरण 3: वर्ग वाले प्रश्नों में पूरी संख्या के बजाय उसके शेषफल का वर्ग लें।
On division by 9, possible remainders are from 0 to 8.
Step 2
Why this answer is correct
Therefore, all forms are from (9q) to (9q+8).
Step 3
Exam Tip
Include remainder 0 and do not include remainder 9. चरण 1: 9 से भाग देने पर शेषफल 0 से 8 तक हो सकता है। चरण 2: इसलिए सभी रूप (9q) से (9q+8) तक होंगे। चरण 3: पूरी सूची में 0 शेषफल रखें और 9 शेषफल न रखें।
Adding 1 gives (31q+31=31(q+1)), so the remainder is 0.
Step 3
Exam Tip
Adding 1 to a remainder one less than the divisor gives the next exact multiple. चरण 1: (a) का शेषफल 30 है, जो 31 से एक कम है। चरण 2: 1 जोड़ने पर (31q+31=31(q+1)), इसलिए शेषफल 0 है। चरण 3: भाजक से एक कम शेषफल में 1 जोड़ने पर अगला पूरा गुणज बनता है।
If subtraction gives a negative remainder, add the divisor as needed. चरण 1: (m=17q+4) लिखें। चरण 2: (m-23=17q-19=17(q-2)+15), इसलिए शेषफल 15 है। चरण 3: घटाव में ऋणात्मक शेषफल आए तो भाजक को जरूरत के अनुसार जोड़ें।
The greatest integer smaller than 52 is 51, so it is the greatest possible remainder.
Step 3
Exam Tip
A remainder can never be equal to the divisor. चरण 1: शेषफल की शर्त \(0\le r<52\) होगी। चरण 2: 52 से छोटा सबसे बड़ा पूर्णांक 51 है, इसलिए वही अधिकतम शेषफल है। चरण 3: शेषफल कभी भी भाजक के बराबर नहीं हो सकता।
For three times the number, the remainder part is \(3\times27=81\).
Step 2
Why this answer is correct
\(81=28\times2+25\), so the final remainder is 25.
Step 3
Exam Tip
After multiplication, reduce the remainder below the divisor. चरण 1: तिगुनी संख्या के लिए शेषफल \(3\times27=81\) होगा। चरण 2: \(81=28\times2+25\), इसलिए अंतिम शेषफल 25 है। चरण 3: गुणा के बाद मिले शेषफल को भाजक से छोटा करना जरूरी है।
\(41\times21=861\), so the remainder is (875-861=14).
Step 3
Exam Tip
The nearest lower multiple method saves time with larger numbers. चरण 1: 41 का 875 से छोटा निकट गुणज निकालें। चरण 2: \(41\times21=861\), इसलिए शेषफल (875-861=14) है। चरण 3: निकटतम छोटे गुणज की विधि बड़े अंकों में समय बचाती है।
In power questions, use the smaller remainder instead of the full number. चरण 1: घन के लिए \(3^3=27\) लें। चरण 2: 27 को 10 से भाग देने पर शेषफल 7 है। चरण 3: घात वाले प्रश्नों में संख्या की जगह उसके छोटे शेषफल का उपयोग करें।
B. शेषफल 0 से 13 तक हो सकता है/The remainder can be from 0 to 13
Step 1
Concept
In Euclid’s lemma, \(0\le r<b\).
Step 2
Why this answer is correct
Here (b=14), so the remainder can be from 0 to 13.
Step 3
Exam Tip
Include 0 in the list of remainders and exclude the divisor itself. चरण 1: यूक्लिड प्रमेय में \(0\le r<b\) होता है। चरण 2: यहाँ (b=14), इसलिए शेषफल 0 से 13 तक हो सकता है। चरण 3: शेषफल की सूची में 0 शामिल करें और भाजक को बाहर रखें।
The remainder of (4p-9) comes from \(4\times11-9=35\), and \(35=13\times2+9\).
Step 3
Exam Tip
Always reduce the final remainder below the divisor. चरण 1: (p) का शेषफल 11 है। चरण 2: (4p-9) का शेषफल \(4\times11-9=35\) से मिलेगा, और \(35=13\times2+9\)। चरण 3: अंतिम शेषफल को हमेशा भाजक से कम करें।
The sum remainder comes from (6+7=13), and (13=8+5).
Step 3
Exam Tip
If the sum of remainders is greater than the divisor, reduce it again. चरण 1: दोनों संख्याओं के शेषफल 6 और 7 हैं। चरण 2: योग का शेषफल (6+7=13) से मिलेगा, और (13=8+5)। चरण 3: शेषफलों का योग भाजक से बड़ा हो तो उसे फिर घटाएं।
For multiplication, multiply the remainders 12 and 15.
Step 2
Why this answer is correct
\(12\times15=180\), and \(180=17\times10+10\).
Step 3
Exam Tip
In product questions, multiply the remainders and then find the final remainder. चरण 1: गुणन के लिए शेषफल 12 और 15 को गुणा करें। चरण 2: \(12\times15=180\), और \(180=17\times10+10\)। चरण 3: गुणन वाले प्रश्नों में शेषफलों का गुणा करके अंतिम शेषफल निकालें।
In higher powers, reduce remainders along the way to keep calculation easy. चरण 1: घन के लिए \(5^3=125\) देखें। चरण 2: \(125=7\times17+6\), इसलिए शेषफल 6 है। चरण 3: बड़ी घात में बीच-बीच में शेषफल घटाकर गणना आसान रखें।
The possible remainders of a number are 0, 1, 2, 3, and 4.
Step 2
Why this answer is correct
Their square remainders are 0, 1, 4, 4, and 1 respectively.
Step 3
Exam Tip
A square divided by 5 never leaves remainder 2 or 3. चरण 1: संख्या के संभावित शेषफल 0, 1, 2, 3, 4 हैं। चरण 2: इनके वर्गों के शेषफल क्रमशः 0, 1, 4, 4, 1 मिलते हैं। चरण 3: 5 से भाग देने पर किसी वर्ग का शेषफल 2 या 3 नहीं आता।
(49) leaves remainder 5 on division by 22, so (17+5=22), which gives remainder 0.
Step 3
Exam Tip
After reducing the added number, reduce the final sum again by the divisor. चरण 1: (N) का शेषफल 17 है। चरण 2: 49 को 22 से भाग देने पर शेषफल 5 है, इसलिए कुल शेषफल (17+5=22), जो 0 होना चाहिए; पर सीधे (17+49=66), और 66 भी 22 से विभाज्य है। चरण 3: जोड़ी गई संख्या को छोटे शेषफल में बदलने के बाद अंतिम घटाव जरूर करें।
When the divisor is 24, the remainder can be from 0 to 23.
Step 2
Why this answer is correct
24 is equal to the divisor, so it cannot be a remainder.
Step 3
Exam Tip
In remainder questions, carefully check any option equal to the divisor. चरण 1: भाजक 24 होने पर शेषफल 0 से 23 तक हो सकता है। चरण 2: 24 भाजक के बराबर है, इसलिए यह शेषफल नहीं हो सकता। चरण 3: शेषफल के प्रश्न में भाजक के बराबर विकल्प को तुरंत सावधानी से देखें।
While dividing, choose a multiple that does not exceed the given number. चरण 1: \(67\times25=1675\) है। चरण 2: (1682-1675=7), इसलिए शेषफल 7 है। चरण 3: भाग करते समय ऐसा गुणज लें जो दी गई संख्या से बड़ा न हो।
The remainder part of (3t+4) is \(3\times13+4=43\), and \(43=18\times2+7\).
Step 3
Exam Tip
The final remainder must be reduced below 18. चरण 1: (t) का शेषफल 13 है। चरण 2: (3t+4) का शेषफल \(3\times13+4=43\) से मिलेगा, और \(43=18\times2+7\)। चरण 3: अंतिम शेषफल को 18 से कम करना जरूरी है।
For seven times the number, the remainder part is \(7\times6=42\).
Step 2
Why this answer is correct
(42=32+10), so the final remainder is 10.
Step 3
Exam Tip
After multiplication, reduce the result again by the divisor. चरण 1: सात गुनी संख्या के लिए शेषफल \(7\times6=42\) होगा। चरण 2: (42=32+10), इसलिए अंतिम शेषफल 10 है। चरण 3: गुणा के बाद मिले परिणाम को फिर से भाजक से घटाएं।
A. क्योंकि 5 से भाग देने पर शेषफल 0, 1, 2, 3, 4 का चक्र आता है/Because division by 5 gives the cycle of remainders 0, 1, 2, 3, 4
Step 1
Concept
Any integer divided by 5 has one of the forms (5q), (5q+1), (5q+2), (5q+3), or (5q+4).
Step 2
Why this answer is correct
Five consecutive integers cover all five remainders.
Step 3
Exam Tip
The number with remainder 0 is divisible by 5. चरण 1: कोई भी पूर्णांक 5 से भाग देने पर (5q), (5q+1), (5q+2), (5q+3), या (5q+4) रूप में होता है। चरण 2: पांच लगातार पूर्णांकों में ये पांचों शेषफल आ जाते हैं। चरण 3: जिस संख्या का शेषफल 0 है, वही 5 से विभाज्य होगी।
\(1^2=1\) and \(5^2=25=6\times4+1\), so the remainder is 1 in both cases.
Step 3
Exam Tip
In such forms, work only with the remainder, not the whole number. चरण 1: संभावित शेषफल 1 और 5 हैं। चरण 2: \(1^2=1\) और \(5^2=25=6\times4+1\), इसलिए दोनों स्थितियों में शेषफल 1 है। चरण 3: ऐसे रूपों में पूरी संख्या नहीं, केवल शेषफल पर काम करें।
This can be written as (37(q-1)+18), so the remainder is 18.
Step 3
Exam Tip
Add the divisor once to make a negative remainder valid. चरण 1: (a-48=37q+29-48=37q-19)। चरण 2: इसे (37(q-1)+18) लिखा जा सकता है, इसलिए शेषफल 18 है। चरण 3: ऋणात्मक शेषफल को वैध बनाने के लिए एक बार भाजक जोड़ें।
Do not write 121 as the final answer because a remainder must be smaller than the divisor. चरण 1: वर्ग के लिए \(11^2=121\) लें। चरण 2: \(121=15\times8+1\), इसलिए शेषफल 1 है। चरण 3: अंतिम उत्तर में 121 नहीं लिखें, क्योंकि शेषफल भाजक से छोटा होना चाहिए।
The remainder of \(x^2+x\) comes from \(7^2+7=56\), and 56 is divisible by 8.
Step 3
Exam Tip
Substituting the remainder in the expression gives a quick solution. चरण 1: (x) का शेषफल 7 है। चरण 2: \(x^2+x\) का शेषफल \(7^2+7=56\) से मिलेगा, और 56, 8 से विभाज्य है। चरण 3: व्यंजक में संख्या की जगह उसका शेषफल रखने से हल तेजी से होता है।
The nearest lower multiple of 23 below 511 is 506, so the remainder is 5.
Step 3
Exam Tip
Do not accept a negative remainder or a remainder greater than the divisor. चरण 1: \(23\times22=506\) और \(23\times23=529\) है। चरण 2: 511 से छोटा निकट गुणज 506 है, इसलिए शेषफल 5 है। चरण 3: ऋणात्मक या भाजक से बड़ा शेषफल मानक रूप में स्वीकार न करें।
Number (=) divisor \(\times\) quotient (+) remainder.
Step 2
Why this answer is correct
\(45\times16+44=720+44=764\).
Step 3
Exam Tip
The remainder 44 is less than divisor 45, so the form is valid. चरण 1: संख्या \(=भाजक\timesभागफल+शेषफल\) होती है। चरण 2: \(45\times16+44=720+44=764\)। चरण 3: शेषफल 44, भाजक 45 से छोटा है, इसलिए रूप वैध है।
In subtraction, add the divisor when the remainder becomes negative. चरण 1: अंतर के लिए शेषफल (3-9=-6) मिलेगा। चरण 2: वैध शेषफल बनाने के लिए 16 जोड़ें, जिससे 10 मिलता है। चरण 3: घटाव में ऋणात्मक शेषफल आने पर भाजक जोड़ें।
A. क्योंकि 6 से भाग देने पर शेषफल 0, 1, 2, 3, 4, 5 का चक्र आता है/Because division by 6 gives the cycle of remainders 0, 1, 2, 3, 4, 5
Step 1
Concept
On division by 6, possible remainders are from 0 to 5.
Step 2
Why this answer is correct
Six consecutive integers cover all these remainders once.
Step 3
Exam Tip
The number with remainder 0 is divisible by 6. चरण 1: 6 से भाग देने पर शेषफल 0 से 5 तक हो सकते हैं। चरण 2: छह लगातार पूर्णांकों में ये सभी शेषफल एक बार आते हैं। चरण 3: जिस संख्या का शेषफल 0 है, वह 6 से विभाज्य होगी।
(71) leaves remainder 1 on division by 35, so total remainder (34+1=35), which becomes 0.
Step 3
Exam Tip
First reduce the large added number to a small remainder. चरण 1: मूल शेषफल 34 है। चरण 2: 71 को 35 से भाग देने पर शेषफल 1 है, इसलिए कुल शेषफल (34+1=35), जो 0 बन जाता है। चरण 3: बड़ी जोड़ी गई संख्या को पहले छोटे शेषफल में बदलें।
The remainder of \(u^2-u\) comes from \(5^2-5=20\), and (20=12+8).
Step 3
Exam Tip
Substitute the remainder first, then find the final remainder. चरण 1: (u) का शेषफल 5 है। चरण 2: \(u^2-u\) का शेषफल \(5^2-5=20\) से मिलेगा, और (20=12+8)। चरण 3: व्यंजक में पहले शेषफल रखें, फिर अंतिम शेषफल निकालें।
\(7^2=49\), which leaves remainder 4 on division by 9.
Step 2
Why this answer is correct
For \(7^4\), use \(4^2=16\), and 16 leaves remainder 7 on division by 9.
Step 3
Exam Tip
In higher powers, reduce the remainder after each step. चरण 1: \(7^2=49\), और 49 को 9 से भाग देने पर शेषफल 4 है। चरण 2: \(7^4\) के लिए \(4^2=16\), और 16 का 9 से शेषफल 7 नहीं, बल्कि 7 है; इसलिए सही शेषफल 7 होगा। चरण 3: बड़ी घातों में हर चरण के बाद शेषफल घटाना जरूरी है।
Adding 6 gives (18q+18=18(q+1)), so the remainder is 0.
Step 3
Exam Tip
When the remainder and the added number make the divisor, the new remainder becomes zero. चरण 1: संख्या (18q+12) है। चरण 2: 6 जोड़ने पर (18q+18=18(q+1)), इसलिए शेषफल 0 है। चरण 3: जब शेषफल और जोड़ी गई संख्या मिलकर भाजक बन जाएं, तो नया शेषफल शून्य होता है।
The remainder of (ab+a) comes from \(9\times6+9=63\), and \(63=14\times4+7\).
Step 3
Exam Tip
In a mixed expression, handle the remainder of each term separately. चरण 1: (a) और (b) के शेषफल 9 और 6 हैं। चरण 2: (ab+a) का शेषफल \(9\times6+9=63\) से मिलेगा, और \(63=14\times4+7\)। चरण 3: मिश्रित व्यंजक में प्रत्येक पद का शेषफल अलग संभालें।
In standard form, the remainder must be from 0 to 119.
Step 2
Why this answer is correct
\(120\times10=1200\), so (1201=1200+1).
Step 3
Exam Tip
Along with correct calculation, the valid range of the remainder is necessary. चरण 1: मानक रूप में शेषफल 0 से 119 के बीच होना चाहिए। चरण 2: \(120\times10=1200\), इसलिए (1201=1200+1) है। चरण 3: गणना सही होने के साथ शेषफल की वैध सीमा भी जरूरी है।
\(1^2,3^2,5^2,7^2\) all leave remainder 1 when divided by 8.
Step 3
Exam Tip
Remember that the square of an odd number leaves remainder 1 on division by 8. चरण 1: ये सभी शेषफल विषम संख्या को दिखाते हैं। चरण 2: \(1^2,3^2,5^2,7^2\) सभी को 8 से भाग देने पर शेषफल 1 मिलता है। चरण 3: विषम संख्या के वर्ग का 8 से शेषफल 1 याद रखें।
For eight times the number, the remainder part is \(8\times5=40\).
Step 2
Why this answer is correct
(40=27+13), so the final remainder is 13.
Step 3
Exam Tip
After multiplication, reduce the result below the divisor. चरण 1: आठ गुनी संख्या के लिए शेषफल \(8\times5=40\) होगा। चरण 2: (40=27+13), इसलिए अंतिम शेषफल 13 है। चरण 3: गुणा के बाद परिणाम को भाजक से छोटा करें।
The remainder of \(a^2+2\) comes from \(3^2+2=11\), and (11=7+4).
Step 3
Exam Tip
Substitute the remainder in the expression, then find the final remainder. चरण 1: (a) का शेषफल 3 है। चरण 2: \(a^2+2\) का शेषफल \(3^2+2=11\) से मिलेगा, और (11=7+4)। चरण 3: व्यंजक में शेषफल रखकर फिर अंतिम शेषफल निकालें।
In (3a+b), the remainder part is \(3\times6+8=26\).
Step 2
Why this answer is correct
\(26=11\times2+4\), so the remainder is 4.
Step 3
Exam Tip
In multi-term expressions, handle the remainder of each term separately. चरण 1: (3a+b) में शेषफल \(3\times6+8=26\) होगा। चरण 2: \(26=11\times2+4\), इसलिए शेषफल 4 है। चरण 3: कई पदों में हर पद के शेषफल को अलग संभालें।
(85) leaves remainder 1 on division by 42, so total remainder (41+1=42), which becomes 0.
Step 3
Exam Tip
When adding a large number, first find its smaller remainder. चरण 1: मूल शेषफल 41 है। चरण 2: 85 को 42 से भाग देने पर शेषफल 1 है, इसलिए कुल शेषफल (41+1=42), जो 0 बनता है। चरण 3: बड़ी संख्या जोड़ने पर पहले उसका छोटा शेषफल निकालें।
The remainder of \(n^2+n+1\) comes from \(3^2+3+1=13\), and 13 leaves remainder 1 when divided by 4.
Step 3
Exam Tip
In polynomial-like expressions, substituting the remainder makes the solution direct. चरण 1: (n) की जगह शेषफल 3 रखें। चरण 2: \(n^2+n+1\) का शेषफल \(3^2+3+1=13\) से मिलेगा, और 13 का 4 से शेषफल 1 है। चरण 3: बहुपद जैसे व्यंजकों में शेषफल रखने से हल सीधा हो जाता है।
For (6a), compute \(6\times23=138\), and \(138=30\times4+18\).
Step 3
Exam Tip
After multiplication, reduce the answer below the divisor. चरण 1: (a) का शेषफल 23 है। चरण 2: (6a) के लिए \(6\times23=138\), और \(138=30\times4+18\)। चरण 3: गुणा के बाद उत्तर को भाजक से छोटा करें।
63 is equal to the divisor, so it cannot be a valid remainder.
Step 3
Exam Tip
In definition-based questions, check the condition (r<b) first. चरण 1: शेषफल की सीमा \(0\le r<63\) है। चरण 2: 63 भाजक के बराबर है, इसलिए यह वैध शेषफल नहीं हो सकता। चरण 3: (r<b) वाली शर्त को परिभाषा वाले प्रश्नों में सबसे पहले जांचें।
Since (n) has remainder 9, (n+1) has remainder 0, so its square is divisible by 10.
Step 3
Exam Tip
First recognize the structure of the expression to reduce calculation. चरण 1: (n-2+2n+1=(n+1)2) है। चरण 2: (n) का शेषफल 9 है, इसलिए (n+1) का शेषफल 0 होगा और उसका वर्ग भी 10 से विभाज्य होगा। चरण 3: पहले व्यंजक की बनावट पहचानें, इससे गणना कम होती है।
(42) is exactly divisible by 21, so the remainder should be 0.
Step 3
Exam Tip
In multi-term questions, add only the remainders and reduce at the end. चरण 1: शेषफलों को जोड़ें: (17+19+6=42)। चरण 2: 42, 21 से पूर्णतः विभाजित है, इसलिए शेषफल 0 होना चाहिए। चरण 3: कई पदों वाले प्रश्नों में केवल शेषफलों को जोड़कर अंतिम घटाव करें।
