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A. दो वास्तविक, परिमेय और असमान मूल/Two real, rational and distinct roots
Explanation
Simple Explanation
यहाँ \(a=2\), \(b=-7\) और \(c=3\) हैं। अतः विविक्तकर \(D=b^2-4ac=(-7)^2-4(2)(3)=25\)। चूँकि \(D>0\), मूल वास्तविक और असमान हैं; तथा \(D=25\) पूर्ण वर्ग है, इसलिए वे परिमेय भी हैं। वास्तव में मूल \(3\) और \(\frac{1}{2}\) हैं। इसलिए विकल्प A सही है। परीक्षा-युक्ति: \(D>0\) से असमान वास्तविक मूल और पूर्ण वर्ग विविक्तकर से परिमेयता पहचानें। / Here, \(a=2\), \(b=-7\), and \(c=3\). Therefore, the discriminant is \(D=b^2-4ac=(-7)^2-4(2)(3)=25\). Since \(D>0\), the roots are real and distinct; since \(D=25\) is a perfect square, they are also rational. In fact, the roots are \(3\) and \(\frac{1}{2}\). Hence, option A is correct. Exam tip: \(D>0\) indicates distinct real roots, while a perfect-square discriminant indicates rational roots.
A. दो वास्तविक और समान मूल (\(D=0\))/Two real and equal roots (\(D=0\))
Explanation
Simple Explanation
यहाँ \(a=1, b=4, c=4\) हैं। अतः विविक्तकर \(D=b^2-4ac=4^2-4(1)(4)=0\)। जब \(D=0\) होता है, तो द्विघात समीकरण के दो वास्तविक और समान मूल होते हैं। वास्तव में, \(x^2+4x+4=(x+2)^2\), इसलिए दोनों मूल \(x=-2\) हैं। परीक्षा-युक्ति: मूलों की प्रकृति जानने के लिए पहले \(D=b^2-4ac\) का मान निकालें। / Here, \(a=1, b=4, c=4\). Therefore, the discriminant is \(D=b^2-4ac=4^2-4(1)(4)=0\). When \(D=0\), a quadratic equation has two real and equal roots. In fact, \(x^2+4x+4=(x+2)^2\), so both roots are \(x=-2\). Exam tip: To determine the nature of roots, first calculate \(D=b^2-4ac\).
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) में विविक्तकर \(D=b^2-4ac\) होता है। यहाँ \(a=1, b=3, c=7\), इसलिए \(D=3^2-4(1)(7)=9-28=-19\)। अतः सही उत्तर A है। ध्यान रखें कि ऋणात्मक विविक्तकर का अर्थ है कि समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं; विकल्प 19 में ऋण चिह्न की गलती है। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\), the discriminant is \(D=b^2-4ac\). Here, \(a=1, b=3, c=7\), so \(D=3^2-4(1)(7)=9-28=-19\). Therefore, option A is correct. Exam tip: a negative discriminant means that the equation has no real roots; 19 results from missing the negative sign.
दिए गए समीकरण में \(a=1\), \(b=-4\) और \(c=1\) हैं। इसलिए \(D=b^2-4ac=(-4)^2-4(1)(1)=16-4=12\)। अतः सही उत्तर 12 है। चूँकि \(D>0\), दोनों मूल वास्तविक और भिन्न होंगे; और 12 पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए वे अपरिमेय भी होंगे। परीक्षा-युक्ति: मूलों की प्रकृति जानने के लिए पहले विविक्तकर का चिह्न देखें। / For the given equation, \(a=1\), \(b=-4\), and \(c=1\). Hence, \(D=b^2-4ac=(-4)^2-4(1)(1)=16-4=12\). Therefore, the correct answer is 12. Since \(D>0\), the roots are real and distinct; because 12 is not a perfect square, they are also irrational. Exam tip: Check the sign of the discriminant first to determine the nature of the roots.
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac\) होता है। यहाँ \(a=2, b=-7, c=3\), इसलिए \(D=(-7)^2-4(2)(3)=49-24=25>0\)। अतः दोनों मूल वास्तविक और भिन्न हैं। विकल्प B तब सही होता जब \(D=0\), जबकि विकल्प C के लिए \(D<0\) होना चाहिए। परीक्षा में मूलों की प्रकृति निर्धारित करने के लिए पहले विविक्तकर का चिह्न जाँचें। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\), the discriminant is \(D=b^2-4ac\). Here, \(a=2, b=-7, c=3\), so \(D=(-7)^2-4(2)(3)=49-24=25>0\). Therefore, the roots are real and distinct. Option B would apply if \(D=0\), while option C would require \(D<0\). In an exam, first check the sign of the discriminant to determine the nature of the roots.
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac\) होता है। यहाँ \(a=2, b=5, c=2\), इसलिए \(D=5^2-4(2)(2)=25-16=9\)। अतः सही उत्तर 9 है। \(D>0\) होने से इसके दो भिन्न वास्तविक मूल होंगे। परीक्षा में चिन्हों पर विशेष ध्यान दें; \(-4ac\) को गलती से \(+4ac\) न लें। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\), the discriminant is \(D=b^2-4ac\). Here, \(a=2, b=5, c=2\), so \(D=5^2-4(2)(2)=25-16=9\). Therefore, the correct answer is 9. Since \(D>0\), the equation has two distinct real roots. In exams, carefully retain the minus sign in \(b^2-4ac\); using a plus sign would incorrectly give 41.
यहाँ \(a=1\), \(b=-4\) और \(c=8\) हैं। विविक्तकर \(D=b^2-4ac=(-4)^2-4(1)(8)=16-32=-16\) है। चूँकि \(D<0\), इसलिए समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं। वास्तव में इसके मूल \(2+2i\) और \(2-2i\) हैं, जो गैर-वास्तविक और असमान हैं। परीक्षा में याद रखें: \(D<0\) होने पर द्विघात समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं होते। / Here, \(a=1\), \(b=-4\), and \(c=8\). The discriminant is \(D=b^2-4ac=(-4)^2-4(1)(8)=16-32=-16\). Since \(D<0\), the equation has no real roots. In fact, its roots are \(2+2i\) and \(2-2i\), which are non-real and distinct. Exam tip: For a quadratic equation, \(D<0\) means that there are no real roots.
यहाँ \(a=5\), \(b=1\) और \(c=1\) हैं। विविक्तकर \(D=b^2-4ac=1^2-4(5)(1)=-19<0\) है। इसलिए समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं। यदि \(D>0\) होता, तो मूल वास्तविक और असमान होते, इसलिए विकल्प B सही नहीं है। परीक्षा-युक्ति: विविक्तकर का चिन्ह मूलों की प्रकृति बताता है—\(D<0\) पर कोई वास्तविक मूल नहीं होता। / Here, \(a=5\), \(b=1\), and \(c=1\). The discriminant is \(D=b^2-4ac=1^2-4(5)(1)=-19<0\). Therefore, the equation has no real roots. Option B is incorrect because real and distinct roots occur only when \(D>0\). Exam tip: use the sign of the discriminant—\(D<0\) means that the quadratic has no real roots.
विकल्प A का विस्तार करने पर \((7x+2)(x-3)=7x^2-21x+2x-6=7x^2-19x-6\) प्राप्त होता है, इसलिए यही सही गुणनखंडित रूप है। विकल्प B में मध्य पद \(+19x\) बनता है, जबकि विकल्प C और D में मध्य पद क्रमशः \(-11x\) और \(+11x\) बनता है। परीक्षा में गुणनखंडित रूप को विस्तार करके मूल समीकरण से अवश्य मिलाएँ। / Expanding option A gives \((7x+2)(x-3)=7x^2-21x+2x-6=7x^2-19x-6\), so it is the correct factorised form. Option B produces a middle term of \(+19x\), while options C and D produce \(-11x\) and \(+11x\), respectively. Exam tip: always expand the factors to verify the middle term and constant term.
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) के मूलों का गुणनफल \(\frac{c}{a}\) होता है। यहाँ \(a=7\) और \(c=-9\) हैं, इसलिए मूलों का गुणनफल \(\frac{-9}{7}=-\frac{9}{7}\) होगा। विकल्प B में चिह्न गलत है, जबकि \(-\frac{4}{7}\) और \(\frac{4}{7}\) में स्थिर पद के स्थान पर मध्य पद का गुणांक लिया गया है। परीक्षा टिप: मूलों के योग और गुणनफल के लिए क्रमशः \(-\frac{b}{a}\) और \(\frac{c}{a}\) याद रखें। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\), the product of its roots is \(\frac{c}{a}\). Here, \(a=7\) and \(c=-9\), so the product is \(\frac{-9}{7}=-\frac{9}{7}\). Option B has the wrong sign, while \(-\frac{4}{7}\) and \(\frac{4}{7}\) incorrectly use the coefficient of the middle term instead of the constant term. Exam tip: remember that the sum of roots is \(-\frac{b}{a}\), whereas their product is \(\frac{c}{a}\).
\(x^2-81=0\) को \(x^2=81\) लिखने पर \(x=\pm 9\) मिलता है। अतः दोनों मूल \(9\) और \(-9\) हैं। विकल्प B में 81 को ही मूल समझ लिया गया है, जबकि 81, \(x^2\) का मान है। परीक्षा में वर्गमूल लेते समय धनात्मक और ऋणात्मक दोनों मान अवश्य जाँचें। / Rewriting \(x^2-81=0\) as \(x^2=81\) gives \(x=\pm 9\). Therefore, the two roots are \(9\) and \(-9\). Option B incorrectly treats 81 as a root, although 81 is the value of \(x^2\). In exams, remember to consider both the positive and negative values when taking the square root.
मानक द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) में मूलों का गुणनफल \(\frac{c}{a}\) होता है। यहाँ \(a=6\) और \(c=-2\), इसलिए गुणनफल \(\frac{-2}{6}=-\frac{1}{3}\) है। विकल्प B में ऋणात्मक चिह्न छूट गया है, जबकि विकल्प C और D में भिन्न का हर गलत लिया गया है। परीक्षा-युक्ति: मूलों का योग \(-\frac{b}{a}\) और गुणनफल \(\frac{c}{a}\) सीधे याद रखें। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\), the product of its roots is \(\frac{c}{a}\). In this equation, \(a=6\) and \(c=-2\), so the product is \(\frac{-2}{6}=-\frac{1}{3}\). Option B misses the negative sign, while options C and D use an incorrect denominator. Exam tip: remember that the sum of the roots is \(-\frac{b}{a}\), whereas their product is \(\frac{c}{a}\).
द्विघात समीकरण के कोई वास्तविक मूल न होने के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac\) का मान शून्य से कम होना चाहिए। यहाँ \(a=1, b=4, c=k\), इसलिए \(D=4^2-4(1)(k)=16-4k\)। अतः \(16-4k<0\), जिससे \(k>4\) प्राप्त होता है। \(k=4\) पर विविक्तकर शून्य होता है और एक दोहराया हुआ वास्तविक मूल मिलता है, इसलिए वह सही विकल्प नहीं है। परीक्षा-युक्ति: ‘कोई वास्तविक मूल नहीं’ के लिए हमेशा \(D<0\) जाँचें। / A quadratic equation has no real roots when its discriminant \(D=b^2-4ac\) is negative. Here, \(a=1, b=4, c=k\), so \(D=4^2-4(1)(k)=16-4k\). Thus, \(16-4k<0\), which gives \(k>4\). At \(k=4\), the discriminant is zero and the equation has one repeated real root, so that option is incorrect. Exam tip: for ‘no real roots,’ always use the condition \(D<0\).
एक समकोण त्रिभुज का आधार \(x\) सेमी और ऊँचाई \(x+2\) सेमी है। यदि उसका क्षेत्रफल \(24\text{ cm}^2\) है, तो \(x\) के लिए सही द्विघात समीकरण कौन-सा होगा?
समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल \(\frac{1}{2}\times\text{आधार}\times\text{ऊँचाई}\) होता है। अतः \(\frac{1}{2}x(x+2)=24\)। दोनों पक्षों को 2 से गुणा करने पर \(x(x+2)=48\) मिलता है। विस्तार करने पर \(x^2+2x-48=0\) प्राप्त होता है, इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B में 2 से गुणा करने का चरण छूट गया है। परीक्षा टिप: क्षेत्रफल वाले प्रश्नों में सूत्र में \(\frac{1}{2}\) को ध्यान से शामिल करें। / The area of a right triangle is \(\frac{1}{2}\times\text{base}\times\text{height}\). Therefore, \(\frac{1}{2}x(x+2)=24\). Multiplying both sides by 2 gives \(x(x+2)=48\). On expanding, we get \(x^2+2x-48=0\), so option A is correct. Option B incorrectly misses the step of multiplying by 2. Exam tip: In area-based questions, carefully account for the \(\frac{1}{2}\) in the triangle-area formula.
\((3x+4)^2=9x^2+24x+16\) होता है। अतः \(9x^2+24x+16=7x+16\)। सभी पदों को बाईं ओर लाने पर \(9x^2+24x+16-7x-16=0\), अर्थात \(9x^2+17x=0\) प्राप्त होता है। विकल्प B में \(7x\) घटाने पर \(24x-7x=17x\) के बजाय गलत रूप से \(31x\) लिया गया है। परीक्षा टिप: मानक रूप में समीकरण को \(ax^2+bx+c=0\) के रूप में लिखें और समान पदों को सावधानी से मिलाएँ। / \((3x+4)^2=9x^2+24x+16\). Therefore, \(9x^2+24x+16=7x+16\). Moving all terms to the left gives \(9x^2+24x+16-7x-16=0\), so \(9x^2+17x=0\). Option B incorrectly treats \(24x-7x\) as \(31x\). Exam tip: write every quadratic equation in the form \(ax^2+bx+c=0\) and combine like terms carefully.
\((x-9)^2=x^2-2\times9\times x+9^2=x^2-18x+81\)। इसलिए दिया गया समीकरण \((x-9)^2=0\) के बराबर है। \((x+9)^2\) में मध्य पद \(+18x\) होता है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: \(x^2-2ax+a^2=(x-a)^2\) पहचान का उपयोग करें। / \((x-9)^2=x^2-2\times9\times x+9^2=x^2-18x+81\). Hence, the given equation is equivalent to \((x-9)^2=0\). In contrast, \((x+9)^2\) has the middle term \(+18x\), so it is not correct. Exam tip: use the identity \(x^2-2ax+a^2=(x-a)^2\).
वर्ग की भुजा \(x\) होने पर उसका क्षेत्रफल \(x^2\) होगा। प्रश्न के अनुसार क्षेत्रफल \(10x\) से 21 अधिक है, अर्थात \(x^2=10x+21\)। सभी पदों को एक ओर लाने पर \(x^2-10x-21=0\) प्राप्त होता है। विकल्प B में \(10x\) का चिन्ह गलत है। परीक्षा टिप: “से अधिक” को दिए गए व्यंजक में जोड़कर लिखें। / If the side of the square is \(x\), its area is \(x^2\). The statement says that the area is 21 more than \(10x\), so \(x^2=10x+21\). Moving all terms to one side gives \(x^2-10x-21=0\). In option B, the sign of the \(10x\) term is incorrect. Exam tip: Translate “more than” by adding to the stated quantity.
\(x=7\) रखने पर बायाँ पक्ष \(7^2-15\times7+56=49-105+56=0\) प्राप्त होता है। इसलिए सही उत्तर 0 है और \(7\) इस द्विघात समीकरण का एक मूल है। \(7\) स्वयं \(x\) का मान है, बाएँ पक्ष का मान नहीं। परीक्षा टिप: किसी मान के मूल होने की जाँच के लिए उसे समीकरण के बाएँ पक्ष में रखकर देखें; परिणाम 0 होना चाहिए। / Substituting \(x=7\), the left-hand side becomes \(7^2-15\times7+56=49-105+56=0\). Hence, the correct answer is 0, and \(7\) is a root of the quadratic equation. Note that 7 is the value substituted for \(x\), not the value of the left-hand side. Exam tip: To verify a root, substitute it into the left-hand side; the result must be 0.
