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48 questions tagged with class 10 mathematics.
What is the simplified form of (1 + cos θ)(1 - cos θ)?
A. sin² θ
(1 + cos θ)(1 - cos θ) = 1 - cos² θ = sin² θ। / Using the identity 1 - cos² θ = sin² θ, the expression simplifies to sin² θ.
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If cot θ = 1 and θ is acute, then what is θ?
B. 45°
cot 45° = 1 होता है। इसलिए न्यून कोण θ का मान 45° है। / Since cot 45° = 1, the acute angle θ is 45°.
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What is the common difference of AP 5, 8, 11, 14?
B. 3
सार्व अंतर = 8 - 5 = 3 है। प्रत्येक क्रमागत पद में 3 की वृद्धि हो रही है। / The common difference is 8 - 5 = 3. Each successive term increases by 3.
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If a cylinder has radius 21 cm and height 10 cm, then what is its volume?
A. 13860 cm³
बेलन का आयतन πr²h होता है। 22/7 × 21 × 21 × 10 = 13860 घन सेमी। / Volume of a cylinder is πr²h. Thus, 22/7 × 21 × 21 × 10 = 13860 cm³.
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A bag has 4 green balls and 6 yellow balls. What is the probability of drawing a green ball?
A. 25
थैले में कुल गेंदें = 4 + 6 = 10 हैं। हरी गेंदों की संख्या 4 है, इसलिए हरी गेंद निकालने की प्रायिकता = 4/10 = 2/5। / There are 4 + 6 = 10 balls in total. Since 4 balls are green, the probability of drawing a green ball = 4/10 = 2/5.
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C. 12
24 के गुणनखंड 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 और 36 के गुणनखंड 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 हैं। इनका सबसे बड़ा समान गुणनखंड 12 है, इसलिए HCF = 12। / The common factors of 24 and 36 include 1, 2, 3, 4, 6, and 12. The greatest common factor is 12, so the HCF is 12.
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If \(P(A)=0.4\), \(P(B)=0.7\), and events \(A\) and \(B\) are independent, what is \(P(A\cap B)\)?
A. शून्य दशमलव दो आठ0.28
स्वतंत्र घटनाओं के लिए \(P(A\cap B)=P(A)\times P(B)\) होता है। इसलिए \(P(A\cap B)=0.4\times0.7=0.28\)। यह मान शून्य और एक के बीच है, इसलिए प्रायिकता के नियम के अनुरूप है। परीक्षा सुझाव: स्वतंत्र घटनाओं के साथ 'दोनों' या प्रतिच्छेद आने पर प्रायिकताओं का गुणा करें। / For independent events, \(P(A\cap B)=P(A)\times P(B)\). Therefore, \(P(A\cap B)=0.4\times0.7=0.28\). The result lies between zero and one, so it is a valid probability. Exam tip: For independent events, multiply the probabilities when the question asks for both events.
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A. 24k-2-14k-3=0
द्विघात समीकरण में समान मूलों के लिए विविक्तकर \\(D=b^2-4ac=0\\) होना चाहिए। यहाँ \\(a=4\\), \\(b=-2(5k-1)\\) और \\(c=(k+2)^2\\) हैं। इसलिए \\(D=4(5k-1)^2-16(k+2)^2=4(24k^2-14k-3)\\)। अतः \\(D=0\\) से \\(24k^2-14k-3=0\\) प्राप्त होता है। विकल्प B में विविक्तकर के विस्तार में गणना की त्रुटि है। परीक्षा-युक्ति: समान मूलों के प्रश्नों में सबसे पहले \\(b^2-4ac=0\\) लिखें। / For a quadratic equation to have equal roots, its discriminant must be zero: \\(D=b^2-4ac=0\\). Here, \\(a=4\\), \\(b=-2(5k-1)\\), and \\(c=(k+2)^2\\). Thus, \\(D=4(5k-1)^2-16(k+2)^2=4(24k^2-14k-3)\\)। Setting \\(D=0\\) gives \\(24k^2-14k-3=0\\), so option A is correct. Option B results from an expansion error while simplifying the discriminant. Exam tip: For equal roots, immediately apply \\(b^2-4ac=0\\).
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A. \\(7k^2-10k-1=0\\)
द्विघात समीकरण में समान मूल होने की शर्त विविक्तकर \\(D=0\\) है। यहाँ \\(a=2\\), \\(b=-2(3k-1)\\) और \\(c=(k+1)^2\\) हैं। इसलिए \\(D=b^2-4ac=4(3k-1)^2-8(k+1)^2=4(7k^2-10k-1)\\)। अतः \\(D=0\\) से \\(7k^2-10k-1=0\\), इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B केवल \\( (k-1)^2=0\\) को दर्शाता है और विविक्तकर की शर्त नहीं है। परीक्षा-युक्ति: समान मूल, वास्तविक और भिन्न मूल की पहचान के लिए क्रमशः \\(D=0\\), \\(D>0\\) और \\(D<0\\) जाँचें। / A quadratic equation has equal roots when its discriminant is zero. Here, \\(a=2\\), \\(b=-2(3k-1)\\), and \\(c=(k+1)^2\\). Thus, \\(D=b^2-4ac=4(3k-1)^2-8(k+1)^2=4(7k^2-10k-1)\\)। Setting \\(D=0\\) gives \\(7k^2-10k-1=0\\), so option A is correct. Option B represents only \\( (k-1)^2=0\\) and does not express the discriminant condition. Exam tip: For a quadratic, check \\(D=0\\) for equal roots, \\(D>0\\) for two distinct real roots, and \\(D<0\\) for non-real roots.
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What is the nature of the roots of the equation \(x^2-19x+90=0\)?
A. दो वास्तविक, परिमेय और भिन्न मूल (\(\Delta=1\))Two real, rational and distinct roots (\(\Delta=1\))
यहाँ \(a=1\), \(b=-19\) और \(c=90\) हैं। अतः विविक्तकर \(\Delta=b^2-4ac=(-19)^2-4(1)(90)=361-360=1\) है। चूँकि \(\Delta\) धनात्मक और पूर्ण वर्ग है, इसलिए मूल वास्तविक, परिमेय और भिन्न होंगे; वास्तव में मूल 9 और 10 हैं। विकल्प B के लिए \(\Delta=0\) होना आवश्यक है। परीक्षा टिप: \(\Delta>0\) से भिन्न वास्तविक मूल और पूर्ण वर्ग विविक्तकर से परिमेयता जाँचें। / Here, \(a=1\), \(b=-19\), and \(c=90\). Therefore, the discriminant is \(\Delta=b^2-4ac=(-19)^2-4(1)(90)=361-360=1\). Since \(\Delta\) is positive and a perfect square, the roots are real, rational, and distinct; in fact, they are 9 and 10. Option B would require \(\Delta=0\). Exam tip: \(\Delta>0\) indicates distinct real roots, and a perfect-square discriminant indicates that they are rational.
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What is the nature of the roots of the equation \(5x^2-14x+11=0\)?
A. कोई वास्तविक मूल नहींNo real roots \(D=-24\)
यहाँ \(a=5, b=-14, c=11\) हैं। अतः विविक्तकर \(D=b^2-4ac=(-14)^2-4(5)(11)=196-220=-24\) है। चूँकि \(D<0\), समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं। विकल्प D में \(D=24\) लिया गया है, जो गणना में चिह्न की गलती के कारण आता है। परीक्षा-टिप: \(D<0\) होने पर मूल अवास्तविक होते हैं, \(D=0\) पर समान और \(D>0\) पर असमान वास्तविक मूल होते हैं। / Here, \(a=5, b=-14, c=11\). Therefore, the discriminant is \(D=b^2-4ac=(-14)^2-4(5)(11)=196-220=-24\). Since \(D<0\), the equation has no real roots. Option D results from a sign error that gives \(D=24\). Exam tip: \(D<0\) means no real roots, \(D=0\) means equal real roots, and \(D>0\) means distinct real roots.
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Choose the correct statement about the nature of the roots of \(x^2+12x+37=0\).
A. कोई वास्तविक मूल नहींNo real roots \((D=-4)\)
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac\) होता है। यहाँ \(a=1, b=12, c=37\), इसलिए \(D=12^2-4(1)(37)=144-148=-4\)। चूँकि \(D<0\), समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं। ध्यान रखें: \(D=0\) होने पर ही दो समान वास्तविक मूल प्राप्त होते हैं। परीक्षा में पहले विविक्तकर का चिह्न जाँचकर मूलों की प्रकृति निर्धारित करें। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\), the discriminant is \(D=b^2-4ac\). Here, \(a=1, b=12, c=37\), so \(D=12^2-4(1)(37)=144-148=-4\). Since \(D<0\), the equation has no real roots. The condition \(D=0\), given in option B, would instead indicate two equal real roots. In an exam, first check the sign of the discriminant to determine the nature of the roots.
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What is the nature of the roots of the equation \(2x^2-7x+1=0\)?
A. दो वास्तविक, अपरिमेय और असमान मूलTwo real, irrational and distinct roots
यहाँ \(a=2\), \(b=-7\) और \(c=1\) हैं। अतः विविक्तकर \(D=b^2-4ac=(-7)^2-4(2)(1)=41\)। चूँकि \(D>0\), दोनों मूल वास्तविक और असमान हैं; तथा 41 पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए वे अपरिमेय भी हैं। विकल्प B गलत है क्योंकि उसके लिए विविक्तकर धनात्मक पूर्ण वर्ग होना चाहिए। परीक्षा-युक्ति: \(D>0\) और अपूर्ण वर्ग होने पर मूल वास्तविक, असमान और अपरिमेय होते हैं। / Here, \(a=2\), \(b=-7\), and \(c=1\). Therefore, the discriminant is \(D=b^2-4ac=(-7)^2-4(2)(1)=41\). Since \(D>0\), the roots are real and distinct; because 41 is not a perfect square, they are also irrational. Option B is incorrect because rational roots in this test require a positive perfect-square discriminant. Exam tip: when \(D>0\) and is not a perfect square, the roots are real, distinct, and irrational.
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What is the nature of the roots of the equation \\(10x^2-19x+6=0\\)?
A. दो वास्तविक, परिमेय और असमान मूलTwo real, rational and distinct roots
यहाँ विविक्तकर \\(D=b^2-4ac=(-19)^2-4(10)(6)=121\\) है। चूँकि \\(D>0\\), दोनों मूल वास्तविक और असमान होंगे। साथ ही, \\(121\\) पूर्ण वर्ग है, इसलिए दोनों मूल परिमेय हैं। वास्तव में, समीकरण के मूल \\(x=\frac{2}{5}\\) और \\(x=\frac{3}{2}\\) हैं। अतः विकल्प A सही है; विकल्प D गलत है क्योंकि विविक्तकर पूर्ण वर्ग है। परीक्षा-टिप: \\(D>0\\) से असमान वास्तविक मूल और पूर्ण वर्ग विविक्तकर से परिमेय मूल निर्धारित करें। / The discriminant is \\(D=b^2-4ac=(-19)^2-4(10)(6)=121\\). Since \\(D>0\\), the roots are real and distinct. Also, \\(121\\) is a perfect square, so both roots are rational. In fact, the roots are \\(x=\frac{2}{5}\\) and \\(x=\frac{3}{2}\\). Therefore, option A is correct; option D is incorrect because the discriminant is a perfect square. Exam tip: Use \\(D>0\\) for distinct real roots, and check whether \\(D\\) is a perfect square to decide if they are rational.
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What is the nature of the roots of the equation \(3x^2+x+4=0\)?
A. कोई वास्तविक मूल नहींNo real roots \((D=-47)\)
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac\) होता है। यहाँ \(a=3, b=1, c=4\), इसलिए \(D=1^2-4(3)(4)=1-48=-47\)। चूँकि \(D<0\), समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं। ध्यान रखें: \(D<0\) का अर्थ वास्तविक मूलों का न होना, जबकि \(D=0\) का अर्थ दो समान वास्तविक मूल होना है। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\), the discriminant is \(D=b^2-4ac\). Here, \(a=3, b=1, c=4\), so \(D=1^2-4(3)(4)=1-48=-47\). Since \(D<0\), the equation has no real roots. Exam tip: \(D<0\) indicates no real roots, whereas \(D=0\) indicates two equal real roots.
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What is the correct conclusion about the nature of the roots of \(7x^2+3x+2=0\)?
A. कोई वास्तविक मूल नहींNo real roots \((D=-47)\)
यहाँ \(a=7\), \(b=3\) और \(c=2\) हैं। इसलिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac=3^2-4(7)(2)=9-56=-47\) है। चूँकि \(D<0\), समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं। विकल्प B तभी सही होता जब \(D=0\) होता, जबकि यहाँ विविक्तकर ऋणात्मक है। परीक्षा में मूलों की प्रकृति जानने के लिए सबसे पहले \(D=b^2-4ac\) का चिह्न जाँचें। / Here, \(a=7\), \(b=3\), and \(c=2\). Thus, the discriminant is \(D=b^2-4ac=3^2-4(7)(2)=9-56=-47\). Since \(D<0\), the equation has no real roots. Option B would be correct only if \(D=0\), but the discriminant here is negative. Exam tip: To determine the nature of the roots, first calculate the sign of \(D=b^2-4ac\).
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A. कोई वास्तविक मूल नहीं \((D=-19)\)No real roots \((D=-19)\)
समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac\) होता है। यहाँ \(a=5, b=1, c=1\), इसलिए \(D=1^2-4(5)(1)=-19\)। चूँकि \(D<0\), समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं। अतः विकल्प A सही है। परीक्षा में याद रखें: \(D<0\) पर वास्तविक मूल नहीं, \(D=0\) पर समान वास्तविक मूल और \(D>0\) पर दो असमान वास्तविक मूल होते हैं। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\), the discriminant is \(D=b^2-4ac\). Here, \(a=5, b=1, c=1\), so \(D=1^2-4(5)(1)=-19\). Since \(D<0\), the equation has no real roots; therefore, option A is correct. Exam tip: \(D<0\) means no real roots, \(D=0\) means equal real roots, and \(D>0\) means two distinct real roots.
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Choose the correct conclusion about the nature of the roots of the equation \(2x^2-x+2=0\).
A. कोई वास्तविक मूल नहींNo real roots; \(D=-15\)
दिए गए समीकरण में \(a=2\), \(b=-1\) और \(c=2\) हैं। अतः विविक्तकर \(D=b^2-4ac=(-1)^2-4(2)(2)=1-16=-15\) है। क्योंकि \(D<0\), इसलिए इस द्विघात समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं। परीक्षा में पहले \(D\) का मान निकालकर उसका चिह्न देखें: ऋणात्मक होने पर मूल अवास्तविक होते हैं। / For the given equation, \(a=2\), \(b=-1\), and \(c=2\). Thus, the discriminant is \(D=b^2-4ac=(-1)^2-4(2)(2)=1-16=-15\). Since \(D<0\), the quadratic equation has no real roots. Exam tip: calculate the discriminant first and identify the nature of the roots from its sign.
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What is the nature of the roots of \(x^2-x-1=0\)?
A. दो वास्तविक, अपरिमेय और असमान मूलTwo real, irrational and distinct roots \((D=5)\)
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac\) होता है। यहाँ \(a=1,b=-1,c=-1\), इसलिए \(D=(-1)^2-4(1)(-1)=5\)। चूँकि \(D>0\), दोनों मूल वास्तविक और असमान हैं; और 5 पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए वे अपरिमेय हैं। अतः विकल्प A सही है। परीक्षा-युक्ति: \(D>0\) तथा \(D\) पूर्ण वर्ग न होने पर मूल वास्तविक, असमान और अपरिमेय होते हैं। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\), the discriminant is \(D=b^2-4ac\). Here, \(a=1,b=-1,c=-1\), so \(D=(-1)^2-4(1)(-1)=5\). Since \(D>0\), the roots are real and distinct; since 5 is not a perfect square, the roots are irrational. Therefore, option A is correct. Exam tip: If \(D>0\) and \(D\) is not a perfect square, the roots are real, distinct, and irrational.
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What is the nature of the roots of the equation \(4x^2-12x+11=0\)?
B. कोई वास्तविक मूल नहींNo real roots
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) का विविक्तकर \(D=b^2-4ac\) होता है। यहाँ \(D=(-12)^2-4(4)(11)=144-176=-32\) है। चूँकि \(D<0\), इसलिए समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं। विकल्प A इसलिए गलत है क्योंकि ऋणात्मक विविक्तकर होने पर मूल वास्तविक नहीं, बल्कि समिश्र होते हैं। परीक्षा-युक्ति: \(D<0\) का अर्थ हमेशा कोई वास्तविक मूल नहीं होता है। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\), the discriminant is \(D=b^2-4ac\). Here, \(D=(-12)^2-4(4)(11)=144-176=-32\). Since \(D<0\), the equation has no real roots. Option A is incorrect because a negative discriminant does not produce real irrational roots; it produces non-real complex roots. Exam tip: remember that \(D<0\) means no real roots.
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Choose the correct statement about the nature of the roots of \\(x^2+8x+18=0\\).
A. कोई वास्तविक मूल नहीं (\\(D=-8\\))No real roots (\\(D=-8\\))
द्विघात समीकरण \\(ax^2+bx+c=0\\) में विविक्तकर \\(D=b^2-4ac\\) होता है। यहाँ \\(a=1,b=8,c=18\\), इसलिए \\(D=8^2-4(1)(18)=64-72=-8\\)। चूँकि \\(D<0\\), समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं। विकल्प B तभी सही होता जब \\(D=0\\) होता। परीक्षा-युक्ति: मूलों की प्रकृति बताने से पहले विविक्तकर का चिह्न अवश्य जाँचें। / For a quadratic equation \\(ax^2+bx+c=0\\), the discriminant is \\(D=b^2-4ac\\). Here, \\(a=1,b=8,c=18\\), so \\(D=8^2-4(1)(18)=64-72=-8\\). Since \\(D<0\\), the equation has no real roots. Option B would be correct only if \\(D=0\\). Exam tip: Always check the sign of the discriminant before identifying the nature of the roots.
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A. दो वास्तविक, परिमेय और असमानTwo real, rational and distinct \((D=1)\)
दिए गए समीकरण में \(a=1\), \(b=-15\) और \(c=56\) हैं। अतः विविक्तकर \(D=b^2-4ac=(-15)^2-4(1)(56)=225-224=1\)। चूँकि \(D>0\) और 1 पूर्ण वर्ग है, इसलिए मूल दो वास्तविक, परिमेय और असमान होंगे। ध्यान रखें: धनात्मक पूर्ण वर्ग विविक्तकर दो असमान परिमेय मूल देता है, जबकि केवल \(D>0\) होने पर मूल अपरिमेय भी हो सकते हैं। / For the given equation, \(a=1\), \(b=-15\), and \(c=56\). Therefore, the discriminant is \(D=b^2-4ac=(-15)^2-4(1)(56)=225-224=1\). Since \(D>0\) and 1 is a perfect square, the roots are real, rational, and distinct. Exam tip: a positive perfect-square discriminant gives two distinct rational roots; merely having \(D>0\) does not guarantee rational roots.
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What is the nature of the roots of \\(2x^2+x+2=0\\)?
A. कोई वास्तविक मूल नहींNo real roots \\(D=-15\\)
द्विघात समीकरण \\(ax^2+bx+c=0\\) के लिए विविक्तकर \\(D=b^2-4ac\\) होता है। यहाँ \\(a=2, b=1, c=2\\), इसलिए \\(D=1^2-4(2)(2)=1-16=-15\\)। चूँकि \\(D<0\\), समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं। परीक्षा में याद रखें: \\(D<0\\) पर मूल काल्पनिक या सम्मिश्र होते हैं, वास्तविक नहीं। / For a quadratic equation \\(ax^2+bx+c=0\\), the discriminant is \\(D=b^2-4ac\\). Here, \\(a=2, b=1, c=2\\), so \\(D=1^2-4(2)(2)=1-16=-15\\). Since \\(D<0\\), the equation has no real roots. Exam tip: \\(D<0\\) indicates non-real complex roots; \\(D=0\\) indicates equal real roots, while \\(D>0\\) indicates distinct real roots.
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What is the nature of the roots of the equation \\(5x^2-30x+45=0\\)?
A. दो वास्तविक और समान मूल \\(D=0\\)Two real and equal roots \\(D=0\\)
यहाँ \(a=5\), \(b=-30\) और \(c=45\) हैं। अतः विविक्तकर \(D=b^2-4ac=(-30)^2-4(5)(45)=900-900=0\) है। इसलिए दोनों मूल वास्तविक और समान होंगे। वास्तव में, समीकरण \(5x^2-30x+45=5(x-3)^2=0\) से समान मूल \(x=3\) मिलता है। विकल्प B और D के लिए \(D>0\) होना आवश्यक है, जबकि यहाँ \(D=0\) है। परीक्षा-युक्ति: द्विघात समीकरण में \(D=0\) होने पर मूल हमेशा वास्तविक और समान होते हैं। / Here, \(a=5\), \(b=-30\), and \(c=45\). Therefore, the discriminant is \(D=b^2-4ac=(-30)^2-4(5)(45)=900-900=0\). Hence, the roots are real and equal. In fact, the equation can be written as \(5x^2-30x+45=5(x-3)^2=0\), giving the repeated root \(x=3\). Options B and D require \(D>0\), but here \(D=0\). Exam tip: For a quadratic equation, \(D=0\) always indicates two real and equal roots.
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What is the nature of the roots of the equation \\(x^2+2(a+1)x+a^2+2a+5=0\\)?
A. वास्तविक मूल नहींNo real roots
द्विघात समीकरण में विविक्तकर \(D=b^2-4ac\) होता है। यहाँ \(a_1=1\), \(b=2(a+1)\) और \(c=a^2+2a+5\) हैं। इसलिए \(D=[2(a+1)]^2-4(a^2+2a+5)=-16<0\)। अतः किसी भी वास्तविक \(a\) के लिए समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं। परीक्षा-युक्ति: \(D<0\) होने पर मूल अवास्तविक और परस्पर संयुग्मी होते हैं। / For a quadratic equation, the discriminant is \(D=b^2-4ac\). Here, \(a_1=1\), \(b=2(a+1)\), and \(c=a^2+2a+5\). Thus, \(D=[2(a+1)]^2-4(a^2+2a+5)=-16<0\). Therefore, for every real value of \(a\), the equation has no real roots. Exam tip: When \(D<0\), the roots are non-real and conjugate to each other.
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What is the nature of the roots of the equation \(x^2+5x+7=0\)?
B. कोई वास्तविक मूल नहींNo real roots
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac\) होता है। यहाँ \(D=5^2-4(1)(7)=25-28=-3\), जो ऋणात्मक है। इसलिए समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं; विकल्प A भी गलत है क्योंकि ऋणात्मक विविक्तकर होने पर मूल वास्तविक नहीं हो सकते। परीक्षा-युक्ति: \(D<0\) होने पर सीधे ‘कोई वास्तविक मूल नहीं’ चुनें। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\), the discriminant is \(D=b^2-4ac\). Here, \(D=5^2-4(1)(7)=25-28=-3\), which is negative. Therefore, the equation has no real roots. Option A is incorrect because a negative discriminant cannot produce real roots. Exam tip: when \(D<0\), the quadratic has no real roots.
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What is the nature of the roots of the equation \(x^2-4x+1=0\)?
A. दो वास्तविक, अपरिमेय और असमान मूलTwo real, irrational and distinct roots (\(D=12\))
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac\) होता है। यहाँ \(a=1, b=-4, c=1\), इसलिए \(D=(-4)^2-4(1)(1)=12\)। चूँकि \(D>0\) और 12 पूर्ण वर्ग नहीं है, दोनों मूल वास्तविक, अपरिमेय और असमान होंगे। विकल्प B गलत है क्योंकि उसका दिया गया \(D=16\) इस समीकरण का विविक्तकर नहीं है। परीक्षा-युक्ति: \(D>0\) से मूल असमान और \(D\) के पूर्ण वर्ग होने से उनकी परिमेयता निर्धारित करें। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\), the discriminant is \(D=b^2-4ac\). Here, \(a=1, b=-4, c=1\), so \(D=(-4)^2-4(1)(1)=12\). Since \(D>0\) and 12 is not a perfect square, the roots are real, irrational, and distinct. Option B is incorrect because \(D=16\) is not the discriminant of this equation. Exam tip: First use the sign of \(D\) to determine whether the roots are real and distinct, then check whether \(D\) is a perfect square to determine rationality.
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Which of the following equations has no real roots?
A. x² + 2x + 5 = 0
द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 का विविक्तकर D = b² − 4ac होता है। विकल्प (A) में D = 2² − 4(1)(5) = −16 है। चूँकि D < 0, इसलिए इसके कोई वास्तविक मूल नहीं हैं। विकल्प (D) में D = 0 है, इसलिए उसका एक समान वास्तविक मूल है; जबकि (B) और (C) में D > 0 है। परीक्षा-युक्ति: वास्तविक मूलों की संख्या जानने के लिए सबसे पहले विविक्तकर का चिह्न जाँचें। / For a quadratic equation ax² + bx + c = 0, the discriminant is D = b² − 4ac. In option (A), D = 2² − 4(1)(5) = −16. Since D < 0, the equation has no real roots. In option (D), D = 0, so it has one repeated real root, while options (B) and (C) have D > 0. Exam tip: Check the sign of the discriminant first to determine the nature of the roots.
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What is the nature of the roots of the equation \\(4x^2+4x+5=0\\)?
A. कोई वास्तविक मूल नहींNo real roots; \\(D=-64\\)
द्विघात समीकरण \\(ax^2+bx+c=0\\) के लिए विविक्तकर \\(D=b^2-4ac\\) होता है। यहाँ \\(a=4,b=4,c=5\\), इसलिए \\(D=4^2-4(4)(5)=16-80=-64\\)। चूँकि \\(D<0\\), समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं। \\(D=0\\) होने पर ही मूल वास्तविक और समान होते हैं। परीक्षा-युक्ति: मूलों की प्रकृति जानने के लिए सबसे पहले विविक्तकर का चिह्न देखें। / For a quadratic equation \\(ax^2+bx+c=0\\), the discriminant is \\(D=b^2-4ac\\). Here, \\(a=4,b=4,c=5\\), so \\(D=4^2-4(4)(5)=16-80=-64\\). Since \\(D<0\\), the equation has no real roots. The roots are real and equal only when \\(D=0\\), so option B is not correct. Exam tip: determine the nature of roots by checking the sign of the discriminant first.
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What is the correct nature of the roots of \(6x^2-x-2=0\)?
A. दो वास्तविक, परिमेय और असमान मूलTwo real, rational and distinct roots \(D=49\)
यहाँ \(a=6, b=-1, c=-2\) हैं, इसलिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac=(-1)^2-4(6)(-2)=49\) है। चूँकि \(D\) धनात्मक और पूर्ण वर्ग है, अतः दोनों मूल वास्तविक, परिमेय और असमान होंगे। विकल्प B के लिए \(D=0\) होना चाहिए, जबकि विकल्प D में दिया गया \(D=7\) सही नहीं है। परीक्षा-युक्ति: \(D>0\) और पूर्ण वर्ग होने पर मूल परिमेय तथा असमान होते हैं। / Here, \(a=6, b=-1, c=-2\), so the discriminant is \(D=b^2-4ac=(-1)^2-4(6)(-2)=49\). Since \(D\) is positive and a perfect square, the roots are real, rational, and distinct. Option B would require \(D=0\), while the value \(D=7\) in option D is incorrect. Exam tip: If \(D>0\) and is a perfect square, the roots are rational and distinct.
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