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वास्तविक शून्यक (x)-अक्ष कटानों से गिने जाते हैं, (y)-अक्ष कटान से नहीं। टिप: ((0,25)) शून्यक नहीं बताता। / Real zeroes are counted from (x)-axis intersections, not from the (y)-axis intercept. Tip: ((0,25)) does not show a zero.
वास्तविक शून्यक (x)-अक्ष कटानों से गिने जाते हैं, (y)-अक्ष कटान से नहीं। टिप: ((0,-20)) शून्यक नहीं बताता। / Real zeroes are counted from (x)-axis intersections, not from the (y)-axis intercept. Tip: ((0,-20)) does not show a zero.
वास्तविक शून्यक (x)-अक्ष कटानों से गिने जाते हैं (y)-अक्ष कटान से नहीं। टिप: ((0,18)) शून्यक नहीं बताता। / Real zeroes are counted from (x)-axis intersections, not from the (y)-axis intercept. Tip: ((0,18)) does not show a zero.
वास्तविक शून्यक (x)-अक्ष कटानों से गिने जाते हैं, (y)-अक्ष कटान से नहीं। टिप: ((0,-15)) शून्यक नहीं बताता। / Real zeroes are counted from (x)-axis intersections, not from the (y)-axis intercept. Tip: ((0,-15)) does not show a zero.
वास्तविक शून्यक (x)-अक्ष कटानों से गिने जाते हैं, (y)-अक्ष कटान से नहीं। टिप: ((0,12)) शून्यक नहीं है। / Real zeroes are counted from (x)-axis intersections, not from the (y)-axis intercept. Tip: ((0,12)) is not a zero.
किसी बहुपद के आलेख में किस तरह से किसी बिंदु का अनुसंधान यह बताता है कि वह बिंदु शून्य (zero) है या नहीं? विशेष रूप से, (x)-अक्ष पर मिलना और (y)-अक्ष पर मिलना यह भिन्न क्यों होता है?
A. "(x)-अक्ष पर graph का y = 0 होता है इसलिए वहाँ \(p(x)=0\) मिलता है/On the (x)-axis y = 0 so there \(p(x)=0\) (zeros occur)"
Explanation
Simple Explanation
किसी बहुपद के शून्यक (zeros) वे x-मूल्य हैं जिन पर बहुपद की मान y = 0 होती है। इसलिए जब आलेख \(x\)-अक्ष को काटता है, उस बिंदु पर \(y=0\) और इसलिए \(p(x)=0\) होता है — यही शून्यक मिलना है। दूसरी ओर \(y\)-अक्ष पर मिलने का अर्थ है कि \(x=0\) और उस बिंदु की ऊर्ध्वाधर मान \(y=p(0)\) होती है, जो ज़रूरी नहीं कि शून्य हो। इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B गलत है क्योंकि \(y\)-अक्ष पर हमेशा \(p(x)=0\) नहीं होता; केवल तब होगा जब \(p(0)=0\)। विकल्प C और D दोनों सामान्यीकृत गलत दावे हैं। परीक्षा टिप: शून्य ढूँढने के लिए \(y=0\) रखकर समीकरण हल करें; y-इंटरसेप्ट जानने के लिए \(x=0\) पर \(p(0)\) मूल्य निकालें। / Zeros of a polynomial are x-values where the polynomial's value is y = 0. Thus an intersection with the (x)-axis means y = 0 at that x, so \(p(x)=0\) — that is a root. An intersection with the (y)-axis means x = 0 and the point is \(y=p(0)\), which need not be zero. Hence A is correct. Option B is the common mistake: the y-axis intersection is not automatically a root unless \(p(0)=0\). Options C and D are overgeneralizations and false. Exam tip: set \(y=0\) to find zeros (solve \(p(x)=0\)); set \(x=0\) to find the y-intercept (compute \(p(0)\)).
वास्तविक शून्यक केवल (x)-अक्ष कटान से गिने जाते हैं। टिप: (y)-अक्ष कटान को शून्यक में न जोड़ें। / Real zeroes are counted only from (x)-axis intersections. Tip: do not add the (y)-axis intercept to zeroes.
(y=0) पर (x=8) और (x=0) पर (y=6)। अवरोधों से रेखा जल्दी और सही बनती है। / At (y=0), (x=8), and at (x=0), (y=6). Intercepts help draw the line quickly and correctly.
(y=0) पर (x=8) और (x=0) पर (y=6)। पहले (x)-अवरोध और फिर (y)-अवरोध लिखें। / At (y=0), (x=8), and at (x=0), (y=6). Write the (x)-intercept first and then the (y)-intercept.
((0,0)) (y)-अक्ष और (x)-अक्ष दोनों पर है। टिप: मूल बिंदु दोनों अक्षों का साझा बिंदु है। / The point ((0,0)) lies on both the (y)-axis and the (x)-axis. Tip: the origin is common to both axes.
C. यह शून्यक नहीं दर्शाता क्योंकि y ≠ 0 है; शून्यक के लिए y = 0 होना चाहिए/It does not represent a zero because y ≠ 0; for a zero we must have y = 0
Explanation
Simple Explanation
शून्यक (root) वही x-मान है जहाँ बहुपद का मान शून्य होता है, अर्थात् बिंदु x-अक्ष पर रहता है और रूप (a, 0) जैसा होता है। बिंदु (0, 8) y-अक्ष पर है इसलिए y ≠ 0 है और यह शून्यक नहीं है। विकल्प A गलत है क्योंकि y = 8 होने पर बहुपद शून्य नहीं होता। परीक्षा-टिप: किसी भी संभावित शून्य की जाँच के लिए हमेशा देखें कि y = 0 है या नहीं। / A polynomial's zero (root) is an x-value where the polynomial equals 0, so the corresponding point lies on the x-axis as (a, 0). The point (0, 8) is a y-intercept with y ≠ 0, therefore it is not a zero. Option A is wrong because y = 8 does not make the polynomial zero. Exam tip: to identify roots, always check whether y = 0 (i.e., the point is on the x-axis).
मूल बिंदु (x)-अक्ष पर भी है और (x=-9) भी (x)-अक्ष कटान है। टिप: ((0,0)) को शून्यक (0) के रूप में गिनें। / The origin is also on the (x)-axis, and (x=-9) is another (x)-axis intersection. Tip: count ((0,0)) as zero (0).
मूल बिंदु (x)-अक्ष पर भी है और (x=6) भी (x)-अक्ष कटान है। टिप: ((0,0)) को शून्यक (0) के रूप में गिनें। / The origin is also on the (x)-axis, and (x=6) is another (x)-axis intersection. Tip: count ((0,0)) as zero (0).
(y)-अक्ष कटान शून्यक नहीं देता, क्योंकि (p(x)=0) नहीं है। टिप: शून्यक के लिए (x)-अक्ष से मिलना जरूरी है। / A (y)-axis intercept does not give a zero because (p(x)\neq0). Tip: meeting the (x)-axis is necessary for a zero.
शून्यक (x)-अक्ष से मिलने पर मिलते हैं, (y)-अक्ष से नहीं। इसलिए (x)-अक्ष से कटाव न होने पर वास्तविक शून्यक (0) होंगे। / Zeroes are found from intersections with the (x)-axis, not the (y)-axis. So if there is no (x)-axis intersection, there are (0) real zeroes.
सममिति अक्ष शून्यकों के औसत \(x=\frac{1+7}{2}=4\) से गुजरता है। टिप: परवलय में दो शून्यकों का मध्य उपयोगी है। / The axis of symmetry passes through the average \(x=\frac{1+7}{2}=4\). Tip: the middle of two zeroes is useful in a parabola.
सममिति अक्ष शून्यकों के मध्य से गुजरता है, \(\frac{-2+6}{2}=2\)। टिप: परवलय में दो शून्यकों का औसत उपयोगी होता है। / The axis of symmetry passes through the midpoint of zeroes, \(\frac{-2+6}{2}=2\). Tip: the average of two zeroes is useful for a parabola.
(y=0) रखने पर (x=4) और (x=0) रखने पर (y=-3)। अवरोधों से रेखा जल्दी खींची जा सकती है। / Putting (y=0) gives (x=4), and putting (x=0) gives (y=-3). Intercepts help draw the line quickly.
A. बिंदु (\left\(0,-7\right\))/Point (\left\(0,-7\right\))
Explanation
Simple Explanation
(x=0) रखने पर (-2y=14), इसलिए (y=-7)। (y)-अवरोध में (x)-निर्देशांक (0) होता है। / Putting (x=0) gives (-2y=14), so (y=-7). In a (y)-intercept, the (x)-coordinate is (0).
B. बिंदु (\left\(0,-8\right\))/Point (\left\(0,-8\right\))
Explanation
Simple Explanation
(x=0) रखने पर (-3y=24), इसलिए (y=-8)। ऋण अवरोध को (y)-अक्ष पर नीचे अंकित करें। / Putting (x=0) gives (-3y=24), so (y=-8). Plot a negative intercept below on the (y)-axis.
(x=0) रखने पर (-3y=15), इसलिए (y=-5)। ऋण अवरोध को अक्ष की सही दिशा में अंकित करें। / Putting (x=0) gives (-3y=15), so (y=-5). Plot a negative intercept in the correct direction on the axis.
(x=0) रखने पर (-2y=12), इसलिए (y=-6)। ऋण अवरोध को अक्ष की सही दिशा में लगाएँ। / Putting (x=0) gives (-2y=12), so (y=-6). Plot a negative intercept in the correct direction on the axis.
(x=0) रखने पर (2y=28), इसलिए (y=14)। (y)-अवरोध में (x)-निर्देशांक (0) होता है। / Putting (x=0) gives (2y=28), so (y=14). In a (y)-intercept, the (x)-coordinate is (0).
y-अक्ष पर कटान बिंदु \((0,5)\) का मतलब है कि बहुपद का मान \(x=0\) पर \(p(0)=5\) है। शून्यक होने के लिए आवश्यक है कि \(p(0)=0\) हो। इसलिए \(x=0\) शून्यक नहीं है। विकल्प B गलत है क्योंकि किसी भी बिंदु का y-अक्ष पर होना उसे शून्यक नहीं बनाता; शून्यक वह x-मूल्य है जहाँ y=0 होता है। विकल्प C सही की व्याख्या देता है पर A अधिक सटीक है क्योंकि यहां दिया गया विशिष्ट मान \(p(0)=5\) है। विकल्प D गलत है क्योंकि y-अक्ष कटान हमें सीधे \(p(0)\) देता है, अत: अतिरिक्त अभिव्यक्ति की आवश्यकता नहीं है। टिप: किसी भी ग्राफ़ पर y-अक्ष कटान \\((0,y_0)\\) देखें — वह तुरंत बताता है \(p(0)=y_0\)। / The y-intercept \((0,5)\) means the polynomial evaluates to \(p(0)=5\). A zero (root) requires \(p(0)=0\), so \(x=0\) is not a root. Option B is incorrect because being on the y-axis does not imply the function value is zero. Option C states the correct idea that zeros occur where the graph meets the x-axis (y=0), but A is the best answer here since the specific value \(p(0)=5\) is given. Option D is incorrect because the y-intercept already gives the required value \(p(0)\). Exam tip: the y-intercept \((0,y_0)\) always tells you \(p(0)=y_0\); roots are where \(y_0=0\).
A. क्योंकि शून्यक के लिए (y=0) चाहिए/Because a zero needs (y=0)
Explanation
Simple Explanation
शून्यक (x)-अक्ष से जुड़े होते हैं जहाँ (y=0) होता है। (y)-अक्ष से कटाव केवल (x=0) पर बहुपद का मान बताता है। / Zeroes are linked to the (x)-axis where (y=0). A (y)-axis intersection only shows the value of the polynomial at (x=0).
x-अक्ष पर हर बिंदु के लिए y = 0 होता है। अतः \(y = x + 7\) में y = 0 रखकर \(0 = x + 7\) मिलता है, जिससे \(x = -7\)। इसलिए शून्यक -7 है। विकल्प A (7) आम गलतियाँ दर्शाता है जहाँ ऋण चिह्न नजरअंदाज कर दिया जाता है; विकल्प C और D समीकरण को संतुष्ट नहीं करते। परीक्षा संकेत: किसी रेखा का x-अक्ष पर काटने बिंदु पाने के लिए हमेशा y = 0 रखें और फिर x हल करें। / The x-axis corresponds to y = 0, so set y = 0 in \(y = x + 7\): \(0 = x + 7\) ⇒ \(x = -7\). Thus the zero (x-intercept) is -7. Option A (7) is the common sign-error distractor; options C and D do not satisfy the equation. Exam tip: to find an x-intercept of any line, put y = 0 and solve for x.
x-अक्ष पर प्रतिच्छेदन बिंदु का x-समन्वय शून्यक होता है। यहाँ प्रतिच्छेदन बिंदु (-5, 0) है, इसलिए शून्यक -5 है। "पार करना" संकेत देता है कि उस शून्य का गुणांक विषम (आम तौर पर 1) है। विकल्प A गलत है क्योंकि संकेत नकारात्मक है; विकल्प C गलत है क्योंकि 0 y-मान है न कि x-मान; विकल्प D गलत है क्योंकि कोई अन्य विकल्प सही नहीं है। परीक्षा सुझाव: x-अक्ष पर बने बिंदु का x-मान ही शून्य बताता है — चिह्न बदलने से बचें। / The x-coordinate of an x-axis intersection is the zero. Since the intersection is at (-5, 0), the real zero is -5. The fact that the curve crosses there indicates an odd multiplicity (typically 1). Option A is wrong because it ignores the negative sign; C confuses the y-value (0) with the x-value; D is incorrect because a valid zero is given. Exam tip: read the x-coordinate of the intercept and keep its sign unchanged.
x-अक्ष पर प्रतिच्छेदन के लिए बहुपद का मान शून्य होना चाहिए, यानी \(p(x)=0\)। यहाँ \(3x=0\) से \(x=0\) मिलता है। इसलिए प्रतिच्छेदन बिंदु \((0,0)\) है। नज़दीकी विचलन (3,0) गलत है क्योंकि \(p(3)=3\times3=9\), जो शून्य नहीं है। परीक्षा-सूचना: x-अक्ष पर कटान खोजने के लिए हमेशा \(p(x)=0\) करके हल करें। / The x-intercept occurs where the polynomial equals zero, i.e. \(p(x)=0\). Solving \(3x=0\) gives \(x=0\), so the intersection point is \((0,0)\). The closest distractor (3,0) is incorrect because \(p(3)=3\times3=9\), not zero. Exam tip: to find x-intercepts set \(p(x)=0\) and solve for x.
रोम बर्लिन धुरी ने द्वितीय विश्व युद्ध से पहले आक्रामक शक्तियों के गठबंधन को मजबूत किया। परीक्षा में इसे धुरी शक्तियों से जोड़ें। / The Rome Berlin Axis strengthened the alliance of aggressive powers before World War II. For exams connect it with the Axis powers.
A. इटली और जर्मनी के बीच बढ़ता राजनीतिक सहयोग/Growing political cooperation between Italy and Germany
Explanation
Simple Explanation
रोम बर्लिन धुरी ने फासीवादी शक्तियों की नजदीकी दिखाई। परीक्षा में धुरी शक्तियों के बनने की प्रक्रिया याद रखें। / The Rome-Berlin Axis showed closeness between fascist powers. For exams remember the process of Axis formation.
दोनों अक्ष ( (0,0) ) पर मिलते हैं। ग्राफ पढ़ते समय मूलबिंदु से निर्देशांक गिनना आसान होता है। / Both axes meet at ( (0,0) ). While reading a graph, it is easy to count coordinates from the origin.
ऐसी रेखा कभी (x)-अक्ष से नहीं मिलती इसलिए कोई शून्यक नहीं होता। ग्राफ से पहले प्रतिच्छेद देखें। / Such a line never meets the (x)-axis so it has no zero. First check the intercept from the graph.
A. (22) को (10) करना होगा/(22) must be changed to (10)
Explanation
Simple Explanation
(y)-अक्ष से समान दूरी के लिए शून्यक विपरीत होने चाहिए, इसलिए (-10) के साथ (10) चाहिए। टिप: सममित शून्यक (a) और (-a) होते हैं। / For equal distance from the (y)-axis, zeroes should be opposites, so (10) is needed with (-10). Tip: symmetric zeroes are (a) and (-a).
A. (18) को (8) करना होगा/(18) must be changed to (8)
Explanation
Simple Explanation
(y)-अक्ष से समान दूरी के लिए शून्यक विपरीत होने चाहिए, इसलिए (-8) के साथ (8) चाहिए। टिप: सममित शून्यक (a) और (-a) होते हैं। / For equal distance from the (y)-axis, zeroes should be opposites, so (8) is needed with (-8). Tip: symmetric zeroes are (a) and (-a).
A. (14) को (6) करना होगा/(14) must be changed to (6)
Explanation
Simple Explanation
(y)-अक्ष से समान दूरी के लिए शून्यक विपरीत होने चाहिए, इसलिए (-6) के साथ (6) चाहिए। टिप: सममित शून्यक (a) और (-a) होते हैं। / For equal distance from the (y)-axis, zeroes should be opposites, so (6) is needed with (-6). Tip: symmetric zeroes are (a) and (-a).
A. (10) को (4) करना होगा/(10) must be changed to (4)
Explanation
Simple Explanation
(y)-अक्ष से समान दूरी के लिए शून्यक विपरीत होने चाहिए, इसलिए (-4) के साथ (4) चाहिए। टिप: सममित शून्यक (a) और (-a) होते हैं। / For equal distance from the (y)-axis, zeroes should be opposites, so (4) is needed with (-4). Tip: symmetric zeroes are (a) and (-a).
A. (9) को (3) करना होगा/(9) must be changed to (3)
Explanation
Simple Explanation
(y)-अक्ष से समान दूरी के लिए शून्यक विपरीत होने चाहिए, इसलिए (-3) के साथ (3) चाहिए। टिप: सममित शून्यक (a) और (-a) होते हैं। / For equal distance from the (y)-axis, zeroes should be opposites, so (3) is needed with (-3). Tip: symmetric zeroes are (a) and (-a).
B. कथन गलत है क्योंकि (0,0) दोनों अक्षों पर आता है — इसलिए यदि ग्राफ (0,0) पर है तो \(p(0)=0\) और 0 शून्यक है/The statement is wrong because (0,0) lies on both axes — if the graph passes through (0,0) then \(p(0)=0\) and 0 is a zero
Explanation
Simple Explanation
क्षेत्रफल या बहुपद के शून्यक (zeros) वह x–मान होते हैं जिनके लिए y = 0 होता है; अर्थात् शून्यक x = a होने पर ग्राफ़ पर बिंदु (a,0) होता है। मूल बिंदु (0,0) दोनों अक्षों पर स्थित है, अतः यदि ग्राफ (0,0) पर जाता है तो \(p(0)=0\) और 0 एक शून्यक है। विकल्प C गलत है क्योंकि उससे ऐसा संकेत मिलता है कि y-अक्ष पर कोई शून्यक कभी नहीं हो सकता — पर ऐसा केवल तब गलत होगा जब बिंदु y-अक्ष के अन्य स्थानों पर हो; मूल बिंदु विशेष है। परीक्षा टिप: किसी भी बहुपद का शून्यक खोजने के लिए देखें कि क्या ग्राफ x-अक्ष को काटता है (y=0)। / A zero of a polynomial corresponds to an x-value where y = 0, i.e. an x-intercept (a,0). The origin (0,0) lies on both axes, so if the graph passes through (0,0) then \(p(0)=0\) and x=0 is a root. Option C is incorrect because it wrongly asserts that no zero can lie on the y-axis — the origin is a special case where a point lies on both axes. Exam tip: to identify roots from a graph, check x-intercepts (points with y=0).
B. शून्यक (y)-अक्ष से समान दूरी पर हैं/The zeroes are equally distant from the (y)-axis
Explanation
Simple Explanation
(-5) और (5) (y)-अक्ष से बराबर दूरी पर हैं। टिप: विपरीत शून्यक सममित स्थिति दिखाते हैं। / (-5) and (5) are equally distant from the (y)-axis. Tip: opposite zeroes show symmetric positions.
आलेख (x)-अक्ष से नहीं मिलता इसलिए कोई वास्तविक शून्यक नहीं है। टिप: शीर्ष की स्थिति से भी कटान का अंदाजा लग सकता है। / The graph does not meet the (x)-axis, so there is no real zero. Tip: the vertex position can help judge intersections.
(y)-अवरोध के लिए (x=0) रखें, तब (-5y=10) और (y=-2)। अवरोध निकालते समय सही चर को शून्य रखें। / For the (y)-intercept, put (x=0), then (-5y=10) and (y=-2). For intercepts, set the correct variable to zero.
A. बिंदु (\left\(4,0\right\))/Point (\left\(4,0\right\))
Explanation
Simple Explanation
(y=0) रखने पर (5x=20), इसलिए (x=4)। (x)-अवरोध में (y)-निर्देशांक (0) होता है। / Putting (y=0) gives (5x=20), so (x=4). In an (x)-intercept, the (y)-coordinate is (0).
(y=0) रखने पर (2x=20), इसलिए (x=10)। (x)-अवरोध में (y)-निर्देशांक (0) होता है। / Putting (y=0) gives (2x=20), so (x=10). In an (x)-intercept, the (y)-coordinate is (0).
(x)-अवरोध के लिए (y=0), इसलिए (5x=30) और (x=6)। (x)-अक्ष पर (y=0) होता है। / For the (x)-intercept, (y=0), so (5x=30) and (x=6). On the (x)-axis, (y=0).
(y)-अवरोध के लिए (x=0), इसलिए (y=18)। (y)-अक्ष पर हर बिंदु का (x)-निर्देशांक (0) होता है। / For the (y)-intercept, (x=0), so (y=18). Every point on the (y)-axis has (x)-coordinate (0).
(x)-अवरोध के लिए (y=0), इसलिए (4x=20) और (x=5)। (x)-अक्ष पर (y=0) होता है। / For the (x)-intercept, (y=0), so (4x=20) and (x=5). On the (x)-axis, (y=0).
(y)-अवरोध के लिए (x=0), इसलिए (y=15)। (y)-अक्ष पर बिंदु का (x)-निर्देशांक (0) होता है। / For the (y)-intercept, (x=0), so (y=15). On the (y)-axis, the (x)-coordinate is (0).
(x)-अवरोध के लिए (y=0) रखते हैं, इसलिए (x=9)। (x)-अक्ष पर बिंदु का (y)-निर्देशांक (0) होता है। / For the (x)-intercept, put (y=0), so (x=9). On the (x)-axis, the (y)-coordinate is (0).
(y)-अवरोध के लिए (x=0) रखते हैं, इसलिए (y=3)। ग्राफ में (y)-अक्ष पर बिंदु का (x)-निर्देशांक (0) होता है। / For the (y)-intercept, put (x=0), so (y=3). On the (y)-axis, the (x)-coordinate is (0).
A. इससे शून्यक निश्चित नहीं होता/A zero cannot be determined from this alone
Explanation
Simple Explanation
(y)-प्रतिच्छेद (p(0)) बताता है न कि सभी शून्यक। शून्यक के लिए (x)-अक्ष से प्रतिच्छेद चाहिए। / The (y)-intercept tells (p(0)) not all zeroes. Zeroes need (x)-axis intersections.
(3x+6=0) से (x=-2) मिलता है। (x)-प्रतिच्छेद का (y)-निर्देशांक हमेशा (0) होता है। / Solving (3x+6=0) gives (x=-2). The (y)-coordinate of an (x)-intercept is always (0).
x-अक्ष पर कटान बिंदु वह बिंदु है जहाँ p(x)=0 होता है और y मान शून्य होता है। \(p(x)=3x-15\) को शून्य रखें: \(3x-15=0\) से \(x=5\) प्राप्त होता है। अतः कटान बिंदु \((5,0)\) है। निकटभ्रामक विकल्प \((0,-15)\) y-अक्ष पर कटान (y-intercept) है क्योंकि \(p(0)=-15\)। परीक्षात्मक सुझाव: रैखिक बहुपद के x-अक्ष का छेद पाने के लिए हमेशा \(p(x)=0\) रखें और परिणाम को \((x,0)\) रूप में लिखें। / An x-intercept occurs where p(x)=0 (y=0). Set \(p(x)=3x-15=0\) which gives \(x=5\), so the x-intercept is \((5,0)\). The option \((0,-15)\) is the y-intercept because \(p(0)=-15\). Exam tip: For a linear polynomial set \(p(x)=0\) to find the x-value, then write the intercept as \((x,0)\).
x-अक्ष पर बिंदु पाने के लिए बहुपद को शून्य पर रखें: \(p(x)=0\) ⇒ \(x+4=0\) ⇒ \(x=-4\)। इसलिए प्रतिच्छेद बिंदु \((-4,0)\) है। नज़दीकी भ्रमित विकल्प (4,0) गलत है क्योंकि वह \(x=4\) देता है, जो समीकरण को संतुष्ट नहीं करता; (0,4) और (0,-4) y-अक्ष के प्रतिच्छेद हैं। परीक्षात्मक टिप: x-अक्ष पर प्रतिच्छेद के लिए हमेशा \(p(x)=0\) हल करें और उत्तर को \((x,0)\) के रूप में लिखें। / The x-intercept occurs where the function equals zero: set \(p(x)=0\) ⇒ \(x+4=0\) ⇒ \(x=-4\). Thus the intercept is \((-4,0)\). The distractor (4,0) is incorrect because it corresponds to \(x=4\), which does not satisfy the equation; (0,4) and (0,-4) are y-intercepts. Exam tip: find x-intercepts by solving \(p(x)=0\) and give the point as \((x,0)\).
शून्यक प्रतिच्छेद का (x)-निर्देशांक होता है। अपरिमेय संख्या भी शून्यक हो सकती है। / A zero is the (x)-coordinate of the intercept. An irrational number can also be a zero.
A. (0) शून्यक है क्योंकि बिंदु (x)-अक्ष पर भी है/(0) is a zero because the point is also on the (x)-axis
Explanation
Simple Explanation
मूल बिंदु दोनों अक्षों पर होता है इसलिए (p(0)=0) है। टिप: ((0,0)) को विशेष बिंदु मानें। / The origin lies on both axes, so (p(0)=0). Tip: treat ((0,0)) as a special point.
A. (0) शून्यक है क्योंकि बिंदु (x)-अक्ष पर भी है/(0) is a zero because the point is also on the (x)-axis
Explanation
Simple Explanation
मूल बिंदु दोनों अक्षों पर होता है, इसलिए (p(0)=0) है। टिप: ((0,0)) को विशेष बिंदु मानें। / The origin lies on both axes, so (p(0)=0). Tip: treat ((0,0)) as a special point.
x-अक्ष पर काटने वाले बिंदु के x-निर्देशांक ही बहुगुणक के शून्य (zeroes) होते हैं। दो शून्य 2 और 14 हैं, अतः उनका औसत = \(\frac{2+14}{2}=8\)। इसलिए सही उत्तर 8 है। निकटतम भ्रमित विकल्प 6 गलती से 2 और किसी अन्य संख्या का गलत औसत मानने पर आया होगा; 12 और 16 भी सही नहीं हैं क्योंकि वे 2 और 14 का माध्य नहीं हैं। परीक्षा-सूत्र: x-अक्ष के इंटरसेप्ट के x-निर्देशांकों का सरल अंकगणित माध्य लें — यही शून्यकों का औसत होता है। / The x-coordinates of x-axis intercepts are the zeroes (roots) of the polynomial. Here the zeroes are 2 and 14, so their average is \(\frac{2+14}{2}=8\). Thus 8 is correct. The closest distractor 6 is incorrect (it is not the mean of 2 and 14); 12 and 16 are also not the arithmetic mean of the two roots. Exam tip: for two x-intercepts the average of the zeroes equals the midpoint of their x-coordinates, compute \(\frac{x_1+x_2}{2}\).
x-अक्ष पर परिकल्पित बिंदु बताते हैं कि शून्यक (zeros) हैं: ",-7" और "2". इसलिए गुणनफल \\((-7)(2)= -14\\) होगा। विकल्प B (14) चिन्ह की गलती है — वहाँ प्लस मान लिया गया है। विकल्प C और D गलत संख्याएँ हैं जो जोड़/भिन्न या गलत चिन्ह से आ सकती हैं। परीक्षा टिप: दो शून्यकों का गुणन सीधे उनके गुणन से मिलता है; चिन्हों का ध्यान रखें। / The x-intercepts are the zeroes: -7 and 2. Their product is \\((-7)(2) = -14\\). Option B (14) is the same magnitudes but with the wrong sign. Options C and D are simply incorrect results from other operations (e.g., wrong addition/subtraction). Exam tip: multiply the x-intercepts to get the product of zeroes and watch the signs carefully.
\(x^2-2x\) को गुणा करके लिखें: \(x^2-2x=x(x-2)\). जब किसी गुणनखंड का गुणनफल शून्य हो तो कम से कम एक गुणनखंड शून्य होगा, अतः \(x=0\) या \(x=2\). विकल्प B गलत है क्योंकि \(p(1)=1-2=-1\) शून्य नहीं है; विकल्प C गलत है क्योंकि \(p(-2)=4+4=8\) शून्य नहीं है; विकल्प D गलत है क्योंकि \(x=0\) को अनदेखा करता है। टिप: x-अक्ष पर कटने के लिए \(p(x)=0\) लिखकर बहुपद को फैक्टर करें। / Factor the polynomial: \(x^2-2x=x(x-2)\). The x-intercepts satisfy \(p(x)=0\), so \(x=0\) or \(x=2\). Option B is incorrect because \(p(1)=1-2=-1\) (not zero); option C is incorrect because \(p(-2)=4+4=8\) (not zero); option D is incomplete because it omits \(x=0\). Exam tip: set \(p(x)=0\) and factor out the common term to find zeros quickly.
(x)-अक्ष पर (y=0), इसलिए (2x-10=0) से (x=5) है। टिप: रेखा का शून्यक निकालने के लिए (y=0) रखें। / On the (x)-axis (y=0), so (2x-10=0) gives (x=5). Tip: put (y=0) to find the zero of a line.
A. उसका एक वास्तविक शून्यक (-8) है/It has one real zero (-8)
Explanation
Simple Explanation
केवल एक कटान है और उसका (x)-मान (-8) है। टिप: कटान की संख्या और (x)-मान दोनों देखें। / There is only one intersection and its (x)-value is (-8). Tip: check both the count and the (x)-value.
कटान बिंदु ((a,0)) में (x)-मान (a) ही शून्यक है। टिप: क्रमित युग्म का पहला मान लें। / In the intersection point ((a,0)) the (x)-value (a) is the zero. Tip: take the first value of the ordered pair.
x-अक्ष पर हर बिंदु के लिए \(y=0\) होता है। अतः प्रतिच्छेदन पाने के लिए \(0 = x + 2\) करना होगा, जिससे \(x = -2\) मिलता है। इसलिए सही उत्तर -2 है। निकटभ्रांत उत्तर 0 इसलिए गलत है क्योंकि \(x=0\) पर रेखा का y-मूल्य होगा (यानी y-आवरण/y-intercept = 2) — यह x-अक्ष पर छेदन नहीं देता। परीक्षा टिप: x-अक्ष पर छेदन जानने के लिए हमेशा रेखा में \(y=0\) रखिये। / On the x-axis the y-coordinate is \(0\). So set \(0 = x + 2\), giving \(x = -2\). Hence the correct x-coordinate is -2. A common error is to set \(x=0\) (which gives the y-intercept y=2), but that does not give the x-axis intersection. Exam tip: to find where a line meets the x-axis, substitute \(y=0\).
यदि किसी बिंदु का रूप (a, 0) है तो वह x-अक्ष पर एक शून्यक देता है क्योंकि y = 0 होता है। दिए गए बिंदुओं के x-निर्देशांक 0 और 3 हैं, अतः शून्यक 0 और 3 होंगे। निकटतम भ्रांत विकल्पों की जाँच: विकल्प B में 1 का कोई बिंदु नहीं दिया गया, इसलिए गलत है; विकल्प C में −3 का संकेत गलत है; विकल्प D अधूरा है क्योंकि दोनों बिंदु शून्यक देते हैं। परीक्षा-सुझाव: किसी भी x-अक्ष पर बिंदु (a,0) हो तो तुरंत a को शून्यक मानें। / A point (a, 0) on the x-axis corresponds to a zero because the polynomial (or graph) takes value 0 at x = a. Here the x-coordinates are 0 and 3, so the zeros are 0 and 3. Why other options fail: option B includes 1 which is not given; option C has −3 which is incorrect sign; option D ignores the origin (0,0). Exam tip: For any x-intercept (a,0), record a as a root immediately to avoid sign errors.
x-अक्ष पर बिंदु यों होते हैं जहाँ बहुपद का मान शून्य हो। इसलिए \(p(x)=0\) रखें: \(x-7=0\) से \(x=7\) मिलता है। अतः x-अक्ष पर छेदन बिंदु \((7,0)\) है। सबसे नज़दीकी भ्रामक विकल्प \((-7,0)\) गलत है क्योंकि वहाँ \(x=-7\) होने पर \(p(x)=-14\) होता है, शून्य नहीं। परीक्षा-सुझाव: x-छेदन पाने के लिए हमेशा \(p(x)=0\) रखें और उत्तर को \((x,0)\) के रूप में लिखें। / Points where the graph meets the x-axis are where the polynomial equals zero. Set \(p(x)=0\): \(x-7=0\) gives \(x=7\). So the x-intercept is \((7,0)\). The closest distractor \((-7,0)\) is wrong because at \(x=-7\), \(p(x)=-14\), not zero. Exam tip: find x-intercepts by solving \(p(x)=0\) and record the result as \((x,0)\).
यदि किसी बहुपद का मान \(p(a)=0\) होता है तो \(x=a\) उस बहुपद की शून्य (root) है और ग्राफ x-अक्ष को बिंदु \((a,0)\) पर काटेगा। यहाँ \(p(-4)=0\) होने का अर्थ है कि \(x=-4\) पर \(y=0\)। इसलिए सही बिंदु \((-4,0)\) है। विकल्प B में x का चिह्न उल्टा है; विकल्प C में x=0 है अतः वह y-अक्ष का बिंदु है; विकल्प D में y≠0 है इसलिए x-अक्ष पर नहीं है। परीक्षा संकेत: किसी दिए बिंदु पर ग्राफ x-अक्ष को तभी काटेगा जब उस x-मान पर फलन का मान शून्य हो — इसलिए तुरंत \((a,0)\) लिखें। / If a polynomial satisfies \(p(a)=0\), then \(x=a\) is a root and the graph crosses the x-axis at \((a,0)\). Here \(p(-4)=0\) means \(y=0\) when \(x=-4\), so the intercept is \((-4,0)\). Option B has the wrong sign for x; option C has x=0 so it's on the y-axis; option D has y≠0 so it is not on the x-axis. Exam tip: For quick MCQs remember a root \(a\) gives the x-intercept \((a,0)\).
x-अक्ष पर किसी बिंदु (a, 0) का अर्थ है कि बहुपद p(x) का मान x = a पर शून्य है, यानी p(10) = 0। इसलिए 10 बहुपद का शून्यक (root) है। विकल्प D गलत है क्योंकि स्थिर (constant) पद बहुपद का x = 0 पर मान होता है (y-अवरोध), न कि किसी x-अवरोध के x-निर्देशांक। विकल्प B और C भी गलत हैं क्योंकि दिए गए कटाव का x-निर्देशांक 10 है, न कि 0 या −10। परीक्षा टिप: x-अक्ष पर कटाव बिंदु का x-निर्देशांक हमेशा उसी बहुपद का शून्यक होता है; सीधे x-निर्देशांक पढ़कर root तय करें। / A point (a, 0) where the graph meets the x-axis means the polynomial p(x) satisfies p(a) = 0. Here p(10) = 0, so 10 is a root (zero) of the polynomial. Option D is incorrect because the constant term is the value of the polynomial at x = 0 (the y-intercept), not the x-coordinate of an x-intercept. Options B and C are wrong since the x-coordinate of the intercept given is 10, not 0 or −10. Exam tip: the x-coordinate of an x-axis intersection gives the root directly — read the coordinate to identify the zero.
x-अक्ष पर छेदन बिंदु पर \(y=0\) होता है। अतः \(3x-12=0\) से \(3x=12\) और \(x=4\) प्राप्त होता है, इसलिए सही उत्तर 4 है। विकल्प \(-4\) गलत है क्योंकि उस मान पर \(y=3(-4)-12=-24\), जो कि 0 नहीं है। सबसे नज़दीकी भ्रामक विकल्प 3 है — पर \(x=3\) पर \(y=3(3)-12=-3\) भी 0 नहीं है। परीक्षा-सुझाव: x-अक्ष पर छेदन खोजने के लिए हमेशा रेखा में \(y=0\) रखकर समीकरण हल करें। / The x-intercept occurs where \(y=0\). Setting \(3x-12=0\) gives \(3x=12\) and hence \(x=4\), so 4 is correct. Option \(-4\) is wrong because substituting gives \(y=3(-4)-12=-24\), not 0. The nearby distractor 3 also fails since \(y=3(3)-12=-3\). Exam tip: to find x-intercept, set \(y=0\) and solve for \(x\).
x-अक्ष पर स्पर्श करने वाला बिंदु उस बहुपद का शून्यक (root) होता है क्योंकि उस बिंदु पर \,p(x)=0\\ होता है। "स्पर्श" का अर्थ यह है कि जड़ की गुणनशीलता (multiplicity) सम (even) हो सकती है, परन्तु वह अंक फिर भी वास्तविक शून्यक ही है। इसलिए अलग वास्तविक शून्यक x = -2 है। विकल्प B (2) गलत है क्योंकि वह बिंदु +2 पर होगा, विकल्प C (0) गलत है क्योंकि शून्य (origin) दिया ही नहीं गया, और विकल्प D (कोई नहीं) गलत है क्योंकि स्पर्श करने वाला बिंदु निश्चित रूप से शून्यक देता है। टिप: परीक्षा में "touches" = even multiplicity; "cuts" = odd multiplicity। / A point where the graph touches the x-axis is a real root because at that point p(x)=0. "Touches" usually indicates an even multiplicity root, but regardless of multiplicity it is still a zero of the polynomial. Thus the distinct real zero is x = -2. Option B (2) is wrong because the given x-coordinate is -2, not +2; option C (0) is wrong because the origin is not the given intercept; option D (None) is wrong because a touching point is indeed a root. Exam tip: remember that "touches" implies an even multiplicity root, while "cuts" implies an odd multiplicity.
किसी बहुपद का शून्यक वह x-मान होता है जहाँ बहुपद का मान शून्य हो, यानी जहाँ ग्राफ x-अक्ष (y=0) को काटता है। बिंदु \((a,0)\) में x-निर्देशांक \(a\) है, अतः शून्यक \(a\) होगा। विकल्प \(0\) गलत है क्योंकि वह y-निर्देशांक है; \(-a\) और \(a^2\) भी उस बिंदु के x-निर्देशांक नहीं हैं। परीक्षा टिप: x-अक्ष पर कटने वाले बिंदु में हमेशा y=0 होता है — इसलिए शून्यक सीधे x-कोऑर्डिनेट होता है। / The zero of a polynomial is the x-value where the polynomial equals zero, i.e., where the graph meets the x-axis (y=0). At the point \((a,0)\) the x-coordinate is \(a\), so the zero is \(a\). Option \(0\) is incorrect because that is the y-coordinate at the intersection; \(-a\) and \(a^2\) are not the x-coordinate of the given point. Exam tip: when a graph intersects the x-axis, read off the x-coordinate — that is the zero (root).
x-अक्ष पर काटने का बिंदु (-4,0) बताता है कि उस बिंदु पर बहुपद का मान 0 है। इसका मतलब है कि \\(x=-4\\) पर बहुपद शून्य होगा, अर्थात् \\(-4\\) जड़ (root) है। विकल्प B (4) गलत है क्योंकि वह विपरीत संकेत वाला मान है; विकल्प C (0) और D (1) तभी सही होते यदि वे भी x-अक्ष पर कटाव बिंदु होते, जो दिए हुए नहीं हैं। परीक्षा-टिप: x-अक्ष के कटाव बिंदु का x-निर्देशांक सीधे जड़ देता है — संदेह होने पर बहुपद में प्रतिस्थापित कर जाँच लें। / An x-intercept of (-4, 0) means the polynomial evaluates to 0 at x = -4, so x = -4 is a root. Option B (4) is incorrect because it has the opposite sign; options C (0) and D (1) would only be correct if those x-values were the intercepts, which they are not. Exam tip: the x-coordinate of an x-intercept gives the root directly; if unsure, substitute the value into the polynomial to verify.
x-अक्ष पर बिंदु का अर्थ है कि \(y=0\)। अत: \(2x-6=0\) से \(2x=6\) और \(x=3\)। इसलिए शून्यक 3 है। विकल्प (-3) उस समय होगा जब कोई गलत साइन या गलत भागफल लिया जाए; 6 और -6 y का मान हो सकते हैं (y-अवरोध -6 है), पर वे बहुपद का शून्यक नहीं हैं। परीक्षा-सुझाव: किसी रेखा का शून्यक निकालने के लिए हमेशा \(y=0\) रखकर x हल करें। / A point on the x-axis has \(y=0\). So set \(2x-6=0\), giving \(2x=6\) and \(x=3\). Hence the zero is 3. The option -3 arises from a sign or arithmetic mistake; 6 or -6 are values of y (the y-intercept is -6), not the x-intercept. Exam tip: to find the zero of a linear polynomial from its line, always put \(y=0\) and solve for x.
\(p(6)=0\) का अर्थ है कि जब \(x=6\) होगा तो फलन का मान \(y=p(6)\) शून्य होगा। इसलिए ग्राफ x-अक्ष (जहाँ \(y=0\)) को उस बिंदु पर काटेगा जहाँ \(x=6\), यानी \((6,0)\)। निकटतम भ्रामक विकल्प \((-6,0)\) इसलिए गलत है क्योंकि उसमें संकेत का परिवर्तन दिखता है — वहाँ तक पहुँचने के लिए हमें \(p(-6)=0\) दिया होना चाहिए, जो नहीं दिया है। परीक्षा सुझाव: किसी भी raíz के लिए यदि \(p(a)=0\) दिया हो तो तुरंत x-अक्ष पर काटाव \((a,0)\) लिखें। / \(p(6)=0\) means the function value is zero at \(x=6\), so the graph meets the x-axis (where \(y=0\)) at the point \((6,0)\). The closest distractor \((-6,0)\) is a sign error — nothing in the given information implies \(p(-6)=0\). Exam tip: whenever you are given \(p(a)=0\), the corresponding x-intercept is always \((a,0)\).
शून्यक वह x का मान होता है जहाँ बहुपद का मान शून्य हो, अर्थात् \(p(x)=0\)। यहाँ \(x+2=0\) से \(x=-2\) प्राप्त होता है। इसलिए शून्यक \(-2\) है। निकटवर्ती भ्रमित करने वाला विकल्प 2 है, परंतु \(p(2)=2+2=4\) शून्य नहीं है। परीक्षा‑टिप: हमेशा शून्यक के लिए बहुपद में वह मान रखकर सत्यापित करें। / A zero (root) is the x-value where the polynomial equals zero, i.e. solve \(p(x)=0\). For \(x+2=0\) we get \(x=-2\), so the zero is \(-2\). The common wrong choice 2 is incorrect because \(p(2)=2+2=4\), not zero. Exam tip: substitute the candidate x into the polynomial to verify it yields 0.
A. -5 बहुपद का शून्यक है/-5 is a zero of the polynomial
Explanation
Simple Explanation
जब किसी बहुपद का ग्राफ x-अक्ष को किसी बिंदु x = a पर काटता है, तो उस बिंदु का x-मान बहुपद का शून्यक होता है क्योंकि उस बिंदु पर फलन का मान शून्य होता है। अतः यदि ग्राफ x = -5 पर काटता है तो बहुपद के लिए \\(f(-5)=0\\) और -5 शून्यक है। विकल्प B (5) सामान्य गलतफहमी है — मान का चिह्न महत्वपूर्ण है; +5 तभी शून्यक होगा जब ग्राफ x = 5 पर कटकर y = 0 दे। विकल्प C और D भी दिए हुए स्थितियों से मेल नहीं खाते। परीक्षा सुझाव: x-अक्ष पर जहाँ ग्राफ कटे वही x-कोऑर्डिनेट पढ़ें और ऋण/धनात्मक चिह्न पर ध्यान दें। / The x-coordinate where a graph meets the x-axis is a root of the polynomial because at that point the function value is zero. So if the graph cuts at x = -5, then the polynomial satisfies \(f(-5)=0\) and -5 is a zero. Option B (5) is a common trap — the sign matters, +5 would be a root only if the graph crossed at x = 5. Options C and D contradict the given point of intersection. Exam tip: always read the x-coordinate of the intercept (including its sign); that x-value is the zero of the polynomial.
x-अक्ष पर स्थित किसी बिंदु का निर्देशांक (x,y) में y = 0 होता है। यदि ग्राफ x-अक्ष को (0,0) पर काटता है तो उस बिंदु का x‑निर्देशांक 0 है, अर्थात् बहुपद का मान P(0)=0 होगा और 0 एक शून्यक है। विकल्प B और C गलत हैं क्योंकि वे x = 1 या x = −1 को दर्शाते हैं — ऐसा कोई संकेत नहीं दिया गया। विकल्प D गलत है क्योंकि बिंदु (0,0) से x‑निर्देशांक स्पष्ट रूप से ज्ञात है। परीक्षा टिप: गुणनखण्ड या ग्राफ से शून्यक निकालते समय हमेशा क्रम (x,y) को सही ढंग से पढ़ें; x‑अक्ष पर y = 0 होता है। / A point on the x-axis has coordinates (x,y) with y = 0. If the graph meets the x-axis at (0,0), the x‑coordinate is 0, so the polynomial satisfies P(0)=0 and 0 is a root. Options B and C would mean x = 1 or x = −1 respectively, which are not indicated by the given point. Option D is incorrect because the x‑value is directly given by (0,0). Exam tip: remember coordinates are (x,y) and any x‑intercept has y = 0, so the x‑value at that point is a root of the polynomial.
कोई भी बिंदु जहाँ ग्राफ \(x\)-अक्ष को काटता है, उस बिंदु का \(x\)-मान उस बहुपद का शून्यक (root) होता है क्योंकि उस स्थान पर बहुपद का मान शून्य होता है। प्रश्न में कटने का स्थान \(x=3\) दिया है, इसलिए शून्यक 3 है। निकटवर्ती भ्रामक विकल्प −3 गलत है क्योंकि इसका संकेत विपरीत है; 0 और 1 भी दिए हुए स्थान से मेल नहीं खाते। परीक्षा-सूचना: ध्यान दें कि अगर ग्राफ केवल स्पर्श करता है (cuts नहीं करता) तो भी वह बिंदु शून्यक है, पर वहाँ की गुणज (multiplicity) सम (even) हो सकती है। / The x-value where the graph intersects the x-axis is a root of the polynomial because the polynomial's value is zero at that x. Here the graph intersects at x = 3, so the zero is 3. The closest distractor −3 is wrong because the sign is opposite; 0 and 1 do not match the given intersection point. Exam tip: note the difference between 'cuts' and 'touches' — both give zeros, but touching usually indicates even multiplicity while cutting indicates odd multiplicity.
A. रेगिस्तानी दूरी और भूमध्यसागरीय अवरोधों ने ईंधन और सामग्री पहुंचाना कठिन किया/Desert distance and Mediterranean disruption made fuel and material supply difficult
Explanation
Simple Explanation
उत्तर अफ्रीका में तेज युद्ध भी रसद सीमा से बंधा था। परीक्षा में रेगिस्तान को रणनीतिक बाधा मानें। / Even fast war in North Africa was limited by logistics. For exams treat the desert as a strategic obstacle.
A. साम्यवाद विरोधी भाषा ने जर्मनी जापान और बाद में इटली को रणनीतिक निकटता दी/Anti-communist language gave Germany Japan and later Italy strategic closeness
Explanation
Simple Explanation
एंटी कॉमिन्टर्न वैचारिक था लेकिन धुरी राजनीति में रणनीतिक अर्थ रखता था। परीक्षा में विचारधारा और शक्ति हित साथ देखें। / The Anti-Comintern Pact was ideological but had strategic meaning in Axis politics. For exams view ideology and power interests together.
A. जर्मनी इटली और जापान को राजनीतिक सैन्य समझ में जोड़ा/It linked Germany Italy and Japan in a political military understanding
Explanation
Simple Explanation
ट्रिपार्टाइट पैक्ट ने यूरोपीय और एशियाई आक्रामक शक्तियों को एक धुरी में जोड़ा। परीक्षा में धुरी गठन का क्रम याद रखें। / The Tripartite Pact linked aggressive European and Asian powers into an Axis. For exams remember the sequence of Axis formation.
B. वे पीछे हटने लगीं और दबाव में आ गईं/They began retreating and came under pressure
Explanation
Simple Explanation
एल अलामेन ने उत्तरी अफ्रीका में मित्र राष्ट्रों की पहल मजबूत की। परीक्षा में इसे अफ्रीकी मोर्चे का मोड़ समझें। / El Alamein strengthened Allied initiative in North Africa. For exams understand it as a turning point of the African front.
A. मित्र राष्ट्रों की अधिक संसाधन शक्ति और कई मोर्चों पर दबाव/Greater Allied resources and pressure on many fronts
Explanation
Simple Explanation
मित्र राष्ट्रों के पास उद्योग जनशक्ति और संसाधनों का बड़ा आधार था। परीक्षा में संसाधन और रणनीति दोनों को कारण मानें। / The Allies had a larger base of industry manpower and resources. For exams treat both resources and strategy as causes.
धुरी शक्तियों में जर्मनी इटली और जापान प्रमुख थे। परीक्षा में इन्हें मित्र राष्ट्रों से अलग रखें। / The main Axis Powers were Germany Italy and Japan. For exams keep them separate from the Allied Powers.
(y)-अक्ष पर (x=0) होता है। पहले युग्म में (x=0) रखने पर दोनों समीकरण (y=6) देते हैं। / On the (y)-axis, (x=0). In the first pair, putting (x=0) gives (y=6) in both equations.
(x)-अक्ष पर (y=0) होता है। पहले युग्म में (y=0) रखने पर दोनों से (x=4) मिलता है। / On the (x)-axis, (y=0). In the first pair, putting (y=0) gives (x=4) from both equations.
(x)-अक्ष पर हर बिंदु का (y)-निर्देशांक (0) होता है। इसलिए प्रतिच्छेद का रूप ((a,0)) होगा। / Every point on the (x)-axis has (y)-coordinate (0). So the intersection has the form ((a,0)).
(y)-अक्ष पर प्रतिच्छेद के लिए (x=0) होना चाहिए। विकल्प में (x=0) रखने पर दोनों समीकरण (y=4) देते हैं। / For intersection on the (y)-axis, (x=0) is needed. In the correct option, putting (x=0) gives (y=4) in both equations.
बिंदु ( (14,0) ) में (y=0), इसलिए यह (x)-अक्ष पर है। अवरोधों के प्रश्नों में यह बात उपयोगी है। / In the point ( (14,0) ), (y=0), so it lies on the (x)-axis. This is useful in intercept questions.
बिंदु ( (9,0) ) में (y=0), इसलिए यह (x)-अक्ष पर स्थित है। अवरोधों में यह पहचान बहुत उपयोगी होती है। / In the point ( (9,0) ), (y=0), so it lies on the (x)-axis. This identification is very useful for intercepts.
(x)-अक्ष पर मिलने का अर्थ बहुपद का मान (0) है। इसलिए दोनों स्थानों पर (p(x)=0) होगा। / Meeting the (x)-axis means the polynomial value is (0). Hence (p(x)=0) at both places.
सममिति अक्ष शून्यकों के औसत पर है, (\frac{(q-11)+(q+7)}{2}=q-2)। टिप: प्रतीकों में भी मध्य मान लें। / The axis of symmetry is at the average of the zeroes, (\frac{(q-11)+(q+7)}{2}=q-2). Tip: take the midpoint even with symbols.
दूसरा शून्यक (8) है और औसत \(\frac{-10+8}{2}=-1\) है। टिप: सममिति अक्ष दो शून्यकों का औसत है। / The other zero is (8), and the average is \(\frac{-10+8}{2}=-1\). Tip: the axis of symmetry is the average of two zeroes.
दो शून्यकों का औसत (5) है इसलिए दूसरा शून्यक (11) होगा। टिप: सममिति अक्ष शून्यकों के मध्य से गुजरता है। / The average of the two zeroes is (5), so the other zero is (11). Tip: the axis of symmetry passes through the midpoint of zeroes.
सममिति अक्ष शून्यकों के औसत पर है, (\frac{(t-9)+(t+5)}{2}=t-2)। टिप: प्रतीकों में भी मध्य मान लें। / The axis of symmetry is at the average of the zeroes, (\frac{(t-9)+(t+5)}{2}=t-2). Tip: take the midpoint even with symbols.
