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((0,14)) में (y=14) है, इसलिए यह (x)-अक्ष पर नहीं है। टिप: शून्यक बिंदु में दूसरा निर्देशांक (0) होना चाहिए। / ((0,14)) has (y=14), so it is not on the (x)-axis. Tip: a zero point must have second coordinate (0).
((0,12)) में (y=12) है, इसलिए यह (x)-अक्ष पर नहीं है। टिप: शून्यक बिंदु में दूसरा निर्देशांक (0) होना चाहिए। / ((0,12)) has (y=12), so it is not on the (x)-axis. Tip: a zero point must have second coordinate (0).
किसी बहुपद का शून्यक वह x‑मान होता है जहाँ ग्राफ x‑अक्ष को छूता यानी \(y=0\) होता है। बिंदु (4, 2) में \(y=2\) है, न कि 0, इसलिए \(x=4\) शून्यक नहीं है। विकल्प C और D गलत हैं क्योंकि बहुपद की डिग्री या ग्राफ का प्रकार (रेखा या गैर‑रेखा) शून्यक होने की परिभाषा को बदलते नहीं हैं। परीक्षा टिप: किसी भी दिए बिंदु के लिए पहले y‑निर्देशांक देखिए — शून्यक तभी जब y=0 हो। / A zero of a polynomial is an x‑value where the graph meets the x‑axis, i.e. where \(y=0\). The point (4, 2) has \(y=2\), not 0, so \(x=4\) is not a zero. Options C and D are incorrect because degree or whether the graph is a straight line does not change the definition of a zero. Exam tip: always check the y‑coordinate — zeros occur only when y = 0 (x‑intercepts).
A. जो (x)-अक्ष को ((1,0)) और ((-6,0)) पर काटे/One that cuts the (x)-axis at ((1,0)) and ((-6,0))
Explanation
Simple Explanation
शून्यक (1) और (-6) होने पर ग्राफ (x)-अक्ष को इन्हीं (x)-मानों पर काटेगा। इसलिए बिंदु ((1,0)) और ((-6,0)) होंगे। / If the zeroes are (1) and (-6), the graph cuts the (x)-axis at those (x)-values. So the points are ((1,0)) and ((-6,0)).
(-4), (2), (5) पर फलन मान (0) है। टिप: (p(0)=3) को शून्यक न मानें। / The function value is (0) at (-4), (2), and (5). Tip: do not treat (p(0)=3) as a zero.
C. कोई वास्तविक शून्यक नहीं है/There is no real zero
Explanation
Simple Explanation
ग्राफ (x)-अक्ष से नहीं मिलता और दिए गए मान भी शून्य नहीं हैं। टिप: फलन मान (0) न हो तो शून्यक न मानें। / The graph does not meet the (x)-axis and the given values are not zero. Tip: do not call a value a zero unless the function value is (0).
B. क्योंकि उनके (y)-मान (0) नहीं हैं/Because their (y)-values are not (0)
Explanation
Simple Explanation
(3) और (5) पर (p(x)) क्रमशः (4) और (-1) है। टिप: शून्यक के लिए फलन मान बिल्कुल (0) होना चाहिए। / At (3) and (5), (p(x)) is (4) and (-1). Tip: for a zero, the function value must be exactly (0).
(p(a)=0) का बिंदु ((a,0)) होता है। टिप: (p(x)) ग्राफ में (y)-निर्देशांक होता है। / The value (p(a)=0) gives the point ((a,0)). Tip: (p(x)) is the (y)-coordinate on the graph.
\(p(9)=0\) का अर्थ है कि जब \(x=9\) होता है तो बहुपद का मान \(y=0\) है। इसलिए ग्राफ x-अक्ष को \(x=9\) पर काटेगा, यानी बिंदु \((9,0)\) से गुजरेगा। अन्य विकल्प गलत हैं: \((-9,0)\) में x का चिह्न उल्टा है, \((0,9)\) में x और y बदले हुए हैं और \((9,9)\) में y शून्य नहीं है। परीक्षा-सुझाव: किसी भी जड़ (zero) को x-अक्ष पर इंटरसेप्ट के रूप में लिखें — अगर \(p(a)=0\) हो तो बिंदु \((a,0)\) होगा। / \(p(9)=0\) means the polynomial takes value zero when \(x=9\), so \(y=0\) at that x. Hence the graph meets the x-axis at \((9,0)\). Why others are wrong: \((-9,0)\) has the wrong sign for x, \((0,9)\) swaps x and y, and \((9,9)\) does not have y=0. Exam tip: a root \(p(a)=0\) always corresponds to the x-intercept \((a,0)\).
यदि \(p(-6)=0\) है तो बहुपद का मान \(x=-6\) पर शून्य है, यानी ग्राफ का य‑निर्मित मान \(y=0\) होगा। इसलिए बिंदु \((-6,0)\) ग्राफ पर होगा। विकल्प B गलत है क्योंकि वहाँ x का मान +6 है न कि −6; विकल्प C और D y‑अवरोधक (x=0 पर y≠0) हैं, जो शून्य होने की परिभाषा से मेल नहीं खाते। परीक्षा‑टिप: किसी भी रूप में दिए गए "zero" या "root" का मतलब है कि वह x‑मान ग्राफ का x‑अक्ष (y=0) पर इंटरसेप्ट देता है। / \(p(-6)=0\) means the polynomial equals zero at \(x=-6\), so the graph has \(y=0\) when \(x=-6\). Hence the point \((-6,0)\) lies on the graph. Option B is wrong because it uses \(x=6\) instead of \(x=-6\). Options C and D are y‑intercepts (x=0) and do not represent a zero of the polynomial. Exam tip: a root/zero \(p(a)=0\) corresponds to the x‑intercept \((a,0)\).
यहाँ \(p(x)\) किसी बहुपद का मान (y‑मान) दर्शाता है। \(p(-1)=0\) का अर्थ है कि जब \(x=-1\), तब \(y=0\) होगा, इसलिए ग्राफ बिंदु \((-1,0)\) से गुज़रेगा। विकल्प B \((1,0)\) उस स्थिति के लिए सही होता जब \(p(1)=0\) दिया गया होता — यह सिर्फ चिन्ह की त्रुटि है। विकल्प C और D तब सही होते जब \(p(0)=-1\) या \(p(0)=1\) होता, जो यहाँ नहीं कहा गया। परीक्षा‑टिप: किसी भी बहुपद के शून्य के लिए \(p(a)=0\) लिखें और तुरंत बिंदु \((a,0)\) पहचानें। / Here \(p(x)\) denotes the polynomial's value (the y‑coordinate). \(p(-1)=0\) means at \(x=-1\) the value is \(y=0\), so the graph passes through the point \((-1,0)\). Option B \((1,0)\) would be correct only if \(p(1)=0\) — it's a sign‑error distractor. Options C and D correspond to values at \(x=0\) and are irrelevant unless \(p(0)=-1\) or \(p(0)=1\) were given. Exam tip: whenever \(p(a)=0\), the x‑coordinate of the zero is \(a\) and the point is \((a,0)\).
A. नहीं, क्योंकि \(y\ne 0\) है — शून्यक होने के लिए \(y=0\) होना चाहिए/No, because \(y\ne 0\) — to be a zero we must have \(y=0\).
Explanation
Simple Explanation
किसी फलन का शून्यक वह \(x\)-मान है जहाँ फलन का मान \(y=0\) होता है (यानी x‑अक्ष पर बिंदु)। बिंदु \((0,4)\) में \(y=4\) है, अतः \(x=0\) शून्यक नहीं है। सबसे नज़दीकी भ्रामक विकल्प (B) गलत है क्योंकि केवल \(x=0\) होना पर्याप्त नहीं; \(y\) का शून्य होना आवश्यक है। परीक्षा‑टिप: किसी बिंदु से शून्यक जानने के लिए हमेशा उसकी \(y\)-कोऑर्डिनेट देखें — यदि वह \(0\) है तो वही x‑मान शून्यक है। / A zero (root) is an x‑value where the function's value is \(y=0\) (an x‑intercept). At \((0,4)\) the value is \(y=4\), so \(x=0\) is not a zero. The closest distractor (B) is wrong because \(x=0\) alone does not imply a zero unless \(y=0\). Exam tip: to check if an x‑value is a root, check the corresponding y‑coordinate — it must be zero for a root.
C. एक बिंदु पर कटती रेखाएं/Lines intersecting at one point
Explanation
Simple Explanation
यहां \(5/12 \ne 17/41\), इसलिए रेखाएं एक बिंदु पर कटेंगी। इससे एक अद्वितीय हल मिलेगा। / Here \(5/12 \ne 17/41\), so the lines will intersect at one point. This gives one unique solution.
पहला समीकरण दूसरे का (6) गुना है। इसलिए दोनों समीकरण एक ही रेखा दिखाते हैं। / The first equation is (6) times the second. Therefore, both equations show the same line.
C. रेखाएं अलग समानांतर हैं/Lines are distinct parallel
Explanation
Simple Explanation
यहां (22/2=33/3) लेकिन (99/12) अलग है। इसलिए ग्राफ में अलग समानांतर रेखाएं बनेंगी। / Here (22/2=33/3) but (99/12) is different. Therefore, the graph will show distinct parallel lines.
C. एक बिंदु पर कटती रेखाएं/Lines intersecting at one point
Explanation
Simple Explanation
यहां \(4/9 \ne 15/31\) इसलिए रेखाएं एक बिंदु पर कटेंगी। इससे एक अद्वितीय हल मिलेगा। / Here \(4/9 \ne 15/31\) so the lines will intersect at one point. This gives one unique solution.
पहला समीकरण दूसरे का (5) गुना है। इसलिए दोनों समीकरण एक ही रेखा दिखाते हैं। / The first equation is (5) times the second. Therefore, both equations show the same line.
C. रेखाएं अलग समानांतर हैं/Lines are distinct parallel
Explanation
Simple Explanation
यहां (20/2=30/3) लेकिन (90/11) अलग है। इसलिए ग्राफ में अलग समानांतर रेखाएं बनेंगी। / Here (20/2=30/3) but (90/11) is different. Therefore, the graph will show distinct parallel lines.
C. एक बिंदु पर कटती रेखाएं/Lines intersecting at one point
Explanation
Simple Explanation
यहां \(3/8 \ne 13/29\), इसलिए रेखाएं एक बिंदु पर कटेंगी। इससे एक अद्वितीय हल मिलेगा। / Here \(3/8 \ne 13/29\), so the lines will intersect at one point. This gives one unique solution.
पहला समीकरण दूसरे का (5) गुना है। इसलिए दोनों समीकरण एक ही रेखा दिखाते हैं। / The first equation is (5) times the second. Therefore, both equations show the same line.
C. रेखाएं अलग समानांतर हैं/Lines are distinct parallel
Explanation
Simple Explanation
यहां (18/3=24/4) लेकिन (54/11) अलग है। इसलिए ग्राफ में अलग समानांतर रेखाएं बनेंगी। / Here (18/3=24/4) but (54/11) is different. Therefore, the graph will show distinct parallel lines.
दूसरा समीकरण पहले का (3) गुना है। इसलिए दोनों समीकरण ग्राफ में एक ही रेखा दिखाते हैं। / The second equation is (3) times the first. Therefore, both equations show the same line in the graph.
C. एक बिंदु पर कटती रेखाएं/Lines intersecting at one point
Explanation
Simple Explanation
यहां \(2/5 \ne 11/19\), इसलिए रेखाएं एक बिंदु पर कटेंगी। इससे एक अद्वितीय हल मिलेगा। / Here \(2/5 \ne 11/19\), so the lines will intersect at one point. This gives one unique solution.
पहला समीकरण दूसरे का (5) गुना है। इसलिए दोनों समीकरण एक ही रेखा दिखाते हैं। / The first equation is (5) times the second. Therefore, both equations show the same line.
C. रेखाएं अलग समानांतर हैं/Lines are distinct parallel
Explanation
Simple Explanation
यहां (14/2=21/3) लेकिन (49/8) अलग है। इसलिए ग्राफ में अलग समानांतर रेखाएं बनेंगी। / Here (14/2=21/3) but (49/8) is different. Therefore, the graph will show distinct parallel lines.
पहले दो अनुपात बराबर और तीसरा अलग हो तो रेखाएं समानांतर और अलग होती हैं। इसलिए कोई सामान्य हल नहीं होता। / If the first two ratios are equal and the third differs, the lines are parallel and distinct. Therefore, there is no common solution.
दूसरा समीकरण पहले का (2) गुना है। इसलिए ग्राफ में दोनों समीकरण एक ही रेखा दिखाते हैं। / The second equation is (2) times the first. Therefore both equations show the same line in the graph.
C. एक बिंदु पर कटती रेखाएं/Lines intersecting at one point
Explanation
Simple Explanation
यहां \(2/5 \ne 11/19\) इसलिए रेखाएं एक बिंदु पर कटेंगी। इससे एक अद्वितीय हल मिलेगा। / Here \(2/5 \ne 11/19\) so the lines will intersect at one point. This gives one unique solution.
पहला समीकरण दूसरे का (5) गुना है। इसलिए दोनों समीकरण एक ही रेखा दिखाते हैं। / The first equation is (5) times the second. Therefore both equations show the same line.
C. रेखाएं अलग समानांतर हैं/Lines are distinct parallel
Explanation
Simple Explanation
यहां (14/2=21/3) लेकिन (49/8) अलग है। इसलिए ग्राफ में अलग समानांतर रेखाएं बनेंगी। / Here (14/2=21/3) but (49/8) is different. Therefore the graph will show distinct parallel lines.
पहले दो अनुपात बराबर और तीसरा अलग हो तो रेखाएं समानांतर और अलग होती हैं। इसलिए कोई सामान्य हल नहीं मिलता। / If the first two ratios are equal and the third differs the lines are parallel and distinct. Therefore no common solution is obtained.
C. एक बिंदु पर कटती रेखाएं/Lines intersecting at one point
Explanation
Simple Explanation
यहां \(3/7 \ne 8/13\), इसलिए रेखाएं एक बिंदु पर कटेंगी। इससे एक अद्वितीय हल मिलेगा। / Here \(3/7 \ne 8/13\), so the lines will intersect at one point. This gives one unique solution.
पहला समीकरण दूसरे का (4) गुना है। इसलिए दोनों समीकरण एक ही रेखा दिखाते हैं। / The first equation is (4) times the second. Therefore, both equations show the same line.
C. रेखाएं अलग समानांतर हैं/Lines are distinct parallel
Explanation
Simple Explanation
यहां (10/2=15/3) लेकिन (35/9) अलग है। इसलिए ग्राफ में अलग समानांतर रेखाएं बनेंगी। / Here (10/2=15/3) but (35/9) is different. Therefore, the graph will show distinct parallel lines.
पहले दो अनुपात बराबर होने से ढाल समान होती है और तीसरा अलग होने से रेखाएं अलग रहती हैं। इसलिए वे अलग समानांतर होती हैं। / Equal first two ratios give the same slope and a different third ratio keeps the lines separate. Hence, they are distinct parallel.
C. एक बिंदु पर कटती रेखाएं/Lines intersecting at one point
Explanation
Simple Explanation
यहां \(2/5 \ne 9/11\), इसलिए रेखाएं एक बिंदु पर कटेंगी। इससे एक अद्वितीय हल मिलेगा। / Here \(2/5 \ne 9/11\), so the lines will intersect at one point. This gives one unique solution.
पहला समीकरण दूसरे का (3) गुना है। इसलिए दोनों समीकरण एक ही रेखा दिखाते हैं। / The first equation is (3) times the second. Therefore, both equations show the same line.
C. रेखाएं अलग समानांतर हैं/Lines are distinct parallel
Explanation
Simple Explanation
यहां (8/2=12/3) लेकिन (20/6) अलग है। इसलिए ग्राफ में अलग समानांतर रेखाएं बनेंगी। / Here (8/2=12/3) but (20/6) is different. Therefore, the graph will show distinct parallel lines.
C. एक बिंदु पर कटती रेखाएं/Lines intersecting at one point
Explanation
Simple Explanation
यहां \(5/3 \ne 8/4\) इसलिए रेखाएं समानांतर नहीं होंगी। वे एक बिंदु पर कटेंगी। / Here \(5/3 \ne 8/4\) so the lines will not be parallel. They will intersect at one point.
यहां (2/1=4/2) लेकिन (10/7) अलग है। इसलिए ग्राफ में अलग समानांतर रेखाएं मिलेंगी। / Here (2/1=4/2) but (10/7) is different. Therefore the graph will show distinct parallel lines.
दूसरा समीकरण पहले का (3) गुना है। इसलिए ग्राफ में दोनों रेखाएं एक ही दिखाई देंगी। / The second equation is (3) times the first. Therefore both lines will appear as the same line in the graph.
कटने का एक बिंदु दोनों समीकरणों का सामान्य हल होता है। इसलिए केवल एक अद्वितीय हल मिलता है। / One intersection point is the common solution of both equations. Therefore exactly one unique solution is obtained.
अलग समानांतर रेखाओं का कोई सामान्य बिंदु नहीं होता। इसलिए युग्म असंगत कहलाता है। / Distinct parallel lines have no common point. Therefore the pair is called inconsistent.
तीनों अनुपात बराबर होने पर दोनों समीकरण एक ही रेखा बनाते हैं। ऐसी स्थिति में अनंत हल होते हैं। / When all three ratios are equal both equations make the same line. This situation has infinitely many solutions.
C. एक बिंदु पर कटती रेखाएं/Lines intersecting at one point
Explanation
Simple Explanation
यहां \(4/8 \ne 7/13\) इसलिए ढालें अलग हैं। अलग ढाल वाली रेखाएं एक बिंदु पर कटती हैं। / Here \(4/8 \ne 7/13\) so the slopes are different. Lines with different slopes intersect at one point.
यहां (2/6=1/3) लेकिन (4/10) अलग है इसलिए रेखाएं समानांतर हैं। ऐसी रेखाएं कभी नहीं मिलतीं। / Here (2/6=1/3) but (4/10) is different so the lines are parallel. Such lines never meet.
दूसरा समीकरण पहले का (3) गुना है। इसलिए ग्राफ में दोनों एक ही रेखा होंगे। / The second equation is (3) times the first. Therefore both will be the same line in the graph.
एक सामान्य बिंदु होने से एक अद्वितीय हल मिलता है। इसलिए यह संगत और स्वतंत्र युग्म है। / One common point gives one unique solution. Therefore it is a consistent and independent pair.
पूरी तरह मिलने वाली रेखाएं संपाती होती हैं। उनके प्रत्येक बिंदु से दोनों समीकरण संतुष्ट होते हैं। / Completely overlapping lines are coincident. Every point on them satisfies both equations.
न मिलने वाली रेखाएं समानांतर होती हैं इसलिए कोई सामान्य बिंदु नहीं होता। सामान्य बिंदु न होने का अर्थ कोई हल नहीं है। / Lines that never meet are parallel so there is no common point. No common point means no solution.
(2/4=3/6) लेकिन (6/15) अलग है, इसलिए रेखाएं समानांतर हैं। ऐसे ग्राफ में कोई intersection नहीं होता। / (2/4=3/6) but (6/15) is different, so the lines are parallel. Such a graph has no intersection.
दूसरा समीकरण पहले का (2) गुना है। इसलिए ग्राफ में दोनों एक ही रेखा दिखेंगी। / The second equation is (2) times the first. Therefore, both will appear as the same line in the graph.
यहाँ \(x-y=-\frac{7}{3}-\frac{2}{3}=-3\)। प्रतिच्छेद बिंदु से (x) और (y) के मान सीधे पढ़े जाते हैं। / Here \(x-y=-\frac{7}{3}-\frac{2}{3}=-3\). Values of (x) and (y) are read directly from the intersection point.
यहाँ \(x+y=\frac{7}{2}+\frac{9}{2}=\frac{16}{2}=8\)। प्रतिच्छेद बिंदु से (x) और (y) के मान सीधे पढ़े जाते हैं। / Here \(x+y=\frac{7}{2}+\frac{9}{2}=\frac{16}{2}=8\). Values of (x) and (y) are read directly from the intersection point.
A. बिंदु (\left\(0,-5\right\))/Point (\left\(0,-5\right\))
Explanation
Simple Explanation
(\left\(0,-5\right\)) रखने पर (5\left\(0\right\)-6\left\(-5\right\)=30)। ऋण (y)-अवरोध ग्राफ में नीचे की ओर लगाया जाता है। / Substituting (\left\(0,-5\right\)) gives (5\left\(0\right\)-6\left\(-5\right\)=30). A negative (y)-intercept is plotted downward on the graph.
A. चिह्न और निर्देशांक क्रम की गलती/Error of sign and coordinate order
Explanation
Simple Explanation
बिंदु (\left\(7,-3\right\)) में (x=7) और (y=-3) है। निर्देशांक उलटने और चिह्न बदलने से उत्तर गलत हो जाता है। / In (\left\(7,-3\right\)), (x=7) and (y=-3). Reversing coordinates and changing sign makes the answer wrong.
C. वे समांतर और अलग हैं/They are parallel and distinct
Explanation
Simple Explanation
दूसरे समीकरण को (2) से भाग देने पर (2x+3y=15) मिलता है। समान बाएँ पक्ष और अलग नियतांक समांतर रेखाएँ देते हैं। / Dividing the second equation by (2) gives (2x+3y=15). Same left side with different constants gives parallel lines.
\(3.75=\frac{15}{4}\) और \(-2.5=-\frac{5}{2}\)। दशमलव निर्देशांक को सरल भिन्न में बदलना बेहतर रहता है। / \(3.75=\frac{15}{4}\) and \(-2.5=-\frac{5}{2}\). It is better to convert decimal coordinates into simplified fractions.
बिंदु में पहला निर्देशांक (x) और दूसरा (y) होता है। ऋण भिन्न निर्देशांक पढ़ते समय क्रम न बदलें। / The first coordinate of a point is (x) and the second is (y). Do not change order while reading negative fraction coordinates.
यहाँ \(x+y=\frac{5}{2}+\frac{7}{2}=\frac{12}{2}=6\)। प्रतिच्छेद बिंदु से (x) और (y) के मान सीधे पढ़े जाते हैं। / Here \(x+y=\frac{5}{2}+\frac{7}{2}=\frac{12}{2}=6\). Values of (x) and (y) are read directly from the intersection point.
A. बिंदु (\left\(0,-3\right\))/Point (\left\(0,-3\right\))
Explanation
Simple Explanation
(\left\(0,-3\right\)) रखने पर (3\left\(0\right\)-4\left\(-3\right\)=12)। ऋण (y)-अवरोध ग्राफ में नीचे की ओर लगाया जाता है। / Substituting (\left\(0,-3\right\)) gives (3\left\(0\right\)-4\left\(-3\right\)=12). A negative (y)-intercept is plotted downward on the graph.
A. चिह्न और निर्देशांक क्रम की गलती/Error of sign and coordinate order
Explanation
Simple Explanation
बिंदु (\left\(6,-2\right\)) में (x=6) और (y=-2) है। निर्देशांक उलटने से और चिह्न बदलने से उत्तर गलत हो जाता है। / In (\left\(6,-2\right\)), (x=6) and (y=-2). Reversing coordinates and changing sign makes the answer wrong.
C. वे समांतर और अलग हैं/They are parallel and distinct
Explanation
Simple Explanation
दूसरे समीकरण को (2) से भाग देने पर (x+2y=10) मिलता है। समान बाएँ पक्ष और अलग नियतांक समांतर रेखाएँ देते हैं। / Dividing the second equation by (2) gives (x+2y=10). Same left side with different constants gives parallel lines.
\(2.25=\frac{9}{4}\) और \(-1.5=-\frac{3}{2}\)। दशमलव निर्देशांक को सरल भिन्न में बदलना बेहतर रहता है। / \(2.25=\frac{9}{4}\) and \(-1.5=-\frac{3}{2}\). It is better to convert decimal coordinates into simplified fractions.
बिंदु में पहला निर्देशांक (x) और दूसरा (y) होता है। ऋण भिन्न निर्देशांक पढ़ते समय क्रम न बदलें। / The first coordinate of a point is (x) and the second is (y). Do not change order while reading negative fraction coordinates.
A. बिंदु (\left\(3.5,2.5\right\))/Point (\left\(3.5,2.5\right\))
Explanation
Simple Explanation
\(\frac{7}{2}=3.5\) और \(\frac{5}{2}=2.5\)। ग्राफ पढ़ते समय भिन्न और दशमलव रूप का संबंध समझें। / \(\frac{7}{2}=3.5\) and \(\frac{5}{2}=2.5\). While reading a graph, understand the relation between fraction and decimal forms.
दूसरे समीकरण को (2) से भाग देने पर (x+2y=7) मिलता है। समान बाएँ पक्ष और अलग नियतांक समांतर रेखाएँ देते हैं। / Dividing the second equation by (2) gives (x+2y=7). Same left side with different constants gives parallel lines.
(\left\(0,0\right\)) दोनों समीकरणों (2x-y=0) और (x+3y=0) को संतुष्ट करता है। मूलबिंदु की जाँच में (x=0,\ y=0) रखें। / (\left\(0,0\right\)) satisfies both (2x-y=0) and (x+3y=0). To check origin, put (x=0,\ y=0).
\(4.5=\frac{9}{2}\) और \(1.5=\frac{3}{2}\)। ग्राफ से मिले दशमलव निर्देशांक को सरल भिन्न में लिखें। / \(4.5=\frac{9}{2}\) and \(1.5=\frac{3}{2}\). Write decimal coordinates read from a graph as simplified fractions.
बिंदु (\left\(-4,3\right\)) में पहला निर्देशांक (x) और दूसरा (y) होता है। ऋण निर्देशांक में क्रम न बदलें। / In the point (\left\(-4,3\right\)), the first coordinate is (x) and the second is (y). Do not change order with negative coordinates.
C. उनके अनंत हल हैं/They have infinitely many solutions
Explanation
Simple Explanation
पूरी तरह चढ़ी हुई रेखाएँ संपाती रेखाएँ होती हैं। उनके हर बिंदु पर दोनों समीकरण सत्य होते हैं। / Completely overlapping lines are coincident lines. At every point on them, both equations are true.
दूसरे समीकरण को (2) से भाग देने पर (x+2y=8) मिलता है। समान बाएँ पक्ष और अलग नियतांक समांतर रेखाएँ देते हैं। / Dividing the second equation by (2) gives (x+2y=8). Same left side with different constants gives parallel lines.
( (0,0) ) दोनों समीकरणों (3x+y=0) और (x-2y=0) को संतुष्ट करता है। मूलबिंदु के लिए (x=0,\ y=0) रखें। / ( (0,0) ) satisfies both (3x+y=0) and (x-2y=0). For origin, put (x=0,\ y=0).
\(3.5=\frac{7}{2}\) और \(2.5=\frac{5}{2}\)। ग्राफ से मिले दशमलव निर्देशांक को सरल भिन्न में लिखें। / \(3.5=\frac{7}{2}\) and \(2.5=\frac{5}{2}\). Write decimal coordinates read from a graph as simplified fractions.
दूसरे समीकरण को (2) से भाग देने पर (x+2y=6) मिलता है, जो पहले से समांतर है। समान बाएँ पक्ष और अलग नियतांक समांतर रेखाएँ देते हैं। / Dividing the second equation by (2) gives (x+2y=6), which is parallel to the first. Same left side with different constants gives parallel lines.
बिंदु ( \left\(-2,5\right\) ) में पहला निर्देशांक (x) और दूसरा (y) है। ऋण निर्देशांक पढ़ते समय क्रम न बदलें। / In the point ( \left\(-2,5\right\) ), the first coordinate is (x) and the second is (y). Do not change the order while reading negative coordinates.
( (0,0) ) दोनों समीकरणों (2x+y=0) और (x-y=0) को संतुष्ट करता है। मूलबिंदु की जाँच के लिए (x=0,\ y=0) रखें। / ( (0,0) ) satisfies both (2x+y=0) and (x-y=0). To check the origin, put (x=0,\ y=0).
\(2.5=\frac{5}{2}\) और \(1.5=\frac{3}{2}\)। ग्राफ से दशमलव बिंदु पढ़ने पर सरल भिन्न में लिखें। / \(2.5=\frac{5}{2}\) and \(1.5=\frac{3}{2}\). When reading decimals from a graph, write them as simplified fractions.
एक प्रतिच्छेद बिंदु एक अद्वितीय हल देता है। इसलिए युग्म संगत और स्वतंत्र होता है। / One intersection point gives a unique solution. Hence, the pair is consistent and independent.
एक सीधी रेखा खींचने के लिए (2) सही बिंदु पर्याप्त होते हैं। तीसरा बिंदु केवल जाँच के लिए लिया जा सकता है। / Two correct points are sufficient to draw a straight line. A third point may be used only for checking.
एक प्रतिच्छेद बिंदु एक अद्वितीय हल देता है। इसलिए युग्म संगत और स्वतंत्र कहलाता है। / One intersection point gives a unique solution. Hence, the pair is called consistent and independent.
A. दोनों रेखाओं के प्रतिच्छेद के निर्देशांक से/From the coordinates of intersection
Explanation
Simple Explanation
हल प्रतिच्छेद बिंदु के निर्देशांकों से मिलता है। केवल अवरोध तब पर्याप्त नहीं जब दूसरी रेखा भी दी गई हो। / The solution is obtained from the coordinates of the intersection point. Intercepts alone are not enough when a second line is given.
एक सीधी रेखा खींचने के लिए कम से कम (2) बिंदु पर्याप्त होते हैं। परीक्षा में तीसरा बिंदु जाँच के लिए लिया जा सकता है। / At least (2) points are enough to draw a straight line. In exams, a third point may be used for checking.
A. (x)-अक्ष के समांतर क्षैतिज रेखा/Horizontal line parallel to (x)-axis
Explanation
Simple Explanation
(y=2) में (y) स्थिर रहता है और (x) बदल सकता है। इसलिए यह (x)-अक्ष के समांतर रेखा है। / In (y=2), (y) is fixed and (x) can change. Hence, it is parallel to the (x)-axis.
A. (y)-अक्ष के समांतर ऊर्ध्वाधर रेखा/Vertical line parallel to (y)-axis
Explanation
Simple Explanation
(x=3) में (x) स्थिर रहता है और (y) बदल सकता है। ऐसी रेखा (y)-अक्ष के समांतर होती है। / In (x=3), (x) is fixed and (y) can change. Such a line is parallel to the (y)-axis.
संपाती रेखाओं के सभी बिंदु दोनों समीकरणों को संतुष्ट करते हैं। परीक्षा में इसे संगत और आश्रित स्थिति कहें। / Every point on coincident lines satisfies both equations. In exams, call this a consistent and dependent case.
(x-2-7x+12=(x-3)(x-4)), इसलिए शून्यक (3) और (4) हैं। (x)-अक्ष पर बिंदु ((3,0)) और ((4,0)) होंगे। / (x-2-7x+12=(x-3)(x-4)), so the zeroes are (3) and (4). The (x)-axis points are ((3,0)) and ((4,0)).
शून्यक (-2,0,3) हैं, इसलिए बहुपद (x(x+2)(x-3)=x-3-x-2-6x) है। (x)-अक्ष काटने के बिंदु शून्यक बताते हैं। / The zeroes are (-2,0,3), so the polynomial is (x(x+2)(x-3)=x-3-x-2-6x). Intersections with the (x)-axis give zeroes.
A. कथन और कारण दोनों सही हैं/Both assertion and reason are correct
Explanation
Simple Explanation
यहाँ (D=(-6)2-4(3)(11)=36-132=-96) है। (D<0) होने पर ग्राफ (x)-अक्ष को नहीं काटता। / Here (D=(-6)2-4(3)(11)=36-132=-96). When (D<0), the graph does not cut the (x)-axis.
A. कथन और कारण दोनों सही हैं/Both assertion and reason are correct
Explanation
Simple Explanation
यहाँ (D=(-4)2-4(2)(7)=-40) है। (D<0) होने पर ग्राफ (x)-अक्ष को नहीं काटता। / Here (D=(-4)2-4(2)(7)=-40). When (D<0), the graph does not cut the (x)-axis.
A. कथन और कारण दोनों सही हैं/Both assertion and reason are correct
Explanation
Simple Explanation
यहाँ (D=22-4(1)(5)=-16) है। ऋणात्मक (D) का ग्राफीय अर्थ है (x)-अक्ष से कोई कटाव नहीं। / Here (D=22-4(1)(5)=-16). Graphically, a negative (D) means no intersection with the (x)-axis.
(x-2-11x+30=(x-5)(x-6)) है। इसलिए (x=5) और (x=6) पर ग्राफ (x)-अक्ष से मिलता है। / (x-2-11x+30=(x-5)(x-6)). So the graph meets the (x)-axis at (x=5) and (x=6).
शून्यक प्रतिच्छेद का (x)-निर्देशांक होता है। अपरिमेय संख्या भी शून्यक हो सकती है। / A zero is the (x)-coordinate of the intercept. An irrational number can also be a zero.
तीन अलग (x)-प्रतिच्छेद तीन शून्यक देते हैं। संख्या के प्रकार से नहीं बल्कि प्रतिच्छेदों से गिनें। / Three distinct (x)-intercepts give three zeroes. Count by intersections not by the type of numbers.
शून्यक संख्या होता है बिंदु नहीं। बिंदु ((2.5,0)) है लेकिन शून्यक (2.5) है। / A zero is a number not a point. The point is ((2.5,0)) but the zero is (2.5).
