वर्गमूल सर्पिल के प्रत्येक नए समकोण त्रिभुज में एक भुजा 1 इकाई होती है। इसलिए पायथागोरस प्रमेय से नए कर्ण का वर्ग \(483+1=484\) होगा। अतः नया कर्ण \(\sqrt{484}=22\) है। \(\sqrt{485}\) अगला मान नहीं है, क्योंकि 1 इकाई जोड़ने पर कर्ण के वर्ग में 1 जुड़ता है, कर्ण में नहीं। परीक्षा टिप: पहले कर्ण का वर्ग लिखें, फिर उसमें 1 जोड़कर वर्गमूल लें। / In each new right triangle of a square root spiral, one perpendicular side has length 1. By the Pythagorean theorem, the square of the new hypotenuse is \(483+1=484\). Hence, the new hypotenuse is \(\sqrt{484}=22\). \(\sqrt{485}\) is not correct because adding a unit side increases the square of the hypotenuse by 1, not the hypotenuse itself. Exam tip: add 1 to the number under the previous radical, then take the square root.
वर्गमूल सर्पिल में क्रमागत कर्ण \(\sqrt{n}\) के रूप में होते हैं और प्रत्येक नए चरण में कर्ण के वर्ग के भीतर की संख्या 1 बढ़ती है। दिया गया नया कर्ण \(31=\sqrt{961}\) है। अतः उससे ठीक पहले का कर्ण \(\sqrt{960}\) होगा। \(\sqrt{961}\) स्वयं दिया हुआ नया कर्ण है, इसलिए वह पिछला कर्ण नहीं है। परीक्षा टिप: पूर्णांक कर्ण को पहले उसके वर्ग के रूप में लिखें, फिर पिछले चरण के लिए 1 घटाएँ। / In a square root spiral, successive hypotenuses are of the form \(\sqrt{n}\), with the number inside the square root increasing by 1 at each step. The given new hypotenuse is \(31=\sqrt{961}\). Therefore, the immediately preceding hypotenuse is \(\sqrt{960}\). \(\sqrt{961}\) is the given current hypotenuse, not the previous one. Exam tip: Express an integral hypotenuse as its square root form first, then subtract 1 from the radicand for the preceding step.
\(33^2=1089\) और \(34^2=1156\) हैं। क्योंकि \(1089<1155<1156\), इसलिए वर्गमूल लेने पर \(33<\sqrt{1155}<34\) प्राप्त होता है। \(34\) के बहुत निकट होने पर भी \(\sqrt{1155}\), \(34\) से छोटा है क्योंकि \(1155<34^2\)। परीक्षा टिप: किसी वर्गमूल का अंतराल ज्ञात करने के लिए दिए गए संख्या के दोनों ओर के निकटतम पूर्ण वर्ग ढूँढें। / We have \(33^2=1089\) and \(34^2=1156\). Since \(1089<1155<1156\), taking square roots gives \(33<\sqrt{1155}<34\). Although it is very close to \(34\), \(\sqrt{1155}\) is less than \(34\) because \(1155<34^2\). Exam tip: To locate a square root, find the nearest perfect squares on either side of the given number.
वर्गमूल सर्पिल में सीधे लंबाइयाँ नहीं जोड़ी जातीं। सही तरीका पाइथागोरस प्रमेय से वर्गों का योग लेना है। / Lengths are not added directly in a square root spiral. The correct method is to add squares by Pythagoras theorem.
पाइथागोरस से \((\sqrt{n})^2+6^2=n+36\) होगा। इसलिए सामान्य \(\sqrt{n+1}\) क्रम बदल जाएगा। / By Pythagoras, \((\sqrt{n})^2+6^2=n+36\). So the usual \(\sqrt{n+1}\) sequence will change.
A. \(\sqrt{625}\), ठीक \(25\) पर/exactly at \(25\)
Explanation
Simple Explanation
वर्गमूल सर्पिल में पिछले कर्ण \(\sqrt{n}\) पर 1 इकाई का लंब बनाने पर नया कर्ण \(\sqrt{n+1}\) होता है। अतः \(\sqrt{624}\) के बाद नया कर्ण \(\sqrt{625}\) होगा। क्योंकि \(625=25^2\), इसलिए \(\sqrt{625}=25\) और यह ठीक \(25\) पर स्थित है। \(\sqrt{626}\) अगला मान होता, पर वह \(25\) और \(26\) के बीच होता। परीक्षा टिप: पूर्ण वर्ग पहचानने के लिए निकटवर्ती पूर्णांकों के वर्ग अवश्य जाँचें। / In a square root spiral, constructing a 1-unit perpendicular on a hypotenuse of length \(\sqrt{n}\) produces a new hypotenuse of length \(\sqrt{n+1}\). Therefore, after \(\sqrt{624}\), the new hypotenuse is \(\sqrt{625}\). Since \(625=25^2\), \(\sqrt{625}=25\), so it lies exactly at \(25\). \(\sqrt{626}\) would be the next value and would lie between \(25\) and \(26\). Exam tip: check nearby perfect squares to locate a square root quickly.
B. \(\sqrt{120}\), \(10\) और \(11\) के बीच है तथा \(\sqrt{122}\), \(11\) और \(12\) के बीच है/\(\sqrt{120}\) lies between \(10\) and \(11\), while \(\sqrt{122}\) lies between \(11\) and \(12\)
Explanation
Simple Explanation
क्योंकि \(10^2=100<120<121=11^2\), इसलिए \(10<\sqrt{120}<11\)। इसी प्रकार \(11^2=121<122<144=12^2\), इसलिए \(11<\sqrt{122}<12\)। अतः विकल्प B सही है। विकल्प A में \(\sqrt{122}\) को गलत अंतराल में रखा गया है, क्योंकि \(122>121\)। परीक्षा टिप: किसी वर्गमूल का स्थान ज्ञात करने के लिए उसके निकटतम पूर्ण वर्गों की तुलना करें। / Since \(10^2=100<120<121=11^2\), we get \(10<\sqrt{120}<11\). Similarly, \(11^2=121<122<144=12^2\), so \(11<\sqrt{122}<12\). Therefore, option B is correct. Option A places \(\sqrt{122}\) in the wrong interval because \(122>121\). Exam tip: Compare the number with nearby perfect squares to locate its square root.
वर्गमूल सर्पिल में \(\sqrt{675}\) के बाद अगला कर्ण \(\sqrt{676}\) होगा। क्योंकि \(676=26^2\), इसलिए \(\sqrt{676}=26\)। विकल्प 25 और 27 क्रमशः \(\sqrt{625}\) और \(\sqrt{729}\) के मान हैं, इसलिए वे सही नहीं हैं। परीक्षा टिप: अगली संख्या पाने के लिए वर्गमूल के अंदर की संख्या में 1 जोड़ें और देखें कि वह पूर्ण वर्ग है या नहीं। / In a square root spiral, the hypotenuse following \(\sqrt{675}\) is \(\sqrt{676}\). Since \(676=26^2\), \(\sqrt{676}=26\). The values 25 and 27 correspond to \(\sqrt{625}\) and \(\sqrt{729}\), respectively, so they are not correct here. Exam tip: Add 1 to the number inside the radical, then check whether it is a perfect square.
यदि (k)वाँ कर्ण \(\sqrt{k}\) है, तो \(\sqrt{81}\) (81)वाँ कर्ण है। \(\sqrt{81}=9\) होता है। / If the (k)-th hypotenuse is \(\sqrt{k}\), then \(\sqrt{81}\) is the (81)-th hypotenuse. Also, \(\sqrt{81}=9\).
\((\sqrt{209})^2+1^2=210\) है। इसलिए \(\sqrt{210}\) के लिए पिछला कर्ण \(\sqrt{209}\) होगा। / \((\sqrt{209})^2+1^2=210\). So the previous hypotenuse for \(\sqrt{210}\) is \(\sqrt{209}\).
वर्गमूल सर्पिल में प्रत्येक नया कर्ण क्रमागत प्राकृतिक संख्या के वर्गमूल को दर्शाता है। इसलिए \(\sqrt{1088}\) के बाद अगला कर्ण \(\sqrt{1089}\) होगा। क्योंकि \(1089=33^2\), अतः \(\sqrt{1089}=33\)। विकल्प B में मूलांक सही है, पर उसका मान गलत है; \(32^2=1024\) होता है। परीक्षा टिप: किसी वर्गमूल का पूर्णांक मान जाँचने के लिए निकटवर्ती पूर्ण वर्गों की तुलना करें। / In a square root spiral, each successive hypotenuse represents the square root of the next natural number. Hence, the hypotenuse after \(\sqrt{1088}\) is \(\sqrt{1089}\). Since \(1089=33^2\), \(\sqrt{1089}=33\). Option B has the correct radicand but an incorrect value, because \(32^2=1024\). Exam tip: Compare with nearby perfect squares to check whether a square root is an integer.
\(29^2=841\) तथा \(30^2=900\) है। क्योंकि \(841<899<900\), इसलिए \(29^2<899<30^2\) सही असमानता है और \(\sqrt{899}\), 29 तथा 30 के बीच स्थित होगा। विकल्प A गलत है क्योंकि \(899>29^2\) है। परीक्षा टिप: किसी वर्गमूल का स्थान ज्ञात करने के लिए उसके निकटतम पूर्ण वर्गों की तुलना करें। / \(29^2=841\) and \(30^2=900\). Since \(841<899<900\), the correct inequality is \(29^2<899<30^2\), so \(\sqrt{899}\) lies between 29 and 30. Option A is incorrect because \(899>29^2\). Exam tip: Compare the number with the nearest perfect squares to locate its square root.
वर्गमूल सर्पिल में \(\sqrt{n}\) के बाद अगला कर्ण \(\sqrt{n+1}\) होता है। दिया है कि यह कर्ण \(41\) है, इसलिए \(\sqrt{n+1}=41\)। दोनों पक्षों का वर्ग करने पर \(n+1=41^2=1681\), अतः \(n=1680\)। विकल्प 1681 में \(n+1\) का मान है, \(n\) का नहीं। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में पहले अगला कर्ण \(\sqrt{n+1}\) लिखें, फिर वर्ग करके \(n\) ज्ञात करें। / In a square root spiral, the hypotenuse after \(\sqrt{n}\) is \(\sqrt{n+1}\). Since this hypotenuse is \(41\), \(\sqrt{n+1}=41\). Squaring both sides gives \(n+1=41^2=1681\), so \(n=1680\). Option 1681 is the value of \(n+1\), not of \(n\). Exam tip: first express the next hypotenuse as \(\sqrt{n+1}\), then square to find \(n\).
B. \(\sqrt{8}\rightarrow\sqrt{9}\rightarrow\sqrt{10}\rightarrow\sqrt{11}\rightarrow\sqrt{12}\)
Explanation
Simple Explanation
सर्पिल में कर्ण क्रमिक रूप से एक-एक बढ़ते हैं। सामान्य निर्माण में बीच के चरण नहीं छोड़े जाते। / Hypotenuses increase one by one in the spiral. In the usual construction, intermediate steps are not skipped.
A. \(\sqrt{255}\) \(15\) और \(16\) के बीच है तथा \(\sqrt{257}\) \(16\) और \(17\) के बीच है/\(\sqrt{255}\) lies between \(15\) and \(16\), and \(\sqrt{257}\) lies between \(16\) and \(17\).
Explanation
Simple Explanation
क्योंकि \(15^2=225<255<256=16^2\), इसलिए \(15<\sqrt{255}<16\)। इसी प्रकार \(16^2=256<257<289=17^2\), इसलिए \(16<\sqrt{257}<17\)। अतः सही विकल्प A है। विकल्प B और C गलत हैं क्योंकि दोनों वर्गमूल \(16\) के विपरीत पक्षों पर स्थित हैं। परीक्षा टिप: किसी संख्या के निकटतम पूर्ण वर्गों की तुलना करके उसके वर्गमूल का अंतराल तुरंत ज्ञात करें। / Since \(15^2=225<255<256=16^2\), we get \(15<\sqrt{255}<16\). Similarly, \(16^2=256<257<289=17^2\), so \(16<\sqrt{257}<17\). Therefore, option A is correct. Options B and C are incorrect because the two square roots lie on opposite sides of \(16\). Exam tip: compare a number with consecutive perfect squares to locate its square root quickly.
A. अगला कर्ण \(\sqrt{324}=18\) है और \(\sqrt{325}\) (18) और (19) के बीच है/The next hypotenuse is \(\sqrt{324}=18\), and \(\sqrt{325}\) lies between (18) and (19)
Explanation
Simple Explanation
\(\sqrt{323}\) के बाद \(\sqrt{324}=18\) बनता है। \(18^2<325<19^2\), इसलिए \(\sqrt{325}\) (18) और (19) के बीच है। / After \(\sqrt{323}\), \(\sqrt{324}=18\) is formed. Since \(18^2<325<19^2\), \(\sqrt{325}\) lies between (18) and (19).
अगला कर्ण \(\sqrt{m+1}\) होगा। यदि (m+1) पूर्ण वर्ग है, तो उसका वर्गमूल पूर्ण संख्या होगा। / The next hypotenuse is \(\sqrt{m+1}\). If (m+1) is a perfect square, its square root will be a whole number.
A. \(\sqrt{1680}\) 40 और 41 के बीच है तथा \(\sqrt{1681}=41\) है/\(\sqrt{1680}\) lies between 40 and 41, and \(\sqrt{1681}=41\)
Explanation
Simple Explanation
क्योंकि \(40^2=1600\) और \(41^2=1681\) हैं, इसलिए \(1600<1680<1681\)। अतः \(40<\sqrt{1680}<41\), जबकि \(\sqrt{1681}=\sqrt{41^2}=41\) है। विकल्प B में \(\sqrt{1680}\) को 41 कहा गया है, पर 1680, \(41^2\) से छोटा है। परीक्षा टिप: किसी संख्या के आसपास के दो क्रमागत पूर्ण वर्ग ज्ञात करके उसके वर्गमूल की सीमा तुरंत तय करें। / Since \(40^2=1600\) and \(41^2=1681\), we have \(1600<1680<1681\). Hence, \(40<\sqrt{1680}<41\), whereas \(\sqrt{1681}=\sqrt{41^2}=41\). Option B is incorrect because 1680 is smaller than \(41^2\), so its square root cannot be 41. Exam tip: Find the two consecutive perfect squares around a number to locate its square root quickly.
अगला कर्ण \(\sqrt{81}\) होगा और \(\sqrt{81}=9\) है। पूर्ण वर्ग पर कर्ण पूर्ण संख्या बनता है। / The next hypotenuse is \(\sqrt{81}\), and \(\sqrt{81}=9\). At a perfect square, the hypotenuse becomes a whole number.
\(38^2=1444\) और \(39^2=1521\) है। क्योंकि \(1444<1520<1521\), इसलिए धनात्मक वर्गमूल लेने पर \(38<\sqrt{1520}<39\) मिलता है। विकल्प C सही नहीं है, क्योंकि \(39^2=1521\), जो 1520 से बड़ा है। परीक्षा टिप: किसी संख्या के वर्गमूल का अंतराल ज्ञात करने के लिए उसके आसपास के क्रमागत पूर्ण वर्गों की तुलना करें। / \(38^2=1444\) and \(39^2=1521\). Since \(1444<1520<1521\), taking positive square roots gives \(38<\sqrt{1520}<39\). Option C is incorrect because \(39^2=1521\), which is greater than 1520. Exam tip: To locate a square root, compare the number with consecutive perfect squares around it.
वर्गमूल सर्पिल में \(\sqrt{n}\) के बाद अगला कर्ण \(\sqrt{n+1}\) होता है। अतः \(\sqrt{2024}\) के बाद का कर्ण \(\sqrt{2025}\) होगा। क्योंकि \(2025=45^2\), इसलिए \(\sqrt{2025}=45\)। विकल्प 44 सही नहीं है, क्योंकि \(44^2=1936\), न कि 2025। परीक्षा टिप: किसी वर्गमूल को सरल करने से पहले जाँचें कि मूलांक किसी पूर्ण वर्ग के बराबर है या नहीं। / In a square root spiral, the hypotenuse following \(\sqrt{n}\) is \(\sqrt{n+1}\). Therefore, the hypotenuse after \(\sqrt{2024}\) is \(\sqrt{2025}\). Since \(2025=45^2\), \(\sqrt{2025}=45\). Option 44 is not correct because \(44^2=1936\), not 2025. Exam tip: Before simplifying a square root, check whether the number inside it is a perfect square.
A. \(\sqrt{50}\), 7 और 8 के बीच है तथा \(\sqrt{80}\), 8 और 9 के बीच है/\(\sqrt{50}\) lies between 7 and 8, while \(\sqrt{80}\) lies between 8 and 9.
Explanation
Simple Explanation
क्योंकि \(7^2=49\) और \(8^2=64\) हैं, इसलिए \(49<50<64\), अतः \(7<\sqrt{50}<8\)। इसी प्रकार \(8^2=64\) और \(9^2=81\) के बीच \(80\) है, इसलिए \(8<\sqrt{80}<9\)। विकल्प B निकट लगता है, पर \(\sqrt{80}>8\) है। परीक्षा टिप: किसी वर्गमूल का स्थान जानने के लिए उसके निकटतम पूर्ण वर्गों की तुलना करें। / Since \(7^2=49\) and \(8^2=64\), we have \(49<50<64\); hence \(7<\sqrt{50}<8\). Similarly, \(80\) lies between \(8^2=64\) and \(9^2=81\), so \(8<\sqrt{80}<9\). Option B may seem close, but \(\sqrt{80}>8\). Exam tip: locate a square root by comparing the number with nearby perfect squares.
पाइथागोरस प्रमेय में भुजाओं के वर्ग जुड़ते हैं। इसलिए नया कर्ण \(\sqrt{42}\) बनता है। / In Pythagoras theorem, the squares of sides are added. Therefore the new hypotenuse becomes \(\sqrt{42}\).
\(43^2=1849\) और \(44^2=1936\) हैं। क्योंकि \(1849<1935<1936\), इसलिए वर्गमूल लेने पर \(43<\sqrt{1935}<44\) प्राप्त होता है। \(44\) के बहुत निकट होने पर भी \(1935<1936\) है, इसलिए इसका वर्गमूल \(44\) से छोटा होगा। परीक्षा टिप: किसी वर्गमूल का अंतराल ज्ञात करने के लिए उसके आसपास के दो क्रमागत पूर्ण वर्गों की तुलना करें। / \(43^2=1849\) and \(44^2=1936\). Since \(1849<1935<1936\), taking square roots gives \(43<\sqrt{1935}<44\). Although it is very close to \(44\), \(1935<1936\), so its square root must be less than \(44\). Exam tip: To find the interval of a square root, compare the number with consecutive perfect squares.
A. नया कर्ण \(\sqrt{289}\) है और उसका मान \(17\) है/The new hypotenuse is \(\sqrt{289}\) and its value is \(17\)
Explanation
Simple Explanation
वर्गमूल सर्पिल में प्रत्येक नए समकोण त्रिभुज की दूसरी भुजा \(1\) होती है। इसलिए पिछले कर्ण \(\sqrt{288}\) से अगले कर्ण का वर्ग \(288+1=289\) होगा। अतः नया कर्ण \(\sqrt{289}=17\) है। \(\sqrt{290}\) वाला विकल्प गलत है, क्योंकि वर्ग के भीतर केवल \(1\) जोड़ा जाता है। परीक्षा टिप: अगले कर्ण के लिए मूलांक में हमेशा \(1\) जोड़ें, फिर देखें कि प्राप्त संख्या पूर्ण वर्ग है या नहीं। / In a square root spiral, each new right triangle has the other leg equal to \(1\). Therefore, starting from the hypotenuse \(\sqrt{288}\), the square of the next hypotenuse is \(288+1=289\). Hence, the new hypotenuse is \(\sqrt{289}=17\). The option with \(\sqrt{290}\) is incorrect because only \(1\) is added to the radicand. Exam tip: for the next hypotenuse, add \(1\) to the radicand and then check whether the result is a perfect square.
\(49^2=2401\) और \(50^2=2500\) हैं। क्योंकि \(2401<2499<2500\), इसलिए वर्गमूल लेने पर \(49<\sqrt{2499}<50\) प्राप्त होता है। अतः वर्गमूल सर्पिल में इसका स्थान 49 और 50 के बीच होगा। \(50\) के बहुत निकट होने पर भी यह 50 नहीं है, क्योंकि \(2499<2500\)। परीक्षा टिप: किसी वर्गमूल का स्थान ज्ञात करने के लिए उसके आसपास के क्रमागत पूर्ण वर्गों की तुलना करें। / We have \(49^2=2401\) and \(50^2=2500\). Since \(2401<2499<2500\), taking square roots gives \(49<\sqrt{2499}<50\). Therefore, its position on the square root spiral is between 49 and 50. Although it is very close to 50, it cannot equal 50 because \(2499<2500\). Exam tip: locate a square root by comparing the number with consecutive perfect squares.
A. \(\sqrt{399}\), 19 और 20 के बीच है तथा \(\sqrt{401}\), 20 और 21 के बीच है/\(\sqrt{399}\) lies between 19 and 20, while \(\sqrt{401}\) lies between 20 and 21.
Explanation
Simple Explanation
क्योंकि \(19^2=361\), \(20^2=400\) और \(21^2=441\) हैं, इसलिए \(361<399<400\) से \(19<\sqrt{399}<20\) मिलता है। इसी प्रकार, \(400<401<441\) से \(20<\sqrt{401}<21\) मिलता है। विकल्प B और C गलत हैं क्योंकि 400 के दोनों ओर स्थित संख्याओं के वर्गमूल 20 के अलग-अलग ओर होंगे। परीक्षा टिप: किसी संख्या के वर्गमूल का स्थान जानने के लिए उसके निकटतम पूर्ण वर्गों की तुलना करें। / Since \(19^2=361\), \(20^2=400\), and \(21^2=441\), \(361<399<400\) gives \(19<\sqrt{399}<20\). Similarly, \(400<401<441\) gives \(20<\sqrt{401}<21\). Options B and C are incorrect because the numbers lie on opposite sides of 400, so their square roots lie on opposite sides of 20. Exam tip: Compare a number with the nearest perfect squares to locate its square root.
पिछला कर्ण \(\sqrt{728}\) है, इसलिए यहाँ \(n=728\) होगा। वर्गमूल सर्पिल में अगला कर्ण \(\sqrt{n+1}\) होता है, अतः नया कर्ण \(\sqrt{728+1}=\sqrt{729}\) है। \(\sqrt{728}\) पिछला कर्ण ही है, जबकि \(\sqrt{727}\) एक चरण पहले का मान दर्शाता है। परीक्षा टिप: अगले कर्ण के लिए वर्गमूल के भीतर की संख्या में 1 जोड़ें। / The previous hypotenuse is \(\sqrt{728}\), so \(n=728\). In a square root spiral, the next hypotenuse is \(\sqrt{n+1}\). Therefore, it is \(\sqrt{728+1}=\sqrt{729}\). \(\sqrt{728}\) is the previous hypotenuse, while \(\sqrt{727}\) represents an earlier step. Exam tip: add 1 to the number inside the square root to obtain the next hypotenuse.
वर्गमूल सर्पिल में प्रत्येक नया कर्ण क्रमशः \(\sqrt{n}\) का मान दर्शाता है। यहाँ नया कर्ण \(\sqrt{729}\) है और \(729=27^2\), इसलिए उसका मान \(27\) होगा। \(26\) गलत है क्योंकि \(26^2=676\), जबकि \(28\) के लिए \(28^2=784\) होता है। परीक्षा टिप: पूर्ण वर्ग पहचानने के लिए निकटवर्ती पूर्ण संख्याओं के वर्ग याद रखें। / In a square root spiral, each new hypotenuse represents \(\sqrt{n}\). Here the new hypotenuse is \(\sqrt{729}\), and \(729=27^2\), so its value is \(27\). Option \(26\) is incorrect because \(26^2=676\), while \(28^2=784\). Exam tip: Remember squares of nearby whole numbers to identify perfect squares quickly.
वर्गमूल सर्पिल में यदि एक भुजा \(\sqrt{n}\) और दूसरी लंब भुजा 1 इकाई हो, तो नए कर्ण का वर्ग \(n+1\) होता है। अतः \(\sqrt{1599}\) पर 1 इकाई लंब बनाने पर नया कर्ण \(\sqrt{1599+1}=\sqrt{1600}\) बनेगा। \(\sqrt{1598}\) घटाने से प्राप्त होता है, जबकि \(\sqrt{1601}\) के लिए 2 इकाई की वृद्धि चाहिए। परीक्षा टिप: प्रत्येक नए चरण में कर्ण के अंदर की संख्या में 1 जोड़ें। / In a square root spiral, when one side is \(\sqrt{n}\) and the perpendicular side is 1 unit, the square of the new hypotenuse is \(n+1\). Therefore, drawing a 1-unit perpendicular on \(\sqrt{1599}\) gives \(\sqrt{1599+1}=\sqrt{1600}\). \(\sqrt{1598}\) would result from subtracting 1, while \(\sqrt{1601}\) would require an increase of 2. Exam tip: at each new step, add 1 to the number inside the square root.
\(36^2=1296\) और \(37^2=1369\) हैं। क्योंकि \(1296<1368<1369\), इसलिए वर्गमूल लेने पर \(36<\sqrt{1368}<37\) प्राप्त होता है। \(\sqrt{1368}=37\) नहीं हो सकता, क्योंकि \(37^2=1369\), न कि 1368। परीक्षा टिप: किसी संख्या के वर्गमूल का अंतराल ज्ञात करने के लिए उसके दोनों ओर के निकटतम पूर्ण वर्गों की तुलना करें। / We have \(36^2=1296\) and \(37^2=1369\). Since \(1296<1368<1369\), taking square roots gives \(36<\sqrt{1368}<37\). It cannot equal 37 because \(37^2=1369\), not 1368. Exam tip: To locate a square root, compare the number with the nearest perfect squares on either side.
A. \(\sqrt{3}\) कर्ण की लंबाई कंपास में लेकर मूल बिंदु से चाप खींचना/Take the \(\sqrt{3}\) hypotenuse length in a compass and draw an arc from the origin
Explanation
Simple Explanation
जिस वर्गमूल को अंकित करना है, उसी कर्ण की लंबाई कंपास में ली जाती है। मूल बिंदु से चाप सही स्थान देता है। / The hypotenuse length of the square root to be marked is taken in the compass. An arc from the origin gives the correct location.
\(\sqrt{839}\) पर (1) इकाई लंब बनाने से \(\sqrt{840}\) बनता है। पिछला कर्ण एक कम संख्या का होता है। / Drawing a (1) unit perpendicular on \(\sqrt{839}\) forms \(\sqrt{840}\). The previous hypotenuse has one less number.
A. \(\sqrt{960}\) 30 और 31 के बीच है तथा \(\sqrt{1024}=32\) है/\(\sqrt{960}\) lies between 30 and 31, and \(\sqrt{1024}=32\).
Explanation
Simple Explanation
क्योंकि \(30^2=900\) और \(31^2=961\) हैं तथा \(900<960<961\), इसलिए \(30<\sqrt{960}<31\)। साथ ही, \(1024=32^2\), अतः \(\sqrt{1024}=32\)। विकल्प B में \(\sqrt{960}\) को 31 से बड़ा बताया गया है, जबकि 960, \(31^2\) से छोटा है। परीक्षा टिप: किसी संख्या के वर्गमूल का अनुमान लगाने के लिए उसके निकटतम पूर्ण वर्गों की तुलना करें। / Since \(30^2=900\) and \(31^2=961\), and \(900<960<961\), we get \(30<\sqrt{960}<31\). Also, \(1024=32^2\), so \(\sqrt{1024}=32\). Option B is incorrect because 960 is less than \(31^2\), so its square root cannot be greater than 31. Exam tip: Compare a number with nearby perfect squares to estimate its square root.
A. क्योंकि (\(\sqrt{9}\)2+12=10)/Because (\(\sqrt{9}\)2+12=10)
Explanation
Simple Explanation
\(\sqrt{9}\) पिछला कर्ण है और (1) नई लंब है। पाइथागोरस से कर्ण \(\sqrt{10}\) मिलता है। / \(\sqrt{9}\) is the previous hypotenuse and (1) is the new perpendicular. Pythagoras gives hypotenuse \(\sqrt{10}\).
वर्गमूल सर्पिल में प्रत्येक नया कर्ण क्रमशः \(\sqrt{1},\sqrt{2},\sqrt{3}\) आदि के रूप में बढ़ता है। इसलिए \(\sqrt{1848}\) के बाद अगला कर्ण \(\sqrt{1849}\) होगा। क्योंकि \(1849=43^2\), अतः \(\sqrt{1849}=43\) और यह एक पूर्णांक मान पर स्थित होगा। \(\sqrt{1850}\) इसके बाद आता है, पर वह पूर्ण वर्ग नहीं है। परीक्षा टिप: अगले कर्ण के लिए मूलांक में 1 जोड़ें और जाँचें कि प्राप्त संख्या पूर्ण वर्ग है या नहीं। / In a square root spiral, successive hypotenuses are \(\sqrt{1},\sqrt{2},\sqrt{3}\), and so on. Therefore, the hypotenuse after \(\sqrt{1848}\) is \(\sqrt{1849}\). Since \(1849=43^2\), we get \(\sqrt{1849}=43\), so it lies at an integer value. \(\sqrt{1850}\) comes next, but 1850 is not a perfect square. Exam tip: add 1 to the radicand for the next hypotenuse, then check whether it is a perfect square.
A. \(\sqrt{35}\) 5 और 6 के बीच है तथा \(\sqrt{37}\) 6 और 7 के बीच है/\(\sqrt{35}\) lies between 5 and 6, while \(\sqrt{37}\) lies between 6 and 7
Explanation
Simple Explanation
क्योंकि \(5^2=25<35<36=6^2\), इसलिए \(5<\sqrt{35}<6\)। इसी प्रकार, \(6^2=36<37<49=7^2\), इसलिए \(6<\sqrt{37}<7\)। अतः सही विकल्प A है। विकल्प B में \(\sqrt{37}\) और विकल्प C में \(\sqrt{35}\) की स्थिति गलत है। परीक्षा टिप: किसी वर्गमूल का स्थान ज्ञात करने के लिए उसके निकटवर्ती पूर्ण वर्गों की तुलना करें। / Since \(5^2=25<35<36=6^2\), we get \(5<\sqrt{35}<6\). Similarly, \(6^2=36<37<49=7^2\), so \(6<\sqrt{37}<7\). Therefore, option A is correct. Option B places \(\sqrt{37}\) incorrectly, while option C places \(\sqrt{35}\) incorrectly. Exam tip: compare a number with consecutive perfect squares to locate its square root.
वर्गमूल सर्पिल में प्रत्येक नया कर्ण क्रमशः \(\sqrt{1}, \sqrt{2}, \sqrt{3}\) आदि के रूप में बनता है। इसलिए \(\sqrt{2208}\) के बाद अगला कर्ण \(\sqrt{2209}\) होगा। क्योंकि \(47^2=2209\), अतः \(\sqrt{2209}=47\)। विकल्प B में वर्गमूल सही है, पर उसका मान गलत दिया गया है; विकल्प C एक पद आगे का कर्ण है। परीक्षा टिप: किसी संख्या का वर्गमूल पूर्णांक है या नहीं, यह जाँचने के लिए निकटवर्ती पूर्ण वर्गों को पहचानें। / In a square root spiral, successive hypotenuses are \(\sqrt{1}, \sqrt{2}, \sqrt{3}\), and so on. Therefore, the hypotenuse after \(\sqrt{2208}\) is \(\sqrt{2209}\). Since \(47^2=2209\), \(\sqrt{2209}=47\). Option B has the correct radicand but an incorrect value, while option C skips to the next term. Exam tip: identify nearby perfect squares to check whether a square root is an integer.
A. \(\sqrt{48}\) 6 और 7 के बीच है तथा \(\sqrt{50}\) 7 और 8 के बीच है/\(\sqrt{48}\) lies between 6 and 7, while \(\sqrt{50}\) lies between 7 and 8
Explanation
Simple Explanation
क्योंकि \(6^2=36\), \(7^2=49\) और \(8^2=64\) हैं, इसलिए \(36<48<49\) से \(6<\sqrt{48}<7\) मिलता है। इसी प्रकार, \(49<50<64\) से \(7<\sqrt{50}<8\) मिलता है। इसलिए विकल्प A सही है। निकटतम भ्रम यह हो सकता है कि दोनों संख्याएँ 49 के पास हैं, पर \(48\), 49 से कम और \(50\), 49 से अधिक है। परीक्षा टिप: किसी वर्गमूल का स्थान ज्ञात करने के लिए उसके निकट के पूर्ण वर्गों की तुलना करें। / Since \(6^2=36\), \(7^2=49\), and \(8^2=64\), \(36<48<49\) gives \(6<\sqrt{48}<7\). Similarly, \(49<50<64\) gives \(7<\sqrt{50}<8\). Therefore, option A is correct. A common confusion is that both numbers are close to 49, but 48 is below 49 whereas 50 is above it. Exam tip: locate a square root by comparing the number with the nearest perfect squares.
A. \((\sqrt{72})^2+1^2=73\), इसलिए नया कर्ण \(\sqrt{73}\)/\((\sqrt{72})^2+1^2=73\), so the new hypotenuse is \(\sqrt{73}\)
Explanation
Simple Explanation
वर्गमूल सर्पिल में प्रत्येक नया समकोण त्रिभुज पिछले कर्ण को एक भुजा और 1 इकाई को दूसरी भुजा मानकर बनता है। अतः पाइथागोरस प्रमेय से नया कर्ण \(\sqrt{(\sqrt{72})^2+1^2}=\sqrt{73}\) होगा। विकल्प B में कर्णों को सीधे जोड़ना गलत है; वर्गमूलों का योग सामान्यतः उनके योग का वर्गमूल नहीं होता। परीक्षा टिप: अगले कर्ण के वर्ग के लिए पिछले कर्ण के वर्ग में हमेशा \(1\) जोड़ें। / In a square root spiral, each new right triangle has the previous hypotenuse as one side and a unit length as the other side. By Pythagoras’ theorem, the next hypotenuse is \(\sqrt{(\sqrt{72})^2+1^2}=\sqrt{73}\). Option B incorrectly adds the hypotenuses directly; in general, the sum of square roots is not the square root of their sum. Exam tip: for the next hypotenuse, add \(1\) to the square of the previous hypotenuse.
वर्गमूल सर्पिल में प्रत्येक नया कर्ण क्रमशः \(\sqrt{1}, \sqrt{2}, \sqrt{3}\) आदि के रूप में बनता है। इसलिए \(\sqrt{2600}\) के बाद अगला कर्ण \(\sqrt{2601}\) होगा। क्योंकि \(2601=51^2\), अतः \(\sqrt{2601}=51\)। \(\sqrt{2602}\) अगला नहीं, उसके बाद का कर्ण है। परीक्षा टिप: किसी पूर्ण वर्ग के पास वाले पदों के लिए पहले जाँचें कि संख्या किस पूर्णांक के वर्ग के बराबर है। / In a square root spiral, successive hypotenuses are \(\sqrt{1}, \sqrt{2}, \sqrt{3}\), and so on. Therefore, the hypotenuse after \(\sqrt{2600}\) is \(\sqrt{2601}\). Since \(2601=51^2\), we get \(\sqrt{2601}=51\). \(\sqrt{2602}\) is the hypotenuse after the next one, not the immediate next hypotenuse. Exam tip: For a number near a perfect square, first check whether it equals the square of an integer.
A. अगला कर्ण \(\sqrt{16}=4\) है और \(\sqrt{17}\) (4) और (5) के बीच है/The next hypotenuse is \(\sqrt{16}=4\), and \(\sqrt{17}\) lies between (4) and (5)
Explanation
Simple Explanation
\(\sqrt{15}\) के बाद \(\sqrt{16}=4\) बनता है। \(4^2<17<5^2\), इसलिए \(\sqrt{17}\) (4) और (5) के बीच है। / After \(\sqrt{15}\), \(\sqrt{16}=4\) is formed. Since \(4^2<17<5^2\), \(\sqrt{17}\) lies between (4) and (5).
\(58^2=3364\) और \(59^2=3481\) हैं। (3480) इनके बीच है, इसलिए \(\sqrt{3480}\) (58) और (59) के बीच है। / \(58^2=3364\) and \(59^2=3481\). The number (3480) lies between them, so \(\sqrt{3480}\) lies between (58) and (59).
नया कर्ण \(\sqrt{3024+1}=\sqrt{3025}\) होगा। \(3025=55^2\), इसलिए सटीक मान (55) है। / The new hypotenuse is \(\sqrt{3024+1}=\sqrt{3025}\). Since \(3025=55^2\), the exact value is (55).
A. \(\sqrt{2207}\), 46 और 47 के बीच है तथा \(\sqrt{2209}=47\) है/\(\sqrt{2207}\) lies between 46 and 47, and \(\sqrt{2209}=47\)
Explanation
Simple Explanation
क्योंकि \(46^2=2116\), \(47^2=2209\) और \(2116<2207<2209\), इसलिए \(46<\sqrt{2207}<47\)। साथ ही \(2209=47^2\), अतः \(\sqrt{2209}=47\) है। विकल्प D निकट लगता है, पर \(2207\), \(2209\) से छोटा है, इसलिए उसका वर्गमूल 47 नहीं हो सकता। परीक्षा टिप: किसी संख्या के वर्गमूल का स्थान जानने के लिए उसके आसपास के पूर्ण वर्गों की तुलना करें। / Since \(46^2=2116\), \(47^2=2209\), and \(2116<2207<2209\), we get \(46<\sqrt{2207}<47\). Also, \(2209=47^2\), so \(\sqrt{2209}=47\). Option D may seem close, but \(2207\) is less than \(2209\), so its square root cannot be 47. Exam tip: locate a square root by comparing the number with nearby perfect squares.
पाइथागोरस से (\(\sqrt{n}\)2+82=n+64) होगा। इसलिए नई लंब बदलने से सामान्य क्रम बदल जाता है। / By Pythagoras, (\(\sqrt{n}\)2+82=n+64). So changing the perpendicular changes the usual sequence.
नया कर्ण \(\sqrt{n+1}\) हो तो पिछला कर्ण \(\sqrt{n}\) होता है। इसलिए \(\sqrt{4096}\) से पहले \(\sqrt{4095}\) था। / If the new hypotenuse is \(\sqrt{n+1}\), the previous hypotenuse is \(\sqrt{n}\). Therefore before \(\sqrt{4096}\), it was \(\sqrt{4095}\).
\(98^2=9604\) और \(99^2=9801\) हैं। क्योंकि \(9604<9800<9801\), इसलिए वर्गमूल लेने पर \(98<\sqrt{9800}<99\) मिलता है। विकल्प C गलत है, क्योंकि \(\sqrt{9800}\), \(99\) से छोटा है; वास्तव में \(99^2=9801\) है। परीक्षा टिप: किसी वर्गमूल का अंतराल ज्ञात करने के लिए दिए गए संख्या के दोनों ओर के निकटतम पूर्ण वर्गों की तुलना करें। / \(98^2=9604\) and \(99^2=9801\). Since \(9604<9800<9801\), taking square roots gives \(98<\sqrt{9800}<99\). Option C is incorrect because \(\sqrt{9800}\) is less than \(99\); in fact, \(99^2=9801\). Exam tip: To find the interval of a square root, compare the number with the nearest perfect squares on either side.
नया कर्ण \(\sqrt{10403+1}=\sqrt{10404}\) होगा। \(10404=102^2\), इसलिए सटीक मान (102) है। / The new hypotenuse is \(\sqrt{10403+1}=\sqrt{10404}\). Since \(10404=102^2\), the exact value is (102).
