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((0,0)) रखने पर \(0\leq 4\) सत्य है, इसलिए बिंदु हल क्षेत्र में है। परीक्षा में पहले परीक्षण बिंदु रखें। / Substituting ((0,0)) gives \(0\leq 4\), so the point lies in the solution region. In exams, test a convenient point first.
क्योंकि (>) में बराबरी शामिल नहीं होती, इसलिए सीमा रेखा टूटी हुई होती है। परीक्षा में (<) और (>) के लिए टूटी रेखा याद रखें। / Since (>) does not include equality, the boundary line is dashed. Remember dashed lines for (<) and (>) in exams.
B. रेखा (y=3) के नीचे और रेखा सहित/Below the line (y=3) including the line
Explanation
Simple Explanation
\(y\leq 3\) में (y) के मान (3) या उससे कम हैं। परीक्षा में क्षैतिज रेखा के लिए ऊपर-नीचे क्षेत्र पहचानें। / In \(y\leq 3\), the values of (y) are (3) or less. In exams, identify above or below for horizontal lines.
D. रेखा (x=-2) के दाईं ओर, रेखा छोड़कर/Right of the line (x=-2), excluding the line
Explanation
Simple Explanation
(x> -2) में सभी (x) मान (-2) से बड़े हैं, इसलिए दाईं ओर छायांकन होगा। परीक्षा में (x) वाली असमानता के लिए बायां-दायां क्षेत्र देखें। / In (x> -2), all (x)-values are greater than (-2), so shading is to the right. For inequalities in (x), check left or right in exams.
C. ((0,0)) हल क्षेत्र में नहीं है/((0,0)) is not in the solution region
Explanation
Simple Explanation
((0,0)) रखने पर \(0\geq 6\) असत्य है, इसलिए मूल बिंदु वाला भाग हल नहीं है। परीक्षा में असत्य मिलने पर विपरीत भाग छायांकित करें। / Substituting ((0,0)) gives \(0\geq 6\), which is false, so the origin side is not the solution. In exams, shade the opposite side when the test is false.
A. सीमा रेखा (x+y=5) है और टूटी हुई है/The boundary line is (x+y=5) and dashed
Explanation
Simple Explanation
सीमा रेखा बराबरी लगाकर (x+y=5) बनती है और (<) के कारण टूटी होती है। परीक्षा में पहले असमानता को समीकरण में बदलें। / The boundary line is made by replacing the inequality with equality, so it is (x+y=5), and it is dashed because of (<). In exams, first convert the inequality into an equation.
((0,0)) रखने पर \(0\leq 8\) सत्य है। परीक्षा में सरल बिंदु से क्षेत्र जल्दी तय करें। / Substituting ((0,0)) gives \(0\leq 8\), which is true. Use a simple test point to decide the region quickly in exams.
C. हाँ, क्योंकि \(\geq\) है/Yes, because it has \(\geq\)
Explanation
Simple Explanation
\(\geq\) में बराबरी शामिल होती है, इसलिए सीमा रेखा भी हल में आती है। परीक्षा में \(\leq\) और \(\geq\) के लिए ठोस रेखा बनाएं। / The symbol \(\geq\) includes equality, so the boundary line is part of the solution. Draw a solid line for \(\leq\) and \(\geq\) in exams.
A. ((0,0)) हल क्षेत्र में है/((0,0)) is in the solution region
Explanation
Simple Explanation
((0,0)) रखने पर \(0\leq 9\) सत्य है, इसलिए मूल बिंदु वाला भाग चुना जाएगा। परीक्षा में परीक्षण बिंदु से छायांकन की दिशा तय करें। / Substituting ((0,0)) gives \(0\leq 9\), so the side containing the origin is selected. Use a test point to decide the shading direction in exams.
(x-y<2) में बराबरी शामिल नहीं है, इसलिए सीमा रेखा (x-y=2) टूटी होगी। परीक्षा में (<) देखकर रेखा को शामिल न करें। / Equality is not included in (x-y<2), so the boundary line (x-y=2) is dashed. In exams, do not include the line for (<).
A. हाँ, क्योंकि \(3\leq 3\)/Yes, because \(3\leq 3\)
Explanation
Simple Explanation
((2,1)) रखने पर (2+1=3) और \(3\leq 3\) सत्य है। परीक्षा में सीमा पर स्थित बिंदु भी \(\leq\) में शामिल होते हैं। / Substituting ((2,1)) gives (2+1=3), and \(3\leq 3\) is true. Boundary points are included for \(\leq\) in exams.
B. यह हल क्षेत्र में नहीं है/It is not in the solution region
Explanation
Simple Explanation
((1,3)) रखने पर (3<2) असत्य है। परीक्षा में बिंदु को असमानता में सीधे रखें। / Substituting ((1,3)) gives (3<2), which is false. In exams, directly substitute the point in the inequality.
B. रेखा (x=4) के बाईं ओर ठोस रेखा सहित/Left of (x=4) including solid line
Explanation
Simple Explanation
\(x\leq 4\) में (x) के मान (4) या कम हैं, इसलिए बाईं ओर क्षेत्र होगा। परीक्षा में \(x\leq a\) को बाईं ओर समझें। / In \(x\leq 4\), (x)-values are (4) or less, so the region is to the left. In exams, read \(x\leq a\) as the left side.
A. मूल बिंदु वाला भाग हल क्षेत्र है/The side containing the origin is the solution region
Explanation
Simple Explanation
((0,0)) रखने पर \(0\geq -2\) सत्य है, इसलिए मूल बिंदु वाला भाग छायांकित होगा। परीक्षा में परीक्षण बिंदु सत्य हो तो वही भाग लें। / Substituting ((0,0)) gives \(0\geq -2\), which is true, so shade the origin side. If the test point is true, take that side in exams.
B. सीमा रेखा के विपरीत मूल बिंदु से दूर वाला भाग/Side opposite to the origin
Explanation
Simple Explanation
((0,0)) रखने पर \(0\geq 7\) असत्य है, इसलिए मूल बिंदु के विपरीत भाग हल है। परीक्षा में असत्य परीक्षण पर दूसरी ओर छायांकन करें। / Substituting ((0,0)) gives \(0\geq 7\), which is false, so the solution is the side opposite the origin. Shade the other side when the test is false in exams.
सीमा रेखा (2x+3y=12) है, जिसमें (y=0) पर (x=6) और (x=0) पर (y=4) मिलता है। परीक्षा में प्रतिच्छेद विधि से रेखा जल्दी बनती है। / The boundary line is (2x+3y=12), giving (x=6) when (y=0) and (y=4) when (x=0). The intercept method draws the line quickly in exams.
सीमा रेखा (4x+y=8) में (y=0) रखने पर (x=2) मिलता है। परीक्षा में (x)-प्रतिच्छेद के लिए (y=0) रखें। / In the boundary line (4x+y=8), putting (y=0) gives (x=2). For the (x)-intercept, put (y=0) in exams.
सीमा रेखा (x+5y=10) में (x=0) रखने पर (y=2) मिलता है। परीक्षा में (y)-प्रतिच्छेद के लिए (x=0) रखें। / In the boundary line (x+5y=10), putting (x=0) gives (y=2). For the (y)-intercept, put (x=0) in exams.
((1,1)) रखने पर \(1\leq 2\) सत्य है, इसलिए बिंदु हल क्षेत्र में है। परीक्षा में दाईं ओर का मान सावधानी से निकालें। / Substituting ((1,1)) gives \(1\leq 2\), which is true, so the point is in the solution region. Calculate the right side carefully in exams.
B. रेखा (y=-2) के ऊपर, रेखा छोड़कर/Above the line (y=-2), excluding the line
Explanation
Simple Explanation
(y> -2) में (y) के मान (-2) से बड़े हैं, इसलिए रेखा के ऊपर छायांकन होगा। परीक्षा में (>) के लिए सीमा रेखा शामिल न करें। / In (y> -2), (y)-values are greater than (-2), so shade above the line. Do not include the boundary line for (>) in exams.
C. दायां अर्ध-तल, (y)-अक्ष सहित/Right half-plane including the (y)-axis
Explanation
Simple Explanation
\(x\geq 0\) में (x) गैर-ऋणात्मक है, इसलिए (y)-अक्ष और दायां भाग शामिल हैं। परीक्षा में (x=0) को (y)-अक्ष समझें। / In \(x\geq 0\), (x) is non-negative, so the (y)-axis and the right side are included. Remember (x=0) is the (y)-axis in exams.
A. निचला अर्ध-तल, (x)-अक्ष सहित/Lower half-plane including the (x)-axis
Explanation
Simple Explanation
\(y\leq 0\) में (y) शून्य या ऋणात्मक है, इसलिए (x)-अक्ष और नीचे का भाग शामिल है। परीक्षा में (y=0) को (x)-अक्ष समझें। / In \(y\leq 0\), (y) is zero or negative, so the (x)-axis and the lower side are included. Remember (y=0) is the (x)-axis in exams.
B. यह हल क्षेत्र में है/It is in the solution region
Explanation
Simple Explanation
((3,0)) रखने पर (3>2) सत्य है, इसलिए यह हल क्षेत्र में है। परीक्षा में एक-एक विकल्प को रखने की जरूरत नहीं, सही बिंदु जांचें। / Substituting ((3,0)) gives (3>2), which is true, so it lies in the solution region. In exams, check the candidate point directly.
B. सीमा रेखा पर और हल में/On the boundary line and in the solution
Explanation
Simple Explanation
((2,0)) रखने पर \(4\geq 4\) सत्य है और बराबरी भी है। परीक्षा में \(\geq\) होने पर सीमा बिंदु शामिल होते हैं। / Substituting ((2,0)) gives \(4\geq 4\), true with equality. Boundary points are included when the symbol is \(\geq\).
सीमा रेखा (x+3y=6) में (y=0) पर (x=6) और (x=0) पर (y=2) मिलता है। परीक्षा में दोनों प्रतिच्छेद अलग-अलग निकालें। / For the boundary line (x+3y=6), (y=0) gives (x=6) and (x=0) gives (y=2). Find both intercepts separately in exams.
((3,0)) रखने पर \(9\leq 6\) असत्य है, इसलिए यह हल क्षेत्र में नहीं है। परीक्षा में सभी दिए बिंदुओं में केवल असत्य मान खोजें। / Substituting ((3,0)) gives \(9\leq 6\), which is false, so it is not in the solution region. In exams, find the option that makes the inequality false.
\(x-2y\leq 0\) से \(x\leq 2y\), इसलिए \(y\geq \frac{x}{2}\) मिलता है। परीक्षा में ऋणात्मक गुणांक से भाग करते समय संकेत बदलना याद रखें। / From \(x-2y\leq 0\), we get \(x\leq 2y\), so \(y\geq \frac{x}{2}\). Remember sign changes when handling negative coefficients in exams.
((0,2)) रखने पर \(2\leq 1\) असत्य है। परीक्षा में तुलना के बाद ही क्षेत्र तय करें। / Substituting ((0,2)) gives \(2\leq 1\), which is false. Decide the region only after comparison in exams.
\(\geq\) में बराबरी शामिल है, इसलिए (y=2x+1) ठोस रेखा से बनेगी। परीक्षा में बराबरी वाले संकेतों के लिए ठोस रेखा बनाएं। / The symbol \(\geq\) includes equality, so (y=2x+1) is drawn as a solid line. Use solid lines for equality-including signs in exams.
सीमा रेखा (x+y=1) है और ((0,1)) से (0+1=1) मिलता है। परीक्षा में सीमा बिंदु के लिए बराबरी जांचें। / The boundary line is (x+y=1), and ((0,1)) gives (0+1=1). Check equality to identify boundary points in exams.
पूरी असमानता को (2) से भाग देने पर (x+y>2) मिलता है। परीक्षा में धनात्मक संख्या से भाग देने पर संकेत नहीं बदलता। / Dividing the whole inequality by (2) gives (x+y>2). The sign does not change when dividing by a positive number in exams.
A. सीमा रेखा ठोस होगी और उस पर स्थित बिंदु हल में शामिल होंगे।/The boundary line will be solid, and points on it will be included in the solution.
Explanation
Simple Explanation
\(\leq\) में समानता भी शामिल होती है। इसलिए \(x+2y=6\) की सीमा रेखा ठोस खींची जाती है और रेखा के बिंदु हल-क्षेत्र में रहते हैं। परीक्षा टिप: \(<\) या \(>\) के लिए बिंदीदार रेखा बनती है। / The symbol \(\leq\) includes equality. Hence the boundary \(x+2y=6\) is drawn as a solid line, and its points belong to the solution region. Exam tip: use a dashed line only for \(<\) or \(>\).
((0,3)) रखने पर \(6\geq 4\) सत्य है। परीक्षा में विकल्पों को जल्दी जांचने के लिए सरल गणना करें। / Substituting ((0,3)) gives \(6\geq 4\), which is true. Use quick substitution to check options in exams.
B. हाँ, क्योंकि (0>-1) सत्य है/Yes, because (0>-1) is true
Explanation
Simple Explanation
((1,0)) रखने पर (0>-1) सत्य है, इसलिए बिंदु हल क्षेत्र में है। परीक्षा में ऋण चिह्न ध्यान से लगाएं। / Substituting ((1,0)) gives (0>-1), which is true, so the point is in the solution region. Be careful with negative signs in exams.
\(x-y\geq 0\) से \(-y\geq -x\), इसलिए \(y\leq x\) मिलता है। परीक्षा में (-1) से गुणा या भाग करते समय संकेत बदलें। / From \(x-y\geq 0\), \(-y\geq -x\), so \(y\leq x\). Change the inequality sign when multiplying or dividing by (-1) in exams.
C. यह हल क्षेत्र में नहीं है/It is not in the solution region
Explanation
Simple Explanation
((2,1)) रखने पर (5<5) असत्य है, इसलिए यह हल में नहीं है। परीक्षा में कठोर असमानता में बराबरी स्वीकार नहीं होती। / Substituting ((2,1)) gives (5<5), which is false, so it is not a solution. Equality is not accepted in strict inequalities in exams.
सीमा रेखा (x+4y=8) में (x=0) रखने पर (y=2) मिलता है। परीक्षा में प्रतिच्छेद को क्रमित युग्म में लिखें। / In the boundary line (x+4y=8), putting (x=0) gives (y=2). Write intercepts as ordered pairs in exams.
((0,0)) रखने पर \(0\geq 10\) असत्य है, इसलिए मूल बिंदु वाला भाग हल नहीं है। परीक्षा में मूल बिंदु रेखा पर न हो तो उसे परीक्षण बिंदु लें। / Substituting ((0,0)) gives \(0\geq 10\), false, so the origin side is not the solution. Use the origin as a test point when it is not on the line.
B. रेखा (x+2y=6) टूटी हुई होगी/The line (x+2y=6) will be dashed
Explanation
Simple Explanation
(>) में बराबरी शामिल नहीं है, इसलिए (x+2y=6) टूटी रेखा होगी। परीक्षा में सीमा रेखा और छायांकन को अलग-अलग सोचें। / The symbol (>) does not include equality, so (x+2y=6) is a dashed line. Think of boundary and shading separately in exams.
B. सीमा रेखा पर और हल में/On the boundary line and in solution
Explanation
Simple Explanation
((0,2)) रखने पर \(10\leq 10\) सत्य है, इसलिए यह सीमा पर भी है और हल में भी। परीक्षा में \(\leq\) होने पर बराबरी शामिल होती है। / Substituting ((0,2)) gives \(10\leq 10\), true, so it is on the boundary and in the solution. Equality is included for \(\leq\) in exams.
((0,0)) रखने पर (0<6) सत्य है, इसलिए मूल बिंदु वाला भाग हल है। परीक्षा में सत्य परीक्षण का मतलब वही तरफ छायांकन है। / Substituting ((0,0)) gives (0<6), true, so the origin side is the solution. A true test means shade that same side in exams.
B. ठोस रेखा (y=5), ऊपर का क्षेत्र/Solid line (y=5), above region
Explanation
Simple Explanation
\(y\geq 5\) में रेखा (y=5) शामिल है और (y) उससे बड़ा या बराबर है। परीक्षा में क्षैतिज रेखा के लिए ऊपर का क्षेत्र चुनें। / In \(y\geq 5\), the line (y=5) is included and (y) is greater than or equal to it. Choose the above region for a horizontal line in exams.
सीमा रेखा (x+6y=12) में (y=0) पर (x=12) और (x=0) पर (y=2) है। परीक्षा में पहले सीमा रेखा बनाएं, फिर क्षेत्र चुनें। / For the boundary line (x+6y=12), (y=0) gives (x=12) and (x=0) gives (y=2). Draw the boundary first, then choose the region.
C. यह हल क्षेत्र में नहीं है/It is not in the solution region
Explanation
Simple Explanation
((2,2)) रखने पर \(6\leq 5\) असत्य है, इसलिए बिंदु हल में नहीं है। परीक्षा में जोड़ने की गलती से बचें। / Substituting ((2,2)) gives \(6\leq 5\), which is false, so the point is not a solution. Avoid addition mistakes in exams.
(2) से भाग देने पर \(y\leq \frac{x+4}{2}\) मिलता है। परीक्षा में धनात्मक संख्या से भाग देने पर संकेत नहीं बदलता। / Dividing by (2) gives \(y\leq \frac{x+4}{2}\). The inequality sign does not change when dividing by a positive number in exams.
B. सीमा रेखा पर और हल में/On the boundary line and in the solution
Explanation
Simple Explanation
((0,0)) रखने पर \(0\geq 0\) सत्य है और बराबरी है। परीक्षा में \(\geq\) होने पर सीमा रेखा के बिंदु शामिल करें। / Substituting ((0,0)) gives \(0\geq 0\), true with equality. Include boundary points for \(\geq\) in exams.
मूल बिंदु पर (0) मिलता है, जो (6) से छोटा है, इसलिए विपरीत भाग \(x+y\geq 6\) है। परीक्षा में रेखा शामिल हो तो \(\leq\) या \(\geq\) चुनें। / At the origin the value is (0), which is less than (6), so the opposite side is \(x+y\geq 6\). If the line is included, choose \(\leq\) or \(\geq\) in exams.
B. मूल बिंदु वाला भाग हल क्षेत्र नहीं है/The side containing the origin is not the solution region
Explanation
Simple Explanation
((0,0)) रखने पर \(0\geq 2\) असत्य है, इसलिए मूल बिंदु वाला भाग हल नहीं है। परीक्षा में असत्य मिलने पर विपरीत भाग छायांकित करें। / Substituting ((0,0)) gives \(0\geq 2\), which is false, so the origin side is not the solution. In exams, shade the opposite side when the test is false.
क्योंकि (<) में बराबरी शामिल नहीं होती, इसलिए सीमा रेखा टूटी हुई होगी। परीक्षा में (<) और (>) के लिए रेखा को हल में शामिल न करें। / Since (<) does not include equality, the boundary line will be dashed. In exams, do not include the boundary line for (<) and (>).
सीमा रेखा (x+2y=10) में (x=0) रखने पर (y=5) मिलता है। परीक्षा में (y)-प्रतिच्छेद के लिए हमेशा (x=0) रखें। / In the boundary line (x+2y=10), putting (x=0) gives (y=5). In exams, always put (x=0) to find the (y)-intercept.
सीमा रेखा बनाने के लिए असमानता के चिन्ह को बराबर में बदलते हैं। परीक्षा में पहले रेखा बनाइए। / To get the boundary line, replace the inequality sign by equality. Exam tip: draw the line first.
असमानता \(x+2y\geq 10\) में \(\geq\) का अर्थ है कि सीमा रेखा \(x+2y=10\) के बिंदु भी हल-क्षेत्र में शामिल हैं। इसलिए सीमा रेखा सतत रेखा से दिखाई जाती है। बिंदीदार रेखा केवल \(>\) या \(<\) वाली असमानताओं के लिए होती है, जहाँ सीमा शामिल नहीं होती। परीक्षा टिप: \(\leq\) और \(\geq\) के लिए हमेशा सतत रेखा बनाइए। / In \(x+2y\geq 10\), the symbol \(\geq\) means that the points on the boundary line \(x+2y=10\) are included in the solution set. Therefore, the boundary is drawn as a solid line. A dotted line is used only for \(>\) or \(<\), where the boundary is not included. Exam tip: Use a solid line for \(\leq\) and \(\geq\).
\(<\) या \(>\) में सीमा रेखा के बिंदु हल-क्षेत्र में शामिल नहीं होते, इसलिए उसे बिंदीदार खींचते हैं। \(\leq\) और \(\geq\) में रेखा शामिल होती है, अतः ठोस रेखा बनती है। परीक्षा टिप: चिह्न में बराबरी हो तो रेखा ठोस रखें। / For \(<\) or \(>\), points on the boundary are excluded from the solution region, so the boundary is dotted. With \(\leq\) or \(\geq\), the line is included and must be solid. Exam tip: an equality bar means a solid boundary.
B. मूल बिंदु वाली ओर छायांकन नहीं होगा/The side containing the origin is not shaded
Explanation
Simple Explanation
परीक्षण बिंदु
(0,0) रखने पर
0+0>3, अर्थात
0>3 मिलता है, जो असत्य है। इसलिए मूल बिंदु जिस ओर है, वह असमानता का हल-क्षेत्र नहीं है; छायांकन दूसरी ओर किया जाएगा। क्योंकि असमानता में
> है, सीमा रेखा
x+y=3 को टूटी हुई रेखा से दर्शाते हैं और वह हल में शामिल नहीं होती। परीक्षा टिप: किसी भी परीक्षण बिंदु के लिए असमानता सत्य हो तो उसकी ओर छायांकन करें, असत्य हो तो विपरीत ओर। / Substituting the test point
(0,0) gives
0+0>3, i.e.
0>3, which is false. Hence, the side containing the origin is not the solution region; the opposite side must be shaded. Since the inequality is strict (
>), the boundary line
x+y=3 is drawn dashed and is not included. Exam tip: shade the side containing a test point only when that point satisfies the inequality.
एक चर को (0) रखकर दूसरा अवरोध मिलता है। ग्राफ में दो सही बिंदु काफी होते हैं। / Put one variable as (0) to get the other intercept. Two correct points are enough for drawing the line.
B. रेखा के नीचे या रेखा सहित/below the line including the line
Explanation
Simple Explanation
जब \(y\leq\) हो तो रेखा के नीचे वाला भाग लिया जाता है। बराबरी होने से रेखा भी शामिल रहती है। / When \(y\leq\), the region below the line is taken. Equality means the line is also included.
असमानता \(y>-x+2\) में \(y\) का मान रेखा \(y=-x+2\) से अधिक होना चाहिए, इसलिए छायांकन रेखा के ऊपर होगा। ‘>’ एक कठोर असमानता है, अतः सीमा रेखा शामिल नहीं होती और उसे सामान्यतः टूटी हुई रेखा से दिखाया जाता है। नीचे का क्षेत्र \(y<-x+2\) को दर्शाता है। परीक्षा-टिप: किसी बिंदु, जैसे \((0,0)\), को जाँचकर क्षेत्र की पुष्टि की जा सकती है। / In the inequality \(y>-x+2\), the value of \(y\) must be greater than the corresponding value on the line \(y=-x+2\), so the region above the line is shaded. Since ‘>’ is a strict inequality, the boundary line is not included and is usually drawn as a dashed line. The region below the line represents \(y<-x+2\). Exam tip: Test a point, such as \((0,0)\), to confirm the correct region.
B. रेखा \(x=2\) के दाएँ और रेखा सहित/right of and including the line \(x=2\)
Explanation
Simple Explanation
असमानता \(x\geq 2\) का अर्थ है कि प्रत्येक बिंदु का \(x\)-निर्देशांक 2 या 2 से अधिक हो। सीमा रेखा \(x=2\) एक ऊर्ध्वाधर रेखा है और \(\geq\) होने के कारण यह रेखा भी हल क्षेत्र में शामिल होती है। इसलिए रेखा के दाएँ वाला क्षेत्र सही है। रेखा के बाएँ क्षेत्र में \(x<2\) होता है। परीक्षा टिप: \(x\) वाली असमानता में छायांकन बाएँ या दाएँ होता है, जबकि \(y\) वाली असमानता में ऊपर या नीचे होता है। / The inequality \(x\geq 2\) means that the \(x\)-coordinate of every point is 2 or greater than 2. The boundary \(x=2\) is a vertical line, and it is included because the sign is \(\geq\). Therefore, the region to the right of the line is correct. Points to the left have \(x<2\). Exam tip: inequalities involving \(x\) shade left or right, whereas inequalities involving \(y\) shade above or below.
असमानता की सीमा रेखा \(3x+2y=12\) होती है। बिंदु \((2,3)\) रखने पर \(3(2)+2(3)=6+6=12\) मिलता है, इसलिए यह सीमा रेखा पर स्थित है। \((3,2)\) के लिए मान \(13\) आता है, अतः वह रेखा पर नहीं है। परीक्षा टिप: सीमा रेखा के बिंदु जाँचने के लिए असमानता के चिह्न को बराबर के चिह्न से बदलें। / The boundary line of the inequality is \(3x+2y=12\). Substituting \((2,3)\) gives \(3(2)+2(3)=6+6=12\), so this point lies on the boundary line. For \((3,2)\), the value is \(13\), so it is not on the line. Exam tip: To test a boundary point, replace the inequality sign with an equality sign.
\((0,0)\) रखने पर बायाँ पक्ष \(0+3(0)=0\) मिलता है। अतः असमानता \(0\leq 9\) सत्य है। इसलिए ग्राफ में उस अर्धतल को छायांकित किया जाता है जिसमें मूल बिंदु स्थित है। विकल्प ‘असत्य’ गलत है, क्योंकि \(0\), \(9\) से छोटा है। परीक्षा टिप: किसी रैखिक असमानता में परीक्षण बिंदु रखने के बाद उसका मान सत्य हो तो उसी ओर का क्षेत्र चुनें। / Substituting \((0,0)\) gives the left-hand side as \(0+3(0)=0\). Thus, the inequality becomes \(0\leq 9\), which is true. Hence, the half-plane containing the origin is shaded in the graph. ‘False’ is incorrect because \(0\) is less than \(9\). Exam tip: After substituting a test point in a linear inequality, choose the side for which the inequality is true.
असमानता की सीमा रेखा पाने के लिए असमानता के चिह्न \(\geq\) को बराबर के चिह्न \(=\) से बदलते हैं। इसलिए सीमा रेखा \(2x-y=4\) है। \(2x-y>4\) एक असमानता है, रेखा का समीकरण नहीं। परीक्षा टिप: \(\geq\) या \(\leq\) होने पर सीमा रेखा ठोस रेखा होती है। / To obtain the boundary line of an inequality, replace the inequality sign \(\geq\) with the equality sign \(=\). Hence, the boundary line is \(2x-y=4\). The expression \(2x-y>4\) is still an inequality, not an equation of a line. Exam tip: For \(\geq\) or \(\leq\), the boundary line is drawn as a solid line.
चिन्ह \(\leq\) में बराबरी भी शामिल होती है। रेखा \(x+y=7\) पर स्थित प्रत्येक बिंदु के लिए \(x+y\) का मान 7 होता है, इसलिए ये सभी बिंदु असमता \(x+y\leq 7\) को संतुष्ट करते हैं। अतः सीमा रेखा हल-क्षेत्र में शामिल होती है और उसे ठोस रेखा से दर्शाया जाता है। केवल एक बिंदु या केवल मूल बिंदु शामिल होना गलत है। परीक्षा टिप: \(\leq\) या \(\geq\) हो तो सीमा रेखा हमेशा शामिल होती है। / The symbol \(\leq\) includes equality. At every point on the line \(x+y=7\), the value of \(x+y\) is 7, so all such points satisfy \(x+y\leq 7\). Therefore, the boundary line is included in the solution region and is drawn as a solid line. It is not limited to one point or to the origin. Exam tip: A boundary is included whenever the inequality has \(\leq\) or \(\geq\).
असमानता (x-y<1) एक कठोर असमानता है, इसलिए इसमें बराबरी का मामला शामिल नहीं होता। इसकी सीमा रेखा x-y=1 होगी, लेकिन इस रेखा पर स्थित प्रत्येक बिंदु के लिए x-y=1 होता है, जो 1 से छोटा नहीं है। अतः सीमा रेखा हल में शामिल नहीं होगी और ग्राफ में इसे सामान्यतः टूटी हुई रेखा से दिखाया जाता है। परीक्षा-युक्ति: < या > के लिए टूटी रेखा, जबकि ≤ या ≥ के लिए ठोस रेखा बनती है। / The inequality (x-y<1) is strict, so equality is not included. Its boundary line is x-y=1; every point on this line gives x-y=1, which is not less than 1. Therefore, the boundary line is excluded from the solution and is usually drawn as a dashed line. Exam tip: use a dashed line for < or >, and a solid line for ≤ or ≥.
(y=0) रखने पर (x=3), और (x=0) रखने पर (y=2) मिलता है। अवरोध ग्राफ खींचने में मदद करते हैं। / Putting (y=0) gives (x=3), and putting (x=0) gives (y=2). Intercepts help in drawing the graph.
बिंदु \((5,0)\) रखने पर \(4x+y=4(5)+0=20\) प्राप्त होता है। क्योंकि \(20>16\), इसलिए यह बिंदु \(4x+y\leq16\) असमानता को संतुष्ट नहीं करता और हल क्षेत्र में नहीं है। यह सीमा पर भी नहीं है, क्योंकि सीमा के लिए \(4x+y=16\) होना चाहिए। परीक्षा टिप: किसी बिंदु की जाँच के लिए उसके \(x\) और \(y\) मान असमानता में रखकर तुलना करें। / Substituting \((5,0)\) gives \(4x+y=4(5)+0=20\). Since \(20>16\), the point does not satisfy \(4x+y\leq16\), so it is not in the solution region. It is not on the boundary either, because boundary points satisfy \(4x+y=16\). Exam tip: Test a point by substituting its \(x\)- and \(y\)-coordinates into the inequality.
(2+2(3)=8), इसलिए बिंदु सीमा रेखा पर है और हल में शामिल है। \(\geq\) में सीमा रेखा भी आती है। / (2+2(3)=8), so the point is on the boundary line and included. The sign \(\geq\) includes the boundary line.
B. रेखा के ऊपर और रेखा सहित/above the line including the line
Explanation
Simple Explanation
असमानता \(y\geq x-1\) में \(y\) का मान रेखा \(y=x-1\) पर या उससे अधिक होना चाहिए। इसलिए रेखा के ऊपर वाला अर्ध-तल छायांकित होता है। \(\geq\) में बराबरी शामिल है, अतः सीमा रेखा ठोस खींची जाती है। रेखा के नीचे का क्षेत्र \(y<x-1\) दर्शाता है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: \(y\geq\) या \(y>\) के लिए सामान्यतः रेखा के ऊपर का क्षेत्र चुनें। / In \(y\geq x-1\), the value of \(y\) must be equal to or greater than the value on the line \(y=x-1\). Hence, the half-plane above the line is shaded. Since \(\geq\) includes equality, the boundary line is drawn solid. The region below the line represents \(y<x-1\), so it is not correct. Exam tip: for \(y\geq\) or \(y>\), generally choose the region above the line.
बिंदु \((1,3)\) के लिए \(x=1\) और \(y=3\) रखने पर \(3\leq -2(1)+6\), अर्थात \(3\leq 4\) मिलता है, जो सत्य है। इसलिए बिंदु असमानता के हल क्षेत्र में है। यह बिंदु सीमा रेखा पर नहीं है, क्योंकि \(3\neq 4\)। परीक्षा टिप: किसी बिंदु की स्थिति जाँचने के लिए उसके \(x\) और \(y\) मान असमानता में रखकर कथन सत्य या असत्य जाँचें। / For the point \((1,3)\), substitute \(x=1\) and \(y=3\): \(3\leq -2(1)+6\), i.e. \(3\leq 4\), which is true. Hence, the point lies in the solution region of the inequality. It is not on the boundary line because \(3\neq 4\). Exam tip: To test a point, substitute its \(x\)- and \(y\)-coordinates in the inequality and check whether the statement is true.
B. सीमा रेखा पर और हल में/on boundary and in solution
Explanation
Simple Explanation
मूल बिंदु \((0,0)\) रखने पर \(x+y=0+0=0\) मिलता है। यह \(x+y=0\) सीमा रेखा पर स्थित है। क्योंकि असमानता में \(\geq\) है, समानता वाली सीमा रेखा भी हल-क्षेत्र में शामिल होती है। इसलिए मूल बिंदु सीमा रेखा पर भी है और हल में भी शामिल है। परीक्षा टिप: \(\geq\) या \(\leq\) में सीमा रेखा शामिल होती है। / Substituting the origin \((0,0)\) gives \(x+y=0+0=0\). Hence, it lies on the boundary line \(x+y=0\). Since the inequality uses \(\geq\), the boundary line where equality holds is included in the solution region. Therefore, the origin is on the boundary and is also part of the solution. Exam tip: For \(\geq\) or \(\leq\), the boundary line is included.
समीकरण \(x-2y=4\) में \(y=0\) रखने पर \(x=4\), इसलिए बिंदु \((4,0)\) मिलता है। इसी प्रकार \(x=0\) रखने पर \(-2y=4\), अतः \(y=-2\) और बिंदु \((0,-2)\) मिलता है। इसलिए विकल्प A सही है। अन्य विकल्पों के बिंदु समीकरण को संतुष्ट नहीं करते। परीक्षा-युक्ति: रेखा बनाने के लिए समीकरण में क्रमशः \(x=0\) और \(y=0\) रखकर दोनों अक्ष-अवरोध ज्ञात करें। / For the equation \(x-2y=4\), putting \(y=0\) gives \(x=4\), so \((4,0)\) lies on the line. Putting \(x=0\) gives \(-2y=4\), hence \(y=-2\), so \((0,-2)\) also lies on it. Therefore, option A is correct. The points in the other options do not satisfy the equation. Exam tip: To obtain two convenient points for a line, set \(x=0\) and \(y=0\) successively to find the intercepts.
बिंदु \((0,5)\) रखने पर \(2x+5y=2(0)+5(5)=25\) प्राप्त होता है। क्योंकि \(25\leq20\) असत्य है, इसलिए यह बिंदु असमानता का हल नहीं है। सीमा रेखा पर होने के लिए मान ठीक \(20\) होना चाहिए, जबकि यहाँ मान \(25\) है। परीक्षा टिप: किसी बिंदु की जाँच के लिए उसके \(x\) और \(y\) मान सीधे असमानता में रखिए। / Substituting \((0,5)\) gives \(2x+5y=2(0)+5(5)=25\). Since \(25\leq20\) is false, the point is not a solution of the inequality. A point lies on the boundary line only when the value is exactly \(20\), but here it is \(25\). Exam tip: test a point by directly substituting its \(x\)- and \(y\)-coordinates into the inequality.
C. प्रथम चतुर्थांश और अक्षों सहित/first quadrant including axes
Explanation
Simple Explanation
\(x\geq 0\) और \(y\geq 0\) दोनों प्रथम चतुर्थांश को दर्शाते हैं। बराबरी से अक्ष भी शामिल होते हैं। / Both \(x\geq 0\) and \(y\geq 0\) represent the first quadrant. Equality includes the axes too.
असमानता \(x\leq 5\) की सीमा रेखा पाने के लिए असमानता के चिह्न को बराबर के चिह्न से बदलते हैं। इसलिए सीमा रेखा \(x=5\) है, जो एक ऊर्ध्वाधर रेखा होती है। \(x\leq 5\) के सभी बिंदु इस रेखा पर या इसके बाईं ओर होते हैं। \(y=5\) क्षैतिज रेखा है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: सीमा रेखा ज्ञात करने के लिए \(\leq\) या \(\geq\) को \(=\) से बदलें। / To find the boundary line of \(x\leq 5\), replace the inequality sign with an equality sign. Hence, the boundary line is \(x=5\), which is a vertical line. All points satisfying \(x\leq 5\) lie on this line or to its left. \(y=5\) is a horizontal line, so it is not correct. Exam tip: Replace \(\leq\) or \(\geq\) with \(=\) to obtain the boundary line.
\(y\geq -4\) की सीमा क्षैतिज रेखा (y=-4) है। \(\geq\) होने से ऊपर का भाग लिया जाता है। / The boundary of \(y\geq -4\) is the horizontal line (y=-4). Since it is \(\geq\), the region above is taken.
दोनों पक्षों को (2) से भाग देने पर \(x+y\leq 5\) मिलता है। ग्राफ से पहले सरल रूप उपयोगी होता है। / Dividing both sides by (2) gives \(x+y\leq 5\). The simplified form is useful before graphing.
\(y\)-अवरोध ज्ञात करने के लिए \(x=0\) रखें। तब \(3(0)+y=15\), इसलिए \(y=15\) मिलता है। अतः रेखा \(y\)-अक्ष को \((0,15)\) पर काटती है और \(y\)-अवरोध \(15\) है। \(5\), \(x\)-अवरोध है, क्योंकि \(y=0\) रखने पर \(x=5\) मिलता है। परीक्षा टिप: \(y\)-अवरोध के लिए हमेशा \(x=0\) रखें। / To find the \(y\)-intercept, put \(x=0\). Then \(3(0)+y=15\), so \(y=15\). Hence, the line meets the \(y\)-axis at \((0,15)\), and its \(y\)-intercept is \(15\). The value \(5\) is the \(x\)-intercept, obtained by putting \(y=0\). Exam tip: for a \(y\)-intercept, always set \(x=0\).
x-अक्ष पर किसी बिंदु के लिए y=0 होता है। इसलिए 5x+0=20, जिससे x=4 प्राप्त होता है और रेखा x-अक्ष को (4, 0) पर काटती है। अतः सही उत्तर विकल्प C है। ध्यान रखें कि x-अवरोध ज्ञात करने के लिए y का मान शून्य रखा जाता है; 5 केवल x का गुणांक है, अवरोध नहीं। / At every point on the x-axis, y=0. Substituting this in 5x+y=20 gives 5x=20, so x=4; hence the line intersects the x-axis at (4, 0). Therefore, option C is correct. Exam tip: to find the x-intercept, set y equal to zero; 5 is only the coefficient of x, not the intercept.
बिंदु \((0,0)\) रखने पर \(0+4(0)\geq 12\), अर्थात \(0\geq 12\), प्राप्त होता है, जो असत्य है। इसलिए मूल बिंदु वाले अर्धतल का छायांकन नहीं होगा; उसके विपरीत ओर का अर्धतल छायांकित होगा। सीमा रेखा \(x+4y=12\) भी शामिल होगी, क्योंकि असमानता में \(\geq\) है। परीक्षा टिप: परीक्षण बिंदु से असमानता असत्य आए तो उस बिंदु के विपरीत ओर छायांकन करें। / Substituting \((0,0)\) gives \(0+4(0)\geq 12\), i.e. \(0\geq 12\), which is false. Hence, the half-plane containing the origin is not shaded; the half-plane opposite to the origin is shaded. The boundary line \(x+4y=12\) is included because the inequality has \(\geq\). Exam tip: if a test point makes the inequality false, shade the side opposite to that point.
B. वह हल क्षेत्र नहीं है/It is not the solution region
Explanation
Simple Explanation
मूल बिंदु \((0,0)\) रखने पर \(2(0)+3(0)\geq 6\), अर्थात \(0\geq 6\) मिलता है, जो असत्य है। इसलिए मूल बिंदु वाली ओर के बिंदु इस असमानता को संतुष्ट नहीं करते और वह हल क्षेत्र नहीं है। इसके विपरीत, रेखा \(2x+3y=6\) के दूसरी ओर का क्षेत्र हल क्षेत्र होगा। परीक्षा टिप: छायांकन की दिशा तय करने के लिए मूल बिंदु को परीक्षण बिंदु के रूप में लें, यदि सीमा रेखा मूल बिंदु से न गुजरती हो। / Substituting the origin \((0,0)\) gives \(2(0)+3(0)\geq 6\), or \(0\geq 6\), which is false. Hence, points on the side containing the origin do not satisfy the inequality, so that side is not the solution region. The solution lies on the opposite side of the line \(2x+3y=6\). Exam tip: Use the origin as a test point to choose the shaded side when the boundary line does not pass through it.
A. दोनों छायांकित क्षेत्रों के प्रतिच्छेद से/intersection of both shaded regions
Explanation
Simple Explanation
दोनों असमानताओं को साथ में संतुष्ट करने वाला क्षेत्र प्रतिच्छेद होता है। परीक्षा में सामान्य छायांकित भाग पहचानें। / The region satisfying both inequalities is their intersection. In exams, identify the common shaded part.
पहले चतुर्थांश में रेखा (x+y=4) अक्षों के साथ त्रिभुज बनाती है। यह बहुत सामान्य परीक्षा पैटर्न है। / In the first quadrant, the line (x+y=4) forms a triangle with the axes. This is a very common exam pattern.
A. सीमा रेखा पर और हल में/on boundary and in solution
Explanation
Simple Explanation
बिंदु \((0,3)\) रखने पर बायाँ पक्ष \(0+2(3)=6\) प्राप्त होता है। यह असमानता के दाएँ पक्ष के बराबर है, इसलिए बिंदु सीमा रेखा \(x+2y=6\) पर स्थित है। चूँकि असमानता में \(\leq\) है, सीमा रेखा के बिंदु भी हल में शामिल होते हैं। परीक्षा टिप: \(\leq\) या \(\geq\) में समानता वाले बिंदु शामिल होते हैं, जबकि \(<\) या \(>\) में नहीं। / Substituting \((0,3)\) gives \(0+2(3)=6\). This equals the right-hand side, so the point lies on the boundary line \(x+2y=6\). Since the inequality uses \(\leq\), points on the boundary are included in the solution set. Exam tip: Boundary points are included for \(\leq\) and \(\geq\), but not for \(<\) and \(>\).
B. यह सीमा रेखा पर है, लेकिन हल में शामिल नहीं है/It lies on the boundary line but is not included in the solution
Explanation
Simple Explanation
बिंदु (0,3) रखने पर x+2y=0+2(3)=6 प्राप्त होता है। अतः यह सीमा रेखा x+2y=6 पर स्थित है। दी गई असमानता में < है, इसलिए बराबरी वाला बिंदु हल क्षेत्र में शामिल नहीं होता। विकल्प C गलत है क्योंकि उसके लिए मान 6 से छोटा होना चाहिए। परीक्षा टिप: किसी बिंदु को जाँचने के लिए उसके निर्देशांक असमानता में रखकर प्राप्त मान की तुलना करें। / Substituting (0,3) gives x+2y=0+2(3)=6. Hence, the point lies on the boundary line x+2y=6. Since the inequality uses <, a point giving equality is not included in the solution region. Option C is incorrect because it would require the value to be less than 6. Exam tip: Test a point by substituting its coordinates into the inequality and comparing the result.
सीमा रेखा (y=5-x) है, जिसका ढाल ऋणात्मक है। ग्राफ में रेखा दाईं ओर नीचे जाती है। / The boundary line is (y=5-x), whose slope is negative. On the graph, the line goes down to the right.
असमानता \(y\geq 2x-3\) में बराबर का चिह्न भी शामिल है। इसलिए सीमा रेखा \(y=2x-3\) के बिंदु हल क्षेत्र में सम्मिलित होते हैं और इसे सतत रेखा से दर्शाया जाता है। बिंदीदार रेखा केवल \(>\) या \(<\) जैसी कठोर असमानताओं के लिए बनाई जाती है। परीक्षा टिप: \(\leq\) और \(\geq\) के लिए सतत रेखा याद रखें। / In \(y\geq 2x-3\), the equality sign is included. Hence, the points on the boundary line \(y=2x-3\) are part of the solution region, so it is drawn as a solid line. A dotted line is used only for strict inequalities such as \(>\) or \(<\). Exam tip: use a solid line for \(\leq\) and \(\geq\).
\(x-y\leq 2\) से \(-y\leq 2-x\), इसलिए \(y\geq x-2\) मिलता है। ऋणात्मक से भाग देने पर चिन्ह बदलता है। / From \(x-y\leq 2\), \(-y\leq 2-x\), so \(y\geq x-2\). The sign changes when dividing by a negative number.
बिंदु \((1,2)\) रखने पर \(3(1)+2=5\) प्राप्त होता है। क्योंकि \(5\leq 9\) सत्य है, इसलिए \((1,2)\) असमानता के हल क्षेत्र में है। यह सीमा रेखा पर नहीं है, क्योंकि सीमा रेखा के लिए \(3x+y=9\) होना चाहिए। परीक्षा टिप: किसी बिंदु को हल क्षेत्र में जाँचने के लिए उसके निर्देशांक असमानता में रखकर कथन की सत्यता जाँचें। / Substituting \((1,2)\) gives \(3(1)+2=5\). Since \(5\leq 9\) is true, \((1,2)\) belongs to the solution set of the inequality. It is not on the boundary line, because points on the boundary must satisfy \(3x+y=9\). Exam tip: To test a point, substitute its coordinates into the inequality and check whether the result is true.
बिंदु \((3,2)\) रखने पर \(3(3)+2=11\) मिलता है। क्योंकि \(11\leq 9\) असत्य है, इसलिए यह बिंदु असमानता का हल नहीं है। यह सीमा पर भी नहीं है, क्योंकि सीमा के लिए \(3x+y=9\) होना चाहिए। परीक्षा टिप: किसी बिंदु को जाँचने के लिए उसके \(x\) और \(y\) मान असमानता में रखकर कथन सत्य या असत्य जाँचें। / Substituting \((3,2)\) gives \(3(3)+2=11\). Since \(11\leq 9\) is false, the point is not in the solution set of the inequality. It is not on the boundary either, because a boundary point must satisfy \(3x+y=9\). Exam tip: Test a point by substituting its \(x\)- and \(y\)-coordinates into the inequality and checking whether the statement is true.
B. बाएँ आधे समतल और ऊर्ध्वाधर अक्ष को/left half-plane including vertical axis
Explanation
Simple Explanation
\(x\leq 0\) में (x) शून्य या ऋणात्मक होता है। इसलिए ऊर्ध्वाधर अक्ष सहित बायाँ भाग लिया जाता है। / In \(x\leq 0\), (x) is zero or negative. So the left part including the vertical axis is taken.
A. ऊपरी आधे समतल और क्षैतिज अक्ष को/upper half-plane including horizontal axis
Explanation
Simple Explanation
\(y\geq 0\) में (y) शून्य या धनात्मक है। इसलिए क्षैतिज अक्ष सहित ऊपर का क्षेत्र मिलता है। / In \(y\geq 0\), (y) is zero or positive. So the region above including the horizontal axis is obtained.
दी गई असमानता की सीमा रेखा \(x+5y=10\) होगी। \(x\)-अवरोध के लिए \(y=0\) रखने पर \(x=10\) मिलता है, इसलिए बिंदु \((10,0)\) है। \(y\)-अवरोध के लिए \(x=0\) रखने पर \(5y=10\), अर्थात \(y=2\) मिलता है, इसलिए बिंदु \((0,2)\) है। विकल्प B में अवरोधों के मान आपस में गलत हैं। परीक्षा टिप: सीमा रेखा के अवरोध ज्ञात करने के लिए बारी-बारी से एक चर को शून्य रखें। / The boundary line of the given inequality is \(x+5y=10\). For the \(x\)-intercept, put \(y=0\); this gives \(x=10\), so the point is \((10,0)\). For the \(y\)-intercept, put \(x=0\); then \(5y=10\), so \(y=2\) and the point is \((0,2)\). Option B incorrectly interchanges the intercept values. Exam tip: To find intercepts of a line, set one variable to zero at a time.
असमानता के दोनों पक्षों को धनात्मक संख्या \(2\) से भाग देने पर \(6x/2+2y/2\geq 12/2\), अर्थात \(3x+y\geq 6\) मिलता है। धनात्मक संख्या से भाग देने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता। विकल्प B में चिह्न गलत दिशा में है। परीक्षा टिप: असमानता को सरल करते समय जाँचें कि जिस संख्या से गुणा या भाग किया जा रहा है, वह ऋणात्मक तो नहीं है; केवल ऋणात्मक संख्या के लिए चिह्न उलटता है। / Dividing both sides of the inequality by the positive number \(2\) gives \(6x/2+2y/2\geq 12/2\), i.e., \(3x+y\geq 6\). The inequality sign does not change when dividing by a positive number. Option B incorrectly reverses the sign. Exam tip: Check whether the number used for multiplication or division is negative; the inequality sign reverses only for a negative number.
A. प्रथम चतुर्थांश में सीमा रेखा के नीचे/in first quadrant below the boundary line
Explanation
Simple Explanation
\(x\geq 0\) और \(y\geq 0\) प्रथम चतुर्थांश देते हैं। \(2x+y\leq 4\) रेखा के नीचे का भाग चुनता है। / \(x\geq 0\) and \(y\geq 0\) give the first quadrant. \(2x+y\leq 4\) selects the part below the line.
किसी बिंदु के हल क्षेत्र में होने के लिए उसके निर्देशांकों को असमानता x+2y>4 में रखने पर परिणाम 4 से बड़ा होना चाहिए। विकल्प D के लिए 1+2(3)=7, और 7>4 है, इसलिए (1,3) हल क्षेत्र में है। विकल्प B में 1+2(1)=3 आता है, जो 4 से बड़ा नहीं है। परीक्षा टिप: सख्त असमानता > में सीमा रेखा के बिंदु शामिल नहीं होते। / A point lies in the solution region if substituting its coordinates into x+2y>4 gives a value greater than 4. For option D, 1+2(3)=7, and 7>4, so (1,3) lies in the solution region. For option B, 1+2(1)=3, which is not greater than 4. Exam tip: For the strict inequality >, points on the boundary line are not included.
असमानता की सीमा रेखा \(4x+3y=12\) होगी। x-अवरोध के लिए \(y=0\) रखने पर \(4x=12\), अतः \(x=3\) मिलता है, यानी बिंदु \((3,0)\)। y-अवरोध के लिए \(x=0\) रखने पर \(3y=12\), अतः \(y=4\), यानी बिंदु \((0,4)\)। विकल्प B में अवरोधों के मान आपस में बदल दिए गए हैं। परीक्षा टिप: अक्षीय अवरोध निकालते समय दूसरे चर को शून्य रखें। / The boundary line of the inequality is \(4x+3y=12\). For the x-intercept, put \(y=0\): \(4x=12\), so \(x=3\), giving \((3,0)\). For the y-intercept, put \(x=0\): \(3y=12\), so \(y=4\), giving \((0,4)\). In option B, the intercept values have been interchanged. Exam tip: to find an intercept on one axis, set the other variable equal to zero.
\(-3y\geq 6-x\) से \(y\leq \frac{x-6}{3}\) मिलता है। ऋणात्मक संख्या से भाग देने पर असमानता का चिन्ह बदलता है। / From \(-3y\geq 6-x\), we get \(y\leq \frac{x-6}{3}\). The inequality sign changes when dividing by a negative number.
A. मूल बिंदु वाली ओर छायांकन होगा/shade the side containing the origin
Explanation
Simple Explanation
मूल बिंदु रखने पर \(0\leq \frac{0}{2}+2\), अर्थात \(0\leq 2\), प्राप्त होता है, जो सत्य है। इसलिए मूल बिंदु जिस ओर है, उसी ओर का अर्ध-तल हल क्षेत्र होगा। \(\leq\) होने के कारण सीमा रेखा भी हल में शामिल रहती है; वह हटाई नहीं जाती। परीक्षा टिप: किसी बिंदु को असमानता में रखने पर सत्य परिणाम मिले तो उस बिंदु वाली ओर छायांकन करें। / Substituting the origin gives \(0\leq \frac{0}{2}+2\), i.e., \(0\leq 2\), which is true. Therefore, the half-plane on the side containing the origin is the solution region. Since the sign is \(\leq\), the boundary line is also included; it is not removed. Exam tip: if a test point makes an inequality true, shade the side containing that point.
C. यह सीमा रेखा पर है, लेकिन हल में शामिल नहीं है/It lies on the boundary line but is not included in the solution
Explanation
Simple Explanation
बिंदु
(4,2) रखने पर
\(2(4)+2=10\) मिलता है। अतः बिंदु सीमा रेखा \(2x+y=10\) पर स्थित है। दी गई असमानता में \(>\) है, जिसमें बराबरी शामिल नहीं होती; इसलिए यह बिंदु हल क्षेत्र में शामिल नहीं है। निकट विकल्प B गलत है क्योंकि वह बराबरी को शामिल मानता है। परीक्षा टिप: कठोर असमानताओं \(>\) और \(<\) में सीमा रेखा बिंदुओं को हल में नहीं लेते हैं। / Substituting
(4,2) gives
\(2(4)+2=10\). Hence, the point lies on the boundary line \(2x+y=10\). Since the inequality uses \(>\), equality is not included, so this point is not part of the solution region. Option B is incorrect because it includes equality. Exam tip: For strict inequalities, \(>\) and \(<\), points on the boundary line are excluded.
B. रेखा (x=1) के दाएँ और (y=2) के ऊपर/right of (x=1) and above (y=2)
Explanation
Simple Explanation
\(x\geq 1\) दाईं ओर और \(y\geq 2\) ऊपर का क्षेत्र देता है। दोनों का सामान्य भाग ही संयुक्त हल है। / \(x\geq 1\) gives the region to the right and \(y\geq 2\) gives the region above. Their common part is the combined solution.
A. बिंदु \((0,1)\) वाली ओर/the side containing \((0,1)\)
Explanation
Simple Explanation
बिंदु \((0,1)\) रखने पर \(2(0)-1=-1\) मिलता है और \(-1\leq 0\) सत्य है। इसलिए \((0,1)\) जिस अर्ध-तल में है, उसी ओर छायांकन होगा। सीमा रेखा \(2x-y=0\) भी शामिल होगी, क्योंकि असमानता में \(\leq\) है। परीक्षा टिप: परीक्षण बिंदु रखने पर असमानता सत्य आए तो उस बिंदु वाली ओर छायांकन करें। / Substituting \((0,1)\) gives \(2(0)-1=-1\), and \(-1\leq 0\) is true. Therefore, the half-plane containing \((0,1)\) is shaded. The boundary line \(2x-y=0\) is also included because the inequality contains \(\leq\). Exam tip: if a test point satisfies the inequality, shade the side containing that point.
बिंदु \((1,2)\) के लिए \(x+y=1+2=3\) है और \(3\leq5\) सत्य है, इसलिए यह हल-क्षेत्र में स्थित है। इसके विपरीत, निकटतम विकल्प \((3,3)\) के लिए \(x+y=6\) होता है, जो 5 से अधिक है। परीक्षा टिप: किसी बिंदु के हल-क्षेत्र में होने की जाँच के लिए उसके \(x\) और \(y\) मान असमानता में रखिए। / For \((1,2)\), \(x+y=1+2=3\), and \(3\leq5\) is true. Hence, this point lies in the solution region. In contrast, the closest distractor \((3,3)\) gives \(x+y=6\), which is greater than 5. Exam tip: Substitute the coordinates of a point into the inequality to test whether it belongs to the solution region.
((2,3)) रखने पर (2+6>8) अर्थात (8>8) नहीं, इसलिए ध्यान दें। सही जाँच में कोई बराबरी नहीं चाहिए। / Substitution must make the expression strictly greater than (8). Here no equality is allowed in a strict inequality.
((2,4)) रखने पर (2+8>8) सत्य है। कठोर असमानता में बराबर वाला बिंदु न चुनें। / Substituting ((2,4)) gives (2+8>8), which is true. Do not choose an equal boundary point in a strict inequality.
बिंदु \((3,1)\) को असमानता में रखने पर \(2(3)+1=7\) प्राप्त होता है। चूँकि \(7\leq 7\) सत्य है, इसलिए बिंदु असमानता के हल-क्षेत्र में है। यह सीमा रेखा \(2x+y=7\) पर स्थित है और \(\leq\) होने के कारण सीमा रेखा भी हल में शामिल होती है। विकल्प C गलत है क्योंकि बिंदु किसी अक्ष पर नहीं है। परीक्षा टिप: किसी बिंदु की जाँच के लिए उसके \(x\) और \(y\) मान सीधे असमानता में रखिए। / Substituting \((3,1)\) into the inequality gives \(2(3)+1=7\). Since \(7\leq 7\) is true, the point belongs to the solution region. It lies on the boundary line \(2x+y=7\), and the boundary is included because the inequality contains \(\leq\). Option C is incorrect because the point does not lie on either axis. Exam tip: Test a point by directly substituting its coordinates into the inequality.
असमानता में \(\leq\) या \(\geq\) होने पर बराबरी का मामला भी स्वीकार्य होता है। इसलिए \(2x+y=9\) वाली सीमा रेखा हल-क्षेत्र में शामिल होती है और उसे ठोस रेखा से दर्शाते हैं। \(<\) तथा \(>\) में सीमा रेखा शामिल नहीं होती; उन्हें सामान्यतः बिंदीदार रेखा से दिखाया जाता है। परीक्षा टिप: चिह्न में बराबरी की रेखा हो तो सीमा रेखा ठोस बनाइए। / With \(\leq\) or \(\geq\), equality is allowed. Hence the boundary line \(2x+y=9\) is included in the solution region and is drawn as a solid line. For \(<\) and \(>\), the boundary line is excluded and is usually drawn dashed. Exam tip: if the inequality sign contains an equality bar, draw a solid boundary line.
विकल्प D में कठोर असमानता \(<\) है। ऐसी असमानता में सीमा रेखा \(y=x+2\) के बिंदु हल-क्षेत्र में शामिल नहीं होते, इसलिए उसे टूटी हुई रेखा से दर्शाते हैं। इसके विपरीत \(\leq\) या \(\geq\) में सीमा रेखा शामिल होती है और ठोस रेखा बनाई जाती है। परीक्षा टिप: \(<\) और \(>\) के लिए हमेशा टूटी हुई सीमा रेखा बनाइए। / Option D uses the strict inequality \(<\). The points on the boundary line \(y=x+2\) are not part of its solution region, so the boundary is drawn as a dashed line. In contrast, \(\leq\) and \(\geq\) include the boundary and require a solid line. Exam tip: use a dashed boundary for \(<\) and \(>\).
मूल बिंदु के लिए \(x=0\) और \(y=0\) रखते हैं। तब \(x+y\leq 1\) से \(0+0\leq 1\), अर्थात \(0\leq 1\), प्राप्त होता है, जो सत्य है। इसलिए मूल बिंदु असमानता के हल क्षेत्र में है। \(1\leq 0\) सत्य नहीं है और यह प्रतिस्थापन से भी प्राप्त नहीं होता। परीक्षा टिप: किसी बिंदु के हल क्षेत्र में होने की जाँच के लिए उसके निर्देशांक असमानता में रखिए। / For the origin, substitute \(x=0\) and \(y=0\). Then \(x+y\leq 1\) becomes \(0+0\leq 1\), i.e., \(0\leq 1\), which is true. Therefore, the origin lies in the solution region of the inequality. \(1\leq 0\) is false and does not result from the substitution. Exam tip: To check whether a point belongs to a solution region, substitute its coordinates in the inequality.
मूल बिंदु \((0,0)\) रखने पर \(x+y=0+0=0\) मिलता है। क्योंकि \(0\geq -3\) सत्य है, इसलिए मूल बिंदु असमानता के हल-क्षेत्र में शामिल है। यह केवल सीमा पर नहीं है, क्योंकि सीमा रेखा \(x+y=-3\) है और मूल बिंदु के लिए योग 0 है। परीक्षा टिप: किसी बिंदु के हल-क्षेत्र में होने की जाँच के लिए उसके निर्देशांक असमानता में रखकर सत्यता जाँचें। / Substituting the origin \((0,0)\) gives \(x+y=0+0=0\). Since \(0\geq -3\) is true, the origin belongs to the solution region of the inequality. It is not only on the boundary, because the boundary line is \(x+y=-3\), whereas the sum at the origin is 0. Exam tip: To test whether a point lies in a solution region, substitute its coordinates into the inequality and check whether it is true.
मूल बिंदु \((0,0)\) रखने पर \(x-y\leq 2\) से \(0-0\leq 2\), अर्थात \(0\leq 2\) प्राप्त होता है। यह सत्य है, इसलिए मूल बिंदु उस अर्ध-तल में स्थित है जो असमानता को संतुष्ट करता है। विकल्प B में इसी सत्य कथन को असत्य कहा गया है। परीक्षा टिप: ग्राफ में उस ओर छायांकन करें जिसमें कोई परीक्षण बिंदु असमानता को सत्य बनाता हो। / Substituting the origin \((0,0)\) into \(x-y\leq 2\) gives \(0-0\leq 2\), i.e. \(0\leq 2\). This is true, so the origin lies in the half-plane that satisfies the inequality. Option B incorrectly calls this true statement false. Exam tip: shade the side of the boundary line for which a test point satisfies the inequality.
B. मूल बिंदु हल में नहीं है/Origin is not in solution
Explanation
Simple Explanation
मूल बिंदु \((0,0)\) रखने पर \(0-0\geq 2\), अर्थात \(0\geq 2\), प्राप्त होता है, जो असत्य है। इसलिए मूल बिंदु असमानता के हल क्षेत्र में नहीं है और मूल बिंदु वाला पक्ष छायांकित नहीं किया जाएगा। सीमा रेखा \(x-y=2\) फिर भी बनेगी। परीक्षा टिप: परीक्षण बिंदु रखने के बाद कथन सत्य हो तो उसका पक्ष, और असत्य हो तो दूसरा पक्ष चुनें। / Substituting the origin \((0,0)\) gives \(0-0\geq 2\), i.e. \(0\geq 2\), which is false. Therefore, the origin is not in the solution region, so the side containing the origin is not shaded. The boundary line \(x-y=2\) still exists. Exam tip: if the test point makes the inequality true, choose its side; if false, choose the opposite side.
असमानता \(x+2y\leq 6\) में बराबरी का चिह्न भी शामिल है। इसलिए सीमा रेखा \(x+2y=6\) पर स्थित बिंदु हल-क्षेत्र में आते हैं और इसे ठोस रेखा से दर्शाया जाता है। टूटी हुई रेखा केवल \(<\) या \(>\) जैसी कठोर असमानताओं के लिए बनाई जाती है। परीक्षा टिप: \(\leq\) या \(\geq\) दिखे तो सीमा रेखा ठोस बनाइए। / The inequality \(x+2y\leq 6\) includes equality. Hence, the points on the boundary line \(x+2y=6\) belong to the solution region, so the boundary is drawn as a solid line. A dashed line is used only for strict inequalities such as \(<\) or \(>\). Exam tip: draw a solid boundary whenever \(\leq\) or \(\geq\) appears.
B. रेखा टूटी हुई होगी/The boundary line will be dashed
Explanation
Simple Explanation
असमानता x+2y>6 की सीमा रेखा x+2y=6 है। क्योंकि चिह्न > है, इसलिए रेखा पर स्थित बिंदु हल-क्षेत्र में शामिल नहीं होते। अतः सीमा रेखा टूटी हुई खींची जाती है। ठोस रेखा केवल ≥ या ≤ वाली असमानताओं में बनती है। परीक्षा टिप: पहले असमानता को बराबर करके सीमा रेखा बनाइए, फिर चिह्न देखकर ठोस या टूटी रेखा चुनिए। / The boundary line for x+2y>6 is x+2y=6. Since the inequality sign is >, points on this line are not included in the solution region. Therefore, the boundary line is drawn dashed. A solid line is used only for inequalities containing ≥ or ≤. Exam tip: First replace the inequality sign with = to obtain the boundary line, then use the sign to decide whether the line is solid or dashed.
रेखा \(y=4\) एक क्षैतिज रेखा है। इसके नीचे स्थित प्रत्येक बिंदु के लिए \(y\)-निर्देशांक 4 से कम या 4 के बराबर होता है, इसलिए \(y \leq 4\) सही असमानता है। \(y<4\) भी केवल रेखा के नीचे का भाग देता, लेकिन उसमें स्वयं रेखा शामिल नहीं होती; \(\leq\) रेखा को भी शामिल करता है। परीक्षा टिप: क्षैतिज रेखा \(y=a\) के नीचे के क्षेत्र के लिए \(y\leq a\) लिखते हैं। / The line \(y=4\) is horizontal. For every point on or below it, the \(y\)-coordinate is less than or equal to 4, so \(y \leq 4\) is correct. Although \(y<4\) would represent only the region strictly below the line, it would not include the line itself; \(\leq\) includes the boundary line. Exam tip: For the region below a horizontal line \(y=a\), use \(y\leq a\).
रेखा \(x=-2\) एक ऊर्ध्वाधर रेखा है। इसके दाईं ओर स्थित प्रत्येक बिंदु का \(x\)-निर्देशांक \(-2\) से अधिक होता है, इसलिए हल-क्षेत्र \(x>-2\) होगा। \(x<-2\) रेखा के बाईं ओर का क्षेत्र दर्शाता है, जबकि \(y\) वाली असमानताएँ क्षैतिज क्षेत्रों को दर्शाती हैं। परीक्षा टिप: ऊर्ध्वाधर रेखा \(x=a\) के दाईं ओर के लिए \(x>a\) लिखें। / The line \(x=-2\) is vertical. Every point to its right has an \(x\)-coordinate greater than \(-2\), so the required solution region is \(x>-2\). The inequality \(x<-2\) represents the region to the left, whereas inequalities involving \(y\) represent horizontal regions. Exam tip: for the region to the right of \(x=a\), write \(x>a\).
बिंदु \((2,1)\) के लिए \(x+2y=2+2(1)=4\) प्राप्त होता है, इसलिए यह रेखा \(x+2y=4\) पर स्थित है। विकल्प \((0,1)\) में बायाँ पक्ष \(2\) आता है, इसलिए वह रेखा पर नहीं है। परीक्षा टिप: किसी बिंदु के रेखा पर होने की जाँच के लिए उसके \(x\) और \(y\) मान समीकरण में रखकर दोनों पक्षों की बराबरी जाँचें। / For the point \((2,1)\), \(x+2y=2+2(1)=4\), so it satisfies the equation \(x+2y=4\) and lies on the line. For \((0,1)\), the left-hand side is \(2\), not \(4\), so it does not lie on the line. Exam tip: Substitute the coordinates in the line equation; a point lies on the line only when the equality is satisfied.
A. सीमा रेखा बिंदीदार खींची जाती है और उसके बिंदु हल में शामिल नहीं होते।/The boundary line is drawn dashed, and its points are not included in the solution.
Explanation
Simple Explanation
‘>’ कठोर असमता है; अतः \(x+2y=6\) के बिंदु हल में नहीं आते और रेखा बिंदीदार होती है। परीक्षा में \((0,0)\) जाँचकर सही पक्ष चुनें; ठोस रेखा \(\ge,\le\) के लिए है। / Since ‘>’ is strict, points on \(x+2y=6\) are excluded, so the boundary is dashed. In exams, test \((0,0)\) to choose the side; a solid line is used for \(\ge\) or \(\le\).
A. हल में है और सीमा पर है/In solution and on boundary
Explanation
Simple Explanation
बिंदु \((8,0)\) रखने पर \(x+y=8+0=8\) मिलता है, इसलिए \(8\leq 8\) सत्य है। अतः यह बिंदु हल-क्षेत्र में शामिल है। क्योंकि यहाँ बराबरी प्राप्त होती है, बिंदु सीमा रेखा \(x+y=8\) पर स्थित है। विकल्प B गलत है क्योंकि असमानता संतुष्ट हो रही है। परीक्षा टिप: \(\leq\) या \(\geq\) में बराबरी वाले बिंदु भी हल-क्षेत्र में आते हैं। / Substituting \((8,0)\) gives \(x+y=8+0=8\), so \(8\leq 8\) is true. Therefore, the point belongs to the solution region. Since equality holds, it lies on the boundary line \(x+y=8\). Option B is incorrect because the inequality is satisfied. Exam tip: For \(\leq\) or \(\geq\), points giving equality are included in the solution set.
मूलबिंदु \((0,0)\) रखने पर \(0\leq4\) सत्य है, इसलिए आवश्यक भाग \(x+y=4\) के मूलबिंदु वाले पक्ष में होगा। सीमा रेखा भी शामिल है, अतः \(\leq\) लगेगा; \(<\) में रेखा शामिल नहीं होती। परीक्षा टिप: पहले दिए गए बिंदु को असमानता में जाँचें। / Substituting the origin \((0,0)\) gives \(0\leq4\), so the required region lies on the origin side of \(x+y=4\). Since the boundary is included, the sign must be \(\leq\); \(<\) excludes the line. Exam tip: test the given point first.
सीमा रेखा पाने के लिए असमानता को \(2x+3y=12\) लिखते हैं। \(y\)-अंतःखंड पर \(x=0\) होता है। अतः \(3y=12\), इसलिए \(y=4\)। इसलिए सही विकल्प 4 है। \(x\)-अंतःखंड ज्ञात करने के लिए \(y=0\) रखा जाता है, इसलिए उसे \(y\)-अंतःखंड से न मिलाएँ। परीक्षा टिप: किसी रेखा का \(y\)-अंतःखंड निकालने के लिए हमेशा \(x=0\) रखें। / To obtain the boundary line, write the inequality as \(2x+3y=12\). At the \(y\)-intercept, \(x=0\). Thus, \(3y=12\), so \(y=4\). Therefore, option 4 is correct. Setting \(y=0\) gives the \(x\)-intercept, not the \(y\)-intercept. Exam tip: always set \(x=0\) to find a line's \(y\)-intercept.
((6,7)) रखने पर \(13\leq 10\) असत्य है। बाहर वाला बिंदु असमानता को संतुष्ट नहीं करता। / Substituting ((6,7)) gives \(13\leq 10\), which is false. An outside point does not satisfy the inequality.
A. हल-क्षेत्र के भीतर, सीमा रेखा पर नहीं/Inside the solution region, not on the boundary line
Explanation
Simple Explanation
बिंदु \((2,5)\) के लिए \(x=2\) और \(y=5\) रखने पर \(5\geq2\) सत्य मिलता है। अतः यह बिंदु असमानता के हल-क्षेत्र में है। क्योंकि \(5>2\) है, यह सीमा रेखा \(y=x\) पर नहीं, बल्कि उसके ऊपर स्थित है। परीक्षा टिप: किसी बिंदु की स्थिति जाँचने के लिए उसके \(x\) और \(y\) मानों को सीधे असमानता में रखिए। / For the point \((2,5)\), substitute \(x=2\) and \(y=5\). Since \(5\geq2\) is true, the point belongs to the solution region. As \(5>2\), it is not on the boundary line \(y=x\); it lies above it. Exam tip: To test a point, substitute its \(x\)- and \(y\)-coordinates directly into the inequality.
\(-y\leq 4-2x\) में (-1) से भाग देने पर चिह्न बदलता है। परीक्षा में ऋणात्मक से गुणा या भाग करते समय चिह्न जरूर बदलें। / In \(-y\leq 4-2x\), dividing by (-1) reverses the sign. In exams, always reverse the sign when multiplying or dividing by a negative number.
सीमा रेखा के लिए असमानता चिह्न को बराबर में बदलते हैं। (<) होने से रेखा टूटी हुई बनेगी। / For the boundary line, replace the inequality sign with equality. Since the sign is (<), the line will be dashed.
बिंदु \((2,1)\) रखने पर \(1\leq -2+3=1\) मिलता है, जो सत्य है। इसलिए यह बिंदु हल-क्षेत्र में है और सीमा रेखा पर स्थित है। \((1,4)\) के लिए \(4\leq 2\) असत्य है, इसलिए वह हल नहीं है। परीक्षा टिप: किसी बिंदु के \(x\) और \(y\) मान असमानता में रखकर उसकी सत्यता जाँचें। / Substituting \((2,1)\) gives \(1\leq -2+3=1\), which is true. Hence, the point lies in the solution region and is on the boundary line. For \((1,4)\), \(4\leq 2\) is false, so it is not a solution. Exam tip: Substitute the coordinates of a point into the inequality to test whether it belongs to the region.
C. मूल बिंदु हल-क्षेत्र में नहीं है/The origin is not in the solution region
Explanation
Simple Explanation
((0,0)) रखने पर (0>1) असत्य है। इसलिए मूल बिंदु वाले पक्ष को छायांकित नहीं करेंगे। / Substituting ((0,0)) gives (0>1), which is false. Therefore, the side containing the origin is not shaded.
चिह्न \(\leq\) होने पर सीमा रेखा भी हल में आती है। परीक्षा में पहले सीमा रेखा का प्रकार देखें। / For \(\leq\), the boundary line is included in the solution. In exams, first check the boundary line type.
सीमा रेखा \(x=5\) एक ऊर्ध्वाधर रेखा है। \(x\leq 5\) का अर्थ है कि x-निर्देशांक 5 से कम या उसके बराबर होना चाहिए, इसलिए हल-क्षेत्र रेखा के बाईं ओर होगा और सीमा रेखा भी इसमें शामिल होगी। दाईं ओर का क्षेत्र \(x>5\) को दर्शाता है। परीक्षा-युक्ति: ऊर्ध्वाधर रेखा \(x=a\) में \(x\leq a\) के लिए बाईं ओर और \(x\geq a\) के लिए दाईं ओर छायांकन करें। / The boundary line \(x=5\) is vertical. The inequality \(x\leq 5\) requires the x-coordinate to be 5 or less, so the solution region lies to the left of the line and includes the boundary. The right side represents \(x>5\). Exam tip: for a vertical line \(x=a\), shade left for \(x\leq a\) and right for \(x\geq a\).
सीमा रेखा पाने के लिए असमानता चिह्न को बराबर में बदलते हैं। यही आलेख की पहली रेखा होती है। / To get the boundary line, replace the inequality sign by equality. This is the first line drawn in the graph.
B. मूल बिंदु के विपरीत वाला अर्ध-समतल/The half-plane opposite the origin
Explanation
Simple Explanation
मूल बिंदु \((0,0)\) रखने पर \(0+0\ge 9\), अर्थात् \(0\ge 9\), असत्य प्राप्त होता है। इसलिए मूल बिंदु वाला अर्ध-समतल असमानता को संतुष्ट नहीं करता और उसके विपरीत अर्ध-समतल को छायांकित किया जाता है। परीक्षा-युक्ति: \(\ge\) या \(\le\) वाली असमानता में सीमा रेखा भी शामिल होती है, इसलिए उसे ठोस रेखा से दर्शाएँ। / Substituting the origin \((0,0)\) gives \(0+0\ge 9\), or \(0\ge 9\), which is false. Therefore, the half-plane containing the origin does not satisfy the inequality, so the opposite half-plane is shaded. Exam tip: For an inequality with \(\ge\) or \(\le\), the boundary line is included and should be drawn as a solid line.
