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बिंदु \((1,2)\) के लिए \(x+y=1+2=3\) है और \(3\leq5\) सत्य है, इसलिए यह हल-क्षेत्र में स्थित है। इसके विपरीत, निकटतम विकल्प \((3,3)\) के लिए \(x+y=6\) होता है, जो 5 से अधिक है। परीक्षा टिप: किसी बिंदु के हल-क्षेत्र में होने की जाँच के लिए उसके \(x\) और \(y\) मान असमानता में रखिए। / For \((1,2)\), \(x+y=1+2=3\), and \(3\leq5\) is true. Hence, this point lies in the solution region. In contrast, the closest distractor \((3,3)\) gives \(x+y=6\), which is greater than 5. Exam tip: Substitute the coordinates of a point into the inequality to test whether it belongs to the solution region.
((2,3)) रखने पर (2+6>8) अर्थात (8>8) नहीं, इसलिए ध्यान दें। सही जाँच में कोई बराबरी नहीं चाहिए। / Substitution must make the expression strictly greater than (8). Here no equality is allowed in a strict inequality.
((2,4)) रखने पर (2+8>8) सत्य है। कठोर असमानता में बराबर वाला बिंदु न चुनें। / Substituting ((2,4)) gives (2+8>8), which is true. Do not choose an equal boundary point in a strict inequality.
बिंदु \((3,1)\) को असमानता में रखने पर \(2(3)+1=7\) प्राप्त होता है। चूँकि \(7\leq 7\) सत्य है, इसलिए बिंदु असमानता के हल-क्षेत्र में है। यह सीमा रेखा \(2x+y=7\) पर स्थित है और \(\leq\) होने के कारण सीमा रेखा भी हल में शामिल होती है। विकल्प C गलत है क्योंकि बिंदु किसी अक्ष पर नहीं है। परीक्षा टिप: किसी बिंदु की जाँच के लिए उसके \(x\) और \(y\) मान सीधे असमानता में रखिए। / Substituting \((3,1)\) into the inequality gives \(2(3)+1=7\). Since \(7\leq 7\) is true, the point belongs to the solution region. It lies on the boundary line \(2x+y=7\), and the boundary is included because the inequality contains \(\leq\). Option C is incorrect because the point does not lie on either axis. Exam tip: Test a point by directly substituting its coordinates into the inequality.
असमानता में \(\leq\) या \(\geq\) होने पर बराबरी का मामला भी स्वीकार्य होता है। इसलिए \(2x+y=9\) वाली सीमा रेखा हल-क्षेत्र में शामिल होती है और उसे ठोस रेखा से दर्शाते हैं। \(<\) तथा \(>\) में सीमा रेखा शामिल नहीं होती; उन्हें सामान्यतः बिंदीदार रेखा से दिखाया जाता है। परीक्षा टिप: चिह्न में बराबरी की रेखा हो तो सीमा रेखा ठोस बनाइए। / With \(\leq\) or \(\geq\), equality is allowed. Hence the boundary line \(2x+y=9\) is included in the solution region and is drawn as a solid line. For \(<\) and \(>\), the boundary line is excluded and is usually drawn dashed. Exam tip: if the inequality sign contains an equality bar, draw a solid boundary line.
विकल्प D में कठोर असमानता \(<\) है। ऐसी असमानता में सीमा रेखा \(y=x+2\) के बिंदु हल-क्षेत्र में शामिल नहीं होते, इसलिए उसे टूटी हुई रेखा से दर्शाते हैं। इसके विपरीत \(\leq\) या \(\geq\) में सीमा रेखा शामिल होती है और ठोस रेखा बनाई जाती है। परीक्षा टिप: \(<\) और \(>\) के लिए हमेशा टूटी हुई सीमा रेखा बनाइए। / Option D uses the strict inequality \(<\). The points on the boundary line \(y=x+2\) are not part of its solution region, so the boundary is drawn as a dashed line. In contrast, \(\leq\) and \(\geq\) include the boundary and require a solid line. Exam tip: use a dashed boundary for \(<\) and \(>\).
मूल बिंदु के लिए \(x=0\) और \(y=0\) रखते हैं। तब \(x+y\leq 1\) से \(0+0\leq 1\), अर्थात \(0\leq 1\), प्राप्त होता है, जो सत्य है। इसलिए मूल बिंदु असमानता के हल क्षेत्र में है। \(1\leq 0\) सत्य नहीं है और यह प्रतिस्थापन से भी प्राप्त नहीं होता। परीक्षा टिप: किसी बिंदु के हल क्षेत्र में होने की जाँच के लिए उसके निर्देशांक असमानता में रखिए। / For the origin, substitute \(x=0\) and \(y=0\). Then \(x+y\leq 1\) becomes \(0+0\leq 1\), i.e., \(0\leq 1\), which is true. Therefore, the origin lies in the solution region of the inequality. \(1\leq 0\) is false and does not result from the substitution. Exam tip: To check whether a point belongs to a solution region, substitute its coordinates in the inequality.
मूल बिंदु \((0,0)\) रखने पर \(x+y=0+0=0\) मिलता है। क्योंकि \(0\geq -3\) सत्य है, इसलिए मूल बिंदु असमानता के हल-क्षेत्र में शामिल है। यह केवल सीमा पर नहीं है, क्योंकि सीमा रेखा \(x+y=-3\) है और मूल बिंदु के लिए योग 0 है। परीक्षा टिप: किसी बिंदु के हल-क्षेत्र में होने की जाँच के लिए उसके निर्देशांक असमानता में रखकर सत्यता जाँचें। / Substituting the origin \((0,0)\) gives \(x+y=0+0=0\). Since \(0\geq -3\) is true, the origin belongs to the solution region of the inequality. It is not only on the boundary, because the boundary line is \(x+y=-3\), whereas the sum at the origin is 0. Exam tip: To test whether a point lies in a solution region, substitute its coordinates into the inequality and check whether it is true.
मूल बिंदु \((0,0)\) रखने पर \(x-y\leq 2\) से \(0-0\leq 2\), अर्थात \(0\leq 2\) प्राप्त होता है। यह सत्य है, इसलिए मूल बिंदु उस अर्ध-तल में स्थित है जो असमानता को संतुष्ट करता है। विकल्प B में इसी सत्य कथन को असत्य कहा गया है। परीक्षा टिप: ग्राफ में उस ओर छायांकन करें जिसमें कोई परीक्षण बिंदु असमानता को सत्य बनाता हो। / Substituting the origin \((0,0)\) into \(x-y\leq 2\) gives \(0-0\leq 2\), i.e. \(0\leq 2\). This is true, so the origin lies in the half-plane that satisfies the inequality. Option B incorrectly calls this true statement false. Exam tip: shade the side of the boundary line for which a test point satisfies the inequality.
B. मूल बिंदु हल में नहीं है/Origin is not in solution
Explanation
Simple Explanation
मूल बिंदु \((0,0)\) रखने पर \(0-0\geq 2\), अर्थात \(0\geq 2\), प्राप्त होता है, जो असत्य है। इसलिए मूल बिंदु असमानता के हल क्षेत्र में नहीं है और मूल बिंदु वाला पक्ष छायांकित नहीं किया जाएगा। सीमा रेखा \(x-y=2\) फिर भी बनेगी। परीक्षा टिप: परीक्षण बिंदु रखने के बाद कथन सत्य हो तो उसका पक्ष, और असत्य हो तो दूसरा पक्ष चुनें। / Substituting the origin \((0,0)\) gives \(0-0\geq 2\), i.e. \(0\geq 2\), which is false. Therefore, the origin is not in the solution region, so the side containing the origin is not shaded. The boundary line \(x-y=2\) still exists. Exam tip: if the test point makes the inequality true, choose its side; if false, choose the opposite side.
असमानता \(x+2y\leq 6\) में बराबरी का चिह्न भी शामिल है। इसलिए सीमा रेखा \(x+2y=6\) पर स्थित बिंदु हल-क्षेत्र में आते हैं और इसे ठोस रेखा से दर्शाया जाता है। टूटी हुई रेखा केवल \(<\) या \(>\) जैसी कठोर असमानताओं के लिए बनाई जाती है। परीक्षा टिप: \(\leq\) या \(\geq\) दिखे तो सीमा रेखा ठोस बनाइए। / The inequality \(x+2y\leq 6\) includes equality. Hence, the points on the boundary line \(x+2y=6\) belong to the solution region, so the boundary is drawn as a solid line. A dashed line is used only for strict inequalities such as \(<\) or \(>\). Exam tip: draw a solid boundary whenever \(\leq\) or \(\geq\) appears.
B. रेखा टूटी हुई होगी/The boundary line will be dashed
Explanation
Simple Explanation
असमानता x+2y>6 की सीमा रेखा x+2y=6 है। क्योंकि चिह्न > है, इसलिए रेखा पर स्थित बिंदु हल-क्षेत्र में शामिल नहीं होते। अतः सीमा रेखा टूटी हुई खींची जाती है। ठोस रेखा केवल ≥ या ≤ वाली असमानताओं में बनती है। परीक्षा टिप: पहले असमानता को बराबर करके सीमा रेखा बनाइए, फिर चिह्न देखकर ठोस या टूटी रेखा चुनिए। / The boundary line for x+2y>6 is x+2y=6. Since the inequality sign is >, points on this line are not included in the solution region. Therefore, the boundary line is drawn dashed. A solid line is used only for inequalities containing ≥ or ≤. Exam tip: First replace the inequality sign with = to obtain the boundary line, then use the sign to decide whether the line is solid or dashed.
रेखा \(y=4\) एक क्षैतिज रेखा है। इसके नीचे स्थित प्रत्येक बिंदु के लिए \(y\)-निर्देशांक 4 से कम या 4 के बराबर होता है, इसलिए \(y \leq 4\) सही असमानता है। \(y<4\) भी केवल रेखा के नीचे का भाग देता, लेकिन उसमें स्वयं रेखा शामिल नहीं होती; \(\leq\) रेखा को भी शामिल करता है। परीक्षा टिप: क्षैतिज रेखा \(y=a\) के नीचे के क्षेत्र के लिए \(y\leq a\) लिखते हैं। / The line \(y=4\) is horizontal. For every point on or below it, the \(y\)-coordinate is less than or equal to 4, so \(y \leq 4\) is correct. Although \(y<4\) would represent only the region strictly below the line, it would not include the line itself; \(\leq\) includes the boundary line. Exam tip: For the region below a horizontal line \(y=a\), use \(y\leq a\).
रेखा \(x=-2\) एक ऊर्ध्वाधर रेखा है। इसके दाईं ओर स्थित प्रत्येक बिंदु का \(x\)-निर्देशांक \(-2\) से अधिक होता है, इसलिए हल-क्षेत्र \(x>-2\) होगा। \(x<-2\) रेखा के बाईं ओर का क्षेत्र दर्शाता है, जबकि \(y\) वाली असमानताएँ क्षैतिज क्षेत्रों को दर्शाती हैं। परीक्षा टिप: ऊर्ध्वाधर रेखा \(x=a\) के दाईं ओर के लिए \(x>a\) लिखें। / The line \(x=-2\) is vertical. Every point to its right has an \(x\)-coordinate greater than \(-2\), so the required solution region is \(x>-2\). The inequality \(x<-2\) represents the region to the left, whereas inequalities involving \(y\) represent horizontal regions. Exam tip: for the region to the right of \(x=a\), write \(x>a\).
बिंदु \((2,1)\) के लिए \(x+2y=2+2(1)=4\) प्राप्त होता है, इसलिए यह रेखा \(x+2y=4\) पर स्थित है। विकल्प \((0,1)\) में बायाँ पक्ष \(2\) आता है, इसलिए वह रेखा पर नहीं है। परीक्षा टिप: किसी बिंदु के रेखा पर होने की जाँच के लिए उसके \(x\) और \(y\) मान समीकरण में रखकर दोनों पक्षों की बराबरी जाँचें। / For the point \((2,1)\), \(x+2y=2+2(1)=4\), so it satisfies the equation \(x+2y=4\) and lies on the line. For \((0,1)\), the left-hand side is \(2\), not \(4\), so it does not lie on the line. Exam tip: Substitute the coordinates in the line equation; a point lies on the line only when the equality is satisfied.
A. सीमा रेखा बिंदीदार खींची जाती है और उसके बिंदु हल में शामिल नहीं होते।/The boundary line is drawn dashed, and its points are not included in the solution.
Explanation
Simple Explanation
‘>’ कठोर असमता है; अतः \(x+2y=6\) के बिंदु हल में नहीं आते और रेखा बिंदीदार होती है। परीक्षा में \((0,0)\) जाँचकर सही पक्ष चुनें; ठोस रेखा \(\ge,\le\) के लिए है। / Since ‘>’ is strict, points on \(x+2y=6\) are excluded, so the boundary is dashed. In exams, test \((0,0)\) to choose the side; a solid line is used for \(\ge\) or \(\le\).
A. हल में है और सीमा पर है/In solution and on boundary
Explanation
Simple Explanation
बिंदु \((8,0)\) रखने पर \(x+y=8+0=8\) मिलता है, इसलिए \(8\leq 8\) सत्य है। अतः यह बिंदु हल-क्षेत्र में शामिल है। क्योंकि यहाँ बराबरी प्राप्त होती है, बिंदु सीमा रेखा \(x+y=8\) पर स्थित है। विकल्प B गलत है क्योंकि असमानता संतुष्ट हो रही है। परीक्षा टिप: \(\leq\) या \(\geq\) में बराबरी वाले बिंदु भी हल-क्षेत्र में आते हैं। / Substituting \((8,0)\) gives \(x+y=8+0=8\), so \(8\leq 8\) is true. Therefore, the point belongs to the solution region. Since equality holds, it lies on the boundary line \(x+y=8\). Option B is incorrect because the inequality is satisfied. Exam tip: For \(\leq\) or \(\geq\), points giving equality are included in the solution set.
मूलबिंदु \((0,0)\) रखने पर \(0\leq4\) सत्य है, इसलिए आवश्यक भाग \(x+y=4\) के मूलबिंदु वाले पक्ष में होगा। सीमा रेखा भी शामिल है, अतः \(\leq\) लगेगा; \(<\) में रेखा शामिल नहीं होती। परीक्षा टिप: पहले दिए गए बिंदु को असमानता में जाँचें। / Substituting the origin \((0,0)\) gives \(0\leq4\), so the required region lies on the origin side of \(x+y=4\). Since the boundary is included, the sign must be \(\leq\); \(<\) excludes the line. Exam tip: test the given point first.
सीमा रेखा पाने के लिए असमानता को \(2x+3y=12\) लिखते हैं। \(y\)-अंतःखंड पर \(x=0\) होता है। अतः \(3y=12\), इसलिए \(y=4\)। इसलिए सही विकल्प 4 है। \(x\)-अंतःखंड ज्ञात करने के लिए \(y=0\) रखा जाता है, इसलिए उसे \(y\)-अंतःखंड से न मिलाएँ। परीक्षा टिप: किसी रेखा का \(y\)-अंतःखंड निकालने के लिए हमेशा \(x=0\) रखें। / To obtain the boundary line, write the inequality as \(2x+3y=12\). At the \(y\)-intercept, \(x=0\). Thus, \(3y=12\), so \(y=4\). Therefore, option 4 is correct. Setting \(y=0\) gives the \(x\)-intercept, not the \(y\)-intercept. Exam tip: always set \(x=0\) to find a line's \(y\)-intercept.
((6,7)) रखने पर \(13\leq 10\) असत्य है। बाहर वाला बिंदु असमानता को संतुष्ट नहीं करता। / Substituting ((6,7)) gives \(13\leq 10\), which is false. An outside point does not satisfy the inequality.
A. हल-क्षेत्र के भीतर, सीमा रेखा पर नहीं/Inside the solution region, not on the boundary line
Explanation
Simple Explanation
बिंदु \((2,5)\) के लिए \(x=2\) और \(y=5\) रखने पर \(5\geq2\) सत्य मिलता है। अतः यह बिंदु असमानता के हल-क्षेत्र में है। क्योंकि \(5>2\) है, यह सीमा रेखा \(y=x\) पर नहीं, बल्कि उसके ऊपर स्थित है। परीक्षा टिप: किसी बिंदु की स्थिति जाँचने के लिए उसके \(x\) और \(y\) मानों को सीधे असमानता में रखिए। / For the point \((2,5)\), substitute \(x=2\) and \(y=5\). Since \(5\geq2\) is true, the point belongs to the solution region. As \(5>2\), it is not on the boundary line \(y=x\); it lies above it. Exam tip: To test a point, substitute its \(x\)- and \(y\)-coordinates directly into the inequality.
\(-y\leq 4-2x\) में (-1) से भाग देने पर चिह्न बदलता है। परीक्षा में ऋणात्मक से गुणा या भाग करते समय चिह्न जरूर बदलें। / In \(-y\leq 4-2x\), dividing by (-1) reverses the sign. In exams, always reverse the sign when multiplying or dividing by a negative number.
सीमा रेखा के लिए असमानता चिह्न को बराबर में बदलते हैं। (<) होने से रेखा टूटी हुई बनेगी। / For the boundary line, replace the inequality sign with equality. Since the sign is (<), the line will be dashed.
बिंदु \((2,1)\) रखने पर \(1\leq -2+3=1\) मिलता है, जो सत्य है। इसलिए यह बिंदु हल-क्षेत्र में है और सीमा रेखा पर स्थित है। \((1,4)\) के लिए \(4\leq 2\) असत्य है, इसलिए वह हल नहीं है। परीक्षा टिप: किसी बिंदु के \(x\) और \(y\) मान असमानता में रखकर उसकी सत्यता जाँचें। / Substituting \((2,1)\) gives \(1\leq -2+3=1\), which is true. Hence, the point lies in the solution region and is on the boundary line. For \((1,4)\), \(4\leq 2\) is false, so it is not a solution. Exam tip: Substitute the coordinates of a point into the inequality to test whether it belongs to the region.
C. मूल बिंदु हल-क्षेत्र में नहीं है/The origin is not in the solution region
Explanation
Simple Explanation
((0,0)) रखने पर (0>1) असत्य है। इसलिए मूल बिंदु वाले पक्ष को छायांकित नहीं करेंगे। / Substituting ((0,0)) gives (0>1), which is false. Therefore, the side containing the origin is not shaded.
