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(A) के सभी तत्व सम हैं, इसलिए (\mathcal{P}(A)) के हर उपसमुच्चय में केवल सम संख्याएँ होंगी। कुल संख्या \(2^5=32\) है। / All elements of (A) are even, so every subset in (\mathcal{P}(A)) contains only even numbers. The total number is \(2^5=32\).
(1) निश्चित है और (2) नहीं लेना है, इसलिए (3,4,5) में से (2) तत्व चुनने होंगे। संख्या \(\binom{3}{2}=3\) है। / (1) is fixed and (2) is excluded, so choose (2) elements from (3,4,5). The count is \(\binom{3}{2}=3\).
ऐसे उपसमुच्चयों की संख्या \(\binom{6}{2}+\binom{6}{4}=15+15=30\) है। आकार आधारित प्रश्नों में संयोजन लगाएँ। / The number is \(\binom{6}{2}+\binom{6}{4}=15+15=30\). Use combinations for size-based subset questions.
\(A\cap B\) में (6) के गुणज (6,12,18,24) हैं, इसलिए इसमें (4) तत्व हैं। पूरक में (24-4=20) तत्व होंगे। / \(A\cap B\) contains the multiples of (6): (6,12,18,24), so it has (4) elements. The complement has (24-4=20) elements.
समुच्चय \(A\) में सार्वत्रिक समुच्चय \(U\) के वे तत्व होंगे जो 4 से विभाज्य हैं: \(A=\{4,8,12\}\)। इसलिए \(U\) के सापेक्ष इसका पूरक उन सभी तत्वों का समुच्चय है जो \(U\) में हैं, लेकिन \(A\) में नहीं हैं: \(A'=U\setminus A=\{1,2,3,5,6,7,9,10,11\}\)। विकल्प B स्वयं \(A\) है, जबकि विकल्प C में 4, 8 और 12 जैसे 4 के गुणज भी शामिल हैं। विकल्प D केवल विषम संख्याएँ देता है और 2, 6 तथा 10 जैसे सम संख्याओं को छोड़ देता है, जो 4 से विभाज्य नहीं हैं। परीक्षा-टिप: पूरक निकालते समय पहले सार्वत्रिक समुच्चय लिखें और उसमें से \(A\) के तत्व हटा दें। / The elements of \(A\) are the members of \(U\) divisible by 4: \(A=\{4,8,12\}\). Hence, the complement of \(A\) with respect to \(U\) contains every element of \(U\) that is not in \(A\): \(A'=U\setminus A=\{1,2,3,5,6,7,9,10,11\}\). Option B is the set \(A\) itself, while option C incorrectly includes the multiples of 4. Option D contains only odd numbers and omits even numbers such as 2, 6, and 10, which are not divisible by 4. Exam tip: To find a complement, write the universal set first and remove all elements of the given set.
\({\emptyset,{a}}\), (A) का उपसमुच्चय है। घात समुच्चय में हमेशा मूल समुच्चय के उपसमुच्चय आते हैं। / \({\emptyset,{a}}\) is a subset of (A). A power set always contains subsets of the original set.
A. \({x:x\in \mathbb{Z}, x<-2\) या (x>3})/\({x:x\in \mathbb{Z}, x<-2\) or (x>3})
Explanation
Simple Explanation
पूरक में वे पूर्णांक होंगे जो दिए गए अंतराल के बाहर हैं। सीमा मान (-2) और (3) (A) में हैं इसलिए पूरक में नहीं होंगे। / The complement contains integers outside the given interval. The endpoints (-2) and (3) are in (A), so they are not in the complement.
(\mathcal{P}(A)) स्वयं (256) तत्वों वाला समुच्चय है। इसलिए उसके घात समुच्चय में \(2^{256}\) तत्व होंगे। / (\mathcal{P}(A)) itself is a set with (256) elements. Its power set therefore has \(2^{256}\) elements.
(1) निश्चित है और (6) निषिद्ध है। शेष चार तत्व स्वतंत्र हैं, इसलिए \(2^4=16\) उपसमुच्चय होंगे। / (1) is fixed and (6) is forbidden. The remaining four elements are free, so there are \(2^4=16\) subsets.
पहले संघ ज्ञात करें: \(A\cup B=\{a,c,g\}\cup\{b,c,h\}=\{a,b,c,g,h\}\)। इसका पूरक, सार्वत्रिक समुच्चय \(U\) के वे तत्व हैं जो इस संघ में शामिल नहीं हैं। इसलिए \((A\cup B)'=U\setminus(A\cup B)=\{d,e\}\), अतः विकल्प A सही है। विकल्प B केवल दोनों समुच्चयों के प्रतिच्छेद \(A\cap B\) को दर्शाता है। परीक्षा-युक्ति: पूरक निकालते समय हमेशा दिए गए सार्वत्रिक समुच्चय के सापेक्ष शेष तत्व चुनें। / First find the union: \(A\cup B=\{a,c,g\}\cup\{b,c,h\}=\{a,b,c,g,h\}\). The complement consists of the elements of the universal set \(U\) that are not in this union. Hence, \((A\cup B)'=U\setminus(A\cup B)=\{d,e\}\), so option A is correct. Option B, \(\{c\}\), represents the intersection \(A\cap B\), not the complement of the union. Exam tip: take the complement only with respect to the stated universal set.
कुल उपसमुच्चय \(2^3=8\) हैं। \(\emptyset\) और (A) हटाने पर (6) अरिक्त उचित उपसमुच्चय बचते हैं। / There are \(2^3=8\) total subsets. Removing \(\emptyset\) and (A) leaves (6) non-empty proper subsets.
केवल रिक्त समुच्चय का पूरक पूरा (U) होता है। पूरक वाले प्रश्नों में सार्वत्रिक समुच्चय याद रखें। / Only the empty set has the whole (U) as its complement. Always remember the universal set in complement questions.
विकल्प में (1) और ({1,2}) दोनों (A) के तत्व हैं। ({1,2}) को (A) का तत्व समझें, दो अलग तत्व नहीं। / Both (1) and ({1,2}) in the option are elements of (A). Treat ({1,2}) as one element of (A), not two separate elements.
कम से कम (6) तत्वों का अर्थ (6) या (7) तत्व है। संख्या \(\binom{7}{6}+\binom{7}{7}=8\) है। / At least (6) elements means (6) or (7) elements. The count is \(\binom{7}{6}+\binom{7}{7}=8\).
समुच्चय \(A\) का \(U\) के सापेक्ष पूरक उन तत्वों का समुच्चय है जो \(U\) में हैं, लेकिन \(A\) में नहीं हैं। इसलिए \(A'=\{5,6,7,8,9\}\)। अब \(A'\cap B\) में \(A'\) और \(B=\{4,5,6\}\) के समान तत्व लिए जाएँगे, अतः \(A'\cap B=\{5,6\}\)। विकल्प B गलत है क्योंकि \(4\), \(A\) में है और इसलिए \(A'\) में नहीं है; विकल्प C में ऐसे तत्व हैं जो \(B\) में नहीं हैं। परीक्षा सुझाव: पूरक निकालते समय दिए गए सार्वत्रिक समुच्चय को आधार अवश्य बनाएँ, फिर प्रतिच्छेद ज्ञात करें। / The complement of \(A\) with respect to \(U\) contains the elements of \(U\) that are not in \(A\). Thus, \(A'=\{5,6,7,8,9\}\). The intersection \(A'\cap B\) consists of the elements common to \(A'\) and \(B=\{4,5,6\}\), giving \(\{5,6\}\). Option B is incorrect because \(4\) belongs to \(A\), so it cannot belong to \(A'\); option C contains elements that are not in \(B\). Exam tip: take a complement relative to the stated universal set before finding an intersection.
(0) को निश्चित रखने पर शेष चार तत्वों में से सम संख्या चुननी होगी। संख्या \(\binom{4}{0}+\binom{4}{2}+\binom{4}{4}=8\) है। / After fixing (0), an even number of the remaining four elements must be chosen. The count is \(\binom{4}{0}+\binom{4}{2}+\binom{4}{4}=8\).
समुच्चय \(U\) में अंग्रेज़ी के सभी 26 छोटे अक्षर हैं, जबकि \(V\) में 5 स्वर हैं। इसलिए \(V'\) में वे अक्षर होंगे जो \(U\) में हैं, लेकिन \(V\) में नहीं हैं। अतः \(|V'|=|U|-|V|=26-5=21\)। विकल्प A (5) समुच्चय \(V\) का आकार है और विकल्प C (26) पूरे सार्वत्रिक समुच्चय \(U\) का आकार है। परीक्षा-टिप: जब \(V\subseteq U\) हो, तो पूरक के तत्वों की संख्या \(|V'|=|U|-|V|\) से निकालें। / The universal set \(U\) contains all 26 lowercase English letters, while \(V\) contains 5 vowels. Therefore, \(V'\) contains the letters that belong to \(U\) but not to \(V\). Thus, \(|V'|=|U|-|V|=26-5=21\). Option A (5) is the cardinality of \(V\), and option C (26) is the cardinality of the entire universal set \(U\). Exam tip: when \(V\subseteq U\), find the cardinality of the complement using \(|V'|=|U|-|V|\).
({a,d}) से असंयुक्त उपसमुच्चय केवल (b,c) से बनेंगे, जो \(2^2=4\) हैं। इसलिए असंयुक्त नहीं होने वाले (16-4=12) हैं। / Subsets disjoint from ({a,d}) are formed only from (b,c), so there are \(2^2=4\). Hence not disjoint subsets are (16-4=12).
पहले दोनों समुच्चयों का प्रतिच्छेद निकालते हैं: \(A\cap B=\{2,4\}\), क्योंकि 2 और 4 ही दोनों समुच्चयों में समान हैं। अब सार्वत्रिक समुच्चय \(U\) के सापेक्ष इसका पूरक होगा: \((A\cap B)'=U\setminus\{2,4\}=\{1,3,5,6,7,8\}\)। इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B प्रतिच्छेद स्वयं है, जबकि विकल्प C केवल \(A'\) और विकल्प D केवल \(B'\) है। परीक्षा-युक्ति: पूरक निकालते समय हमेशा दिए गए सार्वत्रिक समुच्चय में से संबंधित समुच्चय के अवयव हटाएँ; जाँच के लिए \((A\cap B)'=A'\cup B'\) भी लगा सकते हैं। / First find the intersection: \(A\cap B=\{2,4\}\), since 2 and 4 are the only elements common to both sets. The complement is taken with respect to the universal set \(U\): \((A\cap B)'=U\setminus\{2,4\}=\{1,3,5,6,7,8\}\). Hence, option A is correct. Option B is the intersection itself, while option C is only \(A'\) and option D is only \(B'\). Exam tip: for a complement, remove the relevant set's elements from the given universal set; you can also verify the result using De Morgan's law, \((A\cap B)'=A'\cup B'\).
कुल उपसमुच्चय (32) हैं। (2) और (3) दोनों न लेने वाले \(2^3=8\) हैं, इसलिए उत्तर (24) है। / There are (32) total subsets. Those containing neither (2) nor (3) are \(2^3=8\), so the answer is (24).
घात समुच्चय बराबर होने पर मूल समुच्चय भी बराबर होते हैं। क्योंकि मूल समुच्चय स्वयं अपने घात समुच्चय का तत्व होता है। / If power sets are equal, the original sets are also equal. This is because each original set is an element of its own power set.
मान लें कि \(\mathbb{N}=\{1,2,3,\ldots\}\)। यदि \(U=\{x:x\in\mathbb{N},\ x\le 20\}\) और \(A=\{x\in U:x\text{ पूर्ण वर्ग है}\}\), तो \(|A'|\) का मान क्या है?
यहाँ \(U=\{1,2,\ldots,20\}\) है, इसलिए \(|U|=20\)। इस सीमा में पूर्ण वर्ग \(1,4,9,16\) हैं, अतः \(|A|=4\)। चूँकि \(A'\), समुच्चय \(U\) के सापेक्ष \(A\) का पूरक है, इसलिए \(|A'|=|U|-|A|=20-4=16\)। विकल्प B (14) गलत है, क्योंकि पूर्ण वर्गों की संख्या 4 है, 6 नहीं। परीक्षा सुझाव: पूरक समुच्चय की cardinality निकालते समय सार्वत्रिक समुच्चय की cardinality में से मूल समुच्चय की cardinality घटाएँ। / Here, \(U=\{1,2,\ldots,20\}\), so \(|U|=20\). The perfect squares in this range are \(1,4,9,16\), giving \(|A|=4\). Since \(A'\) is the complement of \(A\) with respect to \(U\), \(|A'|=|U|-|A|=20-4=16\). Option B (14) is incorrect because there are 4 perfect squares in the set, not 6. Exam tip: for a complement, subtract the cardinality of the given set from that of the universal set.
(r,s) निश्चित हैं और (v) नहीं लेना है। शेष (t,u) स्वतंत्र हैं, इसलिए \(2^2=4\) उपसमुच्चय होंगे। / (r,s) are fixed and (v) is excluded. The remaining (t,u) are free, so there are \(2^2=4\) subsets.
समुच्चय \(A\) में \(U\) के वे तत्व होंगे जिनके वर्ग 25 से छोटे हैं। \(0^2,1^2,2^2,3^2,4^2\) क्रमशः 0, 1, 4, 9 और 16 हैं, इसलिए \(A=\{0,1,2,3,4\}\)। दूसरी ओर, \(5^2=25\) है और शर्त \(x^2<25\) में बराबरी शामिल नहीं है; अतः 5 भी \(A\) में नहीं है। इसलिए \(U\) के शेष तत्वों का समुच्चय \(A'=\{5,6,7,8,9\}\) है। विकल्प C गलत है क्योंकि उसमें 5 छूट गया है। परीक्षा-सुझाव: ‘<’ और ‘≤’ के अंतर को जाँचने के लिए सीमा वाले तत्व, यहाँ \(x=5\), का वर्ग अवश्य निकालें। / Set \(A\) contains the elements of \(U\) whose squares are less than 25. The squares of 0, 1, 2, 3 and 4 are 0, 1, 4, 9 and 16, respectively, so \(A=\{0,1,2,3,4\}\). Since \(5^2=25\) and the condition is strictly \(x^2<25\), 5 is not in \(A\). Therefore, the elements of \(U\) outside \(A\) are \(A'=\{5,6,7,8,9\}\). Option C is incorrect because it omits 5. Exam tip: when an inequality is strict, test the boundary value—in this case, \(x=5\)—to distinguish ‘<’ from ‘≤’.
दिया है कि \(Y=A\), इसलिए \(Y\) का केवल एक ही संभव मान है। अब \(X\subseteq Y=A\) होने के कारण \(X\), चार-तत्वीय समुच्चय \(A\) का कोई भी उपसमुच्चय हो सकता है। चार-तत्वीय समुच्चय के उपसमुच्चयों की संख्या \(2^4=16\) होती है, इसलिए क्रमित युग्मों की संख्या \(16\times 1=16\) है। विकल्प B (8) में कुछ उपसमुच्चय छूट जाते हैं, जबकि विकल्प D (32) में अनावश्यक रूप से पाँच तत्व मान लिए जाते हैं। परीक्षा-टिप: जब किसी एक घटक, यहाँ \(Y\), का मान निश्चित हो, तो केवल दूसरे घटक के संभव मानों की संख्या गिनें। / Since \(Y=A\), there is only one possible value of \(Y\). The condition \(X\subseteq Y=A\) means that \(X\) can be any subset of the four-element set \(A\). A set with four elements has \(2^4=16\) subsets, so the number of ordered pairs is \(16\times 1=16\). Option B (8) omits some valid subsets, while option D (32) incorrectly corresponds to five elements. Exam tip: when one component of an ordered pair is fixed, count the possible values of the remaining component.
यदि सार्वत्रिक समुच्चय \(U=\{1,2,3,4,5,6,7\}\) और \(A=\{1,3,5,7\}\) हैं, तो \(U\) के सापेक्ष \(A\) के पूरक \(A'\) के पावर समुच्चय \(\mathcal{P}(A')\) में कितने तत्व होंगे?
\(U\) के सापेक्ष \(A\) का पूरक है \(A'=U\setminus A=\{2,4,6\}\), इसलिए \(|A'|=3\)। यदि किसी समुच्चय में \(n\) तत्व हों, तो उसके पावर समुच्चय में \(2^n\) तत्व होते हैं। अतः \(|\mathcal{P}(A')|=2^3=8\)। विकल्प C में \(|A|=4\) लेकर \(2^4\) किया गया है, जो \(\mathcal{P}(A)\) का आकार है, \(\mathcal{P}(A')\) का नहीं। परीक्षा-सुझाव: पावर समुच्चय का आकार निकालने से पहले पूरक समुच्चय में तत्वों की संख्या अवश्य निर्धारित करें। / The complement of \(A\) with respect to \(U\) is \(A'=U\setminus A=\{2,4,6\}\), so \(|A'|=3\). A set with \(n\) elements has a power set containing \(2^n\) elements. Therefore, \(|\mathcal{P}(A')|=2^3=8\). Option C results from incorrectly using \(|A|=4\) and calculating \(2^4\); that is the size of \(\mathcal{P}(A)\), not \(\mathcal{P}(A')\). Exam tip: find the number of elements in the required set first, and then apply the power-set formula \(2^n\).
(|\mathcal{P}(B)|=32) और (|\mathcal{P}(A)|=16) है। क्योंकि \(A\subset B\), अंतर में (32-16=16) तत्व होंगे। / (|\mathcal{P}(B)|=32) and (|\mathcal{P}(A)|=16). Since \(A\subset B\), the difference has (32-16=16) elements.
डी मॉर्गन से (A'\cup B'=\(A\cap B\)') होता है। \(A\cap B={2,4}\), इसलिए पूरक में (10-2=8) तत्व हैं। / By De Morgan's law, (A'\cup B'=\(A\cap B\)'). Since \(A\cap B={2,4}\), the complement has (10-2=8) elements.
समुच्चय \(A\) के दो अलग-अलग अवयव हैं: \(\emptyset\) और \(\{\emptyset\}\)। ध्यान दें कि \(\emptyset\) एक अवयव है, जबकि \(\{\emptyset\}\) उस अवयव से बना एक-सदस्यीय समुच्चय है; इसलिए दोनों समान नहीं हैं। किसी \(n\)-अवयवी समुच्चय के घात समुच्चय में \(2^n\) उपसमुच्चय होते हैं। अतः \(|A|=2\) और \(|\mathcal{P}(A)|=2^2=4\)। विकल्प 2 केवल \(A\) के अवयवों की संख्या बताता है, घात समुच्चय के अवयवों की नहीं। परीक्षा-टिप: पहले मूल समुच्चय के अलग-अलग अवयव गिनें, फिर \(2^{|A|}\) का प्रयोग करें। / The set \(A\) has two distinct elements: \(\emptyset\) and \(\{\emptyset\}\). Note that \(\emptyset\) is an element, whereas \(\{\emptyset\}\) is a one-element set containing it; therefore, they are not the same. A set with \(n\) elements has \(2^n\) subsets. Hence, \(|A|=2\) and \(|\mathcal{P}(A)|=2^2=4\). Option 2 gives the number of elements of \(A\), not the number of elements of its power set. Exam tip: count the distinct elements of the original set first, then apply \(2^{|A|}\).
A. वे त्रिभुज जो समबाहु नहीं हैं/Triangles that are not equilateral
Explanation
Simple Explanation
पूरक हमेशा सार्वत्रिक समुच्चय के भीतर लिया जाता है। इसलिए (E') सभी ऐसे त्रिभुज हैं जो समबाहु नहीं हैं। / Complement is always taken inside the universal set. So (E') is all triangles that are not equilateral.
कुल उपसमुच्चय \(2^7=128\) हैं और ठीक (5) तत्व वाले \(\binom{7}{5}=21\) हैं। इसलिए उत्तर (128-21=107) है। / Total subsets are \(2^7=128\), and exactly (5)-element subsets are \(\binom{7}{5}=21\). So the answer is (128-21=107).
(2) या (3) से विभाज्य संख्याएँ (15+10-5=20) हैं। इसलिए पूरक में (30-20=10) संख्याएँ हैं। / Numbers divisible by (2) or (3) are (15+10-5=20). Hence the complement has (30-20=10) numbers.
(a,b) में से ठीक एक चुनने के (2) तरीके हैं और (e) निश्चित है। (c,d) स्वतंत्र हैं, इसलिए \(2\times2^2=8\)। / There are (2) ways to choose exactly one of (a,b), and (e) is fixed. (c,d) are free, so \(2\times2^2=8\).
समुच्चय \(U\) में \(-5,-4,\ldots,5\) तक के सभी पूर्णांक हैं, इसलिए \(|U|=11\)। शर्त \(|x|\le 2\) से \(A=\{-2,-1,0,1,2\}\), अतः \(|A|=5\)। चूँकि पूरक \(A'\) को \(U\) के सापेक्ष लिया गया है, \(|A'|=|U|-|A|=11-5=6\)। विकल्प 5 केवल \(A\) के तत्वों की संख्या है, पूरक की नहीं। परीक्षा टिप: पूर्णांकों की श्रेणी में दोनों अंतिम सिरों को शामिल करके गिनें। / The universal set \(U\) contains all integers from \(-5\) through \(5\), so \(|U|=11\). The condition \(|x|\le 2\) gives \(A=\{-2,-1,0,1,2\}\), hence \(|A|=5\). Since the complement is taken relative to \(U\), \(|A'|=|U|-|A|=11-5=6\). Option 5 is the size of \(A\), not of its complement. Exam tip: when counting an inclusive integer interval, include both endpoints.
ऐसे उपसमुच्चय में (3) होना चाहिए और (4) नहीं होना चाहिए। (1,2) स्वतंत्र हैं, इसलिए \(2^2=4\) उपसमुच्चय हैं। / Such a subset must contain (3) and must not contain (4). (1,2) are free, so there are \(2^2=4\) subsets.
पूरक लेने पर समावेशन की दिशा उलट जाती है। इसलिए \(A\subseteq B\) से \(B'\subseteq A'\) मिलता है। / Inclusion reverses when complements are taken. Thus \(A\subseteq B\) gives \(B'\subseteq A'\).
\(\mathcal{P}(A)\) में \(A\) के सभी उपसमुच्चय शामिल होते हैं। यहाँ \(\{3,4\}\), \(A\) का एक तत्व है; इसलिए उसका एकतत्वीय उपसमुच्चय \(\{\{3,4\}\}\), \(A\) का उपसमुच्चय है और निश्चित रूप से \(\mathcal{P}(A)\) में शामिल होगा। विकल्प B में \(\{3,4\}\) स्वयं \(A\) का तत्व है, लेकिन उपसमुच्चय नहीं, क्योंकि 3 और 4, \(A\) के अलग-अलग तत्व नहीं हैं। विकल्प C और D में 3 को सीधे तत्व के रूप में शामिल किया गया है, जबकि \(3\notin A\)। परीक्षा टिप: nested sets में यह जाँचें कि किसी वस्तु का संबंध \(A\) से ‘तत्व’ का है या ‘उपसमुच्चय’ का। / The power set \(\mathcal{P}(A)\) contains every subset of \(A\). Here, \(\{3,4\}\) is an element of \(A\), so its singleton set \(\{\{3,4\}\}\) is a subset of \(A\) and must belong to \(\mathcal{P}(A)\). Option B, \(\{3,4\}\), is an element of \(A\) but is not a subset of \(A\), since 3 and 4 are not separate elements of \(A\). Options C and D contain 3 directly, and \(3\notin A\), so they are not subsets of \(A\). Exam tip: for nested sets, distinguish carefully between an element of a set and a subset of that set.
(|A|=5) और (|B|=3), इसलिए \(|A\times B|=15\) है। अतः उसके घात समुच्चय में \(2^{15}\) तत्व होंगे। / (|A|=5) and (|B|=3), so \(|A\times B|=15\). Therefore its power set has \(2^{15}\) elements.
(A) में (U) की विषम संख्याएँ हैं। इसलिए पूरक में (U) की सम संख्याएँ ({2,4,6,8}) होंगी। / (A) contains the odd numbers of (U). Therefore the complement is the even numbers of (U): ({2,4,6,8}).
ऐसे उपसमुच्चय केवल \(\emptyset\) और ({1}) हैं। शर्तों में खाली समुच्चय को भी गिनना न भूलें। / The only such subsets are \(\emptyset\) and ({1}). Do not forget to count the empty set in condition-based questions.
(2) (A) में शामिल है, इसलिए पूरक में (2) नहीं आएगा। \(\mathbb{R}\) में पूरक (\(2,\infty\)) है। / (2) is included in (A), so it is not in the complement. In \(\mathbb{R}\), the complement is (\(2,\infty\)).
(a) को हटाने पर (5) तत्व बचते हैं। उनमें से ठीक (3) चुनने के \(\binom{5}{3}=10\) तरीके हैं। / After excluding (a), (5) elements remain. Choosing exactly (3) of them gives \(\binom{5}{3}=10\) ways.
यहाँ \\(A\\) और \\(B\\) के पूरक दिए गए हैं। दे मॉर्गन के नियम के अनुसार \\(A\\cap B=(A'\\cup B')'\\)। पहले \\(A'\\cup B'=\\{1,2,4,7,8\\}\) प्राप्त होता है। अतः सार्वत्रिक समुच्चय \\(U\\) के सापेक्ष इसका पूरक \\(\\{3,5,6\\}\) होगा। इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प D, \\(A=U\\setminus A'=\\{2,3,5,6,8\\}\), दर्शाता है; यह केवल \\(A\\) है, \\(A\\cap B\\) नहीं। परीक्षा-टिप: पूरक दिए होने पर \\(A\\cap B\\) निकालने के लिए सीधे \\(A'\\cup B'\\) का पूरक लेना सबसे तेज़ तरीका है। / The complements of \\(A\\) and \\(B\\) are given. By De Morgan’s law, \\(A\\cap B=(A'\\cup B')'\\). First, \\(A'\\cup B'=\\{1,2,4,7,8\\}\). Therefore, its complement with respect to the universal set \\(U\\) is \\(\\{3,5,6\\}\), so option A is correct. Option D is \\(A=U\\setminus A'=\\{2,3,5,6,8\\}\); it represents only \\(A\\), not the intersection. Exam tip: when complements are provided, find the intersection quickly by taking the complement of the union of the given complements.
(A) में कम से कम एक विषम संख्या है, इसलिए उपसमुच्चयों के योग सम और विषम बराबर संख्या में होंगे। कुल (32) हैं, अतः सम योग वाले (16) हैं। / Since (A) has at least one odd number, subsets with even and odd sums are equal in number. Total subsets are (32), so even-sum subsets are (16).
(10) के गुणज (10,20,30,40,50) हैं, इसलिए (|A|=5)। (A') में (45) तत्व हैं, अतः (|\mathcal{P}(A')|=2^{45})। / The multiples of (10) are (10,20,30,40,50), so (|A|=5). (A') has (45) elements, hence (|\mathcal{P}(A')|=2^{45}).
({1,2,3}) के उपसमुच्चय में (1) नहीं होना चाहिए। केवल (2,3) से बनने वाले \(2^2=4\) उपसमुच्चय मिलेंगे। / The subset of ({1,2,3}) must not contain (1). Subsets formed only from (2,3) give \(2^2=4\) choices.
A. (U) में (1) और संयुक्त संख्याएँ/(1) and composite numbers in (U)
Explanation
Simple Explanation
(A) में (U) की अभाज्य संख्याएँ हैं। इसलिए पूरक में (1) और संयुक्त संख्याएँ होंगी। / (A) contains the prime numbers of (U). Therefore the complement contains (1) and composite numbers.
(\mathcal{P}(A)) में \(2^3=8\) तत्व हैं। किसी (8)-तत्वीय समुच्चय के घात समुच्चय में (8) एकल उपसमुच्चय होते हैं। / (\mathcal{P}(A)) has \(2^3=8\) elements. The power set of an (8)-element set has (8) singleton subsets.
(A'={e,f,g,h}) और (B'={a,b,g,h}) हैं। केवल एक में आने वाले तत्व (a,b,e,f) हैं, इसलिए (4) तत्व हैं। / (A'={e,f,g,h}) and (B'={a,b,g,h}). Elements in exactly one are (a,b,e,f), so there are (4).
(1,2,3) में से कम से कम दो चुनने के \(\binom{3}{2}+\binom{3}{3}=4\) तरीके हैं। शेष तीन तत्व स्वतंत्र हैं, इसलिए \(4\times2^3=32\) है। / Choosing at least two from (1,2,3) gives \(\binom{3}{2}+\binom{3}{3}=4\) ways. The remaining three elements are free, so the count is \(4\times2^3=32\).
