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Subjects
Class 11 Mathematics Sets Power Set and Universal Set Hard Level 11

यदि \(A=\{1,2,3,4\}\), तो ऐसे कितने क्रमित युग्म \((X,Y)\) होंगे, जिनके लिए \(X\subseteq Y\subseteq A\) तथा \(Y=A\) है?

If \(A=\{1,2,3,4\}\), how many ordered pairs \((X,Y)\) satisfy \(X\subseteq Y\subseteq A\) and \(Y=A\)?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
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Correct Answer

C. 16

Explanation

Simple Explanation

दिया है कि \(Y=A\), इसलिए \(Y\) का केवल एक ही संभव मान है। अब \(X\subseteq Y=A\) होने के कारण \(X\), चार-तत्वीय समुच्चय \(A\) का कोई भी उपसमुच्चय हो सकता है। चार-तत्वीय समुच्चय के उपसमुच्चयों की संख्या \(2^4=16\) होती है, इसलिए क्रमित युग्मों की संख्या \(16\times 1=16\) है। विकल्प B (8) में कुछ उपसमुच्चय छूट जाते हैं, जबकि विकल्प D (32) में अनावश्यक रूप से पाँच तत्व मान लिए जाते हैं। परीक्षा-टिप: जब किसी एक घटक, यहाँ \(Y\), का मान निश्चित हो, तो केवल दूसरे घटक के संभव मानों की संख्या गिनें। / Since \(Y=A\), there is only one possible value of \(Y\). The condition \(X\subseteq Y=A\) means that \(X\) can be any subset of the four-element set \(A\). A set with four elements has \(2^4=16\) subsets, so the number of ordered pairs is \(16\times 1=16\). Option B (8) omits some valid subsets, while option D (32) incorrectly corresponds to five elements. Exam tip: when one component of an ordered pair is fixed, count the possible values of the remaining component.

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यदि \(A=\{1,2,3,4\}\), तो ऐसे कितने क्रमित युग्म \((X,Y)\) होंगे, जिनके लिए \(X\subseteq Y\subseteq A\) तथा \(Y=A\) है? / If \(A=\{1,2,3,4\}\), how many ordered pairs \((X,Y)\) satisfy \(X\subseteq Y\subseteq A\) and \(Y=A\)?

Correct Answer: C. 16. Explanation: दिया है कि \(Y=A\), इसलिए \(Y\) का केवल एक ही संभव मान है। अब \(X\subseteq Y=A\) होने के कारण \(X\), चार-तत्वीय समुच्चय \(A\) का कोई भी उपसमुच्चय हो सकता है। चार-तत्वीय समुच्चय के उपसमुच्चयों की संख्या \(2^4=16\) होती है, इसलिए क्रमित युग्मों की संख्या \(16\times 1=16\) है। विकल्प B (8) में कुछ उपसमुच्चय छूट जाते हैं, जबकि विकल्प D (32) में अनावश्यक रूप से पाँच तत्व मान लिए जाते हैं। परीक्षा-टिप: जब किसी एक घटक, यहाँ \(Y\), का मान निश्चित हो, तो केवल दूसरे घटक के संभव मानों की संख्या गिनें। / Since \(Y=A\), there is only one possible value of \(Y\). The condition \(X\subseteq Y=A\) means that \(X\) can be any subset of the four-element set \(A\). A set with four elements has \(2^4=16\) subsets, so the number of ordered pairs is \(16\times 1=16\). Option B (8) omits some valid subsets, while option D (32) incorrectly corresponds to five elements. Exam tip: when one component of an ordered pair is fixed, count the possible values of the remaining component.