यदि \(A=\{\emptyset,\{\emptyset\}\}\) है, तो उसके घात समुच्चय \(\mathcal{P}(A)\) में कितने अवयव होंगे?

Correct Answer: B. 4. Explanation: समुच्चय \(A\) के दो अलग-अलग अवयव हैं: \(\emptyset\) और \(\{\emptyset\}\)। ध्यान दें कि \(\emptyset\) एक अवयव है, जबकि \(\{\emptyset\}\) उस अवयव से बना एक-सदस्यीय समुच्चय है; इसलिए दोनों समान नहीं हैं। किसी \(n\)-अवयवी समुच्चय के घात समुच्चय में \(2^n\) उपसमुच्चय होते हैं। अतः \(|A|=2\) और \(|\mathcal{P}(A)|=2^2=4\)। विकल्प 2 केवल \(A\) के अवयवों की संख्या बताता है, घात समुच्चय के अवयवों की नहीं। परीक्षा-टिप: पहले मूल समुच्चय के अलग-अलग अवयव गिनें, फिर \(2^{|A|}\) का प्रयोग करें। / The set \(A\) has two distinct elements: \(\emptyset\) and \(\{\emptyset\}\). Note that \(\emptyset\) is an element, whereas \(\{\emptyset\}\) is a one-element set containing it; therefore, they are not the same. A set with \(n\) elements has \(2^n\) subsets. Hence, \(|A|=2\) and \(|\mathcal{P}(A)|=2^2=4\). Option 2 gives the number of elements of \(A\), not the number of elements of its power set. Exam tip: count the distinct elements of the original set first, then apply \(2^{|A|}\).