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\(A\times B\) में पहला अवयव (A) से और दूसरा (B) से आता है। क्रमित युग्म में स्थान बदलना गलती कराता है। / In \(A\times B\), the first component comes from (A) and the second from (B). Changing positions is a common mistake.
मान लें कि \(\mathbb{N}=\{1,2,3,\ldots\}\)। यदि \(A=\{x\in\mathbb{N}:3\le x\le 8\}\) और \(B=\{y\in\mathbb{N}:y\le 4\}\) हैं, तो \(|A\times B|\) का मान क्या है?
समुच्चय \(A\) में \(3,4,5,6,7,8\) हैं, इसलिए \(|A|=6\)। \(\mathbb{N}\) को धनात्मक पूर्णांकों का समुच्चय मानने पर \(B=\{1,2,3,4\}\), अतः \(|B|=4\)। कार्तीय गुणनफल के लिए \(|A\times B|=|A|\times|B|=6\times4=24\)। इसलिए सही उत्तर 24 है। परीक्षा में पहले दोनों समुच्चयों की cardinality गिनकर गुणा करें। / Set \(A\) contains \(3,4,5,6,7,8\), so \(|A|=6\). Since \(\mathbb{N}\) is specified as the set of positive integers, \(B=\{1,2,3,4\}\), giving \(|B|=4\). For Cartesian products, \(|A\times B|=|A|\times|B|=6\times4=24\). Hence, the correct answer is 24. Exam tip: count the elements of both sets first, then multiply their cardinalities.
तीन समुच्चयों में कार्डिनलिटी \(2\cdot3\cdot2=12\) होती है। क्रमित त्रिक में सभी आकार गुणा करें। / The cardinality for three sets is \(2\cdot3\cdot2=12\). For ordered triples, multiply all sizes.
कार्तीय गुणनफल में पहले समुच्चय के प्रत्येक अवयव को दूसरे समुच्चय के प्रत्येक अवयव के साथ जोड़ा जाता है। इसलिए \(|B\times A|=|B|\times|A|=4\times2=8\)। विकल्प 16 लेने पर प्रायः \(4\times4\) जैसी गलत गणना होती है, जबकि दूसरे समुच्चय में केवल 2 अवयव हैं। परीक्षा-युक्ति: \(|X\times Y|=|X||Y|\) सूत्र याद रखें; क्रम बदलने पर युग्म बदल सकते हैं, पर उनकी संख्या समान रहती है। / In a Cartesian product, each element of the first set is paired with every element of the second set. Hence, \(|B\times A|=|B|\times|A|=4\times2=8\). Choosing 16 usually results from incorrectly using \(4\times4\), even though the second set has only 2 elements. Exam tip: use \(|X\times Y|=|X||Y|\); reversing the order may change the pairs, but not their total number.
शर्त \(a+b=9\) से \(b=9-a\) प्राप्त होता है। \(a=1,2,3,4,5\) के लिए क्रमशः \(b=8,7,6,5,4\) मिलते हैं। इनमें केवल \((3,6)\) और \((5,4)\) में पहला अवयव \(A\) तथा दूसरा अवयव \(B\) का सदस्य है। इसलिए ऐसे क्रमित युग्मों की संख्या 2 है। परीक्षा-युक्ति: हर \(a\) के लिए \(b=9-a\) निकालकर जाँचें कि \(b\in B\) है या नहीं। / From \(a+b=9\), we get \(b=9-a\). For \(a=1,2,3,4,5\), the corresponding values of \(b\) are \(8,7,6,5,4\), respectively. Only \((3,6)\) and \((5,4)\) have the first component in \(A\) and the second component in \(B\). Hence, the number of required ordered pairs is 2. Exam tip: For each \(a\in A\), calculate \(b=9-a\) and check whether \(b\in B\).
(a=0,1,2,3,4) के लिए (b) के क्रमशः (4,4,3,2,1) मान मिलते हैं, कुल (14)। असमानता में पंक्ति अनुसार गिनें। / For (a=0,1,2,3,4), the counts of (b) are (4,4,3,2,1), totaling (14). Count row-wise in inequality questions.
(b=1,2,3) के लिए (a) के क्रमशः (4,2,0) मान मिलते हैं, कुल (6)। सीमा हर (b) पर बदलती है। / For (b=1,2,3), the counts of (a) are (4,2,0), totaling (6). The boundary changes for each (b).
हर \(a\in A\) के लिए \(a^2\in B\) है, इसलिए (5) युग्म बनते हैं। नियम आधारित संबंध में हर पहले अवयव को जाँचें। / For every \(a\in A\), \(a^2\in B\), so (5) pairs are formed. Check each first component in a rule-based relation.
(a=2,3,4) के लिए (b) के क्रमशः (3,3,1) मान मिलते हैं, कुल (7)। विभाज्यता में प्रत्येक भाजक अलग जाँचें। / For (a=2,3,4), the counts of (b) are (3,3,1), totaling (7). Check each divisor separately.
अनुकूल युग्म ((2,2),(2,4),(2,6),(4,2),(8,2)) हैं, इसलिए संख्या (5) है। \(\gcd\) में साझा गुणनखंड सावधानी से देखें। / The suitable pairs are ((2,2),(2,4),(2,6),(4,2),(8,2)), so the count is (5). Check common factors carefully in \(\gcd\) questions.
\(|A\times B|=20\), इसलिए ठीक (2) युग्म चुनने के तरीके \(\binom{20}{2}=190\) हैं। ठीक संख्या पूछी हो तो संयोजन लगाएँ। / Since \(|A\times B|=20\), the number of ways to choose exactly (2) pairs is \(\binom{20}{2}=190\). Use combinations for exact-size subsets.
संबंध \(A\times B\) का उपसमुच्चय है और \(|A\times B|=15\), इसलिए संख्या \(2^{15}=32768\) है। संबंधों की संख्या के लिए (2) की घात लगती है। / A relation is a subset of \(A\times B\), and \(|A\times B|=15\), so the number is \(2^{15}=32768\). Number of relations uses a power of (2).
पहले संघ ज्ञात करें: \(B\cup C=\{2,4,6,8\}\), जिसमें 4 अवयव हैं। \(A\) में भी 4 अवयव हैं। कार्तीय गुणनफल के लिए \(|A\times D|=|A|\cdot|D|\) होता है, इसलिए \(|A\times(B\cup C)|=4\times4=16\)। परीक्षा में पहले संघ या प्रतिच्छेद में दोहराए गए अवयवों को केवल एक बार गिनना याद रखें। / First find the union: \(B\cup C=\{2,4,6,8\}\), which has 4 elements. Set \(A\) also has 4 elements. For a Cartesian product, \(|A\times D|=|A|\cdot|D|\), so \(|A\times(B\cup C)|=4\times4=16\). As an exam tip, count repeated elements in a union only once before multiplying cardinalities.
पहले प्रतिच्छेद ज्ञात करें: \(B\cap C=\{2,4\}\), इसलिए \(|B\cap C|=2\)। कार्तीय गुणनफल के लिए \(|A\times(B\cap C)|=|A|\cdot|B\cap C|=3\cdot2=6\)। अतः सही उत्तर 6 है। विकल्प 9 लेने पर प्रतिच्छेद में तीन अवयव मान लिए जाते हैं, जो गलत है। परीक्षा-युक्ति: \(|X\times Y|=|X||Y|\) का प्रयोग करने से पहले प्रतिच्छेद या संघ के अवयवों की संख्या निकालें। / First find the intersection: \(B\cap C=\{2,4\}\), so \(|B\cap C|=2\). For a Cartesian product, \(|A\times(B\cap C)|=|A|\cdot|B\cap C|=3\cdot2=6\). Therefore, the correct answer is 6. Choosing 9 incorrectly treats the intersection as having three elements. Exam tip: determine the cardinality of the resulting set before applying \(|X\times Y|=|X||Y|\).
(B-C={2,4}), इसलिए \(A\times(B-C)\) में (6) युग्म हैं। अंतर में केवल (B) के बचे अवयव लें। / (B-C={2,4}), so \(A\times(B-C)\) has (6) pairs. In set difference, keep only elements remaining from (B).
(\(A\times B\)\cap\(A\times C\)=A\times\(B\cap C\)) और \(B\cap C={3}\)। इसलिए कार्डिनलिटी \(3\cdot1=3\) है। / (\(A\times B\)\cap\(A\times C\)=A\times\(B\cap C\)), and \(B\cap C={3}\). Hence the cardinality is \(3\cdot1=3\).
(\(A\times B\)\cup\(A\times C\)=A\times\(B\cup C\)) और \(B\cup C={2,3,4,5}\)। इसलिए \(2\cdot4=8\) अवयव हैं। / (\(A\times B\)\cup\(A\times C\)=A\times\(B\cup C\)), and \(B\cup C={2,3,4,5}\). Thus there are \(2\cdot4=8\) elements.
युग्म ((1,4),(2,5),(4,1),(5,2)) हैं, कुल (4)। उलटे क्रमित युग्म अलग गिने जाते हैं। / The pairs are ((1,4),(2,5),(4,1),(5,2)), totaling (4). Reversed ordered pairs are counted separately.
योग \(a+b\) तभी सम होगा जब \(a\) और \(b\) दोनों सम हों या दोनों विषम हों। सम संख्याएँ: \(A\) में 3 और \(B\) में 2, इसलिए ऐसे युग्म \(3\times2=6\) हैं। विषम संख्याएँ: \(A\) में 2 और \(B\) में 2, इसलिए \(2\times2=4\) युग्म हैं। कुल \(6+4=10\), अतः सही उत्तर B है। विकल्प 12 में सामान्यतः किसी एक समता-वर्ग की गिनती गलत जुड़ जाती है। परीक्षा-टिप: सम योग के लिए ‘सम-सम’ और ‘विषम-विषम’ मामलों को अलग-अलग गिनें। / The sum \(a+b\) is even exactly when both \(a\) and \(b\) are even or both are odd. Set \(A\) has 3 even and 2 odd elements, while set \(B\) has 2 even and 2 odd elements. Thus, the number of even-even pairs is \(3\times2=6\), and the number of odd-odd pairs is \(2\times2=4\). Therefore, the total is \(6+4=10\), so option B is correct. The distractor 12 usually results from miscounting one parity group. Exam tip: for an even sum, count the even-even and odd-odd cases separately.
(a=1,2,3,4,5,6) के लिए (b) के (4,4,4,3,2,1) मान मिलते हैं, कुल (18)। \(\le\) में बराबरी भी गिनें। / For (a=1,2,3,4,5,6), the counts of (b) are (4,4,4,3,2,1), totaling (18). Include equality in \(\le\).
गुणनफल विषम तभी होगा जब दोनों अवयव विषम हों। (A) में (3) और (B) में (2) विषम अवयव हैं, इसलिए \(3\cdot2=6\)। / The product is odd only when both components are odd. (A) has (3) odd elements and (B) has (2), so \(3\cdot2=6\).
प्रत्येक a ∈ A के लिए b = 3a जाँचते हैं। a = 1, 2, 3, 4 के लिए क्रमशः b = 3, 6, 9, 12 प्राप्त होते हैं, और ये सभी B में हैं। a = 5 के लिए b = 15 मिलता है, जो B में नहीं है। इसलिए युग्म हैं (1, 3), (2, 6), (3, 9) और (4, 12), अर्थात कुल 4 युग्म। परीक्षा-युक्ति: ऐसे प्रश्नों में केवल वे a मान गिनें जिनके लिए 3a, B का सदस्य हो। / For each a ∈ A, evaluate b = 3a. For a = 1, 2, 3, and 4, the corresponding values of b are 3, 6, 9, and 12, all of which belong to B. For a = 5, b = 15, which is not in B. Thus the valid ordered pairs are (1, 3), (2, 6), (3, 9), and (4, 12), giving a total of 4 pairs. Exam tip: Count only those values of a for which 3a is an element of B.
समीकरण \(a-2b=1\) से \(a=2b+1\) प्राप्त होता है। \(b\) के मान \(0,1,2,3\) रखने पर क्रमशः \(a=1,3,5,7\) मिलते हैं, और ये सभी \(A\) में हैं। इसलिए युग्म \((1,0),(3,1),(5,2),(7,3)\) हैं तथा कुल 4 युग्म हैं। परीक्षा-युक्ति: पहले छोटे समुच्चय के प्रत्येक मान को समीकरण में रखकर जाँच करें कि प्राप्त मान दूसरे समुच्चय में है या नहीं। / From \(a-2b=1\), we get \(a=2b+1\). Substituting \(b=0,1,2,3\) gives \(a=1,3,5,7\), respectively, and all these values belong to \(A\). Thus the valid ordered pairs are \((1,0),(3,1),(5,2),(7,3)\), giving a total of 4 pairs. Exam tip: test every value of one set in the equation and retain only those for which the resulting value belongs to the other set.
दो संख्याओं का अंतर तभी सम होता है जब दोनों की समता समान हो, अर्थात दोनों सम या दोनों विषम हों। सम संख्याओं से बनने वाले युग्मों की संख्या \(2\times2=4\) है, क्योंकि \(A\) में 2 सम और \(B\) में 2 सम संख्याएँ हैं। विषम संख्याओं से बनने वाले युग्मों की संख्या \(2\times3=6\) है। अतः कुल युग्म \(4+6=10\) हैं। परीक्षा-युक्ति: सम अंतर के लिए समान समता वाले पदों की गिनती करके गुणा करें। / The difference of two integers is even exactly when both integers have the same parity—both even or both odd. Set \(A\) has 2 even and 2 odd numbers, while set \(B\) has 2 even and 3 odd numbers. Therefore, the number of valid ordered pairs is \(2\times2+2\times3=4+6=10\). The pairs are ordered, so the first element is selected from \(A\) and the second from \(B\). Exam tip: for an even difference, count pairs with matching parity.
कुल (36) युग्म हैं और बराबर युग्म (6) हैं, इसलिए (36-6=30)। पूरक गिनती तेज तरीका है। / There are (36) total pairs and (6) equal pairs, so (36-6=30). Complement counting is a quick method.
हर \(a\in A\) का \(a^2\) (B) में है, इसलिए (7) युग्म बनते हैं। ऋणात्मक संख्याओं के वर्ग को ध्यान से देखें। / For every \(a\in A\), \(a^2\) is in (B), so (7) pairs are formed. Watch squares of negative numbers carefully.
सभी योग जाँचने पर अभाज्य योग वाले (10) युग्म मिलते हैं। ऐसे प्रश्नों में संभावित योगों को व्यवस्थित रूप से जाँचें। / Checking all sums gives (10) pairs with prime sum. In such questions, test possible sums systematically.
शर्त (b=4a) है, इसलिए ((1,4),(2,8),(4,16)) मिलते हैं। भिन्न को सरल समीकरण में बदलें। / The condition is (b=4a), so the pairs are ((1,4),(2,8),(4,16)). Convert the fraction into a simple equation.
संतुष्ट युग्म ((4,4),(4,5),(5,4),(5,5),(5,5)) नहीं गिने जाते दो बार; सही युग्म ((4,4),(4,5),(5,4),(5,5),(5,4)) नहीं बल्कि कुल (4) हैं। / The satisfying pairs are ((4,4),(4,5),(5,4),(5,5)), so the total is (4). Count each ordered pair once.
योग (5) से विभाज्य होने वाले युग्म ((1,4),(2,3),(3,2),(4,1)) हैं। शेषफल के आधार पर गिनना आसान होता है। / The pairs with sum divisible by (5) are ((1,4),(2,3),(3,2),(4,1)). Counting by remainders is easier.
(a=1,2,3,4,5) के लिए (b) के (6,3,2,1,1) मान हैं, कुल (13)। हर (a) के गुणज (B) में गिनें। / For (a=1,2,3,4,5), the counts of (b) are (6,3,2,1,1), totaling (13). Count multiples of each (a) inside (B).
दूसरे अवयवों का समुच्चय \(C=\{1,3,5\}\) है। मूल समुच्चय पहचानते समय युग्म का स्थान देखें। / The set of second components is \(C=\{1,3,5\}\). Observe the position in each pair to identify the original set.
क्योंकि (A) रिक्त नहीं है और \(A\times B=\varnothing\), इसलिए \(B=\varnothing\)। रिक्त गुणनफल में कम से कम एक समुच्चय रिक्त होता है। / Since (A) is non-empty and \(A\times B=\varnothing\), we must have \(B=\varnothing\). An empty product means at least one set is empty.
((5,6)) में पहला अवयव (5) है, जो (A) में नहीं है। सदस्यता में दोनों स्थान अलग-अलग जाँचें। / In ((5,6)), the first component (5) is not in (A). Check both positions separately for membership.
समुच्चय में क्रम महत्व नहीं रखता, इसलिए (A=B) है और दोनों गुणनफल समान हैं। पहले देखें कि दोनों समुच्चय वास्तव में समान हैं या नहीं। / Order inside a set does not matter, so (A=B), and both products are equal. First check whether the two sets are actually the same.
यहाँ \(|A|=4\) है। कार्तीय गुणनफल के लिए \(|A\times B|=|A|\cdot|B|\), इसलिए \(28=4\cdot|B|\) और \(|B|=28/4=7\)। अतः सही उत्तर 7 है। परीक्षा में याद रखें कि दो सीमित समुच्चयों के कार्तीय गुणनफल में अवयवों की संख्या उनके कार्डिनलिटी के गुणनफल के बराबर होती है। / Here, \(|A|=4\). For the Cartesian product, \(|A\times B|=|A|\cdot|B|\). Thus, \(28=4\cdot|B|\), giving \(|B|=28/4=7\). Therefore, the correct answer is 7. Exam tip: the number of ordered pairs in a Cartesian product equals the product of the cardinalities of the two sets.
\(|A\times B|=12\), इसलिए गैर-रिक्त उपसमुच्चय \(2^{12}-1=4095\) हैं। रिक्त समुच्चय घटाना न भूलें। / \(|A\times B|=12\), so non-empty subsets are \(2^{12}-1=4095\). Do not forget to subtract the empty set.
शर्त से ((1,4),(2,3),(3,2),(4,1)) मिलते हैं, इसलिए (4) अवयव हैं। संबंध \(A\times B\) का उपसमुच्चय होता है। / The condition gives ((1,4),(2,3),(3,2),(4,1)), so there are (4) elements. A relation is a subset of \(A\times B\).
सम संख्या और विषम संख्या का योग हमेशा विषम होता है। समता वाले प्रश्न में सभी युग्म लिखना जरूरी नहीं है। / The sum of an even number and an odd number is always odd. In parity questions, listing all pairs is not necessary.
(\gcd(a,b)=1) वाले युग्म गिनने पर (19) मिलते हैं। (1) हर संख्या के साथ परस्पर अभाज्य होता है। / Counting pairs with (\gcd(a,b)=1) gives (19). The number (1) is coprime with every number.
(a=0,1,2,3) के लिए (b) के (5,4,3,2) मान मिलते हैं, कुल (14)। कठोर असमानता में सीमा बराबर नहीं गिनी जाती। / For (a=0,1,2,3), the counts of (b) are (5,4,3,2), totaling (14). In a strict inequality, the boundary is not included.
शर्त \(a+b=11\) से \(b=11-a\) प्राप्त होता है। \(a\in A\) के लिए जाँच करने पर मान्य युग्म \((1,10),(3,8),(5,6)\) मिलते हैं; इन सभी में दूसरा अवयव \(B\) में है। इसलिए कुल 3 युग्म हैं। परीक्षा-युक्ति: योग विषम होने पर, यहाँ \(B\) के सभी अवयव सम होने के कारण \(a\) विषम होना चाहिए—इससे केवल \(1,3,5\) जाँचने पड़ते हैं। / From \(a+b=11\), we get \(b=11-a\). Checking the elements of \(A\), the valid ordered pairs are \((1,10),(3,8),(5,6)\), and each second component belongs to \(B\). Thus, there are 3 pairs. Exam tip: Since 11 is odd and every element of \(B\) is even, \(a\) must be odd; therefore, only \(1,3,5\) need to be checked.
योग (7) और (a<b) के लिए ((1,6),(2,5),(3,4)) मिलते हैं। संयुक्त शर्तों को क्रम से लगाएँ। / For sum (7) and (a<b), the pairs are ((1,6),(2,5),(3,4)). Apply combined conditions step by step.
(a=1,2,3,4) के लिए (b) के (4,3,2,1) मान मिलते हैं, कुल (10)। \(\le\) में बराबरी शामिल होती है। / For (a=1,2,3,4), the counts of (b) are (4,3,2,1), totaling (10). The symbol \(\le\) includes equality.
(a=2,3,5) के लिए (b) के क्रमशः (4,3,2) मान मिलते हैं, कुल (9)। हर (a) के गुणज (B) में गिनें। / For (a=2,3,5), the counts of (b) are (4,3,2), totaling (9). Count multiples of each (a) in (B).
(a=1,2,3,4,5) के लिए (b) के (6,5,3,2,2) मान मिलते हैं, कुल (18)। गुणन शर्त में सीमा बदलती है। / For (a=1,2,3,4,5), the counts of (b) are (6,5,3,2,2), totaling (18). In product conditions, the boundary changes.
\(|A\times B|=2\cdot3=6\) और फिर \(6\cdot3=18\)। नेस्टेड गुणनफल में भी कार्डिनलिटी गुणा होती है। / \(|A\times B|=2\cdot3=6\), and then \(6\cdot3=18\). Cardinality also multiplies in nested products.
कुल (25) युग्म हैं और विकर्ण युग्म (5) हैं, इसलिए (25-5=20)। विकर्ण हटाने पर \(a\ne b\) वाले युग्म बचते हैं। / There are (25) total pairs and (5) diagonal pairs, so (25-5=20). Removing the diagonal leaves pairs with \(a\ne b\).
दो संख्याओं का योग 2 से तभी विभाज्य होता है जब दोनों की समता समान हो—अर्थात दोनों सम या दोनों विषम हों। सम संख्याएँ: \(A\) में 3 और \(B\) में 2, इसलिए \(3\times2=6\) युग्म। विषम संख्याएँ भी दोनों समुच्चयों में क्रमशः 3 और 2 हैं, इसलिए \(3\times2=6\) युग्म। कुल \(6+6=12\), अतः सही विकल्प B है। विषम-सम या सम-विषम युग्मों का योग विषम होगा। परीक्षा-युक्ति: विभाज्यता के ऐसे प्रश्नों में पहले सम और विषम अवयवों की संख्या अलग-अलग गिनें। / The sum of two integers is divisible by 2 exactly when both integers have the same parity—both even or both odd. There are 3 even elements in \(A\) and 2 in \(B\), giving \(3\times2=6\) pairs. Similarly, there are 3 odd elements in \(A\) and 2 in \(B\), giving another \(3\times2=6\) pairs. Thus, the total is \(6+6=12\), so option B is correct. Mixed-parity pairs have an odd sum and must not be counted. Exam tip: For parity-based counting, first separate the elements of each set into even and odd groups.
(a=1,2,3,4) के लिए (b) के क्रमशः (3,2,1,0) मान मिलते हैं, कुल (6)। शर्त को हर पहले अवयव पर लगाएँ। / For (a=1,2,3,4), the counts of (b) are (3,2,1,0), totaling (6). Apply the condition to each first component.
