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\(A\times B\) में पहला अवयव (A) से और दूसरा अवयव (B) से आता है। क्रमित युग्म में क्रम बदलने से उत्तर बदल जाता है। / In \(A\times B\), the first component comes from (A) and the second from (B). Changing order changes the ordered pair.
योग (4) से विभाज्य होने वाले युग्म ((1,3),(2,2),(3,1),(4,4),(5,3)) हैं। ऐसे प्रश्नों में शेषफल के आधार पर गिनती करें। / The pairs with sum divisible by (4) are ((1,3),(2,2),(3,1),(4,4),(5,3)). In such questions, count using remainders.
यहाँ \(A=\{2,3,4,5,6\}\) और \(B=\{1,3,5,7\}\), इसलिए \(|A\times B|=5\cdot4=20\)। पहले दोनों समुच्चयों की संख्या गिनें। / Here \(A=\{2,3,4,5,6\}\) and \(B=\{1,3,5,7\}\), so \(|A\times B|=5\cdot4=20\). First count both sets.
(a=1,2,3,4) के लिए (b) के क्रमशः (4,3,2,1) मान मिलते हैं, इसलिए कुल (10) युग्म हैं। असमानता में हर पहले अवयव पर सीमा अलग जाँचें। / For (a=1,2,3,4), the counts of (b) are (4,3,2,1), so there are (10) pairs. In inequalities, check the boundary for each first component.
तीन समुच्चयों के गुणनफल में कार्डिनलिटी \(3\cdot2\cdot3=18\) होती है। क्रमित त्रिक में सभी समुच्चयों के आकार गुणा करें। / For product of three sets, the cardinality is \(3\cdot2\cdot3=18\). For ordered triples, multiply the sizes of all sets.
\(|B\times A|=|B|\cdot|A|=2\cdot3=6\)। क्रम बदलने से युग्म बदलते हैं, पर कार्डिनलिटी समान रहती है। / \(|B\times A|=|B|\cdot|A|=2\cdot3=6\). Reversing order changes pairs but not the cardinality.
A के प्रत्येक अवयव के लिए b = 8 − a जाँचते हैं। a = 1 पर b = 7, जो B में नहीं है; a = 2 पर b = 6, जो B में है; a = 3 पर b = 5, जो B में नहीं है; और a = 4 पर b = 4, जो B में है। इसलिए मान्य युग्म (2, 6) और (4, 4) हैं, अर्थात कुल 2 युग्म। परीक्षा-युक्ति: A × B में पहला अवयव A से और दूसरा अवयव B से लिया जाता है। / For each element of A, calculate b = 8 − a. When a = 1, b = 7, which is not in B; when a = 2, b = 6, which is in B; when a = 3, b = 5, which is not in B; and when a = 4, b = 4, which is in B. Thus, the valid pairs are (2, 6) and (4, 4), giving a total of 2 pairs. Exam tip: In A × B, the first element must come from A and the second from B.
(a=0,1,2,3) के लिए (b) के क्रमशः (4,3,2,1) मान मिलते हैं, कुल (10)। असमानता में पंक्ति के अनुसार गिनती करें। / For (a=0,1,2,3), the counts of (b) are (4,3,2,1), totaling (10). Count row-wise in inequality questions.
(b=1) पर (a=2,3,4,5) मिलते हैं और (b=2,3) पर क्रमशः (2,0) मान मिलते हैं, कुल (4+2+0=6) नहीं बल्कि (6) है। सही विकल्प (D) होना चाहिए। / For (b=1), (a=2,3,4,5); for (b=2,3), counts are (2,0), so total is (6). The correct option should be (D).
हर \(a\in A\) के लिए \(a^2\in B\) है, इसलिए (4) युग्म बनते हैं। नियम आधारित प्रश्न में सभी पहले अवयव जाँचें। / For every \(a\in A\), \(a^2\in B\), so (4) pairs are formed. In rule-based questions, check all first components.
(a=1) से (4), (a=2) से (2), और (a=3) से (1) युग्म मिलते हैं, कुल (7)। विभाज्यता में प्रत्येक भाजक को अलग जाँचें। / For (a=1), there are (4) pairs; for (a=2), (2); and for (a=3), (1), totaling (7). Check each divisor separately.
ऐसे युग्म ((2,2),(2,4),(4,2)) हैं, इसलिए संख्या (3) है। \(\gcd\) वाले प्रश्न में सामान्य गुणनखंड जाँचें। / The pairs are ((2,2),(2,4),(4,2)), so the number is (3). In \(\gcd\) questions, check common factors.
\(|A\times B|=12\), इसलिए ठीक (3) युग्म चुनने के तरीके \(\binom{12}{3}=220\) हैं। ठीक संख्या पूछी हो तो संयोजन लगाएँ। / Since \(|A\times B|=12\), the number of ways to choose exactly (3) pairs is \(\binom{12}{3}=220\). Use combinations when an exact size is asked.
संबंध \(A\times B\) का उपसमुच्चय है और \(|A\times B|=10\), इसलिए संख्या \(2^{10}=1024\) है। संबंधों की संख्या के लिए घात (2) लगती है। / A relation is a subset of \(A\times B\), and \(|A\times B|=10\), so the number is \(2^{10}=1024\). Number of relations uses a power of (2).
\(B\cup C={2,3,4,5}\), इसलिए (|A\times\(B\cup C\)|=3\cdot4=12)। पहले संघ निकालें फिर गुणा करें। / \(B\cup C={2,3,4,5}\), so (|A\times\(B\cup C\)|=3\cdot4=12). Find the union first, then multiply.
पहले प्रतिच्छेद ज्ञात करें: \(B\cap C=\{2,5\}\), इसलिए \(|B\cap C|=2\) और \(|A|=4\)। कार्तीय गुणनफल के लिए \(|A\times(B\cap C)|=|A|\,|B\cap C|=4\times2=8\)। अतः सही उत्तर B है। परीक्षा-युक्ति: कार्तीय गुणनफल की क्रमित युग्मों की संख्या निकालने के लिए दोनों समुच्चयों की कार्डिनैलिटी का गुणन करें। / First find the intersection: \(B\cap C=\{2,5\}\), so \(|B\cap C|=2\) and \(|A|=4\). For a Cartesian product, \(|A\times(B\cap C)|=|A|\,|B\cap C|=4\times2=8\). Therefore, option B is correct. Exam tip: the number of ordered pairs in a Cartesian product equals the product of the cardinalities of the two sets.
(B-C={1}), इसलिए \(A\times(B-C)={(0,1),(1,1),(2,1)}\)। अंतर में केवल (B) के बचे अवयव लें। / (B-C={1}), so \(A\times(B-C)={(0,1),(1,1),(2,1)}\). In difference, take only remaining elements of (B).
(\(A\times B\)\cap\(A\times C\)=A\times\(B\cap C\)) और \(B\cap C={3}\)। इसलिए कार्डिनलिटी \(2\cdot1=2\) है। / (\(A\times B\)\cap\(A\times C\)=A\times\(B\cap C\)), and \(B\cap C={3}\). Hence the cardinality is \(2\cdot1=2\).
(\(A\times B\)\cup\(A\times C\)=A\times\(B\cup C\)) और \(B\cup C={4,5,6}\)। इसलिए \(3\cdot3=9\) अवयव हैं। / (\(A\times B\)\cup\(A\times C\)=A\times\(B\cup C\)), and \(B\cup C={4,5,6}\). Thus there are \(3\cdot3=9\) elements.
युग्म ((1,2),(2,1),(2,3),(3,2),(3,4),(4,3)) हैं, कुल (6)। उलटे क्रमित युग्म अलग गिने जाते हैं। / The pairs are ((1,2),(2,1),(2,3),(3,2),(3,4),(4,3)), totaling (6). Reversed ordered pairs are counted separately.
योग \(a+b\) सम तभी होगा जब \(a\) और \(b\) दोनों सम हों या दोनों विषम हों। प्रत्येक समुच्चय में 2 सम संख्याएँ \((0,2)\) और 2 विषम संख्याएँ \((1,3)\) हैं। इसलिए अनुकूल युग्मों की संख्या \(2\times2+2\times2=8\) है। अतः सही विकल्प B है। परीक्षा-युक्ति: दो संख्याओं का योग सम होने के लिए उनकी समता समान होनी चाहिए। / The sum \(a+b\) is even when both \(a\) and \(b\) are even or both are odd. Each set contains 2 even numbers, \(0,2\), and 2 odd numbers, \(1,3\). Hence, the number of favourable ordered pairs is \(2\times2+2\times2=8\). Therefore, option B is correct. Exam tip: the sum of two integers is even exactly when they have the same parity.
(a=1,2,3,4,5) के लिए (b) के (4,4,3,2,1) मान हैं, कुल (14)। सीमा सहित असमानता में बराबरी भी गिनें। / For (a=1,2,3,4,5), the counts of (b) are (4,4,3,2,1), totaling (14). Include equality in a boundary inequality.
कुल (16) युग्म हैं और (ab) विषम केवल तब है जब दोनों विषम हों, ऐसे \(2\cdot2=4\) हैं। इसलिए सम गुणनफल (16-4=12) हैं। / There are (16) total pairs, and (ab) is odd only when both are odd, giving \(2\cdot2=4\). Hence even products are (16-4=12).
शर्त से ((1,2)) और ((2,4)) मिलते हैं; (a=3,4) पर (b) (B) में नहीं है। इसलिए (2) युग्म हैं। / The condition gives ((1,2)) and ((2,4)); for (a=3,4), (b) is not in (B). Hence there are (2) pairs.
दिया गया समीकरण a − 2b = 1 को a = 2b + 1 के रूप में लिखें। B के प्रत्येक मान के लिए a का मान जाँचने पर b = 0 से a = 1, b = 1 से a = 3 और b = 2 से a = 5 मिलता है। ये सभी A में हैं, इसलिए क्रमित युग्म (1, 0), (3, 1) और (5, 2) हैं। अतः कुल 3 युग्म हैं। परीक्षा-युक्ति: ऐसी गिनती में B के प्रत्येक मान को रखकर प्राप्त a का A में होना अवश्य जाँचें। / Rewrite the condition as a = 2b + 1. For b = 0, 1 and 2, the corresponding values of a are 1, 3 and 5, respectively. All three values belong to A, giving the ordered pairs (1, 0), (3, 1) and (5, 2). Therefore, the total number of pairs is 3. Exam tip: Substitute every element of one set and verify that the resulting element belongs to the other set.
दो पूर्णांकों का अंतर तभी विषम होता है जब उनकी समता अलग हो। समुच्चय \(A\) में 2 सम और 2 विषम संख्याएँ हैं, जबकि \(B\) में 2 सम और 3 विषम संख्याएँ हैं। इसलिए अनुकूल क्रमित युग्मों की संख्या \(2\times3+2\times2=10\) होगी: \(a\) सम और \(b\) विषम, या \(a\) विषम और \(b\) सम। ध्यान रखें कि \(A\times B\) में क्रमित युग्म होते हैं, इसलिए क्रम और समुच्चय का स्थान महत्वपूर्ण है। / The difference of two integers is odd exactly when they have opposite parity. Set \(A\) contains 2 even and 2 odd numbers, while set \(B\) contains 2 even and 3 odd numbers. Thus, the number of favourable ordered pairs is \(2\times3+2\times2=10\): either \(a\) is even and \(b\) is odd, or \(a\) is odd and \(b\) is even. Exam tip: remember that \(A\times B\) consists of ordered pairs, so the first component must come from \(A\) and the second from \(B\).
कुल (25) युग्म हैं और बराबर युग्म (5) हैं, इसलिए (25-5=20)। पूरक गिनती तेज तरीका है। / There are (25) total pairs and (5) equal pairs, so (25-5=20). Complement counting is a quick method.
हर \(a\in A\) के लिए \(a^2\) (B) में है, इसलिए (5) युग्म बनते हैं। ऋणात्मक संख्याओं के वर्ग को ध्यान से देखें। / For every \(a\in A\), \(a^2\) is in (B), so (5) pairs are formed. Watch squares of negative numbers carefully.
सभी योग जाँचने पर अभाज्य योग वाले (7) युग्म मिलते हैं। ऐसे प्रश्नों में (2,3,5,7) जैसे अभाज्य योग देखें। / Checking all sums gives (7) pairs with prime sum. In such questions, look for prime sums like (2,3,5,7).
शर्त (b=2a) है, इसलिए ((1,2),(2,4),(3,6)) मिलते हैं। भिन्न को सरल समीकरण में बदलें। / The condition is (b=2a), so the pairs are ((1,2),(2,4),(3,6)). Convert the fraction into a simple equation.
संतुष्ट युग्म ((3,3),(3,4),(4,3),(4,4)) नहीं बल्कि ((3,3),(3,4),(4,3),(4,4)) कुल (4) हैं। सही विकल्प (C) होना चाहिए। / The satisfying pairs are ((3,3),(3,4),(4,3),(4,4)), totaling (4). The correct option should be (C).
योग (3) से विभाज्य होने वाले युग्म ((1,2),(2,1),(2,4),(3,3)) हैं। इसलिए कुल (4) युग्म हैं। / The pairs with sum divisible by (3) are ((1,2),(2,1),(2,4),(3,3)). Hence there are (4) pairs.
(a=1,2,3,4) के लिए (b) के (5,2,1,1) मान हैं, कुल (9) नहीं बल्कि (9) हैं। सही विकल्प (B) होना चाहिए। / For (a=1,2,3,4), the counts of (b) are (5,2,1,1), totaling (9). The correct option should be (B).
दूसरे अवयवों का समुच्चय \(C=\{3,4,5\}\) है। कार्तीय गुणनफल से मूल समुच्चय पहचानते समय स्थान देखें। / The set of second components is \(C=\{3,4,5\}\). When identifying original sets, observe the positions.
क्योंकि (B) रिक्त नहीं है और \(A\times B=\varnothing\), इसलिए \(A=\varnothing\)। रिक्त गुणनफल में कम से कम एक समुच्चय रिक्त होता है। / Since (B) is non-empty and \(A\times B=\varnothing\), we must have \(A=\varnothing\). An empty product means at least one set is empty.
((4,5)) में पहला अवयव (4) है, जो (A) में नहीं है। सदस्यता में पहला और दूसरा स्थान अलग-अलग जाँचें। / In ((4,5)), the first component (4) is not in (A). Check the first and second positions separately.
उदाहरण के लिए \((1,4)\in A\times B\), पर \((1,4)\notin B\times A\) है। इसलिए बराबरी गलत है। / For example, \((1,4)\in A\times B\), but \((1,4)\notin B\times A\). Therefore the equality is false.
किसी भी दो सीमित समुच्चयों के लिए \(|A\times B|=|A|\cdot|B|\) होता है। यहाँ \(|A|=3\) और \(|A\times B|=15\), इसलिए \(3\cdot|B|=15\), जिससे \(|B|=15\div3=5\)। विकल्प 4 केवल \(15\) को गलत तरीके से घटाने या अनुमान लगाने से मिल सकता है। परीक्षा-युक्ति: कार्तीय गुणनफल की कार्डिनैलिटी में दोनों समुच्चयों की कार्डिनैलिटी का गुणन किया जाता है। / For two finite sets, \(|A\times B|=|A|\cdot|B|\). Here, \(|A|=3\) and \(|A\times B|=15\), so \(3\cdot|B|=15\), giving \(|B|=15\div3=5\). The value 4 results from an incorrect operation or guess. Exam tip: remember that the cardinality of a Cartesian product is the product of the cardinalities of the two sets.
\(|A\times B|=12\), इसलिए गैर-रिक्त उपसमुच्चय \(2^{12}-1=4095\) हैं। रिक्त समुच्चय घटाना न भूलें। / \(|A\times B|=12\), so non-empty subsets are \(2^{12}-1=4095\). Do not forget to subtract the empty set.
शर्त से ((1,3),(2,2),(3,1)) मिलते हैं, इसलिए (3) अवयव हैं। संबंध \(A\times B\) का चुना हुआ भाग होता है। / The condition gives ((1,3),(2,2),(3,1)), so there are (3) elements. A relation is a selected part of \(A\times B\).
(B) के सभी अवयव विषम हैं, इसलिए योग विषम तभी होगा जब (a) सम हो। (a) के (2) सम मान और (B) के (3) मान हैं, कुल (6)। / All elements of (B) are odd, so the sum is odd only when (a) is even. There are (2) even values of (a) and (3) values in (B), totaling (6).
प्रत्येक \(a\in A\) के लिए \(b=10-a\) होना चाहिए। जाँचने पर \(a=1\) के लिए \(b=9\) (जो \(B\) में नहीं है), \(a=2\) के लिए \(b=8\), \(a=3\) के लिए \(b=7\) (जो \(B\) में नहीं है), और \(a=4\) के लिए \(b=6\) मिलता है। अतः युग्म \((2,8)\) और \((4,6)\) हैं, इसलिए कुल \(2\) युग्म हैं। परीक्षा-युक्ति: क्रमित युग्म में \(a\) और \(b\) की भूमिकाएँ अलग होती हैं, इसलिए दोनों अवयवों का अपने-अपने समुच्चय में होना जाँचें। / For each \(a\in A\), we must have \(b=10-a\). The possibilities are \(b=9\) for \(a=1\) (not in \(B\)), \(b=8\) for \(a=2\), \(b=7\) for \(a=3\) (not in \(B\)), and \(b=6\) for \(a=4\). Thus, the valid ordered pairs are \((2,8)\) and \((4,6)\), giving a total of \(2\) pairs. Exam tip: because these are ordered pairs, verify that the first component belongs to \(A\) and the second belongs to \(B\).
योग (6) वाले युग्मों में (a<b) के लिए ((1,5)) और ((2,4)) ही मिलते हैं। संयुक्त शर्तों को एक-एक करके लगाएँ। / Among pairs with sum (6), only ((1,5)) and ((2,4)) have (a<b). Apply combined conditions one by one.
(a=1,2,3) के लिए (b) के (3,2,1) मान मिलते हैं, कुल (6)। \(\le\) में बराबरी भी शामिल होती है। / For (a=1,2,3), the counts of (b) are (3,2,1), totaling (6). The symbol \(\le\) includes equality.
(a=2,3,4) के लिए (b) के क्रमशः (4,3,2) मान मिलते हैं, कुल (9)। हर (a) के गुणज (B) में गिनें। / For (a=2,3,4), the counts of (b) are (4,3,2), totaling (9). Count multiples of each (a) inside (B).
(a=1,2,3,4) के लिए (b) के (6,4,2,2) मान मिलते हैं, कुल (14)। गुणन शर्त में प्रत्येक (a) पर सीमा अलग होती है। / For (a=1,2,3,4), the counts of (b) are (6,4,2,2), totaling (14). In product conditions, the limit changes for each (a).
\(|A\times B|=3\cdot2=6\) और फिर \(6\cdot2=12\)। नेस्टेड गुणनफल में भी कार्डिनलिटी गुणा होती है। / \(|A\times B|=3\cdot2=6\), and then \(6\cdot2=12\). Cardinality still multiplies in nested products.
कुल (16) युग्म हैं और विकर्ण युग्म (4) हैं, इसलिए (16-4=12)। विकर्ण हटाने पर \(a\ne b\) वाले युग्म बचते हैं। / There are (16) total pairs and (4) diagonal pairs, so (16-4=12). Removing the diagonal leaves pairs with \(a\ne b\).
a + b, 2 से तभी विभाज्य होगा जब a और b दोनों सम हों या दोनों विषम हों। सम संख्याएँ: A में 2 और B में 2, इसलिए 2 × 2 = 4 युग्म। विषम संख्याएँ: A में 3 और B में 2, इसलिए 3 × 2 = 6 युग्म। अतः कुल युग्म 4 + 6 = 10 हैं। ध्यान रखें कि क्रमित युग्मों में (a, b) और (b, a) सामान्यतः अलग माने जाते हैं। / a + b is divisible by 2 precisely when a and b have the same parity. The even elements are 2 in A and 2 in B, giving 2 × 2 = 4 pairs. The odd elements are 3 in A and 2 in B, giving 3 × 2 = 6 pairs. Therefore, the total number of pairs is 4 + 6 = 10. Exam tip: count even-even and odd-odd pairs separately for divisibility by 2.
(a=1) पर (b=3,4) और (a=2) पर (b=4) मिलता है, कुल (3)। शर्त को प्रत्येक पहले अवयव पर लगाएँ। / For (a=1), (b=3,4); for (a=2), (b=4), giving total (3). Apply the condition to each first component.
