Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
(a-2-b-2=(a-b)(a+b)) लगाएँ। / Use (a-2-b-2=(a-b)(a+b)).
Step 2
Why this answer is correct
\(a-b=2\sqrt{2}\) और \(a+b=2\sqrt{6}\), इसलिए गुणन \(4\sqrt{12}=8\sqrt{3}\) है। / \(a-b=2\sqrt{2}\) and \(a+b=2\sqrt{6}\), so the product is \(4\sqrt{12}=8\sqrt{3}\).
Step 3
Exam Tip
पहचान सूत्र से हल तेज और साफ होता है। / Identities make the solution quicker and cleaner.
हर को परिमेय बनाने के लिए \(\sqrt{10}+\sqrt{6}\) से गुणा करें। / Multiply by \(\sqrt{10}+\sqrt{6}\) to rationalize the denominator.
Step 2
Why this answer is correct
ऊपर (\(\sqrt{10}+\sqrt{6}\)2=16+2\sqrt{60}) और नीचे (10-6=4) मिलता है, इसलिए मान \(4+\sqrt{15}\) है। / The numerator becomes (\(\sqrt{10}+\sqrt{6}\)2=16+2\sqrt{60}) and the denominator is (10-6=4), so the value is \(4+\sqrt{15}\).
Step 3
Exam Tip
संयुग्मी वाले भिन्नों में हर को पहले साफ करें। / In conjugate fractions, clear the denominator first.
पहले दोनों भिन्नों का साझा रूप देखें और \(a=\sqrt{7}+\sqrt{5}\) तथा \(b=\sqrt{7}-\sqrt{5}\) मानें। / First observe the common structure and take \(a=\sqrt{7}+\sqrt{5}\) and \(b=\sqrt{7}-\sqrt{5}\).
Step 2
Why this answer is correct
\(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=\frac{a^2+b^2}{ab}\) होगा। यहाँ \(a^2+b^2=24\) और (ab=2) इसलिए (x=12) है। / \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=\frac{a^2+b^2}{ab}\). Here \(a^2+b^2=24\) and (ab=2), so (x=12).
Step 3
Exam Tip
संयुग्मी मूलों वाले भिन्नों में सीधे लंबा प्रसार करने के बजाय (a) और (b) रखकर हल करें। / For fractions with conjugate surds, use substitution instead of expanding everything directly.
\(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\) अपरिमेय है। / \(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\) is irrational.
Step 2
Why this answer is correct
इसका व्युत्क्रम \(\frac{1}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{6}\) भी अपरिमेय है। / Its reciprocal \(\frac{1}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{6}\) is also irrational.
Step 3
Exam Tip
अशून्य अपरिमेय मूल के व्युत्क्रम को परिमेय मानने की गलती न करें। / Do not assume the reciprocal of a non-zero irrational surd is rational.
यदि (a) और (b) धनात्मक पूर्णांक हैं तथा \(\sqrt{a}+\sqrt{b}\) परिमेय है, जबकि (a) पूर्ण वर्ग नहीं है, तो (b) के बारे में कौन-सा निष्कर्ष निश्चित रूप से सही हो सकता है?
(a) पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए \(\sqrt{a}\) अपरिमेय है। / Since (a) is not a perfect square, \(\sqrt{a}\) is irrational.
Step 2
Why this answer is correct
दो धनात्मक वर्गमूलों का योग परिमेय तभी हो सकता है जब अपरिमेय भाग कटे, पर यहाँ दोनों पद धनात्मक हैं इसलिए कटना संभव नहीं है। / A sum of two positive square roots could become rational only if irrational parts cancel, but both terms are positive here.
Step 3
Exam Tip
धनात्मक मूलों के योग में विपरीत चिह्न न होने पर अपरिमेय भाग बचता है। / Without opposite signs, irrational surd parts remain in the sum.
A. \(12\sqrt{2}\), अपरिमेय/\(12\sqrt{2}\), irrational
Step 1
Concept
((a+b)2-(a-b)2=4ab) का प्रयोग करें। / Use ((a+b)2-(a-b)2=4ab).
Step 2
Why this answer is correct
यहाँ (a=3) और \(b=\sqrt{2}\) हैं, इसलिए \(A=4\times3\times\sqrt{2}=12\sqrt{2}\), जो अपरिमेय है। / Here (a=3) and \(b=\sqrt{2}\), so \(A=4\times3\times\sqrt{2}=12\sqrt{2}\), which is irrational.
Step 3
Exam Tip
ऐसे प्रश्न में दोनों वर्गों को पूरा फैलाने के बजाय पहचान वाला सूत्र लगाएँ। / In such questions, use the identity instead of expanding both squares fully.
(m) पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए \(\sqrt{m}\) अपरिमेय है। / Since (m) is not a perfect square, \(\sqrt{m}\) is irrational.
Step 2
Why this answer is correct
(4) परिमेय है, और अपरिमेय में परिमेय जोड़ने पर परिणाम अपरिमेय होता है। / (4) is rational, and adding it to an irrational number gives an irrational number.
Step 3
Exam Tip
पूर्ण वर्ग न होने की जानकारी को सीधे वर्गमूल की प्रकृति से जोड़ें। / Connect the non-perfect-square condition directly with the nature of the square root.
\(3\sqrt{7}\) अपरिमेय है और उसमें से परिमेय संख्या घटाने पर परिणाम अपरिमेय रहता है। / \(3\sqrt{7}\) is irrational, and subtracting a rational number keeps it irrational.
Step 3
Exam Tip
अशून्य परिमेय गुणक से गुणा करने पर मूल की अपरिमेयता बनी रहती है। / A non-zero rational multiple of a surd remains irrational.
B. \(\sqrt{72}\) अपरिमेय है क्योंकि (72) पूर्ण वर्ग नहीं है/\(\sqrt{72}\) is irrational because (72) is not a perfect square
Step 1
Concept
धनात्मक पूर्णांक का वर्गमूल परिमेय तभी होता है जब वह पूर्ण वर्ग हो। / The square root of a positive integer is rational only when the integer is a perfect square.
Step 2
Why this answer is correct
(72) पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए \(\sqrt{72}\) अपरिमेय है। / (72) is not a perfect square, so \(\sqrt{72}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
सम संख्या होना वर्गमूल को परिमेय नहीं बनाता। / Being even does not make a square root rational.
सांत और आवर्ती दशमलव परिमेय होते हैं। / Terminating and recurring decimals are rational.
Step 2
Why this answer is correct
\(1.01001000100001\ldots\) असांत है और इसमें कोई स्थिर आवर्तन नहीं है। / \(1.01001000100001\ldots\) is non-terminating and has no fixed repeating block.
Step 3
Exam Tip
अपरिमेय दशमलव पहचानने के लिए असांत और अनावर्ती दोनों बातें देखें। / To identify an irrational decimal, check both non-termination and non-repetition.
अशून्य परिमेय संख्या से भाग देना उसी के व्युत्क्रम से गुणा करने जैसा है। / Dividing by a non-zero rational number is the same as multiplying by its reciprocal.
Step 2
Why this answer is correct
\(\frac{1}{r}\) भी अशून्य परिमेय है, इसलिए \(\frac{x}{r}\) अपरिमेय रहेगा। / \(\frac{1}{r}\) is also a non-zero rational number, so \(\frac{x}{r}\) remains irrational.
Step 3
Exam Tip
भाग वाले प्रश्न में हर के शून्य न होने की शर्त जरूर देखें। / In division questions, always check that the denominator is not zero.
असांत दशमलव परिमेय भी हो सकता है, यदि उसमें आवर्तन हो। / A non-terminating decimal can still be rational if it is recurring.
Step 2
Why this answer is correct
\(0.37373737\ldots\) में (37) बार-बार आ रहा है, इसलिए यह परिमेय है। / In \(0.37373737\ldots\), the block (37) repeats, so it is rational.
Step 3
Exam Tip
असांत देखकर तुरंत अपरिमेय न मानें; आवर्ती भाग को ध्यान से पहचानें। / Do not call a decimal irrational just because it is non-terminating; check for a repeating block.
A. \(3\sqrt{11}\), अपरिमेय/\(3\sqrt{11}\), irrational
Step 1
Concept
\(\sqrt{44}=\sqrt{4\times11}=2\sqrt{11}\) होता है। / \(\sqrt{44}=\sqrt{4\times11}=2\sqrt{11}\).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \(x=\sqrt{11}+2\sqrt{11}=3\sqrt{11}\), और \(\sqrt{11}\) अपरिमेय है। / Hence \(x=\sqrt{11}+2\sqrt{11}=3\sqrt{11}\), and \(\sqrt{11}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
समान मूल वाले पदों में केवल गुणांक जोड़ें, मूल के अंदर की संख्या नहीं। / For like surds, add only the coefficients, not the numbers inside the roots.
दो अपरिमेय संख्याओं का योग कभी परिमेय भी हो सकता है। / The sum of two irrational numbers can be rational.
Step 2
Why this answer is correct
उदाहरण (\sqrt{2}+\(-\sqrt{2}\)=0) है। इसलिए (a+b) हमेशा अपरिमेय कहना गलत है। / For example, (\sqrt{2}+\(-\sqrt{2}\)=0). Therefore, saying (a+b) is always irrational is false.
Step 3
Exam Tip
दो अपरिमेय संख्याओं पर हमेशा वाले नियम बहुत सावधानी से लगाएँ। / Be careful with universal statements about two irrational numbers.
\(0\times\sqrt{7}=0\), \(\sqrt{7}\times\sqrt{7}=7\), और \(\sqrt{28}\div\sqrt{7}=2\) परिमेय हैं। / \(0\times\sqrt{7}=0\), \(\sqrt{7}\times\sqrt{7}=7\), and \(\sqrt{28}\div\sqrt{7}=2\) are rational.
Step 2
Why this answer is correct
\(4\sqrt{7}\) में अशून्य परिमेय गुणक और अपरिमेय मूल है, इसलिए यह अपरिमेय है। / \(4\sqrt{7}\) is a non-zero rational multiple of an irrational number, so it is irrational.
Step 3
Exam Tip
शून्य से गुणा वाले विकल्प को जल्दी परिमेय पहचानें। / Quickly identify multiplication by zero as rational.
B. यह \(2\sqrt{3}\) के बराबर है और अपरिमेय है/It is equal to \(2\sqrt{3}\) and irrational
Step 1
Concept
\(12=4\times3\) है। / \(12=4\times3\).
Step 2
Why this answer is correct
\(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\), और \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है। / \(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\), and \(\sqrt{3}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
मूल को सरल करने के बाद भी अंदर पूर्ण वर्ग न बचे तो संख्या अपरिमेय रहती है। / After simplification, if a non-square remains inside the root, the number stays irrational.
A. \(\sqrt{7}\) परिमेय होगा/\(\sqrt{7}\) would be rational
Step 1
Concept
मान लें \(2+\sqrt{7}\) परिमेय है। / Assume \(2+\sqrt{7}\) is rational.
Step 2
Why this answer is correct
तब (\sqrt{7}=\(2+\sqrt{7}\)-2) परिमेय होगा, जबकि \(\sqrt{7}\) अपरिमेय है। / Then (\sqrt{7}=\(2+\sqrt{7}\)-2) would be rational, but \(\sqrt{7}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
विरोध सिद्ध करने में ज्ञात परिमेय संख्या को घटाकर मूल को अलग करें। / In contradiction proofs, isolate the surd using rational operations.
\(\sqrt{50}=5\sqrt{2}\) और \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\) हैं। / Simplify each surd carefully.
Step 2
Why this answer is correct
\(\sqrt{50}-\sqrt{8}=3\sqrt{2}\), यह अपरिमेय है; पर सही परिमेय विकल्प खोजने के लिए सभी सरल करें: \(\sqrt{18}-\sqrt{2}=3\sqrt{2}-\sqrt{2}=2\sqrt{2}\), \(\sqrt{27}-\sqrt{3}=3\sqrt{3}-\sqrt{3}=2\sqrt{3}\), और \(\sqrt{3}+\sqrt{12}=3\sqrt{3}\); कोई भी परिमेय नहीं है। / \(\sqrt{50}-\sqrt{8}=3\sqrt{2}\), \(\sqrt{18}-\sqrt{2}=2\sqrt{2}\), \(\sqrt{27}-\sqrt{3}=2\sqrt{3}\), and \(\sqrt{3}+\sqrt{12}=3\sqrt{3}\), all are irrational.
Step 3
Exam Tip
यहाँ दिए गए विकल्पों में परिमेय संख्या नहीं है, इसलिए प्रश्न में त्रुटि से बचने के लिए सही चयन नहीं बनता। / This item has no rational option, so it should be treated as an invalid question.
अशून्य परिमेय संख्या से गुणा करने पर अपरिमेयता बनी रहती है। / Multiplying an irrational number by a non-zero rational number keeps it irrational.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (pq) परिमेय मान लें, तो \(q=\frac{pq}{p}\) परिमेय हो जाएगा, जो गलत है। / If (pq) were rational, then \(q=\frac{pq}{p}\) would be rational, which contradicts the given condition.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में ध्यान रखें कि (p) शून्य नहीं होना चाहिए। / Always check that the rational multiplier is not zero.
