कौन सा विकल्प \(\sqrt{2}\) की सिद्धि में अंतिम विरोधाभास को सबसे सही रूप में बताता है?
Which option states the final contradiction in the proof of \(\sqrt{2}\) most correctly?
#sqrt2 proof
#final contradiction
#hard
#class 10
A (a) और (b) सहअभाज्य माने गए थे, पर दोनों सम निकले / (a) and (b) were assumed coprime, but both turned out even
B \(\sqrt{2}\) धनात्मक है, इसलिए विरोधाभास है / \(\sqrt{2}\) is positive, so there is contradiction
C \(b\neq 0\), इसलिए विरोधाभास है / \(b\neq 0\), so there is contradiction
D (a) और (b) पूर्णांक हैं, इसलिए विरोधाभास है / (a) and (b) are integers, so there is contradiction
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Correct Answer
A. (a) और (b) सहअभाज्य माने गए थे, पर दोनों सम निकले / (a) and (b) were assumed coprime, but both turned out even
Step 1
Concept
सरलतम रूप में (a) और (b) सहअभाज्य माने गए थे। / In lowest form, (a) and (b) were assumed coprime.
Step 2
Why this answer is correct
प्रमाण में दोनों सम मिलते हैं, यानी दोनों में (2) साझा गुणनखंड है। / The proof shows both are even, so both have common factor (2).
Step 3
Exam Tip
यही सही अंतिम विरोधाभास है। / This is the correct final contradiction.
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\(\sqrt{5}\) के प्रमाण में यदि (p=5k) और (q=5r) मिलें, तो \(\frac{p}{q}\) को कैसे घटाया जा सकता है?
In the proof of \(\sqrt{5}\), if (p=5k) and (q=5r), how can \(\frac{p}{q}\) be reduced?
#sqrt5 proof
#fraction reduction
#hard
#class 10
A \(\frac{p}{q}=\frac{5k}{5r}=\frac{k}{r}\)
B \(\frac{p}{q}=\frac{k}{5r}\)
C \(\frac{p}{q}=5kr\)
D \(\frac{p}{q}=\frac{25k}{r}\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(\frac{p}{q}=\frac{5k}{5r}=\frac{k}{r}\)
Step 1
Concept
(p=5k) और (q=5r) होने पर अंश और हर दोनों में (5) साझा है। / If (p=5k) and (q=5r), both numerator and denominator share (5).
Step 2
Why this answer is correct
\(\frac{5k}{5r}\) को घटाकर \(\frac{k}{r}\) लिखा जा सकता है। / \(\frac{5k}{5r}\) can be reduced to \(\frac{k}{r}\).
Step 3
Exam Tip
इससे साफ होता है कि भिन्न सरलतम रूप में नहीं थी। / This shows the fraction was not in lowest form.
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\(\sqrt{3}\) की सिद्धि में \(q^2=3k^2\) मिलने के बाद (q=3r) लिखने का आधार क्या है?
In the proof of \(\sqrt{3}\), what is the basis for writing (q=3r) after getting \(q^2=3k^2\)?
#sqrt3 proof
#q divisibility
#hard
#class 10
A \(q^2\) (3) से विभाज्य है और (3) अभाज्य है / \(q^2\) is divisible by (3) and (3) is prime
B (q=3) पहले से है / (q=3) already
C (k=q) है / (k=q)
D (q) शून्य है / (q) is zero
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Correct Answer
A. \(q^2\) (3) से विभाज्य है और (3) अभाज्य है / \(q^2\) is divisible by (3) and (3) is prime
Step 1
Concept
\(q^2=3k^2\) से \(q^2\) (3) से विभाज्य है। / From \(q^2=3k^2\), \(q^2\) is divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
(3) अभाज्य है, इसलिए (q) भी (3) से विभाज्य होगा। / Since (3) is prime, (q) is also divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
इसीलिए (q=3r) लिखा जाता है। / Therefore (q=3r) is written.
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\(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), और \(\sqrt{5}\) की सिद्धियों में विरोधाभास का मूल कारण क्या है?
What is the root cause of contradiction in the proofs of \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), and \(\sqrt{5}\)?
#common contradiction
#irrationality proof
#hard
#class 10
A सरलतम भिन्न के अंश और हर में साझा गुणनखंड मिलना / Finding a common factor in numerator and denominator of a lowest-form fraction
B वर्गमूल का धनात्मक होना / The square root being positive
C हर का शून्य न होना / Denominator being non-zero
D अंश और हर का पूर्णांक होना / Numerator and denominator being integers
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Correct Answer
A. सरलतम भिन्न के अंश और हर में साझा गुणनखंड मिलना / Finding a common factor in numerator and denominator of a lowest-form fraction
Step 1
Concept
परिमेय मानने पर संख्या को सरलतम भिन्न में लिखा जाता है। / After assuming rationality, the number is written in lowest-form fraction.
Step 2
Why this answer is correct
प्रमाण में अंश और हर दोनों में समान गुणनखंड मिल जाता है। / The proof finds the same factor in both numerator and denominator.
Step 3
Exam Tip
सरलतम भिन्न में ऐसा नहीं हो सकता, इसलिए विरोधाभास बनता है। / This cannot happen in lowest form, so contradiction occurs.
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\(\sqrt{5}\) की सिद्धि में \(p^2=5q^2\) से कौन सा निष्कर्ष तुरंत नहीं निकाला जा सकता?
In the proof of \(\sqrt{5}\), which conclusion cannot be drawn immediately from \(p^2=5q^2\)?
#sqrt5 proof
#immediate conclusion
#hard
#class 10
A \(p^2\) (5) से विभाज्य है / \(p^2\) is divisible by (5)
B (p) (5) से विभाज्य है / (p) is divisible by (5)
C (p=5k) किसी पूर्णांक (k) के लिए / (p=5k) for some integer (k)
D (q) (5) से विभाज्य है / (q) is divisible by (5)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
D. (q) (5) से विभाज्य है / (q) is divisible by (5)
Step 1
Concept
\(p^2=5q^2\) से पहले \(p^2\) और फिर (p) (5) से विभाज्य सिद्ध होते हैं। / From \(p^2=5q^2\), first \(p^2\), then (p), is proved divisible by (5).
Step 2
Why this answer is correct
(p=5k) रखने के बाद ही \(q^2=5k^2\) मिलेगा। / Only after putting (p=5k) do we get \(q^2=5k^2\).
Step 3
Exam Tip
इसलिए (q) की विभाज्यता तुरंत नहीं आती। / So divisibility of (q) is not immediate.
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\(\sqrt{3}\) की सिद्धि में (p=3r) और (q=3s) मिलने पर (\gcd(p,q)) के बारे में क्या निश्चित है?
In the proof of \(\sqrt{3}\), if (p=3r) and (q=3s), what is definite about (\gcd(p,q))?
#sqrt3 proof
#gcd
#hard
#class 10
A (\gcd(p,q)) कम से कम (3) है / (\gcd(p,q)) is at least (3)
B (\gcd(p,q)=1) ही रहेगा / (\gcd(p,q)) will remain (1)
C (\gcd(p,q)=0)
D (\gcd(p,q)=p+q)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (\gcd(p,q)) कम से कम (3) है / (\gcd(p,q)) is at least (3)
Step 1
Concept
(p=3r) और (q=3s) से दोनों में (3) गुणनखंड है। / (p=3r) and (q=3s) show factor (3) in both.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए उनका महत्तम समापवर्तक (1) नहीं रह सकता और कम से कम (3) होगा। / So their greatest common divisor cannot remain (1) and is at least (3).
Step 3
Exam Tip
यही सरलतम रूप से विरोधाभास है। / This contradicts lowest form.
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\(\sqrt{2}\) की सिद्धि में (a) सम सिद्ध होने के तुरंत बाद (b) सम कहना क्यों अधूरा तर्क है?
In the proof of \(\sqrt{2}\), why is saying (b) is even immediately after proving (a) even an incomplete reasoning?
#sqrt2 proof
#logical order
#hard
#class 10
A क्योंकि (b) सम सिद्ध करने के लिए (a=2k) को समीकरण में रखना होगा / Because to prove (b) even, (a=2k) must be substituted in the equation
B क्योंकि (b) कभी सम नहीं हो सकता / Because (b) can never be even
C क्योंकि (b=0) होता है / Because (b=0)
D क्योंकि (a=b) सिद्ध हो चुका है / Because (a=b) is already proved
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Correct Answer
A. क्योंकि (b) सम सिद्ध करने के लिए (a=2k) को समीकरण में रखना होगा / Because to prove (b) even, (a=2k) must be substituted in the equation
Step 1
Concept
(a) सम होने से (b) अपने आप सम नहीं होता। / (a) being even does not automatically make (b) even.
Step 2
Why this answer is correct
(a=2k) रखने पर \(b^2=2k^2\) मिलता है। / After substituting (a=2k), we get \(b^2=2k^2\).
Step 3
Exam Tip
तभी (b) सम सिद्ध किया जा सकता है। / Only then can (b) be proved even.
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यदि (a) और (b) सहअभाज्य हैं, तो कौन सा परिणाम तुरंत विरोधाभास देगा?
If (a) and (b) are coprime, which result will immediately give a contradiction?
#coprime
#common factor
#hard
#class 10
A (a) और (b) दोनों पूर्णांक हैं / Both (a) and (b) are integers
B (a) और (b) दोनों (3) से विभाज्य हैं / Both (a) and (b) are divisible by (3)
C \(b\neq 0\)
D (a) धनात्मक है / (a) is positive
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Correct Answer
B. (a) और (b) दोनों (3) से विभाज्य हैं / Both (a) and (b) are divisible by (3)
Step 1
Concept
सहअभाज्य संख्याओं में साझा गुणनखंड (1) के अलावा नहीं होता। / Coprime numbers have no common factor except (1).
Step 2
Why this answer is correct
दोनों (3) से विभाज्य हों तो (3) साझा गुणनखंड है। / If both are divisible by (3), then (3) is a common factor.
Step 3
Exam Tip
इसलिए यह सहअभाज्य होने से विरोधाभास देता है। / So it contradicts their being coprime.
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\(\sqrt{5}\) की सिद्धि में कौन सा कथन बीजगणितीय रूप से गलत है?
Which statement is algebraically wrong in the proof of \(\sqrt{5}\)?
#sqrt5 proof
#algebra error
#hard
#class 10
A (p=5k) से \(p^2=25k^2\) / From (p=5k), \(p^2=25k^2\)
B \(p^2=5q^2\) से \(p^2\) (5) से विभाज्य है / From \(p^2=5q^2\), \(p^2\) is divisible by (5)
C (p=5k) से \(p^2=5k^2\) / From (p=5k), \(p^2=5k^2\)
D \(q^2=5k^2\) से (q) (5) से विभाज्य है / From \(q^2=5k^2\), (q) is divisible by (5)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
C. (p=5k) से \(p^2=5k^2\) / From (p=5k), \(p^2=5k^2\)
Step 1
Concept
(p=5k) का वर्ग ((5k)2 ) होगा। / The square of (p=5k) is ((5k)2 ).
Step 2
Why this answer is correct
((5k)2 =25k-2 ), इसलिए \(5k^2\) लिखना गलत है। / ((5k)2 =25k-2 ), so writing \(5k^2\) is wrong.
Step 3
Exam Tip
गुणांक का वर्ग करना कभी न भूलें। / Never forget to square the coefficient.
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\(\sqrt{3}\) की सिद्धि में (p=3k) रखने पर \(p^2=3q^2\) से कौन सा मध्य समीकरण सही है?
In the proof of \(\sqrt{3}\), after putting (p=3k), which middle equation is correct from \(p^2=3q^2\)?
#sqrt3 proof
#algebra
#hard
#class 10
A \(9k^2=3q^2\)
B \(3k^2=3q^2\)
C \(k^2=3q^2\)
D \(p^2=9q^2\)
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Correct Answer
A. \(9k^2=3q^2\)
Step 1
Concept
(p=3k) का वर्ग करने पर \(p^2=9k^2\) मिलता है। / Squaring (p=3k) gives \(p^2=9k^2\).
Step 2
Why this answer is correct
इसे \(p^2=3q^2\) में रखने पर \(9k^2=3q^2\) होगा। / Substitution in \(p^2=3q^2\) gives \(9k^2=3q^2\).
Step 3
Exam Tip
((3k)2 ) को \(3k^2\) न लिखें। / Do not write ((3k)2 ) as \(3k^2\).
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\(\sqrt{2}\) की सिद्धि में (a=2r) रखने पर \(a^2=2b^2\) से \(b^2\) का सही रूप क्या मिलेगा?
In the proof of \(\sqrt{2}\), after putting (a=2r), what correct form of \(b^2\) follows from \(a^2=2b^2\)?
#sqrt2 proof
#b square
#hard
#class 10
A \(b^2=4r^2\)
B \(b^2=r^2\)
C \(b^2=2r^2\)
D (b=2r)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
C. \(b^2=2r^2\)
Step 1
Concept
(a=2r) रखने पर \(a^2=4r^2\) होगा। / If (a=2r), then \(a^2=4r^2\).
Step 2
Why this answer is correct
\(4r^2=2b^2\) से (2) से भाग करने पर \(b^2=2r^2\) मिलता है। / From \(4r^2=2b^2\), dividing by (2) gives \(b^2=2r^2\).
Step 3
Exam Tip
इसी से (b) के सम होने का आधार मिलता है। / This becomes the basis for proving (b) even.
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यदि \(\sqrt{5}=\frac{m}{n}\) सरलतम रूप में है और \(m^2=5n^2\), तो (m=5k) लिखने के बाद अगला लक्ष्य क्या होगा?
If \(\sqrt{5}=\frac{m}{n}\) is in lowest form and \(m^2=5n^2\), what is the next aim after writing (m=5k)?
#sqrt5 proof
#substitution
#hard
#class 10
A (m=n) दिखाना / To show (m=n)
B (n) भी (5) से विभाज्य है दिखाना / To show (n) is also divisible by (5)
C \(\sqrt{5}=5\) दिखाना / To show \(\sqrt{5}=5\)
D (n=0) दिखाना / To show (n=0)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
B. (n) भी (5) से विभाज्य है दिखाना / To show (n) is also divisible by (5)
Step 1
Concept
(m=5k) से (m) में (5) का गुणनखंड मिल चुका है। / (m=5k) shows factor (5) in (m).
Step 2
Why this answer is correct
इसे \(m^2=5n^2\) में रखने पर \(n^2=5k^2\) मिलेगा। / Substituting it in \(m^2=5n^2\) gives \(n^2=5k^2\).
Step 3
Exam Tip
तब (n) भी (5) से विभाज्य सिद्ध होकर विरोधाभास बनेगा। / Then (n) is also proved divisible by (5), giving contradiction.
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\(\sqrt{3}\) को परिमेय मानकर \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) लिखा गया। \(p^2=3q^2\) से (p) के बारे में सही तर्क कौन सा है?
Assume \(\sqrt{3}\) is rational and write \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\). What is the correct reasoning about (p) from \(p^2=3q^2\)?
#sqrt3 proof
#prime divisibility
#hard
#class 10
A (p) (2) से विभाज्य है / (p) is divisible by (2)
B (p) (3) से विभाज्य है / (p) is divisible by (3)
C (p=q)
D (p=1)
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Correct Answer
B. (p) (3) से विभाज्य है / (p) is divisible by (3)
Step 1
Concept
\(p^2=3q^2\) से \(p^2\) (3) से विभाज्य है। / From \(p^2=3q^2\), \(p^2\) is divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
(3) अभाज्य है, इसलिए (p) भी (3) से विभाज्य होगा। / Since (3) is prime, (p) is also divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
वर्ग से मूल संख्या पर जाने के लिए अभाज्य नियम लगाएं। / Use the prime rule to move from square to original number.
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\(\sqrt{2}\) की सिद्धि में \(\sqrt{2}=\frac{a}{b}\) सरलतम रूप में मानने के बाद \(a^2=2b^2\) मिला। कौन सा निष्कर्ष प्रमाण के क्रम के अनुसार पहले आएगा?
In the proof of \(\sqrt{2}\), after assuming \(\sqrt{2}=\frac{a}{b}\) in lowest form, \(a^2=2b^2\) is obtained. Which conclusion comes first according to proof order?
#sqrt2 proof
#even square
#hard
#class 10
A \(a^2\) सम है / \(a^2\) is even
B (b) सम है / (b) is even
C (a=b)
D (b=0)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(a^2\) सम है / \(a^2\) is even
Step 1
Concept
\(a^2=2b^2\) में दाईं ओर (2) का गुणनखंड है। / In \(a^2=2b^2\), the right side has factor (2).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए पहले \(a^2\) को सम कहा जाएगा और फिर (a) सम सिद्ध होगा। / So first \(a^2\) is called even, and then (a) is proved even.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में निष्कर्षों का क्रम न बदलें। / Do not change the order of conclusions in exams.
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कौन सा विकल्प \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), और \(\sqrt{5}\) के प्रमाणों के सही सामान्य ढांचे को सबसे अच्छे रूप में बताता है?
Which option best describes the correct common structure of the proofs of \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), and \(\sqrt{5}\)?
#proof structure
#irrationality
#real numbers
#hard
A परिमेय मानना, सरलतम भिन्न लिखना, वर्ग करना, साझा गुणनखंड से विरोधाभास लेना / Assume rational, write a lowest-form fraction, square, get contradiction from a common factor
B दशमलव निकालना, अनुमान लगाना, उत्तर लिखना / Find decimal, estimate, write the answer
C वर्गमूल को अंदर की संख्या मानना, फिर तुलना करना / Treat the square root as the number inside, then compare
D हर को शून्य मानना, फिर भिन्न हटाना / Assume denominator zero, then remove the fraction
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Correct Answer
A. परिमेय मानना, सरलतम भिन्न लिखना, वर्ग करना, साझा गुणनखंड से विरोधाभास लेना / Assume rational, write a lowest-form fraction, square, get contradiction from a common factor
Step 1
Concept
सबसे पहले संख्या को परिमेय मानकर \(\frac{p}{q}\) के सरलतम रूप में लिखते हैं। / First assume the number rational and write it as \(\frac{p}{q}\) in lowest form.
Step 2
Why this answer is correct
वर्ग करने से विभाज्यता वाला समीकरण मिलता है। / Squaring gives a divisibility equation.
Step 3
Exam Tip
अंत में अंश और हर में साझा गुणनखंड दिखाकर विरोधाभास प्राप्त करते हैं। / Finally, a common factor in numerator and denominator gives the contradiction.
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कौन सा विकल्प तीनों सिद्धियों में अंतिम निष्कर्ष लिखने का सबसे सुरक्षित तरीका है?
Which option is the safest way to write the final conclusion in all three proofs?
#final conclusion
#exam writing
#hard
#class 10
A यह हमारी परिमेय मान्यता के विपरीत है, अतः दी गई संख्या अपरिमेय है / This contradicts our rational assumption, hence the given number is irrational
B इसलिए दी गई संख्या पूर्ण वर्ग है / Therefore the given number is a perfect square
C इसलिए हर शून्य है / Therefore the denominator is zero
D इसलिए वर्गमूल अंदर की संख्या के बराबर है / Therefore the square root equals the number inside
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. यह हमारी परिमेय मान्यता के विपरीत है, अतः दी गई संख्या अपरिमेय है / This contradicts our rational assumption, hence the given number is irrational
Step 1
Concept
तीनों सिद्धियों में परिमेय मान्यता से शुरुआत होती है। / All three proofs begin with the rational assumption.
Step 2
Why this answer is correct
अंत में सहअभाज्य शर्त के विरुद्ध साझा गुणनखंड मिलता है। / At the end, a common factor contradicts the coprime condition.
Step 3
Exam Tip
इसलिए अंतिम पंक्ति में विरोधाभास और अपरिमेयता दोनों साफ लिखें। / Therefore the final line should clearly state both contradiction and irrationality.
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कौन सा कथन सिद्ध करता है कि केवल (5) परिमेय होने से \(\sqrt{5}\) परिमेय नहीं हो जाती?
Which statement proves that just because (5) is rational, \(\sqrt{5}\) does not become rational?
#sqrt5 misconception
#rational square root
#hard
A परिमेय संख्या का वर्गमूल तभी परिमेय होना जरूरी है जब वह उपयुक्त पूर्ण वर्ग रूप में हो / The square root of a rational number is necessarily rational only when it is in a suitable perfect-square form
B हर परिमेय संख्या का वर्गमूल पूर्णांक होता है / The square root of every rational number is an integer
C (5) परिमेय नहीं है / (5) is not rational
D \(\sqrt{5}=5\)
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Correct Answer
A. परिमेय संख्या का वर्गमूल तभी परिमेय होना जरूरी है जब वह उपयुक्त पूर्ण वर्ग रूप में हो / The square root of a rational number is necessarily rational only when it is in a suitable perfect-square form
Step 1
Concept
(5) परिमेय है, लेकिन पूर्ण वर्ग नहीं है। / (5) is rational, but it is not a perfect square.
Step 2
Why this answer is correct
पूर्ण वर्ग न होने से उसका वर्गमूल परिमेय होना जरूरी नहीं। / If it is not a perfect square, its square root need not be rational.
Step 3
Exam Tip
\(\sqrt{5}\) की सिद्धि बताती है कि वह वास्तव में अपरिमेय है। / The proof of \(\sqrt{5}\) shows it is actually irrational.
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कौन सा विकल्प \(\sqrt{3}\) की सिद्धि में (p=3k) रखने के बाद सही आगे का तर्क देता है?
Which option gives the correct further reasoning after substituting (p=3k) in the proof of \(\sqrt{3}\)?
#sqrt3 proof
#substitution reasoning
#hard
A \(9k^2=3q^2\), इसलिए \(q^2=3k^2\), अतः (q) (3) से विभाज्य है / \(9k^2=3q^2\), so \(q^2=3k^2\), hence (q) is divisible by (3)
B \(3k^2=3q^2\), इसलिए (q=k), अतः प्रमाण पूरा / \(3k^2=3q^2\), so (q=k), hence proof complete
C (p=q), इसलिए विरोधाभास / (p=q), so contradiction
D (q=0), इसलिए भिन्न अमान्य / (q=0), so fraction invalid
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Correct Answer
A. \(9k^2=3q^2\), इसलिए \(q^2=3k^2\), अतः (q) (3) से विभाज्य है / \(9k^2=3q^2\), so \(q^2=3k^2\), hence (q) is divisible by (3)
Step 1
Concept
(p=3k) रखने पर \(p^2=9k^2\) होगा। / If (p=3k), then \(p^2=9k^2\).
Step 2
Why this answer is correct
\(9k^2=3q^2\) से \(q^2=3k^2\) मिलता है। / From \(9k^2=3q^2\), we get \(q^2=3k^2\).
Step 3
Exam Tip
अभाज्य नियम से (q) (3) से विभाज्य होता है। / By the prime rule, (q) is divisible by (3).
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यदि \(\sqrt{2}\) की सिद्धि में (p) और (q) दोनों सम मिलते हैं, तो यह किस कथन को खंडित करता है?
If both (p) and (q) are found even in the proof of \(\sqrt{2}\), which statement does it refute?
#sqrt2 proof
#gcd contradiction
#hard
#class 10
A (\gcd(p,q)=1)
B \(q\neq 0\)
C (p) पूर्णांक है / (p) is an integer
D \(\sqrt{2}\) धनात्मक है / \(\sqrt{2}\) is positive
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Correct Answer
A. (\gcd(p,q)=1)
Step 1
Concept
दोनों सम होने पर (p) और (q) दोनों (2) से विभाज्य हैं। / If both are even, both (p) and (q) are divisible by (2).
Step 2
Why this answer is correct
तब उनका महत्तम समापवर्तक (1) नहीं रह सकता। / Then their greatest common divisor cannot remain (1).
Step 3
Exam Tip
इसलिए (\gcd(p,q)=1) की शर्त खंडित होती है। / Therefore the condition (\gcd(p,q)=1) is refuted.
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\(\sqrt{5}\) के प्रमाण में यदि \(\frac{p}{q}\) सरलतम रूप में है, तो (p=5k) और (q=5r) मिलने पर कौन सा कथन सही है?
In the proof of \(\sqrt{5}\), if \(\frac{p}{q}\) is in lowest form, which statement is correct when (p=5k) and (q=5r) are obtained?
#sqrt5 proof
#lowest form contradiction
#hard
A यह परिणाम असंभव है क्योंकि भिन्न घट सकती है / This result is impossible because the fraction can be reduced
B यह परिणाम सिद्ध करता है कि \(\sqrt{5}=5\) / This result proves \(\sqrt{5}=5\)
C यह परिणाम (q=0) बताता है / This result shows (q=0)
D यह परिणाम बताता है कि (5) पूर्ण वर्ग है / This result shows (5) is a perfect square
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Correct Answer
A. यह परिणाम असंभव है क्योंकि भिन्न घट सकती है / This result is impossible because the fraction can be reduced
Step 1
Concept
(p=5k) और (q=5r) का अर्थ है कि दोनों में (5) साझा है। / (p=5k) and (q=5r) mean both have common factor (5).
Step 2
Why this answer is correct
ऐसी भिन्न को (5) से घटाया जा सकता है। / Such a fraction can be reduced by (5).
Step 3
Exam Tip
इसलिए यह सरलतम रूप की मान्यता के लिए असंभव परिणाम है। / Hence this is an impossible result for the lowest-form assumption.
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कौन सा कथन \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), और \(\sqrt{5}\) की सिद्धियों में वर्ग करने की भूमिका को गहराई से समझाता है?
Which statement deeply explains the role of squaring in the proofs of \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), and \(\sqrt{5}\)?
#squaring role
#irrationality proof
#hard
#class 10
A वर्ग करने से वर्गमूल हटता है और अभाज्य गुणनखंडों की विभाज्यता पर तर्क संभव होता है / Squaring removes the radical and makes reasoning about prime factor divisibility possible
B वर्ग करने से हर शून्य हो जाता है / Squaring makes the denominator zero
C वर्ग करने से हर संख्या पूर्ण वर्ग बन जाती है / Squaring makes every number a perfect square
D वर्ग करने से परिमेयता अपने आप सिद्ध हो जाती है / Squaring automatically proves rationality
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Correct Answer
A. वर्ग करने से वर्गमूल हटता है और अभाज्य गुणनखंडों की विभाज्यता पर तर्क संभव होता है / Squaring removes the radical and makes reasoning about prime factor divisibility possible
Step 1
Concept
\(\sqrt{n}\) को वर्ग करने पर (n) मिलता है। / Squaring \(\sqrt{n}\) gives (n).
Step 2
Why this answer is correct
इससे \(p^2=nq^2\) जैसा समीकरण बनता है, जो विभाज्यता का आधार देता है। / This forms an equation like \(p^2=nq^2\), which provides the base for divisibility.
Step 3
Exam Tip
बिना इस चरण के साझा गुणनखंड वाला विरोधाभास बनाना कठिन होता है। / Without this step, it is hard to create the common-factor contradiction.
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\(\sqrt{3}\) की अपरिमेयता की सिद्धि में अंतिम निष्कर्ष से ठीक पहले कौन सा कथन होना चाहिए?
In the proof of irrationality of \(\sqrt{3}\), which statement should come just before the final conclusion?
#sqrt3 proof
#pre final step
#hard
#class 10
A (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य हैं, जो सहअभाज्य होने के विरुद्ध है / Both (p) and (q) are divisible by (3), which contradicts being coprime
B (q=0), इसलिए भिन्न नहीं बन सकती / (q=0), so the fraction cannot be formed
C \(\sqrt{3}=3\), इसलिए विरोधाभास है / \(\sqrt{3}=3\), so it is a contradiction
D (p=q), इसलिए प्रमाण पूरा है / (p=q), so the proof is complete
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Correct Answer
A. (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य हैं, जो सहअभाज्य होने के विरुद्ध है / Both (p) and (q) are divisible by (3), which contradicts being coprime
Step 1
Concept
प्रमाण में (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य सिद्ध होते हैं। / The proof shows both (p) and (q) are divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
यह उनके सहअभाज्य होने की शर्त से टकराता है। / This contradicts their coprime condition.
Step 3
Exam Tip
इसके बाद अंतिम निष्कर्ष लिखा जाता है कि \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है। / After this, the final conclusion is written that \(\sqrt{3}\) is irrational.
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यदि \(\sqrt{5}\) की सिद्धि में कोई \(p^2=5q^2\) से (p=5q) लिखता है, तो गलती किस प्रकार की है?
If someone writes (p=5q) from \(p^2=5q^2\) in the proof of \(\sqrt{5}\), what type of error is it?
#sqrt5 proof
#algebra error
#hard
#class 10
A वर्ग समीकरण से मूल समीकरण गलत तरीके से निकालना / Incorrectly taking a root-level equation from a squared equation
B सहअभाज्य शर्त सही लिखना / Correctly writing the coprime condition
C अभाज्य गुणनखंड का सही उपयोग / Correct use of prime factor
D सरलतम रूप की सही पहचान / Correct identification of lowest form
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Correct Answer
A. वर्ग समीकरण से मूल समीकरण गलत तरीके से निकालना / Incorrectly taking a root-level equation from a squared equation
Step 1
Concept
\(p^2=5q^2\) से सीधे (p=5q) नहीं मिलता। / (p=5q) does not directly follow from \(p^2=5q^2\).
Step 2
Why this answer is correct
सही निष्कर्ष है कि \(p^2\) (5) से विभाज्य है और फिर (p) (5) से विभाज्य है। / The correct conclusion is that \(p^2\) is divisible by (5), then (p) is divisible by (5).
Step 3
Exam Tip
वर्ग समीकरण से जल्दबाजी में मूल समीकरण न निकालें। / Do not hastily derive a root-level equation from a squared equation.
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कौन सा विकल्प \(\sqrt{2}\) के प्रमाण में \(\frac{p}{q}\) को सरलतम रूप मानने की भूमिका बताता है?
Which option tells the role of assuming \(\frac{p}{q}\) in lowest form in the proof of \(\sqrt{2}\)?
#sqrt2 proof
#lowest form role
#hard
#class 10
A बाद में (p) और (q) दोनों सम मिलने पर विरोधाभास दिखाना / To show contradiction when both (p) and (q) are later found even
B दशमलव मान निकालना / To find decimal value
C हर को शून्य बनाना / To make the denominator zero
D \(\sqrt{2}=2\) सिद्ध करना / To prove \(\sqrt{2}=2\)
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Correct Answer
A. बाद में (p) और (q) दोनों सम मिलने पर विरोधाभास दिखाना / To show contradiction when both (p) and (q) are later found even
Step 1
Concept
सरलतम रूप में (p) और (q) सहअभाज्य होते हैं। / In lowest form, (p) and (q) are coprime.
Step 2
Why this answer is correct
प्रमाण में (p) और (q) दोनों सम निकलते हैं। / The proof shows both (p) and (q) are even.
Step 3
Exam Tip
दोनों सम होना सरलतम रूप की शर्त को तोड़ता है। / Both being even breaks the lowest-form condition.
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\(\sqrt{3}\) के प्रमाण में यदि \(p^2=3q^2\) से (p) (3) से विभाज्य है, तो (p=3k) में (k) कैसा होगा?
In the proof of \(\sqrt{3}\), if (p) is divisible by (3) from \(p^2=3q^2\), what type of number is (k) in (p=3k)?
#sqrt3 proof
#integer parameter
#hard
#class 10
A पूर्णांक / Integer
B अपरिमेय संख्या / Irrational number
C वर्गमूल / Square root
D शून्य ही / Only zero
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Correct Answer
A. पूर्णांक / Integer
Step 1
Concept
(p) एक पूर्णांक है और (3) से विभाज्य है। / (p) is an integer and is divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए (p=3k) लिखा जा सकता है, जहां (k) भी पूर्णांक होगा। / Therefore (p=3k), where (k) is also an integer.
Step 3
Exam Tip
ऐसे रूप में नए अक्षर का प्रकार लिखना प्रमाण को स्पष्ट बनाता है। / Mentioning the type of the new variable makes the proof clear.
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कौन सा विकल्प \(\sqrt{5}\) की सिद्धि में प्रमाण की सही पहचान कराता है?
Which option correctly identifies the proof of \(\sqrt{5}\)?
#sqrt5 proof
#proof identification
#hard
#class 10
A वर्ग करने के बाद \(p^2=5q^2\) बनता है और साझा गुणनखंड (5) मिलता है / After squaring, \(p^2=5q^2\) is formed and common factor (5) is found
B वर्ग करने के बाद \(p^2=2q^2\) बनता है और साझा गुणनखंड (2) मिलता है / After squaring, \(p^2=2q^2\) is formed and common factor (2) is found
C वर्ग करने के बाद \(p^2=3q^2\) बनता है और साझा गुणनखंड (3) मिलता है / After squaring, \(p^2=3q^2\) is formed and common factor (3) is found
D \(\sqrt{5}=25\) लिखकर प्रमाण पूरा होता है / The proof is completed by writing \(\sqrt{5}=25\)
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Correct Answer
A. वर्ग करने के बाद \(p^2=5q^2\) बनता है और साझा गुणनखंड (5) मिलता है / After squaring, \(p^2=5q^2\) is formed and common factor (5) is found
Step 1
Concept
\(\sqrt{5}=\frac{p}{q}\) मानकर वर्ग करने पर \(p^2=5q^2\) मिलता है। / Assuming \(\sqrt{5}=\frac{p}{q}\) and squaring gives \(p^2=5q^2\).
Step 2
Why this answer is correct
इसी (5) से (p) और (q) दोनों में साझा गुणनखंड मिलता है। / This (5) becomes a common factor in both (p) and (q).
Step 3
Exam Tip
यही \(\sqrt{5}\) के प्रमाण की पहचान है। / This identifies the proof of \(\sqrt{5}\).
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\(\sqrt{2}\) की सिद्धि में कौन सा कथन सही है लेकिन गलत कारण के साथ दिया गया है?
Which statement is true but given with a wrong reason in the proof of \(\sqrt{2}\)?
#sqrt2 proof
#wrong reason
#hard
#class 10
A (p) सम है क्योंकि \(p^2=2q^2\) से \(p^2\) सम है / (p) is even because \(p^2=2q^2\) makes \(p^2\) even
B (p) सम है क्योंकि \(\sqrt{2}\) धनात्मक है / (p) is even because \(\sqrt{2}\) is positive
C (q) सम है क्योंकि \(q^2=2k^2\) / (q) is even because \(q^2=2k^2\)
D (p) और (q) सहअभाज्य माने गए हैं / (p) and (q) are assumed coprime
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Correct Answer
B. (p) सम है क्योंकि \(\sqrt{2}\) धनात्मक है / (p) is even because \(\sqrt{2}\) is positive
Step 1
Concept
(p) का सम होना सही हो सकता है, पर इसका कारण \(\sqrt{2}\) का धनात्मक होना नहीं है। / (p) being even may be true, but the reason is not the positivity of \(\sqrt{2}\).
Step 2
Why this answer is correct
सही कारण \(p^2=2q^2\) से \(p^2\) सम मिलना है। / The correct reason is that \(p^2=2q^2\) makes \(p^2\) even.
Step 3
Exam Tip
प्रमाण में सही कथन के साथ सही कारण भी जरूरी है। / In proof writing, a true statement must have the correct reason.
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यदि \(\sqrt{3}\) परिमेय मानने पर \(\frac{p}{q}\) सरलतम रूप में है, तो (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य मिलने पर कौन सा निष्कर्ष निकलेगा?
If \(\sqrt{3}\) is assumed rational and \(\frac{p}{q}\) is in lowest form, what conclusion follows when both (p) and (q) are found divisible by (3)?
#sqrt3 proof
#rational assumption
#hard
#class 10
A परिमेय मान्यता असंभव है / The rational assumption is impossible
B (3) पूर्ण वर्ग है / (3) is a perfect square
C \(\sqrt{3}=3\)
D (q=0)
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Correct Answer
A. परिमेय मान्यता असंभव है / The rational assumption is impossible
Step 1
Concept
सरलतम रूप में (p) और (q) का कोई साझा गुणनखंड (1) के अलावा नहीं होना चाहिए। / In lowest form, (p) and (q) should not have any common factor other than (1).
Step 2
Why this answer is correct
दोनों (3) से विभाज्य मिलने पर यह शर्त टूट जाती है। / Finding both divisible by (3) breaks this condition.
Step 3
Exam Tip
इसलिए परिमेय मान्यता असंभव है और \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है। / Therefore the rational assumption is impossible and \(\sqrt{3}\) is irrational.
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कौन सा विकल्प \(\sqrt{5}\) के प्रमाण में (\gcd(p,q)=1) के विरुद्ध परिणाम देता है?
Which option gives a result against (\gcd(p,q)=1) in the proof of \(\sqrt{5}\)?
#sqrt5 proof
#gcd
#common factor
#hard
A (p=5m) और (q=5n) / (p=5m) and (q=5n)
B \(q\neq 0\)
C (p) और (q) पूर्णांक हैं / (p) and (q) are integers
D \(\sqrt{5}\) धनात्मक है / \(\sqrt{5}\) is positive
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Correct Answer
A. (p=5m) और (q=5n) / (p=5m) and (q=5n)
Step 1
Concept
(\gcd(p,q)=1) का अर्थ है कि (p) और (q) सहअभाज्य हैं। / (\gcd(p,q)=1) means (p) and (q) are coprime.
Step 2
Why this answer is correct
(p=5m) और (q=5n) होने पर (5) उनका साझा गुणनखंड है। / If (p=5m) and (q=5n), (5) is their common factor.
Step 3
Exam Tip
इसलिए यह (\gcd(p,q)=1) के विरुद्ध है। / Therefore this goes against (\gcd(p,q)=1).
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\(\sqrt{2}\) की सिद्धि में (p=2k) और (q=2r) मिलने पर \(\frac{p}{q}\) को कैसे घटाया जा सकता है?
In the proof of \(\sqrt{2}\), if (p=2k) and (q=2r), how can \(\frac{p}{q}\) be reduced?
#sqrt2 proof
#fraction reduction
#hard
#class 10
A \(\frac{p}{q}=\frac{2k}{2r}=\frac{k}{r}\)
B \(\frac{p}{q}=\frac{k}{2r}\)
C \(\frac{p}{q}=\frac{2k}{r}\)
D \(\frac{p}{q}=2kr\)
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Correct Answer
A. \(\frac{p}{q}=\frac{2k}{2r}=\frac{k}{r}\)
Step 1
Concept
(p=2k) और (q=2r) होने पर अंश और हर में (2) साझा है। / If (p=2k) and (q=2r), both numerator and denominator have common factor (2).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \(\frac{2k}{2r}\) को (2) से घटाकर \(\frac{k}{r}\) लिखा जा सकता है। / So \(\frac{2k}{2r}\) can be reduced to \(\frac{k}{r}\).
Step 3
Exam Tip
यह दिखाता है कि \(\frac{p}{q}\) सरलतम रूप में नहीं था। / This shows \(\frac{p}{q}\) was not in lowest form.
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