Multiplying both sides by \(q^2\) gives \(p^2=2q^2\).
Step 3
Exam Tip
After squaring, remove the denominator carefully. चरण 1: \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\) को वर्ग करने पर \(2=\frac{p^2}{q^2}\) मिलता है। चरण 2: दोनों पक्षों को \(q^2\) से गुणा करने पर \(p^2=2q^2\) बनता है। चरण 3: वर्ग करने के बाद हर को ठीक से हटाएँ।
Divisibility and contradiction start from this equation. चरण 1: \(\sqrt{n}=\frac{p}{q}\) में वर्ग करने से \(\sqrt{n}\) हटता है। चरण 2: इससे \(p^2=nq^2\) जैसा समीकरण बनता है। चरण 3: इसी समीकरण से विभाज्यता और विरोधाभास शुरू होता है।
A. वर्ग करने से वर्गमूल हटता है और अभाज्य गुणनखंडों की विभाज्यता पर तर्क संभव होता है/Squaring removes the radical and makes reasoning about prime factor divisibility possible
Step 1
Concept
Squaring \(\sqrt{n}\) gives (n).
Step 2
Why this answer is correct
This forms an equation like \(p^2=nq^2\), which provides the base for divisibility.
Step 3
Exam Tip
Without this step, it is hard to create the common-factor contradiction. चरण 1: \(\sqrt{n}\) को वर्ग करने पर (n) मिलता है। चरण 2: इससे \(p^2=nq^2\) जैसा समीकरण बनता है, जो विभाज्यता का आधार देता है। चरण 3: बिना इस चरण के साझा गुणनखंड वाला विरोधाभास बनाना कठिन होता है।
A. वर्गमूल हटाकर \(p^2=nq^2\) जैसा समीकरण पाना/To remove the square root and get an equation like \(p^2=nq^2\)
Step 1
Concept
In \(\sqrt{n}=\frac{p}{q}\), we square to remove the square root.
Step 2
Why this answer is correct
This gives an equation like \(p^2=nq^2\).
Step 3
Exam Tip
This equation gives divisibility and contradiction later. चरण 1: \(\sqrt{n}=\frac{p}{q}\) में वर्गमूल हटाने के लिए वर्ग करते हैं। चरण 2: इससे \(p^2=nq^2\) जैसा समीकरण मिलता है। चरण 3: यही समीकरण आगे विभाज्यता और विरोधाभास देता है।
A. वर्गमूल हटाकर विभाज्यता वाला समीकरण पाना/To remove the square root and get a divisibility equation
Step 1
Concept
We square \(\sqrt{n}=\frac{p}{q}\) to remove the square root.
Step 2
Why this answer is correct
This gives an equation like \(p^2=nq^2\).
Step 3
Exam Tip
This equation starts the divisibility and contradiction steps. चरण 1: \(\sqrt{n}=\frac{p}{q}\) में वर्गमूल हटाने के लिए वर्ग करते हैं। चरण 2: इससे \(p^2=nq^2\) जैसा समीकरण मिलता है। चरण 3: इसी समीकरण से विभाज्यता और विरोधाभास की शुरुआत होती है।
Multiplying both sides by \(q^2\) gives \(p^2=5q^2\).
Step 3
Exam Tip
Always write the denominator-clearing step carefully. चरण 1: दोनों ओर वर्ग करने पर \(5=\frac{p^2}{q^2}\) मिलेगा। चरण 2: दोनों ओर \(q^2\) से गुणा करने पर \(p^2=5q^2\) मिलता है। चरण 3: हर हटाने का चरण हमेशा ध्यान से लिखें।
So after squaring both sides, the left side becomes (5).
Step 3
Exam Tip
A square root and square cancel each other. चरण 1: \(\sqrt{5}\) का वर्ग (5) होता है। चरण 2: इसलिए दोनों ओर वर्ग करने पर बाईं ओर (5) मिलेगा। चरण 3: वर्गमूल और वर्ग एक-दूसरे को हटाते हैं।
Write the denominator-clearing step clearly. चरण 1: दोनों ओर वर्ग करें तो \(5=\frac{p^2}{q^2}\) मिलता है। चरण 2: \(q^2\) से गुणा करने पर \(p^2=5q^2\) मिलता है। चरण 3: हर को हटाने का चरण साफ लिखें।
In the proof of \(\sqrt{3}\), the factor (3) plays the main role. चरण 1: दोनों ओर वर्ग करने से \(3=\frac{p^2}{q^2}\) मिलता है। चरण 2: हर हटाने पर \(p^2=3q^2\) मिलता है। चरण 3: \(\sqrt{3}\) के प्रमाण में (3) का गुणनखंड मुख्य भूमिका निभाता है।
The left side becomes (2) and the right side becomes \(\frac{p^2}{q^2}\), so \(p^2=2q^2\).
Step 3
Exam Tip
After squaring, multiply by \(q^2\) to clear the denominator. चरण 1: \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\) के दोनों ओर वर्ग करें। चरण 2: बाईं ओर (2) और दाईं ओर \(\frac{p^2}{q^2}\) मिलेगा, इसलिए \(p^2=2q^2\)। चरण 3: वर्ग करने के बाद हर हटाने के लिए दोनों ओर \(q^2\) से गुणा करें।
Multiplying both sides by \(q^2\) gives \(p^2=rq^2\).
Step 3
Exam Tip
This general equation applies to (2,3,5). चरण 1: \(\sqrt{r}=\frac{p}{q}\) को वर्ग करने पर \(r=\frac{p^2}{q^2}\) मिलता है। चरण 2: दोनों पक्षों को \(q^2\) से गुणा करने पर \(p^2=rq^2\) मिलता है। चरण 3: यही सामान्य समीकरण (2,3,5) पर लागू होता है।
Here divisibility by (3), not evenness, is the main point. चरण 1: \(p^2=3q^2\) से \(3\mid p^2\) मिलता है। चरण 2: (3) अभाज्य है, इसलिए \(3\mid p\) होगा। चरण 3: यहाँ समपन नहीं, बल्कि (3) से विभाज्यता मुख्य है।
After squaring, do not forget to multiply by \(q^2\). चरण 1: दोनों ओर वर्ग करने पर \(3=\frac{p^2}{q^2}\) मिलता है। चरण 2: हर हटाने पर \(p^2=3q^2\) मिलेगा। चरण 3: वर्ग करने के बाद दोनों ओर \(q^2\) से गुणा करना न भूलें।
Therefore (m=5k) is the correct next step. चरण 1: \(m^2=5n^2\) से \(m^2\) (5) से विभाज्य है। चरण 2: (5) अभाज्य है, इसलिए (m) भी (5) से विभाज्य होगा। चरण 3: इसलिए (m=5k) लिखना सही अगला कदम है।
Squaring only the numerator is a common mistake. चरण 1: भिन्न का वर्ग करते समय अंश और हर दोनों का वर्ग होता है। चरण 2: इसलिए (\left\(\frac{p}{q}\right\)2=\frac{p-2}{q-2})। चरण 3: केवल अंश का वर्ग करना सामान्य गलती है।
Squaring only the numerator is a mistake. चरण 1: भिन्न का वर्ग करते समय अंश और हर दोनों का वर्ग होता है। चरण 2: इसलिए (\left\(\frac{a}{b}\right\)2=\frac{a-2}{b-2})। चरण 3: भिन्न के वर्ग में केवल अंश का वर्ग करना गलती है।
A. \(\sqrt{5}\) की अपरिमेयता का प्रमाण/Proof of irrationality of \(\sqrt{5}\)
Step 1
Concept
Putting (n=5) gives the number \(\sqrt{5}\).
Step 2
Why this answer is correct
Squaring gives \(p^2=5q^2\).
Step 3
Exam Tip
This starts the irrationality proof of \(\sqrt{5}\). चरण 1: (n=5) रखने पर संख्या \(\sqrt{5}\) बनती है। चरण 2: वर्ग करने पर \(p^2=5q^2\) मिलेगा। चरण 3: इसी से \(\sqrt{5}\) का अपरिमेयता प्रमाण आगे बढ़ता है।
Multiplying both sides by \(y^2\) gives \(x^2=5y^2\).
Step 3
Exam Tip
Remember the condition \(y\neq0\) while removing the denominator. चरण 1: \(\sqrt{5}=\frac{x}{y}\) को वर्ग करने पर \(5=\frac{x^2}{y^2}\) मिलता है। चरण 2: दोनों पक्षों को \(y^2\) से गुणा करने पर \(x^2=5y^2\) बनता है। चरण 3: हर हटाते समय \(y\neq0\) की शर्त ध्यान में रखें।
When squaring (p=3r), both (3) and (r) are squared.
Step 2
Why this answer is correct
Therefore (p-2=(3r)2=9r-2).
Step 3
Exam Tip
Do not forget to square the coefficient, or the proof will go wrong. चरण 1: (p=3r) का वर्ग लेते समय (3) और (r) दोनों का वर्ग होगा। चरण 2: इसलिए (p-2=(3r)2=9r-2)। चरण 3: गुणांक का वर्ग न भूलें, नहीं तो आगे का प्रमाण गलत हो जाएगा।
Do not forget to square the coefficient; it leads to \(q^2=3k^2\) next. चरण 1: (p=3k) का वर्ग करने पर (p-2=(3k)2) मिलता है। चरण 2: इसलिए \(p^2=9k^2\) होगा। चरण 3: गुणांक का वर्ग करना न भूलें, यही आगे \(q^2=3k^2\) देता है।
A. वर्गमूल लेने पर सीधे (3q) नहीं मिलता/Taking square roots does not directly give (3q)
Step 1
Concept
From \(p^2=3q^2\), we only get that \(p^2\) is divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
The correct conclusion is \(3\mid p\), not (p=3q).
Step 3
Exam Tip
Be careful when removing squares in a proof. चरण 1: \(p^2=3q^2\) से केवल यह मिलता है कि \(p^2\) (3) से विभाज्य है। चरण 2: सही निष्कर्ष \(3\mid p\) है, (p=3q) नहीं। चरण 3: प्रमाण में वर्ग हटाते समय सावधानी रखें।
A. दोनों ओर वर्ग करने पर \(3=\frac{p^2}{q^2}\) मिलेगा/Squaring both sides gives \(3=\frac{p^2}{q^2}\)
Step 1
Concept
To get (3) from \(\sqrt{3}\), both sides must be squared.
Step 2
Why this answer is correct
The square of a fraction is \(\frac{p^2}{q^2}\).
Step 3
Exam Tip
So the correct form is \(3=\frac{p^2}{q^2}\). चरण 1: \(\sqrt{3}\) से (3) पाने के लिए दोनों ओर वर्ग करना जरूरी है। चरण 2: भिन्न का वर्ग \(\frac{p^2}{q^2}\) होता है। चरण 3: इसलिए सही रूप \(3=\frac{p^2}{q^2}\) है।
A. दोनों ओर वर्ग करने पर \(3=\frac{p^2}{q^2}\) मिलेगा/Squaring both sides gives \(3=\frac{p^2}{q^2}\)
Step 1
Concept
To get (3) from \(\sqrt{3}\), both sides must be squared.
Step 2
Why this answer is correct
The square of a fraction is \(\frac{p^2}{q^2}\).
Step 3
Exam Tip
Therefore the correct equation is \(3=\frac{p^2}{q^2}\). चरण 1: \(\sqrt{3}\) से (3) पाने के लिए दोनों ओर वर्ग करना होता है। चरण 2: भिन्न का वर्ग \(\frac{p^2}{q^2}\) होता है। चरण 3: इसलिए सही समीकरण \(3=\frac{p^2}{q^2}\) है।
The coefficient (3) must also be squared to (9). चरण 1: (p=3k) दिया है। चरण 2: वर्ग करने पर (p-2=(3k)2=9k-2)। चरण 3: गुणांक (3) का भी वर्ग (9) करना जरूरी है।
A. दोनों ओर वर्ग नहीं किया गया/Both sides were not squared
Step 1
Concept
To get (3) from \(\sqrt{3}\), both sides must be squared.
Step 2
Why this answer is correct
The correct form is \(3=\frac{p^2}{q^2}\), not \(3=\frac{p}{q}\).
Step 3
Exam Tip
Always square both sides to remove a square root. चरण 1: \(\sqrt{3}\) से (3) पाने के लिए दोनों ओर वर्ग करना होता है। चरण 2: सही रूप \(3=\frac{p^2}{q^2}\) होगा, \(3=\frac{p}{q}\) नहीं। चरण 3: वर्गमूल हटाते समय दोनों ओर वर्ग अवश्य करें।
To remove it, we square both sides and get \(3=\frac{p^2}{q^2}\).
Step 3
Exam Tip
Choose the correct algebraic operation to remove the radical. चरण 1: \(\sqrt{3}\) में वर्गमूल मौजूद है। चरण 2: उसे हटाने के लिए दोनों ओर वर्ग किया जाता है, जिससे \(3=\frac{p^2}{q^2}\) मिलता है। चरण 3: वर्गमूल हटाने के लिए सही बीजगणितीय क्रिया चुनें।
A square and square root cancel each other. चरण 1: \(\sqrt{5}\) का वर्ग (5) होता है। चरण 2: इसलिए बाईं ओर (\(\sqrt{5}\)2=5) मिलेगा। चरण 3: वर्ग और वर्गमूल एक-दूसरे को हटाते हैं।
Write this algebraic step carefully in the proof of \(\sqrt{3}\). चरण 1: (a=3k) है। चरण 2: वर्ग करने पर ((3k)2=9k-2) मिलता है। चरण 3: \(\sqrt{3}\) के प्रमाण में यह बीजगणितीय चरण ध्यान से लिखें।
In exams, do not skip the squaring step. चरण 1: प्रमाण में \(\sqrt{2}=\frac{a}{b}\) मानते हैं। चरण 2: वर्गमूल हटाने के लिए दोनों ओर वर्ग करते हैं। चरण 3: परीक्षा में वर्ग करने का चरण छोड़े बिना लिखें।
Writing ((2k)2) as \(2k^2\) is a common mistake. चरण 1: (p=2k) है। चरण 2: दोनों ओर वर्ग करने पर (p-2=(2k)2=4k-2)। चरण 3: ((2k)2) को \(2k^2\) लिखना आम गलती है।
Do this simplification carefully in the proof of \(\sqrt{5}\). चरण 1: (p=5k) दिया है। चरण 2: वर्ग करने पर (p-2=(5k)2=25k-2)। चरण 3: \(\sqrt{5}\) के प्रमाण में यह सरलीकरण ध्यान से करें।
