The term \(\sqrt{x}\) has a fractional power of the variable, so it is not in usual quadratic form. Quadratic form has only \(x^2\), (x), and constant terms.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. \(\sqrt{x}+x=4\). The term \(\sqrt{x}\) has a fractional power of the variable, so it is not in usual quadratic form. Quadratic form has only \(x^2\), (x), and constant terms.
Step 3
Exam Tip
\(\sqrt{x}\) में चर की भिन्न घात है, इसलिए यह सामान्य द्विघात रूप नहीं है। द्विघात रूप में केवल \(x^2\), (x) और स्थिर पद होते हैं।
D. क्योंकि इसमें \(\sqrt{x}\) पद है/Because it has a \(\sqrt{x}\) term
Step 1
Concept
The term \(\sqrt{x}\) shows a fractional power of the variable, so it is not in usual quadratic form. A quadratic equation has only \(x^2\), (x), and constant terms.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is D. क्योंकि इसमें \(\sqrt{x}\) पद है / Because it has a \(\sqrt{x}\) term. The term \(\sqrt{x}\) shows a fractional power of the variable, so it is not in usual quadratic form. A quadratic equation has only \(x^2\), (x), and constant terms.
Step 3
Exam Tip
\(\sqrt{x}\) चर की भिन्न घात दिखाता है इसलिए यह सामान्य द्विघात रूप में नहीं है। द्विघात में केवल \(x^2\), (x) और स्थिर पद होते हैं।
The first product is (14-6=8), and \(\sqrt{84}=2\sqrt{21}\). In exams use both conjugate multiplication and radical simplification.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(8+2\sqrt{21}\). The first product is (14-6=8), and \(\sqrt{84}=2\sqrt{21}\). In exams use both conjugate multiplication and radical simplification.
Step 3
Exam Tip
पहला गुणनफल (14-6=8) है और \(\sqrt{84}=2\sqrt{21}\) है। परीक्षा में संयुग्मी गुणन और मूल सरलीकरण दोनों करें।
\(\sqrt{50}=5\sqrt{2}\), \(3\sqrt{8}=6\sqrt{2}\) and \(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\). Hence the value is \(8\sqrt{2}\).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(8\sqrt{2}\). \(\sqrt{50}=5\sqrt{2}\), \(3\sqrt{8}=6\sqrt{2}\) and \(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\). Hence the value is \(8\sqrt{2}\).
Step 3
Exam Tip
\(\sqrt{50}=5\sqrt{2}\), \(3\sqrt{8}=6\sqrt{2}\) और \(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\) है। इसलिए मान \(8\sqrt{2}\) है।
\(\sqrt{9+16}=5\) while \(\sqrt{9}+\sqrt{16}=7\). In exams do not split addition inside a radical.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (a=9) और (b=16) / (a=9) and (b=16). \(\sqrt{9+16}=5\) while \(\sqrt{9}+\sqrt{16}=7\). In exams do not split addition inside a radical.
Step 3
Exam Tip
\(\sqrt{9+16}=5\) है जबकि \(\sqrt{9}+\sqrt{16}=7\) है। परीक्षा में मूल के अंदर के योग को अलग-अलग न तोड़ें।
A. \(\sqrt{a+b}=\sqrt{a}+\sqrt{b}\) हमेशा/\(\sqrt{a+b}=\sqrt{a}+\sqrt{b}\) always
Step 1
Concept
\(\sqrt{a+b}=\sqrt{a}+\sqrt{b}\) is generally false, for example \(\sqrt{9+16}\ne3+4\). In exams do not split addition inside a radical.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\sqrt{a+b}=\sqrt{a}+\sqrt{b}\) हमेशा / \(\sqrt{a+b}=\sqrt{a}+\sqrt{b}\) always. \(\sqrt{a+b}=\sqrt{a}+\sqrt{b}\) is generally false, for example \(\sqrt{9+16}\ne3+4\). In exams do not split addition inside a radical.
Step 3
Exam Tip
\(\sqrt{a+b}=\sqrt{a}+\sqrt{b}\) सामान्यतः गलत है, जैसे \(\sqrt{9+16}\ne3+4\)। परीक्षा में मूल के अंदर योग को अलग-अलग न तोड़ें।
\(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\) and \(\sqrt{27}=3\sqrt{3}\), so the square is (\(5\sqrt{3}\)2=75); none of the expanded radical options except the simplified value idea fits. In exams simplify before expanding.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(75+36\sqrt{3}\). \(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\) and \(\sqrt{27}=3\sqrt{3}\), so the square is (\(5\sqrt{3}\)2=75); none of the expanded radical options except the simplified value idea fits. In exams simplify before expanding.
Step 3
Exam Tip
\(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\) और \(\sqrt{27}=3\sqrt{3}\), इसलिए वर्ग (\(5\sqrt{3}\)2=75) होना चाहिए, पर विकल्पों में विस्तार विधि से सही मान (75) अकेला नहीं है। परीक्षा में पहले सरलीकरण करें।
A. \(3\sqrt{2}\), अपरिमेय/\(3\sqrt{2}\), irrational
Step 1
Concept
\(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\), so \(a=3\sqrt{2}\), irrational. Combine like radicals in exams.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(3\sqrt{2}\), अपरिमेय / \(3\sqrt{2}\), irrational. \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\), so \(a=3\sqrt{2}\), irrational. Combine like radicals in exams.
Step 3
Exam Tip
\(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\), इसलिए \(a=3\sqrt{2}\) अपरिमेय है। परीक्षा में समान करणी वाले पद जोड़ें।
Square roots of distinct primes are different irrationals and their sum cannot be rational. In exams do not assume independent radicals can combine to a rational number.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. यह असंभव है / This is impossible. Square roots of distinct primes are different irrationals and their sum cannot be rational. In exams do not assume independent radicals can combine to a rational number.
Step 3
Exam Tip
अलग अभाज्य संख्याओं के वर्गमूल अलग अपरिमेय होते हैं और उनका योग परिमेय नहीं हो सकता। परीक्षा में स्वतंत्र वर्गमूलों को जोड़कर परिमेय न मानें।
Here \(x^2=5+2\sqrt{6}\) and then (\(x^2-5\)2=24), so \(x^4-10x^2+1=0\). In exams a sum of two radicals may lead to a fourth-degree relation.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. \(x^4-10x^2+1=0\). Here \(x^2=5+2\sqrt{6}\) and then (\(x^2-5\)2=24), so \(x^4-10x^2+1=0\). In exams a sum of two radicals may lead to a fourth-degree relation.
Step 3
Exam Tip
\(x^2=5+2\sqrt{6}\) और फिर (\(x^2-5\)2=24), इसलिए \(x^4-10x^2+1=0\) है। परीक्षा में दो वर्गमूलों के योग से कभी द्विघात नहीं बल्कि चतुर्थ घात संबंध भी बन सकता है।
(p\(\sqrt{2}\)=2-5\sqrt{2}+6=8-5\sqrt{2}), which is irrational. In exams substitute first and then simplify the radical.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. अपरिमेय / Irrational. (p\(\sqrt{2}\)=2-5\sqrt{2}+6=8-5\sqrt{2}), which is irrational. In exams substitute first and then simplify the radical.
Step 3
Exam Tip
(p\(\sqrt{2}\)=2-5\sqrt{2}+6=8-5\sqrt{2}), जो अपरिमेय है। परीक्षा में पहले प्रतिस्थापन करें फिर वर्गमूल को सरल करें।
Since \(\sqrt{8}\times\sqrt{18}=\sqrt{144}=12\), it is rational. In exams simplify products of radicals first.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. \(\sqrt{8}\times\sqrt{18}\). Since \(\sqrt{8}\times\sqrt{18}=\sqrt{144}=12\), it is rational. In exams simplify products of radicals first.
Step 3
Exam Tip
\(\sqrt{8}\times\sqrt{18}=\sqrt{144}=12\), इसलिए यह परिमेय है। परीक्षा में गुणन में वर्गमूलों को पहले एक साथ सरल करें।
The sum is \(\sqrt{2}+\sqrt{8}=\sqrt{2}+2\sqrt{2}=3\sqrt{2}\). Simplify radicals before giving the final answer.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(3\sqrt{2}\). The sum is \(\sqrt{2}+\sqrt{8}=\sqrt{2}+2\sqrt{2}=3\sqrt{2}\). Simplify radicals before giving the final answer.
Step 3
Exam Tip
योग \(\sqrt{2}+\sqrt{8}=\sqrt{2}+2\sqrt{2}=3\sqrt{2}\) है। मूलों को सरल करके ही अंतिम उत्तर दें।
The product is \(ab=\sqrt{2}\cdot\sqrt{18}=\sqrt{36}=6\). In radical multiplication, simplify the product inside the root first.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (6). The product is \(ab=\sqrt{2}\cdot\sqrt{18}=\sqrt{36}=6\). In radical multiplication, simplify the product inside the root first.
Step 3
Exam Tip
गुणनफल \(ab=\sqrt{2}\cdot\sqrt{18}=\sqrt{36}=6\) है। मूलों के गुणन में पहले अंदर के गुणनफल को सरल करें।
\(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\), so the sum is \(\sqrt{2}-2\sqrt{2}=-\sqrt{2}\). Simplifying radicals first reduces mistakes.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(-\sqrt{2}\). \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\), so the sum is \(\sqrt{2}-2\sqrt{2}=-\sqrt{2}\). Simplifying radicals first reduces mistakes.
Step 3
Exam Tip
\(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\), इसलिए योग \(\sqrt{2}-2\sqrt{2}=-\sqrt{2}\) है। मूलों को पहले सरल करने से गलती कम होती है।
By the formula, \(x=\frac{8\pm\sqrt{64-8}}{4}=2\pm\frac{\sqrt{14}}{2}\). Divide the whole numerator by the denominator carefully.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(2\pm\frac{\sqrt{14}}{2}\). By the formula, \(x=\frac{8\pm\sqrt{64-8}}{4}=2\pm\frac{\sqrt{14}}{2}\). Divide the whole numerator by the denominator carefully.
Step 3
Exam Tip
सूत्र से \(x=\frac{8\pm\sqrt{64-8}}{4}=2\pm\frac{\sqrt{14}}{2}\) है। हर से भाग देते समय पूरे अंश को बाँटें।
\(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\), so the sum is \(3\sqrt{3}\). In a monic polynomial, the coefficient of (x) is the negative of the sum of zeroes.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(-3\sqrt{3}\). \(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\), so the sum is \(3\sqrt{3}\). In a monic polynomial, the coefficient of (x) is the negative of the sum of zeroes.
Step 3
Exam Tip
\(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\), इसलिए योग \(3\sqrt{3}\) है। एकक बहुपद में (x) का गुणांक शून्यकों के योग का ऋणात्मक होता है।
The zeroes are \(5\pm2\sqrt{2}\), so the difference is \(4\sqrt{2}\). For conjugate zeroes, the difference is twice the radical part.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(4\sqrt{2}\). The zeroes are \(5\pm2\sqrt{2}\), so the difference is \(4\sqrt{2}\). For conjugate zeroes, the difference is twice the radical part.
Step 3
Exam Tip
शून्यक \(5\pm2\sqrt{2}\) हैं, इसलिए अंतर \(4\sqrt{2}\) है। संयुग्मी शून्यकों में अंतर मूल भाग का दोगुना होता है।
The zeroes are \(6\pm\sqrt{5}\), so the difference is \(2\sqrt{5}\). The difference of conjugate zeroes is (2) times the radical part.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(2\sqrt{5}\). The zeroes are \(6\pm\sqrt{5}\), so the difference is \(2\sqrt{5}\). The difference of conjugate zeroes is (2) times the radical part.
Step 3
Exam Tip
शून्यक \(6\pm\sqrt{5}\) हैं, इसलिए अंतर \(2\sqrt{5}\) है। संयुग्मी शून्यकों का अंतर (2) गुणा मूल पद होता है।
By the formula, \(x=\frac{4\pm\sqrt{16+24}}{2}=2\pm\sqrt{10}\). Remember \(\sqrt{40}=2\sqrt{10}\) while simplifying (D).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(2\pm\sqrt{10}\). By the formula, \(x=\frac{4\pm\sqrt{16+24}}{2}=2\pm\sqrt{10}\). Remember \(\sqrt{40}=2\sqrt{10}\) while simplifying (D).
Step 3
Exam Tip
सूत्र से \(x=\frac{4\pm\sqrt{16+24}}{2}=2\pm\sqrt{10}\) है। (D) को सरल करने में \(\sqrt{40}=2\sqrt{10}\) याद रखें।
The radical terms cancel in the sum and the product is (9-8=1). This method is quick for conjugates.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. योग (6), गुणनफल (1) / Sum (6), product (1). The radical terms cancel in the sum and the product is (9-8=1). This method is quick for conjugates.
Step 3
Exam Tip
योग में जड़ वाले पद कटते हैं और गुणनफल (9-8=1) है। संयुग्मी संख्याओं में यह तरीका तेज है।
The radical terms cancel in the sum and the product is (4-3=1). This method is quick for conjugates.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. योग (4), गुणनफल (1) / Sum (4), product (1). The radical terms cancel in the sum and the product is (4-3=1). This method is quick for conjugates.
Step 3
Exam Tip
योग में जड़ वाले पद कटते हैं और गुणनफल (4-3=1) है। संयुग्मी संख्याओं में यह तरीका तेज है।
A. वर्ग करने से वर्गमूल हटता है और अभाज्य गुणनखंडों की विभाज्यता पर तर्क संभव होता है/Squaring removes the radical and makes reasoning about prime factor divisibility possible
Step 1
Concept
Squaring \(\sqrt{n}\) gives (n).
Step 2
Why this answer is correct
This forms an equation like \(p^2=nq^2\), which provides the base for divisibility.
Step 3
Exam Tip
Without this step, it is hard to create the common-factor contradiction. चरण 1: \(\sqrt{n}\) को वर्ग करने पर (n) मिलता है। चरण 2: इससे \(p^2=nq^2\) जैसा समीकरण बनता है, जो विभाज्यता का आधार देता है। चरण 3: बिना इस चरण के साझा गुणनखंड वाला विरोधाभास बनाना कठिन होता है।
A. \(\sqrt{5}\) अपरिमेय है क्योंकि परिमेय मानने पर (p) और (q) दोनों (5) से विभाज्य मिलते हैं/\(\sqrt{5}\) is irrational because assuming rational makes both (p) and (q) divisible by (5)
This contradicts coprime condition, so \(\sqrt{5}\) is irrational. चरण 1: \(\sqrt{5}\) को परिमेय मानने पर \(p^2=5q^2\) मिलता है। चरण 2: इससे (p) और (q) दोनों (5) से विभाज्य सिद्ध होते हैं। चरण 3: यह सहअभाज्य शर्त से विरोधाभास है, इसलिए \(\sqrt{5}\) अपरिमेय है।
A. \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है क्योंकि परिमेय मानने पर (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य मिलते हैं/\(\sqrt{3}\) is irrational because assuming rational makes both (p) and (q) divisible by (3)
This contradicts coprime condition, so \(\sqrt{3}\) is irrational. चरण 1: \(\sqrt{3}\) को परिमेय मानने पर \(p^2=3q^2\) मिलता है। चरण 2: इससे (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य सिद्ध होते हैं। चरण 3: यह सहअभाज्य शर्त से विरोधाभास है, इसलिए \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है।
To remove it, we square both sides and get \(3=\frac{p^2}{q^2}\).
Step 3
Exam Tip
Choose the correct algebraic operation to remove the radical. चरण 1: \(\sqrt{3}\) में वर्गमूल मौजूद है। चरण 2: उसे हटाने के लिए दोनों ओर वर्ग किया जाता है, जिससे \(3=\frac{p^2}{q^2}\) मिलता है। चरण 3: वर्गमूल हटाने के लिए सही बीजगणितीय क्रिया चुनें।
(\(\sqrt{6}+\sqrt{2}\)\(\sqrt{6}-\sqrt{2}\)=6-2=4), which is rational.
Step 3
Exam Tip
Identifying conjugates helps remove radicals quickly. चरण 1: पहला विकल्प संयुग्मी पदों का गुणनफल है। चरण 2: (\(\sqrt{6}+\sqrt{2}\)\(\sqrt{6}-\sqrt{2}\)=6-2=4), जो परिमेय है। चरण 3: संयुग्मी पद पहचानने से वर्गमूल जल्दी हट जाते हैं।
A. \(3\sqrt{7}\) और अपरिमेय/\(3\sqrt{7}\) and irrational
Step 1
Concept
Since \(28=4\cdot 7\), \(\sqrt{28}=2\sqrt{7}\).
Step 2
Why this answer is correct
Now \(\sqrt{7}+2\sqrt{7}=3\sqrt{7}\), and \(\sqrt{7}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
In exams, combine like radicals by adding their coefficients. चरण 1: \(28=4\cdot 7\) इसलिए \(\sqrt{28}=2\sqrt{7}\)। चरण 2: अब \(\sqrt{7}+2\sqrt{7}=3\sqrt{7}\) और \(\sqrt{7}\) अपरिमेय है। चरण 3: परीक्षा में समान वर्गमूल वाले पदों को गुणांक जोड़कर सरल करें।
A. \(2\sqrt{2}\) और अपरिमेय/\(2\sqrt{2}\) and irrational
Step 1
Concept
\(\sqrt{98}=7\sqrt{2}\) and \(\sqrt{50}=5\sqrt{2}\).
Step 2
Why this answer is correct
The difference is \(2\sqrt{2}\), which is irrational.
Step 3
Exam Tip
Directly subtracting numbers inside radicals is wrong. चरण 1: \(\sqrt{98}=7\sqrt{2}\) और \(\sqrt{50}=5\sqrt{2}\)। चरण 2: अंतर \(2\sqrt{2}\) है जो अपरिमेय है। चरण 3: वर्गमूलों के अंदर की संख्याओं को सीधे घटाना गलत है।
B. यह \(\sqrt{6}\) है और अपरिमेय है/It is \(\sqrt{6}\) and irrational
Step 1
Concept
The product of radicals is \(\sqrt{2}\cdot \sqrt{3}=\sqrt{6}\).
Step 2
Why this answer is correct
Since (6) is not a perfect square \(\sqrt{6}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
In multiplication the numbers inside radicals multiply, not add. चरण 1: वर्गमूलों का गुणनफल \(\sqrt{2}\cdot \sqrt{3}=\sqrt{6}\) है। चरण 2: (6) पूर्ण वर्ग नहीं है इसलिए \(\sqrt{6}\) अपरिमेय है। चरण 3: गुणन में भीतर की संख्याएं गुणा होती हैं जोड़ नहीं।
Squaring gives \(5-2\sqrt{6}\), forcing \(\sqrt{6}\) to be rational which is false.
Step 3
Exam Tip
The difference of unlike radicals is not directly an integer. चरण 1: मान लें \(\sqrt{3}-\sqrt{2}\) परिमेय है। चरण 2: वर्ग करने पर \(5-2\sqrt{6}\) से \(\sqrt{6}\) परिमेय होना पड़ेगा जो गलत है। चरण 3: अलग-अलग वर्गमूलों का अंतर सीधे पूर्णांक नहीं माना जाता।
\(\sqrt{3}\sqrt{12}=\sqrt{36}=6\), so the sum is (10).
Step 3
Exam Tip
In products combine radicals and check for perfect squares. चरण 1: \(\sqrt{2}\sqrt{8}=\sqrt{16}=4\)। चरण 2: \(\sqrt{3}\sqrt{12}=\sqrt{36}=6\) इसलिए योग (10) है। चरण 3: गुणनफल में वर्गमूलों को मिलाकर पूर्ण वर्ग देखें।
\(\sqrt{11}\) is irrational because (11) is not a perfect square.
Step 2
Why this answer is correct
(\(\sqrt{11}\)2=11) which is rational.
Step 3
Exam Tip
Squaring may remove the radical. चरण 1: \(\sqrt{11}\) अपरिमेय है क्योंकि (11) पूर्ण वर्ग नहीं है। चरण 2: (\(\sqrt{11}\)2=11) परिमेय है। चरण 3: वर्ग करने पर वर्गमूल हट सकता है।
A. यह \(6\sqrt{2}\) है और अपरिमेय है/It is \(6\sqrt{2}\) and irrational
Step 1
Concept
\(\sqrt{32}=4\sqrt{2}\), \(\sqrt{50}=5\sqrt{2}\), and \(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\).
Step 2
Why this answer is correct
The result is \(6\sqrt{2}\) which is irrational.
Step 3
Exam Tip
Add and subtract coefficients of like radicals. चरण 1: \(\sqrt{32}=4\sqrt{2}\) और \(\sqrt{50}=5\sqrt{2}\) और \(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\)। चरण 2: परिणाम \(6\sqrt{2}\) है जो अपरिमेय है। चरण 3: समान मूल वाले पदों के गुणांक जोड़ें और घटाएं।
B. अपरिमेय क्योंकि यह \(\sqrt{5}\) के बराबर है/Irrational because it equals \(\sqrt{5}\)
Step 1
Concept
\(\sqrt{45}=3\sqrt{5}\).
Step 2
Why this answer is correct
\(\frac{\sqrt{45}}{3}=\sqrt{5}\) which is irrational.
Step 3
Exam Tip
Even after division check the remaining radical. चरण 1: \(\sqrt{45}=3\sqrt{5}\)। चरण 2: \(\frac{\sqrt{45}}{3}=\sqrt{5}\) है जो अपरिमेय है। चरण 3: हर से भाग देने पर भी बचा हुआ वर्गमूल जांचना जरूरी है।
A. \(7\sqrt{3}\) और अपरिमेय/\(7\sqrt{3}\) and irrational
Step 1
Concept
\(\sqrt{75}=5\sqrt{3}\) and \(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\).
Step 2
Why this answer is correct
The sum is \(7\sqrt{3}\) which is irrational.
Step 3
Exam Tip
Simplify radicals before adding them. चरण 1: \(\sqrt{75}=5\sqrt{3}\) और \(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\)। चरण 2: योग \(7\sqrt{3}\) है जो अपरिमेय है। चरण 3: अलग-अलग वर्गमूलों को जोड़ने से पहले सरल रूप में बदलें।
(\(\sqrt{3}+1\)\(\sqrt{3}-1\)=3-1=2) which is rational.
Step 3
Exam Tip
Product of conjugates often removes the radical. चरण 1: यह अंतर के वर्ग का रूप है। चरण 2: (\(\sqrt{3}+1\)\(\sqrt{3}-1\)=3-1=2) जो परिमेय है। चरण 3: संयुग्मी पदों का गुणनफल अक्सर वर्गमूल हटा देता है।
B. यह \(2\sqrt{a}\) के बराबर अपरिमेय है/It equals \(2\sqrt{a}\) and is irrational
Step 1
Concept
Like terms give \(\sqrt{a}+\sqrt{a}=2\sqrt{a}\).
Step 2
Why this answer is correct
Since (a) is not a perfect square \(\sqrt{a}\) is irrational and its double is irrational.
Step 3
Exam Tip
Add like radicals like algebraic terms. चरण 1: समान पद जोड़ने पर \(\sqrt{a}+\sqrt{a}=2\sqrt{a}\)। चरण 2: (a) पूर्ण वर्ग नहीं है इसलिए \(\sqrt{a}\) अपरिमेय है और उसका दुगुना भी अपरिमेय है। चरण 3: समान वर्गमूलों को बीजगणितीय पदों की तरह जोड़ें।
B. \(\sqrt{18}\) और \(\sqrt{2}\)/\(\sqrt{18}\) and \(\sqrt{2}\)
Step 1
Concept
\(\sqrt{18}\) and \(\sqrt{2}\) are both irrational.
Step 2
Why this answer is correct
\(\frac{\sqrt{18}}{\sqrt{2}}=\sqrt{9}=3\) which is rational.
Step 3
Exam Tip
In quotients check whether the ratio inside the radical becomes a perfect square. चरण 1: \(\sqrt{18}\) और \(\sqrt{2}\) दोनों अपरिमेय हैं। चरण 2: \(\frac{\sqrt{18}}{\sqrt{2}}=\sqrt{9}=3\) परिमेय है। चरण 3: भाग में मूल के अंदर अनुपात पूर्ण वर्ग बन रहा है या नहीं यह देखें।
B. अपरिमेय क्योंकि \(\sqrt{48}=4\sqrt{3}\)/Irrational because \(\sqrt{48}=4\sqrt{3}\)
Step 1
Concept
\(48=16\cdot 3\).
Step 2
Why this answer is correct
\(\sqrt{48}=4\sqrt{3}\) and \(\sqrt{3}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
The square root of an even number need not be rational. चरण 1: \(48=16\cdot 3\) है। चरण 2: \(\sqrt{48}=4\sqrt{3}\) और \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है। चरण 3: सम संख्या का वर्गमूल परिमेय होगा यह जरूरी नहीं।
If \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) were rational then its reciprocal \(\sqrt{3}\) would be rational.
Step 2
Why this answer is correct
\(\sqrt{3}\) is irrational so the given number is irrational.
Step 3
Exam Tip
A denominator with an irrational radical does not make the value rational automatically. चरण 1: यदि \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) परिमेय हो तो उसका व्युत्क्रम \(\sqrt{3}\) भी परिमेय होगा। चरण 2: \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है इसलिए दी गई संख्या भी अपरिमेय है। चरण 3: अपरिमेय हर देखकर उसे अपने आप परिमेय न मानें।
B. दोनों अपरिमेय हैं और \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\)/Both are irrational and \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\)
Step 1
Concept
Since \(8=4\cdot 2\) we have \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\).
Step 2
Why this answer is correct
\(\sqrt{2}\) is irrational and its double is also irrational.
Step 3
Exam Tip
Compare like radicals after simplifying them. चरण 1: \(8=4\cdot 2\) है इसलिए \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\)। चरण 2: \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है और उसका दुगुना भी अपरिमेय है। चरण 3: समान मूल वाली संख्याओं को सरल रूप में तुलना करें।
First look for perfect-square factors inside the radical. चरण 1: पूर्ण वर्ग का वर्गमूल परिमेय होता है। चरण 2: \(\sqrt{49}=7\) है इसलिए यह परिमेय है। चरण 3: संख्या के अंदर पूर्ण वर्ग गुणनखंड देखकर सरल करें।
\(\sqrt{96}=4\sqrt{6}\), \(\sqrt{54}=3\sqrt{6}\), and \(\sqrt{24}=2\sqrt{6}\).
Step 2
Why this answer is correct
\(4\sqrt{6}-3\sqrt{6}+2\sqrt{6}=3\sqrt{6}\), so the correct value is \(3\sqrt{6}\).
Step 3
Exam Tip
Match the options with your simplified result carefully. चरण 1: \(\sqrt{96}=4\sqrt{6}\), \(\sqrt{54}=3\sqrt{6}\), और \(\sqrt{24}=2\sqrt{6}\)। चरण 2: \(4\sqrt{6}-3\sqrt{6}+2\sqrt{6}=3\sqrt{6}\), इसलिए सही मान \(3\sqrt{6}\) है। चरण 3: विकल्प मिलाते समय अपनी सरल गणना से मिलान करें।
For (a=6,b=15), (ab=90), which is not a perfect square, so \(\sqrt{90}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
In multiplication, the key check is whether the product inside the root is a perfect square. चरण 1: \(\sqrt{a}\times\sqrt{b}=\sqrt{ab}\) होता है। चरण 2: (a=6,b=15) पर (ab=90), जो पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए \(\sqrt{90}\) अपरिमेय है। चरण 3: गुणन में अंदर का गुणनफल पूर्ण वर्ग है या नहीं, यह मुख्य जाँच है।
\(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\), \(\sqrt{50}=5\sqrt{2}\), and \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\).
Step 2
Why this answer is correct
\(3\sqrt{2}+5\sqrt{2}-2\sqrt{2}=6\sqrt{2}\).
Step 3
Exam Tip
Keep the signs carefully while adding or subtracting coefficients. चरण 1: \(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\), \(\sqrt{50}=5\sqrt{2}\), और \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\)। चरण 2: \(3\sqrt{2}+5\sqrt{2}-2\sqrt{2}=6\sqrt{2}\)। चरण 3: चिह्नों को ध्यान से रखकर गुणांक जोड़ें या घटाएँ।
\(\sqrt{48}=4\sqrt{3}\), \(\sqrt{75}=5\sqrt{3}\), and \(\sqrt{27}=3\sqrt{3}\).
Step 2
Why this answer is correct
\(4\sqrt{3}+5\sqrt{3}-3\sqrt{3}=6\sqrt{3}\).
Step 3
Exam Tip
For like surds, work with the coefficients. चरण 1: \(\sqrt{48}=4\sqrt{3}\), \(\sqrt{75}=5\sqrt{3}\), और \(\sqrt{27}=3\sqrt{3}\)। चरण 2: \(4\sqrt{3}+5\sqrt{3}-3\sqrt{3}=6\sqrt{3}\)। चरण 3: एक ही मूल वाले पदों में गुणांकों पर काम करें।
Take the perfect square factor outside the radical. चरण 1: \(12=4\times3\) है। चरण 2: \(\sqrt{12}=\sqrt{4}\sqrt{3}=2\sqrt{3}\)। चरण 3: पूर्ण वर्ग गुणनखंड को मूल से बाहर निकालें।
A. \(x=3+2\sqrt{2}\), अपरिमेय/\(x=3+2\sqrt{2}\), irrational
Step 1
Concept
\(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\).
Step 2
Why this answer is correct
So \(x=3+2\sqrt{2}\), which contains an irrational part.
Step 3
Exam Tip
Do not combine rational and irrational terms into a single radical. चरण 1: \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\) है। चरण 2: इसलिए \(x=3+2\sqrt{2}\), जिसमें अपरिमेय भाग है। चरण 3: परिमेय और अपरिमेय पदों को सीधे जोड़कर एक मूल न बनाएं।
\(\frac{18}{5}\) is not a perfect square of a rational number, so the result is irrational.
Step 3
Exam Tip
In quotients of radicals, check whether the fraction inside is a perfect square. चरण 1: \(\frac{\sqrt{18}}{\sqrt{5}}=\sqrt{\frac{18}{5}}\) है। चरण 2: \(\frac{18}{5}\) किसी परिमेय संख्या का पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए परिणाम अपरिमेय है। चरण 3: भाग वाले मूलों में अंदर के भिन्न को पूर्ण वर्ग है या नहीं, यह देखें।
For (a=50,b=2), it becomes \(\sqrt{25}=5\), which is rational, so it should not be selected.
Step 3
Exam Tip
For an irrational quotient, \(\frac{a}{b}\) should not be a perfect square; none of the listed options gives that. चरण 1: \(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}\) है। चरण 2: (a=50,b=2) पर \(\sqrt{\frac{50}{2}}=\sqrt{25}=5\), यह परिमेय है; इसलिए इसे नहीं चुनना चाहिए। चरण 3: सही अपरिमेय के लिए भागफल पूर्ण वर्ग न हो, जैसे यहाँ दिए विकल्पों में कोई अपरिमेय परिणाम नहीं बनता।
In conjugate multiplication, you do not always need to simplify each radical first. चरण 1: (ab=\(\sqrt{8}\)2-\(\sqrt{18}\)2) है। चरण 2: (ab=8-18=-10), जो परिमेय है। चरण 3: संयुग्मी गुणन में मूलों को अलग-अलग सरल करना जरूरी नहीं होता।
For (a=3,b=12), (ab=36), so \(\sqrt{36}=6\), which is rational.
Step 3
Exam Tip
Check whether the product inside the radical becomes a perfect square. चरण 1: \(\sqrt{a}\times\sqrt{b}=\sqrt{ab}\) होता है। चरण 2: (a=3,b=12) पर (ab=36), इसलिए \(\sqrt{36}=6\), जो परिमेय है। चरण 3: गुणन के बाद अंदर की संख्या पूर्ण वर्ग बन रही है या नहीं, यह देखें।
\(\sqrt{6}+\sqrt{24}=\sqrt{6}+2\sqrt{6}=3\sqrt{6}\), which is irrational.
Step 3
Exam Tip
Radicals may cancel in multiplication, but not always in addition. चरण 1: पहले प्रत्येक विकल्प को सरल करें। चरण 2: \(\sqrt{6}+\sqrt{24}=\sqrt{6}+2\sqrt{6}=3\sqrt{6}\), जो अपरिमेय है। चरण 3: गुणन में मूल कट सकते हैं, पर योग में हमेशा ऐसा नहीं होता।
In division, simplifying the radicals together is a quick method. चरण 1: \(\frac{\sqrt{27}}{\sqrt{3}}=\sqrt{\frac{27}{3}}\) लिखा जा सकता है। चरण 2: यह \(\sqrt{9}=3\) है, जो परिमेय है। चरण 3: भाग में मूलों को एक साथ सरल करना जल्दी तरीका है।
Multiplying by the conjugate removes the radical from the denominator. चरण 1: \(\frac{1}{2-\sqrt{3}}\) में हर का संयुग्मी \(2+\sqrt{3}\) है। चरण 2: \(\frac{1}{2-\sqrt{3}}\times\frac{2+\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}=\frac{2+\sqrt{3}}{4-3}=2+\sqrt{3}\)। चरण 3: हर में संयुग्मी से गुणा करने पर मूल हट जाता है।
