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((x-a)(x-b)(x-c)) फैलाने पर पहला रूप मिलता है। शून्यकों और गुणनखंडों का संबंध याद रखें। / Expanding ((x-a)(x-b)(x-c)) gives the first form. Remember the link between zeroes and factors.
त्रिघात बहुपद की घात (3) होती है। \(x^3-4x+2\) में सबसे बड़ी घात (3) है। / A cubic polynomial has degree (3). In \(x^3-4x+2\), the highest power is (3).
अलग-अलग शून्यक केवल (-1) और (2) हैं। छूने वाला शून्यक दोहराया हो सकता है पर अलग मान एक ही गिना जाता है। / The distinct zeroes are only (-1) and (2). A touching zero may be repeated but its distinct value is counted once.
अलग शून्यक अलग (x)-अक्ष मिलने वाले बिंदुओं की संख्या से मिलते हैं। टिप: घात से अधिकतम संख्या मिलती है, वास्तविक गिनती ग्राफ से पढ़ें। / Distinct zeroes are counted from distinct meeting points with the (x)-axis. Tip: degree gives the maximum, but the actual count is read from the graph.
कटान केवल एक है इसलिए एक वास्तविक शून्यक है। टिप: घन बहुपद में अधिकतम तीन वास्तविक शून्यक हो सकते हैं, जरूरी नहीं कि तीन हों। / There is only one intersection, so there is one real zero. Tip: a cubic can have at most three real zeroes, not necessarily three.
तीन कटान बिंदु तीन वास्तविक शून्यक बताते हैं। टिप: प्रत्येक अलग (x)-अक्ष कटान को गिनें। / Three intersection points show three real zeroes. Tip: count each distinct (x)-axis intersection.
शर्तों से (a+b=-21) और (4a-b=11) मिलते हैं, इसलिए (a=-2), (b=-19) और (a-b=17)। दो शून्य दिए हों तो दो समीकरण बनाएं। / The conditions give (a+b=-21) and (4a-b=11), so (a=-2), (b=-19), and (a-b=17). When two zeros are given, form two equations.
(p(1)=0) से (a+b=9) और (p(5)=0) से (5a+b=-23), इसलिए (a=-8) नहीं बल्कि (a=-8) आता है। विकल्पों में कोई सही नहीं है। / (p(1)=0) gives (a+b=9) and (p(5)=0) gives (5a+b=-23), so (a=-8). None of the listed choices is correct.
(p(1)=0) से (1+a+b+18=0), इसलिए (a+b=-19)। पूछे गए योग के लिए यह शर्त सीधे पर्याप्त है। / From (p(1)=0), (1+a+b+18=0), so (a+b=-19). This condition is directly enough for the asked sum.
शर्तों से (a+b=5) और (-2a+b=-1) मिलते हैं। घटाने पर (3a=6) नहीं बल्कि (3a=6), इसलिए (a=2)। / The conditions give (a+b=5) and (-2a+b=-1). Subtracting gives (3a=6), so (a=2).
शर्तों से (2a+b=5) और (-a+b=-6) मिलते हैं, इसलिए \(a=\frac{11}{3}\) और \(b=-\frac{7}{3}\)। अतः \(a+b=\frac{4}{3}\) नहीं बल्कि विकल्पों में कोई सही नहीं होता। / The conditions give (2a+b=5) and (-a+b=-6), so \(a=\frac{11}{3}\) and \(b=-\frac{7}{3}\). Hence \(a+b=\frac{4}{3}\), so none of the listed choices is correct.
(p(-1)=-k+2+7+5=14-k), इसलिए (14-k=16) और (k=-2)। ऋणात्मक मान रखने पर संकेतों को ध्यान से देखें। / (p(-1)=-k+2+7+5=14-k), so (14-k=16) and (k=-2). Watch signs carefully when substituting a negative value.
शर्तों से (2a+b=2) और (3a+b=-5) मिलते हैं, इसलिए (a=-7), (b=16) और (a+b=9)। दो मान दिए हों तो दो समीकरण बनाएं। / The conditions give (2a+b=2) and (3a+b=-5), so (a=-7), (b=16), and (a+b=9). When two values are given, form two equations.
(p(1)=0) से (a+b=5) और (p(2)=0) से (2a+b=-1), इसलिए (a=-6) नहीं बल्कि (a=-6) आता है। विकल्पों में कोई सही नहीं है। / (p(1)=0) gives (a+b=5) and (p(2)=0) gives (2a+b=-1), so (a=-6). None of the listed choices is correct.
(p(1)=0) से (a+b=-13) सीधे मिलता है। दूसरी शर्त संगति जांचती है लेकिन पूछे गए योग के लिए पहली शर्त पर्याप्त है। / From (p(1)=0), we directly get (a+b=-13). The second condition checks consistency, but the first is enough for the asked sum.
(p(0)=s=-3) और (p(1)=2+r-3=4), इसलिए (r=5)। पहले (x=0) से अचर पद निकालें। / (p(0)=s=-3) and (p(1)=2+r-3=4), so (r=5). First use (x=0) to find the constant term.
शर्तों से (1+a+b=6) और (-1-a+b=-4) मिलते हैं। इन्हें हल करने पर (a=4) मिलता है। / The conditions give (1+a+b=6) and (-1-a+b=-4). Solving them gives (a=4).
(p(1)=1-5+m+8=m+4), इसलिए (m=-4)। दिए गए मान को रखकर समीकरण हल करें। / (p(1)=1-5+m+8=m+4), so (m=-4). Substitute the given value and solve the equation.
(p(1)=k-2+5-4=k-1), इसलिए (k-1=7) और (k=8)। मान रखने के बाद सरल समीकरण बनाएं। / (p(1)=k-2+5-4=k-1), so (k-1=7) and (k=8). Substitute first and then form a simple equation.
(p(1)=1+a+b+4=0) और (p(-1)=-1+a-b+4=0), इसलिए (2a+4=0) नहीं बल्कि जोड़ने पर (2a+8=0), अतः (a=-4)। संकेतों को सावधानी से जोड़ें। / (p(1)=1+a+b+4=0) and (p(-1)=-1+a-b+4=0); adding gives (2a+8=0), so (a=-4). Add signs carefully.
(p(0)=s=5) और (p(1)=1+r+5=9), इसलिए (r=3)। पहले (x=0) से अचर पद निकालें। / (p(0)=s=5) and (p(1)=1+r+5=9), so (r=3). First use (x=0) to find the constant term.
शर्तों से (1+p+q=4) और (-1-p+q=-2), इसलिए (p=2)। दो समीकरणों को घटाना तेज तरीका है। / The conditions give (1+p+q=4) and (-1-p+q=-2), so (p=2). Subtracting the two equations is quick.
(p(1)=1-4+m+6=m+3), इसलिए (m=-3)। दिए गए मान को रखकर सरल समीकरण बनाएं। / (p(1)=1-4+m+6=m+3), so (m=-3). Substitute the given value and form a simple equation.
समूहीकरण से (x-2(x-3)-4(x-3)=(x-3)\(x^2-4\)) मिलता है। इसलिए गुणनखंड ((x-3)(x-2)(x+2)) हैं। / By grouping, (x-2(x-3)-4(x-3)=(x-3)\(x^2-4\)). Thus the factors are ((x-3)(x-2)(x+2)).
शून्यकों का योग (-3) है, इसलिए (p=3)। युग्म गुणनफलों का योग (-3+5-15=-13), इसलिए (q=-13) और (p+q=-10)। / The sum of zeroes is (-3), so (p=3). The pairwise product sum is (-3+5-15=-13), so (q=-13) and (p+q=-10).
(x-3-9x=x(x-3)(x+3)), इसलिए शून्यक (-3,0,3) हैं। अतः भिन्न वास्तविक शून्यक (3) हैं। / (x-3-9x=x(x-3)(x+3)), so the zeroes are (-3,0,3). Hence there are (3) distinct real zeroes.
योग (1+3-4=0) है, इसलिए (a=0)। युग्म गुणनफलों का योग (3-4-12=-13), इसलिए (b=-13) और (a+b=-13)। / The sum (1+3-4=0), so (a=0). The sum of pairwise products is (3-4-12=-13), so (b=-13) and (a+b=-13).
यह (p(x)=(x-2)3) है, इसलिए (2) तीन बार शून्यक है। घन पूर्ण पहचान को पहचानना उपयोगी है। / This is (p(x)=(x-2)3), so (2) is a zero three times. Recognizing cube identities is useful.
(p(x)) को (x-1) से भाग देने पर \(x^2-3x-10\) मिलता है। गुणा करके जाँचें कि ((x-1)\(x^2-3x-10\)=p(x))। / Dividing (p(x)) by (x-1) gives \(x^2-3x-10\). Verify by multiplying ((x-1)\(x^2-3x-10\)=p(x)).
(p(-2)=-8-8+26-10=0), इसलिए (-2) शून्यक है। विकल्पों में दिए छोटे मानों को सीधे रखकर जाँचें। / (p(-2)=-8-8+26-10=0), so (-2) is a zero. Test small option values by direct substitution.
(p(2)=0) और (p(-2)=-16), इसलिए (p(2)-p(-2)=16)। घटाते समय दूसरे मान का संकेत बदलता है। / (p(2)=0) and (p(-2)=-16), so (p(2)-p(-2)=16). While subtracting, the sign of the second value changes.
(p(2)=8-12-8+12=0), इसलिए गुणनफल (0) होगा। एक मान (0) हो तो पूरा गुणनफल (0) होता है। / (p(2)=8-12-8+12=0), so the product is (0). If one value is (0), the whole product is (0).
यह ((x-2)3) है, इसलिए (p(5)=(5-2)3=27)। पहचान पहचानने से गणना कम होती है। / It is ((x-2)3), so (p(5)=(5-2)3=27). Recognizing identities reduces calculation.
(p(-2)=0) और (p(2)=0), इसलिए योग (0) है। विपरीत मानों पर संकेतों को सावधानी से रखें। / (p(-2)=0) and (p(2)=0), so the sum is (0). Handle signs carefully for opposite inputs.
(p(-3)=-27+21+6=0), इसलिए (x+3) वास्तव में गुणनखंड है। सही जाँच में यह प्रश्न विकल्प-त्रुटि दिखाता है, इसलिए हर विकल्प को (p(a)) से जाँचें। / (p(-3)=-27+21+6=0), so (x+3) is actually a factor. This reveals an option error, so check each option using (p(a)).
गुणांक \(\sqrt{5}\) और \(-\frac{2}{3}\) वास्तविक संख्याएँ हैं और सबसे बड़ी घात (3) है। इसलिए यह घन बहुपद है। / The coefficients \(\sqrt{5}\) and \(-\frac{2}{3}\) are real numbers and the highest power is (3). Hence it is a cubic polynomial.
(p(-3)=-27+27+12-12=0), इसलिए (x+3) गुणनखंड है। (x+a) के लिए (x=-a) रखकर जाँचें। / (p(-3)=-27+27+12-12=0), so (x+3) is a factor. For (x+a), test (x=-a).
(x-3-6x-2+11x-6=(x-1)(x-2)(x-3)) है। गुणनखंडों से शून्यक सीधे मिलते हैं। / (x-3-6x-2+11x-6=(x-1)(x-2)(x-3)). Zeroes are read directly from the factors.
(p(2)=8-16+2+6=0), इसलिए (2) शून्यक है। विकल्पों में छोटे पूर्णांकों को पहले जाँचें। / (p(2)=8-16+2+6=0), so (2) is a zero. Test small integer options first.
(p(2)=0) और (p(-2)=-16), इसलिए (p(2)-p(-2)=16)। घटाते समय दूसरे मान का संकेत बदलता है। / (p(2)=0) and (p(-2)=-16), so (p(2)-p(-2)=16). While subtracting, the sign of the second value changes.
(p(1)=1-2-3+4=0) और (p(-1)=-1-2+3+4=4), इसलिए गुणनफल (0) है। पहले दोनों मान निकालें। / (p(1)=1-2-3+4=0) and (p(-1)=-1-2+3+4=4), so the product is (0). Find both values first.
यह ((x+1)3) है, इसलिए (p(-2)=(-1)3=-1)। पहचान पहचानने से गणना कम होती है। / It is ((x+1)3), so (p(-2)=(-1)3=-1). Recognizing identities reduces calculation.
(p(-2)=0) और (p(2)=0), इसलिए योग (0) है। विपरीत मानों पर संकेतों को सावधानी से रखें। / (p(-2)=0) and (p(2)=0), so the sum is (0). Handle signs carefully for opposite inputs.
शून्यकों से बहुपद (x(x-2)(x+3)) बनेगा। इसे फैलाने पर \(x^3+x^2-6x\) मिलता है। / From the zeroes, the polynomial is (x(x-2)(x+3)). Expanding gives \(x^3+x^2-6x\).
(p(1)=2-9+13-6=0) है इसलिए (x-1) गुणनखंड है। विकल्प जांच में छोटे मान पहले लगाएं। / (p(1)=2-9+13-6=0), so (x-1) is a factor. In option checking, try small values first.
बहुपद ((x-1)(x-2)(x-3)=x-3-6x-2+11x-6) है। इसलिए (p=-6), (q=11) और (p+q=5) नहीं बल्कि (5) है। / The polynomial is ((x-1)(x-2)(x-3)=x-3-6x-2+11x-6). Hence (p=-6), (q=11), so (p+q=5).
सबसे बड़ी घात (3) है इसलिए बहुपद घन है। परीक्षा में हमेशा सबसे बड़े शून्येतर घातांक को देखें। / The highest power is (3), so the polynomial is cubic. In exams, always check the highest non-zero exponent.
(p(2)=16+4-10+2=12) और (p(-1)=-2+1+5+2=6), इसलिए अंतर (6) है। दोनों मान अलग निकालें। / (p(2)=16+4-10+2=12) and (p(-1)=-2+1+5+2=6), so the difference is (6). Find both values separately.
(p(1)=0) नहीं बल्कि (2+1-5+2=0), और (p(-1)=-2+1+5+2=6), इसलिए गुणनफल (0) है। सही विकल्प (0) है। / (p(1)=2+1-5+2=0), and (p(-1)=-2+1+5+2=6), so the product is (0). The correct option is (0).
यह ((x-1)3) है, इसलिए (p(2)=(2-1)3=1)। पहचान पहचानने से गणना कम होती है। / It is ((x-1)3), so (p(2)=(2-1)3=1). Recognizing identities reduces calculation.
(p(-2)=0) और (p(2)=0), इसलिए योग (0) है। यह विषम बहुपद जैसा व्यवहार करता है। / (p(-2)=0) and (p(2)=0), so the sum is (0). It behaves like an odd polynomial.
शर्तों से (a+b=-7) और (4a-2b=2), इसलिए (a=-2), (b=-5) और (a-b=3)। सही गणना से (a-b=3) मिलता है। / The conditions give (a+b=-7) and (4a-2b=2), so (a=-2), (b=-5), and (a-b=3). The correct value is (3).
(p(1)=1-2-5+6=0), इसलिए (1) इस बहुपद का शून्य है। विकल्पों को रखकर जांचना तेज तरीका है। / (p(1)=1-2-5+6=0), so (1) is a zero of this polynomial. Substituting options is a quick method.
\(6x^3-2x+9\) बहुपद है और इसकी घात (3) है, इसलिए यह द्विघात नहीं है। घात से वर्गीकरण करें। / \(6x^3-2x+9\) is a polynomial and its degree is (3), so it is not quadratic. Classify by degree.
(p(x)=x-3+1) में सबसे बड़ी घात (3) है इसलिए यह घन बहुपद है। बहुपद का प्रकार उसकी घात से तय करें। / In (p(x)=x-3+1), the highest power is (3), so it is a cubic polynomial. Decide the type of a polynomial by its degree.
(q(-2)=-8+8+10-6=4)। ऋणात्मक मान रखते समय प्रत्येक पद का संकेत अलग जांचें। / (q(-2)=-8+8+10-6=4). Check the sign of every term separately when substituting a negative value.
A. घात (3), नियत पद (-4)/Degree (3), constant term (-4)
Explanation
Simple Explanation
सबसे बड़ी घात (3) है और बिना (x) वाला पद (-4) है। इसलिए सही जोड़ी घात (3), नियत पद (-4) है। / The highest power is (3) and the term without (x) is (-4). So the correct pair is degree (3), constant term (-4).
(p(1)=1-3+3-1=0), इसलिए (1) इस बहुपद का शून्य है। विकल्पों को रखने से शून्य जल्दी मिल सकता है। / (p(1)=1-3+3-1=0), so (1) is a zero of this polynomial. Substituting options can quickly identify the zero.
\(-2x^3+4x+7\) का प्रमुख पद \(-2x^3\) है। इसलिए प्रमुख गुणांक (-2) है। / The leading term of \(-2x^3+4x+7\) is \(-2x^3\). So the leading coefficient is (-2).
\(x^3\) के साथ लगा गुणक (5) है। गुणांक हमेशा संबंधित पद से पहचाना जाता है। / The multiplier of \(x^3\) is (5). A coefficient is identified from its related term.
इसमें (x) का पद उपस्थित नहीं है इसलिए उसका गुणांक (0) है। अनुपस्थित पद को (0x) समझें। / There is no (x)-term, so its coefficient is (0). Treat the missing term as (0x).
\(4x^3+x-9\) बहुपद है और इसकी घात (3) है। इसलिए यह द्विघात नहीं है। / \(4x^3+x-9\) is a polynomial and its degree is (3). Therefore it is not quadratic.
\(x^3\) के साथ गुणांक (4) जुड़ा है। घात और गुणांक को अलग अलग पहचानें। / The coefficient attached to \(x^3\) is (4). Identify the exponent and coefficient separately.
घात (3) वाला बहुपद घन बहुपद कहलाता है। सबसे बड़ी घात ही नाम तय करती है। / A degree (3) polynomial is called a cubic polynomial. The highest power decides the name.
सबसे बड़ी घात (3) है इसलिए यह घन बहुपद है। बहुपद का प्रकार उसकी घात से तय करें। / The highest power is (3), so it is a cubic polynomial. Classify a polynomial by its degree.
(\(\sqrt{3}\)3=3\sqrt{3}), इसलिए \(3\sqrt{3}-3\sqrt{3}=0\) है। परीक्षा में ऐसे प्रश्नों में घात को सरल करना मुख्य कदम है। / (\(\sqrt{3}\)3=3\sqrt{3}), so \(3\sqrt{3}-3\sqrt{3}=0\). Simplifying powers is the key step in such questions.
(\(\sqrt{2}\)3=2\sqrt{2}), इसलिए \(2\sqrt{2}-2\sqrt{2}=0\) है। परीक्षा में (\(\sqrt{a}\)3=a\sqrt{a}) याद रखें। / (\(\sqrt{2}\)3=2\sqrt{2}), so \(2\sqrt{2}-2\sqrt{2}=0\). Remember (\(\sqrt{a}\)3=a\sqrt{a}).
\(\alpha+\beta=2\) और \(\alpha\beta=-1\), इसलिए (\alpha-3+\beta-3=23-3(-1)(2)=14)। घन योग में (\alpha-3+\beta-3=\(\alpha+\beta\)3-3\alpha\beta\(\alpha+\beta\)) लगाएँ। / \(\alpha+\beta=2\) and \(\alpha\beta=-1\), so (\alpha-3+\beta-3=23-3(-1)(2)=14). Use (\alpha-3+\beta-3=\(\alpha+\beta\)3-3\alpha\beta\(\alpha+\beta\)).
गुणनखंडों से शून्यक (-1), (2), और (4) हैं। तीन अलग शून्यक तीन अलग (x)-प्रतिच्छेद देते हैं। / The factors give zeroes (-1), (2), and (4). Three distinct zeroes give three distinct (x)-intercepts.
मूल बिंदु भी (x)-अक्ष पर है इसलिए (0) भी शून्यक है। सभी (x)-प्रतिच्छेदों के (x)-मान लिखें। / The origin also lies on the (x)-axis so (0) is also a zero. Write the (x)-values of all intercepts.
इस अंतराल में चिह्न (+), (-), (-) हैं, इसलिए गुणनफल धनात्मक है। टिप: दो ऋणात्मक कारकों का गुणन धनात्मक होता है। / In this interval the signs are (+), (-), (-), so the product is positive. Tip: the product of two negative factors is positive.
(x-3-12x-2+35x=x(x-5)(x-7)) है, इसलिए शून्यक (0), (5), (7) हैं। टिप: पहले (x) सामान्य गुणनखंड निकालें। / (x-3-12x-2+35x=x(x-5)(x-7)), so the zeroes are (0), (5), (7). Tip: first take (x) as the common factor.
(p(x)=x(x-3)(x-6)) है इसलिए शून्यक (0), (3), (6) और माध्य (3) है। टिप: पहले गुणनखंड करें। / (p(x)=x(x-3)(x-6)), so the zeroes are (0), (3), (6), and the mean is (3). Tip: factor first.
इस अंतराल में चिह्न (+), (-), (-) हैं, इसलिए गुणनफल धनात्मक है। टिप: दो ऋणात्मक कारकों का गुणन धनात्मक होता है। / In this interval the signs are (+), (-), (-), so the product is positive. Tip: the product of two negative factors is positive.
(x-3-10x-2+24x=x(x-4)(x-6)) है, इसलिए शून्यक (0), (4), (6) हैं। टिप: पहले (x) सामान्य गुणनखंड निकालें। / (x-3-10x-2+24x=x(x-4)(x-6)), so the zeroes are (0), (4), (6). Tip: first take (x) as the common factor.
(p(x)=x(x-5)(x-2)) है, इसलिए शून्यक (0), (2), (5) और माध्य \(\frac{7}{3}\) है। टिप: पहले गुणनखंड करें। / (p(x)=x(x-5)(x-2)), so the zeroes are (0), (2), (5), and the mean is \(\frac{7}{3}\). Tip: factor first.
इस अंतराल में चिह्न (+), (-), (-) हैं इसलिए गुणनफल धनात्मक है। टिप: दो ऋणात्मक कारकों का गुणन धनात्मक होता है। / In this interval the signs are (+), (-), (-), so the product is positive. Tip: the product of two negative factors is positive.
(x-3-8x-2+15x=x(x-3)(x-5)) है इसलिए शून्यक (0,3,5) हैं। टिप: पहले (x) सामान्य गुणनखंड निकालें। / (x-3-8x-2+15x=x(x-3)(x-5)), so the zeroes are (0,3,5). Tip: first take (x) as the common factor.
(x-3-25x=x(x-5)(x+5)) है इसलिए तीन अलग शून्यक हैं। टिप: पहले सामान्य गुणनखंड निकालें। / (x-3-25x=x(x-5)(x+5)), so there are three distinct zeroes. Tip: first take out the common factor.
इस अंतराल में चिह्न (+), (-), (-) हैं, इसलिए गुणनफल धनात्मक है। टिप: विषम संख्या ऋणात्मक कारकों से मान ऋणात्मक होता है। / In this interval the signs are (+), (-), (-), so the product is positive. Tip: an odd number of negative factors gives a negative value.
(x-3-6x-2+5x=x(x-1)(x-5)) है, इसलिए शून्यक (0,1,5) हैं। टिप: पहले (x) सामान्य गुणनखंड निकालें। / (x-3-6x-2+5x=x(x-1)(x-5)), so the zeroes are (0,1,5). Tip: first take (x) as the common factor.
(x-3-16x=x(x-4)(x+4)) है, इसलिए तीन अलग शून्यक हैं। टिप: पहले सामान्य गुणनखंड निकालें। / (x-3-16x=x(x-4)(x+4)), so there are three distinct zeroes. Tip: first take out the common factor.
(x-3-4x-2-5x=x(x-5)(x+1)), इसलिए शून्यक (0), (5), (-1) हैं। टिप: पहले (x) सामान्य गुणनखंड निकालें। / (x-3-4x-2-5x=x(x-5)(x+1)), so the zeroes are (0), (5), (-1). Tip: first take (x) as the common factor.
(x-3-9x=x(x-3)(x+3)), इसलिए तीन अलग शून्यक हैं। टिप: सामान्य गुणनखंड निकालकर वर्गों का अंतर देखें। / (x-3-9x=x(x-3)(x+3)), so there are three distinct zeroes. Tip: take the common factor and use difference of squares.
तीन अलग रैखिक कारक तीन अलग शून्यक (2), (5), (8) देते हैं। टिप: हर अलग कारक एक कटान दे सकता है। / Three distinct linear factors give three distinct zeroes (2), (5), (8). Tip: each distinct factor can give one intersection.
